Adµ - Universität Stuttgart

R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 7
Aufgabe 7.1 (schriftlich, 4 Punkte)
a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
√
2n − n
n2 + n + 1
(ii) lim √
(i) lim 3
n→∞ ( n + 1)2
n→∞ n + 4n2 + 5
3n3 − 4n + (−1)n
n+2 2
n
√
(iii) lim
+
(iv) lim
n→∞ (2n + n)3 − 4
n→∞ n − 2
n−4
q
√
√
n
n
(v) lim
n+ n− n
(vi) lim
+ (−1)
n→∞
n→∞ n2 + 4
b) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie: Gibt es ein
n0 ∈ N, so dass für n ≥ n0 die Ungleichung |cn | ≤ an · bn gilt, und ist (an )n∈N eine
beschränkte Folge und (bn )n∈N eine Nullfolge, dann ist (cn )n∈N eine Nullfolge.
Aufgabe 7.2 ...
a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
1 4n2 − 3n + 5 3n5 + 8n2 − 1 n − 1
(i) lim
+
+
n→∞ n
7n + 4
−6n4 − 3
n+9
√
2
i(n − 1)
n+ n
√ +√
(ii) lim (−1)n
3
n→∞
n(n2 + 1)
5 − 7n − n
!
r
√
n( n4 + 1 − n2 )
1
4
(iii) lim √
(iv) lim n 1 − 1 −
n→∞
n→∞
n
n2 + n − n
√
√
(ii) lim n n = 1.
b) Zeigen Sie:
(i) ∀a > 0 : lim n a = 1,
n→∞
n→∞
Verwenden Sie dabei die Bernoulli-Ungleichung:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
für x ≥ −1 und n ∈ N0 .
(Die Bernoulli-Ungleichung muss nicht bewiesen werden.)
√
c) Bestimmen Sie mithilfe von Teilaufgabe (b) lim n 2n + 3n .
n→∞
R
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Aufgabe 7.3 ...
a) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R
(i) sin(ix) = i sinh(x),
(ii) cos(ix) = cosh(x),
(iii) tan(ix) = i tanh(x).
b) Seien
f : R → R, x 7→ sinh(x)
und
g : [0, ∞) → R, x 7→ cosh(x).
Bestimmen Sie die Wertebereiche von f und g und berechnen Sie die Umkehrfunktionen f −1 und g −1 als Funktionen des natürlichen Logarithmus.
(Bemerkung: Die Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus Hyperbolicus heißen
Areasinus und Areakosinus Hyperbolicus, kurz arsinh und arcosh.)
Aufgabe 7.4 Die Folgen (xn )n∈N0 , (yn )n∈N0 und (zn )n∈N0 seien wie folgt rekursiv definiert:
a) x0 = 1, xn+1 = xn + n
b) y0 = 1, yn+1 =
c) z0 = 3, zn+1 =
n2 +2n+1
n2 +4n+4
zn + 21n
yn
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls deren
Grenzwerte.
Aufgabe 7.5 ...
a) Für q ∈ C sei xn = q n und
ym :=
1
m (x1
+ . . . + xm )
(arithmetisches Mittel).
Geben Sie alle q ∈ C an, für die (xn )n∈N konvergiert, beziehungsweise alle q ∈ C,
für die (ym )m∈N konvergiert.
(Hinweis: Berechnen Sie ym explizit.)
b) Sei nun (xn )n∈N eine beliebige Folge in C mit limn→∞ xn = x∗ und (ym )m∈N wie
in (a) definiert. Zeigen Sie limm→∞ ym = x∗ .
(Hinweis: Benutzen Sie die Beschränktheit von (xn )n∈N und
1
1
ym − x ∗ = m
(x1 − x∗ ) + . . . + (xn0 − x∗ ) + m
(xn0 +1 − x∗ ) + . . . + (xm − x∗ )
für geeignetes n0 < m.)
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 8.12.2016, bzw. Freitag, den 9.12.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.