Auszug aus: Elemente der Diskreten Mathematik

Auszug aus:
Elemente der Diskreten Mathematik
Zahlen und zählen, Graphen und Verbände
Erschienen bei Walter de Gruyter, 2013
Volker Diekert
Manfred Kufleitner
Gerhard Rosenberger
Nur für den internen Gebrauch als Begleitunterlagen der Vorlesung
„Algorithmen und Berechenbarkeit”
Inhaltsverzeichnis
1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
1.1 Wahrscheinlichkeitsräume und Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Die Jensen’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Das Geburtstagsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Viele Abschätzungen deuten zunächst einmal auf das Verhalten im schlechtesten Fall hin. Häufig interessiert man sich jedoch mehr für ein Verhalten
im „Normalfall“. Im schlechtesten Fall gewinnt man beim Roulette niemals.
Im Mittel gewinnt man wenigstens ab und zu, aber viel zu selten, um den
Bestand der Spielbank zu gefährden. Um solches Verhalten präziser beschreiben
zu können, entwickeln wir hier einige elementare Begriffe aus der diskreten
Wahrscheinlichkeitstheorie, wie wir sie für die Anwendungen später brauchen
werden.
1.1
Wahrscheinlichkeitsräume und Erwartungswerte
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist eine endliche oder abzählbare Menge
Ω zusammen mit einer Abbildung Pr : Ω → [0, 1] in das reelle 0-1-Intervall,
welche die folgende Bedingung erfüllt:
X
Pr[ω] = 1
ω∈Ω
1
Ist Ω endlich und Pr[ω] ein konstanter Wert, also Pr[ω] = |Ω|
für alle ω ∈ Ω, so
sprechen wir von einer Gleichverteilung. Ein Ereignis ist eine Teilmenge A ⊆ Ω.
Die Wahrscheinlichkeit von A ist
X
Pr[A] =
Pr[ω]
ω∈A
Wenn Ω endlich ist, dann gilt im Falle eine Gleichverteilung:
Pr[A] =
„Anzahl der Fälle zum Ereignis“
|A|
=
|Ω|
„Anzahl der möglichen Fälle“
Dies ist eine der Motivationen für das nächste Kapitel, wo wir Techniken lernen
wollen, die jeweiligen Anzahlen zu bestimmen. Bei einer Runde des Roulettespiels
ist der Wahrscheinlichkeitsraum die Menge {0, . . . , 36} und die Ereignisse rot
und schwarz haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 18/37. Im Prinzip
ist es diese Differenz 1 − 36/37 = 1/37, die gegen die Spieler spricht.
Eine Zufallsvariable X ist hier stets eine reellwertige Funktion
X:Ω→R
4
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Der Erwartungswert von X wird wie folgt definiert:
X
E [X] =
X(ω)Pr[ω]
ω∈Ω
Falls die Menge Ω unendlich viele Elemente hat, muss die Reihe absolut konvergieren, ansonsten ist der Erwartungswert nicht definiert. In den meisten
betrachteten Fällen ist der Wahrscheinlichkeitsraum endlich, und es kann keine
Probleme mit der Konvergenz geben. In den anderen Fällen machen wir implizite
Konvergenzvoraussetzungen, die wir häufig gar nicht extra erwähnen. Bei einer
Gleichverteilung ist der Erwartungswert der Mittelwert über die Funktionswerte
der Zufallsvariablen. Es gilt dann:
1 X
E [X] =
X(ω)
|Ω| ω
Der Erwartungswert einer gewürfelten Augenzahl mit einem Würfel ist zum
Beispiel 3,5. Man beachte, dass diese Zahl keiner beim Würfeln auftretenden Augenzahl entspricht. Jedes Ereignis A ⊆ Ω kann über die charakteristische Funktion χA : Ω → {0, 1} (mit χA (a) = 1 für a ∈ A und χA (a) = 0 sonst) direkt
als eine Zufallsvariable gelesen werden. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
A ist dann der Erwartungswert der charakteristischen Funktion: Pr[A] = E [χA ].
