Komplexe Zahlen, Funktionen, Ableitungen (partielle), Integrale

Theoretische Physik
1. Übungsblatt - Mechanik -Ergebnisse
12. April 2007
Komplexe Zahlen, Funktionen, Ableitungen (partielle), Integrale, Reihen
1. Summe z1 + z2 = 4 − 2i
Produkt z1 · z2 = 11 − 10i
z1
−5 14
Quotient
=
+ i
z2
17
17
√
√
Betrag und Argument
|z1 | = 13 und |z2 | = 17
2
= 0.588 =
ˆ 33.7◦
arg z1 = arctan
3
arg z2 = − arctan(4) = −1.326 =
ˆ − 76.0◦
polare Darstellung: z = |z|ei arg z = |z| cos(arg z) + i|z| sin(arg z)
2. Re z = |z| cos(arg z) Im z = |z| sin(arg z)
1
1
Re z3 = 0, Im z3 = −1, Re z4 = √ , Im z4 = √ , Re z5 = 0, Im z5 = −1
2
2
z3 ∗ z42 = 1, z3 ∗ z5 = −1, z42 ∗ z5 = 1
In der komplexen Zahlenebene addieren sich beim Produkt bzw. subtrahieren sich
beim Quotienten die Argumente der komplexen Zahlen und damit die Winkel zur
reellen Achse. Die Beträge werden multipliziert bzw. dividiert.
3. Ableitungen von Funktionen
d −λx
d2 −λx
(e ) = −λ e−λx
(e ) = λ2 e−λx
dx
dx2
d −kx
(e
· sin αx) = e−kx · (−k sin αx + α cos αx)
dx
d2 −kx
(e
· sin αx) = e−kx · ((k 2 − α2 ) sin αx − 2kα cos αx)
dx2
d2 2 −λx
d 2 −λx
−λx
2
(x e ) = e (2x − λx )
(x e ) = e−λx (2 − 4xλ + λ2 x2 )
2
dx
dx 2
2
d e−x
2
1
d2 e−x
2
−x2
−x2
= −e
=e
2+ 2
4x + + 3
dx x
x
dx2 x
x x
2
d −λt+iωt
d −λt+iωt
−λt+iωt
e
= (−λ + iω)e
e
= (−λ + iω)2 e−λt+iωt
2
dt
dt
d
d2
i(kx−ωt)
i(kx−ωt)
Ae
= ikAe
Aei(kx−ωt) = −k 2 Aei(kx−ωt)
dx
dx2
d i(kx−ωt)
d2
Ae
= −iωAei(kx−ωt)
Aei(kx−ωt) = −ω 2 Aei(kx−ωt)
dt
dt2
4. Stammfunktionen (unbestimmte Integrale)
x
1
e dx = −ie + C
x e dx = −e
+ 2 +C
λ λ
R
R −x2
1 −x2
2
−x2
x e dx = − e
+C
e dx = √ erf(x) + C
2√
π
Z x
π
2
Es ist erf(x) =
e−t dt die Gauß’sche Fehlerfunktion, und erf(∞) = 1!
2 0
R
1
x sin kx dx = 2 (sin kx − kx cos kx) + C
k
R
ix
ix
R
−λx
−λx
5. Taylor-Reihenentwicklung
x
x2 x3 x4 x5
ex = 1 + +
+
+
+ ...
1!
2!
3!
4!
5!
3
5
x
x
x
sin x = −
+
− ... alternierendes Vorzeichen, nur ungerade Potenzen!
1!
3!
5!
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12. April 2007
x2 x4
+
− ... alternierendes Vorzeichen, nur gerade Potenzen!
cos x = 1 −
2!
4!
Addiert man nun die Reihen entsprechend der Eulerschen Formel, so erhält man
x2
x3 x4
x5
x
cos x + i sin x = 1 + i −
−i +
+ i − ...
1!
2!
3!
4!
5!
oder aber
ix (ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)5
cos x + i sin x = 1 +
+
+
+
+
− ... = eix
1!
2!
3!
4!
5!
6. Die Taylor-Reihen
α
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
(1 + x)α = 1 + x +
x +
x + ...
1!
2!
3!
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − ... alternierendes Vorzeichen
1+x
1
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... einfache geometrische Reihe
1−x
√
x x2 x3
+
− ...
1+x=1+ −
2
8
16
x2 x3 x4
ln(1 + x) = x − + − + ... alternierendes Vorzeichen, keine Fakultäten!
2
3
4
Bei einer sukzessive Reihenentwicklung verschachtelter Funktionen von innen heraus, werden die Taylorreihen der einzelnen Funktionen nacheinander eingesetzt
und Terme soweit mitgenommen, wie sie zu den gewünschten Potenzen der Gesamtreihe

s beitragen:

!
! 
2
4
2
4
4 2
2
2
x
x
x
x
1
x
x
x
.
.
.
=
−
) = sin  −
−
−
sin(ln  1 + ) = sin(ln 1 +
2
4
32
4
32 2 4
32
2
x4 1
. x
=
−
−
4
32 2
x2 x4
−
4
32
!2
2
x4 1
. x
=
−
−
4
32 2
x2
4
!2
2
x4
. x
=
−
4
16
7. Für beliebig komplexe z gilt auch die Eulersche Formel e±iz = cos z ± i sin z und
eiz + e−iz
eiz − e−iz
sowie sin z =
.
damit cos z =
2
2i
Außerdem gilt auch im Komplexen: ln(z1 ∗ z2 ) = ln z1 + ln z2 .
Es folgt damit: sin(3i) =
e−3 − e3
= i sinh 3 = 10.02i
2i
e−π + eπ
= cosh π = 11.59
2
π
i
π
ln(5i) = ln 5 + ln i = ln 5 + ln e 2 = ln 5 + i + i2πn (mehrdeutig, n ganzzahlig!)
2
8. Partielle Ableitungen:
∂U
x
∂U
2y
∂U
2z
= ;
= ;
=
∂x
2
∂y
9
∂z
25
Die Äquipotentialflächen sind Ellipsoidoberflächen eines dreiachsigen Ellipsoids
mit den Halbachsen a = 2, b = 3, c = 5.
cos(iπ) =
9. Das Volumen des Ostereies, dessen Oberfläche durch ein Rotationsellipsoid beschrieben wird berechnet sich zu:
4π 2
V=
a b = 4πa2 cm = 4π(2.2)2 cm3 = 19.36πcm3 = 60.82cm3
3