Ist x ∈ R, so bezeichnet Pr[X = x] die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:
{ ω ∈ Ω | X(ω) = x }
Damit gilt Pr[X = x] = Pr X −1 (x) . Direkt aus der Definition ergibt sich auch
die folgende Aussage:
X
X
E [X] =
X(ω)Pr[ω] =
x Pr[X = x]
ω
x
Nimmt X keine negativen Werte an und ist X(ω) > 0 für ein ω mit Pr[ω] >
0, so gilt offenbar E [X] > 0. Außerdem erhalten wir den folgenden nach
Andrei Andrejewitsch Markov (1856–1922) benannten Zusammenhang zwischen
Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert.
Satz 1.1 (Markov-Ungleichung). Sei X eine Zufallsvariable mit X(ω) ≥ 0 für
alle ω und E [X] > 0. Dann gilt für alle λ > 0:
1
Pr X ≥ λE [X] ≤
λ
Beweis: Es gilt:
X
X
E [X] =
X(ω)Pr[ω] ≥
X(ω)Pr[ω] ≥ λ E [X] Pr X ≥ λE [X]
ω
Dies zeigt die Behauptung.
ω∈Ω
X(ω)≥λE[X]
Abschnitt 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume und Erwartungswerte
5
Eine wichtige Eigenschaft ist die Linearität des Erwartungswertes:
E[aX + bY ] = aE [X] + bE [Y ]
Hierbei sind a, b ∈ R und X, Y : Ω → R Zufallsvariablen. Die Zufallsvariable
aX + bY : Ω → R ist definiert durch (aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω). Ist
X : Ω → R eine Zufallsvariable, so assoziiert man mit X ihre diskrete Dichte
fX : R → [0, 1] und ihre Verteilung FX : R → [0, 1]. Diese sind wie folgt
definiert:
fX : R → [0, 1], fX (x) = Pr[X = x]
FX : R → [0, 1], FX (x) = Pr[X ≤ x]
Aus der Dichte lässt sich die Verteilung berechnen, und die Verteilung bestimmt
die Dichte. Sehr verschiedene Zufallsvariablen können auf die gleiche Verteilung
(Dichte) führen. Viele interessante Eigenschaften ergeben sich schon allein aus
der Verteilung (oder der Dichte), ohne die konkrete Zufallsvariable genau zu
kennen. Daher spielt der konkrete Wahrscheinlichkeitsraum häufig gar keine
Rolle. Insbesondere ist:
X
E [X] =
x fX (x)
x∈R
Um möglichst nahe an einer konkreten Vorstellung zu bleiben, arbeiten wir
weiterhin meistens mit diskreten Zufallsvariablen. Wir bemerken jedoch, dass
es dieser Ansatz ist, der den Übergang zu kontinuierlichen Zufallsvariablen
ermöglicht. Im Wesentlichen ersetzt man Summen durch ein Integral, wobei
fX (x) zu einem dx wird. Dabei muss man jedoch gewährleisten, dass Ausdrücke
sinnvoll und wohldefiniert bleiben, was einen erheblichen theoretischen Unterbau
erfordern würde.
Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, wenn für alle x, y ∈ R
Pr[X = x ∧ Y = y] = Pr[X = x] · Pr[Y = y]
gilt. Hierbei steht X = x∧Y = y für den Durchschnitt der Ereignisse X = x und
Y = y . Die Intuition ist, dass sich unabhängige Zufallsvariablen nicht gegenseitig
beeinflussen. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfeln für einen
Wurf mit zwei Sechsen 1/36, da das Ergebnis von einem Würfel nicht das
Ergebnis des anderen Wurfs beeinflusst. Analog gilt, dass die Wahrscheinlichkeit
für einen Pasch 1/6 ist, und dass die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel (5
gleiche Augenzahlen) in einem einzigen Wurf mit fünf Würfeln 1/64 = 1/1296
ist. Falls X und Y unabhängig sind, so gilt:
E [XY ] = E [X] E [Y ]
6
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dies folgt aus der folgenden Betrachtung:
X
zPr[XY = z]
E [XY ] =
z
=
XX
xyPr[X = x ∧ Y = y]
z xy=z
=
X
X
xPr[X = x] ·
yPr[Y = y]
x
y
= E [X] E [Y ]
Betrachtet man die Zufallsvariable X − E [X], so ist deren Erwartungswert 0.
Interessanter ist das Quadrat dieser Zufallsvariablen (X − E [X])2 . Der Erwartungswert kann nicht negativ sein. Er ist positiv, sowie er definiert ist und
Pr[X 6= E [X]] > 0 gilt. Der Erwartungswert von (X −E [X])2 heißt die Varianz
Var[X] von X und misst, wie stark X von E [X] abweicht. Es gilt:
Var[X] = E (X − E [X])2
h
i
= E X 2 − 2E [X] X + E [X]2
= E X 2 − 2E [X] E [X] + E [X]2
= E X 2 − E [X]2
Die erste Gleichung gilt nach Definition. Die dritte folgt aus der Linearität
des Erwartungswertes. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X 2 ist also
mindestens so groß wie E [X]2 .
Die Differenz misst die Varianz.
Beispiel 1.1. Bei einem Bernoulli-Experiment (Jacob Bernoulli, 1654–1705)
misst man Erfolg oder Misserfolg durch ein 0-1-Ereignis. Typischerweise setzt
man Pr[X = 1] = p und Pr[X = 0] = q = 1 − p. Damit ist E [X] = p und
Var[X] = p − p2 = pq .
3
Mit σX wird
p die Standardabweichung von X bezeichnet, sie ist definiert
durch σX = Var[X]. Der Name ergibt sich aus der folgenden Beziehung.
Satz 1.2 (Tschebyschev-Ungleichung). Sei λ > 0. Dann gilt:
1
Pr |X − E [X]| ≥ λ σX ≤ 2
λ
Beweis: Nach der Markov-Ungleichung und der Definition von σX und Var[X]
gilt:
1
Pr |X − E [X]| ≥ λ σX = Pr (X − E [X])2 ≥ λ2 Var[X] ≤ 2
λ
7
Abschnitt 1.2 Die Jensen’sche Ungleichung
Die Abschätzung aus Satz 1.2 liefert erst für Abweichungen oberhalb der
Standardabweichung (also für λ > 1) eine sinnvolle Aussage.
Satz 1.3. Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt:
Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]
Beweis: Mit E [XY ] = E [X] E [Y ] erhalten wir:
Var[X + Y ] = E (X + Y )2 − E [X + Y ]2
= E X 2 + 2E [XY ] + E Y 2 − E [X]2 − 2E [X] E [Y ] − E [Y ]2
= E X 2 − E [X]2 + E Y 2 − E [Y ]2
= Var[X] + Var[Y ]
1.2
Die Jensen’sche Ungleichung
Eine Funktion f : R → R heißt konvex , wenn für alle λ ∈ [0, 1] und x, y ∈ R
folgende Ungleichung gilt:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y)
Konvexität bedeutet, dass, wenn man in der Ebene R2 die Strecke von dem
Punkt (x, f (x)) zum Punkt (y, f (y)) zieht, diese oberhalb des Graphen von f
liegt. Das Schaubild einer konvexen Funktion f sieht etwa wie folgt aus:
λf (x) + (1 − λ)f (y)
x
λx + (1 − λ)y
y
Eine zweimal differenzierbare Funktion f ist genau dann konvex, wenn die
zweite Ableitung f 00 nirgends negativ ist. Die Funktionen f (x) = x2 und
g(x) = 2x sind jeweils konvex. Die zweiten Ableitungen sind f 00 (x) = 2 und
g 00 (x) = (ln 2)2 · 2x und damit nirgends negativ.
Die folgende Beziehung ist nach Johan Ludwig William Valdemar Jensen
(1859–1925) benannt.
8
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Satz 1.4 (Jensen’sche Ungleichung). Sei P
f : R → R eine konvexe Funktion und
k
k ≥ 1. Seien λ1 , . . . , λk ∈ [0, 1] ⊆ R mit
i=1 λi = 1. Dann gilt:
f
k
X
!
λ i xi
≤
i=1
k
X
λi f (xi )
i=1
Beweis: Ohne Einschränkung gilt λi > 0 für alle 1 ≤ i ≤ k . Wir führen eine
Induktion nach k . Für k = 1 ist λ1 = 1, und die Aussage ist erfüllt. Sei also
k > 1 und λ1 < 1. Damit gilt jetzt:
!
!
k
k
X
X
λi
xi
f
λi xi = f λ1 x1 + (1 − λ1 )
1 − λ1
i=1
i=2
!
k
X
λi
≤ λ1 f (x1 ) + (1 − λ1 )f
xi
da f konvex
1 − λ1
IV
≤ λ1 f (x1 ) + (1 − λ1 )
i=2
k
X
i=2
=
k
X
λi
f (xi )
1 − λ1
λi f (xi )
i=1
Ist X : Ω → R eine Zufallsvariable und f : R → R eine Funktion, so
bezeichnet f (X) : Ω → R die Zufallsvariable mit f (X)(ω) = f (X(ω)). Es gilt:
X
E(f (X)) =
y Pr[f (X) = y]
y
=
X
x
=
X
y
X
Pr[X = x]
y=f (x)
f (x)Pr[X = x]
x
Dies ermöglicht die Bestimmung des Erwartungswertes von f (X), ohne die
Dichte von f (X) explizit zu bestimmen. Wir wenden das folgende Korollar in
Abschnitt ?? mit der konvexen Funktion 2x an, um die mittlere Höhe binärer
Suchbäume zu berechnen.
Korollar 1.5. Sei f : R → R eine konvexe Funktion und X eine Zufallsvariable
auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt:
f (E [X]) ≤ E [f (X)]
9
Abschnitt 1.3 Das Geburtstagsparadoxon
Beweis: Es sei X : Ω → R die Zufallsvariable. Wir können annehmen, dass
X(Ω) = {x1 , . . . , xk } mit Pr[X = xi ] = λi gilt. Nach der Jensen’schen Ungleichung gilt:
!
k
k
X
X
f (E [X]) = f
λ i xi ≤
λi f (xi ) = E [f (X)]
i=1
i=1
Bemerkung 1.6. Die Erfahrung lehrt, dass man sich zwar gut merken kann,
dass für konvexe Funktionen f eine Ungleichung zwischen den Werten f (E [X])
und E [f (X)] besteht, aber dass man sich weniger gut die Richtung der Ungleichung merken kann. Gilt f (E [X]) ≤ E [f (X)] oder f (E[X]) ≥ E [f (X)]? Hier
hilft die Erinnerung an die Varianz; diese ist durch E X 2 − E [X]2 definiert, sie
ist positiv und x 7→ x2 ist eine konvexe Funktion. Also gilt f (E [X]) ≤ E [f (X)].
1.3
Das Geburtstagsparadoxon
Eine Kurvendiskussion der Funktion (1 + x) − ex ergibt, dass (1 + x) ≤ ex für
alle x mit Gleichheit nur bei x = 0 gilt (siehe Übungsaufgabe ??). Falls x nahe
bei Null ist, erhalten wir eine durchaus brauchbare Abschätzung. Diese wichtige
Technik erklärt das Geburtstagsparadoxon:
Sind mehr als 23 Personen auf einer Party, so ist die Wahrscheinlichkeit größer als 1/2, dass zwei Gäste am gleichen Tag Geburtstag
haben.
Das Beiwort Paradoxon kommt daher, dass die Zahl 23 bei maximal 366 möglichen Geburtstagen pro Jahr auf den ersten Blick viel zu klein erscheint, um
diese Wahrscheinlichkeit vorherzusagen. Aber schauen wir es uns genauer an.
Angenommen, wir haben n mögliche Geburtstage und m Gäste. Stellen wir die
Gäste in eine Reihe und jeder nennt seinen Geburtstag, so erhalten wir eine
Zufallsfolge (na ja, wenigstens so halbwegs). Die Wahrscheinlichkeit, dass die
ersten i + 1 Folgenglieder alle verschieden sind, ist dann:
n−i
1
i
n n−1
·
···
=1· 1−
··· 1 −
n
n
n
n
n
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle m Geburtstage verschieden sind, ist daher:
m−1
Y
i=0
i
1−
n
Haben wir bisher einen Fehler gemacht? Nun, die Annahme einer Zufallsfolge
bedeutet eine Gleichverteilung, von der die Realität womöglich abweicht. Es
10
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
ist jedoch intuitiv klar, dass wir auf der sicheren Seite sind (wenn sich die
Wahrscheinlichkeit bei gewissen Tagen häuft, dann wird es leichter, eine Übereinstimmung zu erreichen). Außerdem werden wir den Ausdruck jetzt noch
vergrößern. Im nächsten Schritt verwenden wir die oben erwähnte Ungleichung
(1 + x) ≤ ex . Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass alle Geburtstage
verschieden sind, folgende Abschätzung
m−1
Y
i=0
i
1−
n
≤
m−1
Y
i
e− n = e−
Pm−1
i=0
i
n
= e−
m(m−1)
2n
i=0
√
Der Grenzwert 1/2 wird also spätestens im Bereich von m = 2n ln 2 unterschritten. Für n = 365 (oder 366) ist dies 23. Experimente auf Geburtstagsfeiern
und in Vorlesungen bestätigen diesen Wert sehr gut.
Aufgaben
1.1. Ein Jäger hat die Treffsicherheit 1/2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass er bei 10 Schüssen mindestens 3 Treffer landet?
1.2. Eine Familie hat vier Kinder. Gehen Sie davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen bei 0, 5 liegt, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
(a)
(b)
(c)
(d)
die Familie genau ein Mädchen hat,
das erste und zweite Kind ein Junge ist,
mindestens zwei Kinder männlich sind,
alle Kinder weiblich sind.
1.3. Seien m, n ∈ N mit n < m. Alice und Bob denken sich jeweils unabhängig
voneinander eine Zahl aus der Menge M = {1, 2, . . . , m} aus. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Zahlen höchstens um n unterscheiden?
Bestimmen Sie hierzu die Mächtigkeit der Menge
{ (a, b) | a, b ∈ M und |a − b| ≤ n }
1.4. Wir wollen eine Folge von unterschiedlichen Zahlen a = (a1 , . . . , an )
mittels Quicksort sortieren. Hierfür wählen wir ein zufälliges Pivotelement ai
und bilden die Teilsequenzen a0 = (ai1 , . . . , aik ) und a00 = (aj1 , . . . , aj` ) mit
• ais < ai < ajt für alle 1 ≤ s ≤ k und alle 1 ≤ t ≤ `,
• i1 < · · · < ik und j1 < · · · < j` und k + ` + 1 = n.
Aufgaben
11
Dies ist mit n − 1 Vergleichen möglich („pivotieren“). Danach werden a0 und a00
rekursiv sortiert zu b0 und b00 . Hieraus ergibt sich durch (b0 , ai , b00 ) die Sortierung
von a. Die Rekursion bricht ab, wenn n = 0 gilt. Wieviele Vergleiche benötigt
Quicksort im Durchschnitt?
1.5. Sei wieder a = (a1 , . . . , an ) eine Folge unterschiedlicher Zahlen. Wir
wollen das k -t größte Element bestimmen, ohne vorher die Folge zu sortieren.
Wir gehen dafür ähnlich wie bei Quicksort aus Aufgabe 1.4 vor. Wir wählen
zufällig ein Pivotelement p und bilden damit erneut die beiden Teilsequenzen der
Elemente, die kleiner bzw. größer als p sind. Wir können gleichzeitig die Anzahl
der Elemente in der vorderen Teilsequenz festhalten und dann entscheiden, ob
wir das gesuchte Element bereits mit p gefunden haben oder in welcher der
beiden Listen das gesuchte Element zu bestimmen ist. Die Prozedur nennt
man Quickselect. Zeigen Sie, dass die mittlere Zahl der Vergleiche Q(n) bei
Quickselect durch 2(1 + ln 2)n begrenzt werden kann.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Folge a aus den Zahlen 1, . . . , n besteht
und dass die Position des Elements k bestimmt werden soll. Bezeichnet π eine
Reihenfolge der Pivotelemente, so benutzen Sie die 0-1-wertigen Zufallsvariablen
Xij (π) = „i wird mit j verglichen“ . Unterscheiden Sie drei Fälle, je nachdem
wie k zu i und j steht.
Pn 1
1.6. Sei n ≥ 1 und Hn =
k=1 k . Gegeben sei eine Zufallsvariable X :
Ω → {1, . . . , n} mit der Zipf-Verteilung Pr[X = k] = (Hn · k)−1 . Sie ist nach
George Kingsley Zipf (1902–1950) benannt, der empirisch feststellte, dass in
natürlichsprachlichen Texten das k -t häufigste Wort mit einer Wahrscheinlichkeit
proportional zu 1/k auftritt. Berechnen Sie die Asymptotik des Erwartungswerts
und der Standardabweichung von X .
12
Kapitel 1
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zusammenfassung
Begriffe
•
•
•
•
•
•
(diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum Ω
Gleichverteilung
Wahrscheinlichkeit Pr[A]
Zufallsvariable X
Erwartungswert E [X]
diskrete Dichte fX
•
•
•
•
•
•
Verteilung FX
unabhängige Zufallsvariablen
Varianz Var[X]
Bernoulli-Experiment
Standardabweichung σX
konvexe Funktion
Methoden und Resultate
Ω endlich, gleichverteilt ⇒ Pr[A] =
P
• E [X] =
ω∈Ω X(ω)Pr[ω]
•
|A|
|Ω|
•
Ω endlich, gleichverteilt ⇒ E [X] =
•
Markov-Ungleichung: X ≥ 0, E [X] > 0, λ > 0 ⇒ Pr X ≥ λE [X] ≤
P
ω
X(ω) / |Ω|
1
λ
Linearität des Erwartungswertes: E [aX + bY ] = aE [X] + bE [Y ]
P
P
• E [X] =
x x fX (x)
x x Pr[X = x] =
•
X, Y unabhängig ⇒ E [XY ] = E [X] E [Y ]
2
• Var[X] = E (X − E [X])2 = E X 2 − E [X] ≥ 0
p
• σX =
Var[X]
• Tschebyschev-Ungleichung: Für λ > 0 gilt Pr |X − E [X]| ≥ λ σX ≤
•
1
λ2
•
X, Y unabhängig ⇒ Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]
•
Jensen’sche Ungleichung: f : R → R konvex, λi ∈ [0, 1],
Pk
Pk
f
i=1 λi xi ≤
i=1 λi f (xi )
•
Ω endlich, f konvex ⇒ f (E [X]) ≤ E [f (X)]
•
Geburtstagsparadoxon:
Für zufällige Folgen von m Ereignissen aus Ω mit
p
m ≥ 2 |Ω| ln 2 ist Pr[zwei gleiche Folgenglieder] > 1/2.
Pk
i=1 λi
=1 ⇒