Grundlagen Mathematik

Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
6. Komplexe Zahlen
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Hyperbel-Funktionen
Sinus hyperbolicus
sinh(x) :=
e x − e −x
2
cosh(x) :=
e x + e −x
2
Kosinus hyperbolicus
hyperbolischer Pythagoras
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
Tangens hyperbolicus
tanh(x) :=
sinh(x)
e x − e −x
= x
cosh(x)
e + e −x
Kotangens hyperbolicus
coth(x) :=
G. Matthies
cosh(x)
e x + e −x
= x
sinh(x)
e − e −x
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Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen I
y
4
cosh(x)
2
x
−3
−2
sinh(x)
−1
1
2
3
−2
−4
G. Matthies
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Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen II
3 y
2
coth(x)
1
tanh(x)
−3
−2
−1
1
2
x
3
−1
−2
−3
G. Matthies
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Areafunktionen
Areafunktionen = Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
p
arsinh : R → R,
x 7→ ln x + x 2 + 1
arcosh : [1, ∞) → [0, ∞),
artanh : (−1, 1) → R,
p
x 7→ ln x + x 2 − 1
1+x
1−x
r
x +1
x −1
x 7→ ln
arcoth : R \ [−1, 1] → R \ {0}, x 7→ ln
G. Matthies
r
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Motivation
Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x 2 ≥ 0 gilt, hat die
Gleichung x 2 = −1 keine (reellen) Lösungen.
Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass die
Gleichung x 2 + 1 = 0 eine Lösung hat?
Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu.
So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division von
den ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen.
Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für die
i 2 = −1
gilt.
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Komplexe Zahlen
Definition
Die Menge der komplexen Zahlen ist durch
C := z = a + bi : a, b ∈ R
definiert.
Bemerkung
Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der
„Variablen“ i betrachtet werden.
Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich eindeutig in der Form
z = a + bi
mit reellen Zahlen a, b schreiben.
Beispiel für komplexe Zahlen
√
2 + 2i,
2 − 4i,
G. Matthies
1
− + πi
3
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Real- und Imaginärteil
Definition
Sei z = a +bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil von
z und b Imaginärteil von z. Wir schreiben: a = Re z und b = Im z.
Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten der
komplexen Zahl z. Die Darstellung z = a + bi wird als kartesische
Koordinatendarstellung bezeichnet.
ACHTUNG: Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl.
Folgerung
Zwei komplexe Zahlen z = a + bi und w = c + di sind genau dann
gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen,
d. h., wenn
a = c und b = d
gilt.
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Komplexe Konjugation und Betrag
Definition
Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahl
z := a − bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen
p
|z| := a2 + b 2
den Betrag der komplexen Zahl z.
Bemerkung
Der Betrag von z=a + bi entspricht der Länge des zweidimena
sionalen Vektors
.
b
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Gaußsche Zahlenebene
Im
w = c + di d
b
z = a + bi
Re
c
a
−b
z = a − bi
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Polarkoordinatenform
b Im
ϕw
z = a + bi
|z|
ϕz
c
Re
a
|w |
d
w = c + di
Bemerkung
Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag |z|
und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und der
Verbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form
z = |z| cos(ϕ) + i sin(ϕ) ,
ϕ ∈ [0, 2π),
darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln I
z = a + bi = r cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Im
z = a + bi
b
r
ϕ
Gegeben: r , ϕ
Gesucht: a, b
Umrechnung:
a = r cos ϕ
b = r sin ϕ
G. Matthies
·
a
Re
Gegeben: a, b
Gesucht: r , ϕ
Umrechnung:
√
r = a2 + b 2
b
r sin ϕ
=
= tan ϕ
a
r cos ϕ
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tan ϕ =
ϕ=


arctan









b
a
√
b
, r = a2 + b 2
a
für a > 0, b ≥ 0










G. Matthies
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tan ϕ =
ϕ=


arctan





π



2
b
a
√
b
, r = a2 + b 2
a
für a > 0, b ≥ 0
für a = 0, b > 0










G. Matthies
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13/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tan ϕ =


arctan ba





π



2
ϕ = π + arctan ba










G. Matthies
√
b
, r = a2 + b 2
a
für a > 0, b ≥ 0
für a = 0, b > 0
für a < 0
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tan ϕ =


arctan ba





π



2
ϕ = π + arctan ba




3


2π




G. Matthies
√
b
, r = a2 + b 2
a
für a > 0, b ≥ 0
für a = 0, b > 0
für a < 0
für a = 0, b < 0
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tan ϕ =


arctan ba





π



2
ϕ = π + arctan ba




3


2π




2π + arctan ba
G. Matthies
√
b
, r = a2 + b 2
a
für a > 0, b ≥ 0
für a = 0, b > 0
für a < 0
für a = 0, b < 0
für a > 0, b < 0
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Grundrechenarten
Satz
Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Dann
gelten die Rechenregeln
• Summe: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Differenz: z − w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
• Produkt: zw = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi 2
= (ac − bd) + (bc + ad)i
z
a + bi
(a + bi)(c − di)
zw
• Quotient:
=
=
=
w
c + di
(c + di)(c − di)
ww
(ac + bd) + (bc − ad)i
=
c2 + d2
für w 6= 0 + 0i
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Rechengesetze I
Bemerkung
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Addition und Substraktion von zweidimensionalen Vektoren.
Satz
Für komplexe Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen.
Bemerkung
Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellen
lässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der die
reellen Zahlen enthält. Statt a + 0i schreiben wir weiterhin a.
G. Matthies
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Rechengesetze II
Bemerkung
Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >.
Nur Gleichheit kann festgestellt werden.
Bemerkung
Bei der Division komplexer Zahlen wird mit dem konjugierten
Komplement des Nenners erweitert.
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Rechenregeln I
Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln
• z +w =z +w
• z −w =z −w
• zw = z w
• z n = z n , n ∈ N0
z
z
•
=
, falls w 6= 0
w
w
• z + z = 2 Re z
• z − z = 2i Im z
• z =z
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Rechenregeln II
Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln
• z z = |z|2 = |z|2
• Dreiecksungleichung: |z + w | ≤ |z| + |w |
• |zw | = |z| |w |
z |z|
, falls w 6= 0
=
w
|w |
• z n = |z|n , n ∈ N0
• G. Matthies
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Illustration von Multiplikation und Division
Im
2
w = −1 + i
z = 2 + 2i
1
zw = −4
−5
−4
−3
Re
−2
−1
1
−1
−2
2
3
z
= −2i
w
Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziert
und Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert und
die Winkel subtrahiert.
G. Matthies
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Komplexe Exponentialfunktion I
Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären
n-tes Taylor-Polynom der Exponentialfunktion
x2 x3
xn
Tnexp (x) = 1 + x +
+
+ ··· +
2
3!
n!
Einsetzen von x = iϕ
(iϕ)2 (iϕ)3
(iϕ)n
Tnexp (iϕ) = 1 + iϕ +
+
+ ··· +
2
3!
n!
ϕn
ϕ2
ϕ3 ϕ4
ϕ5
= 1 + iϕ −
−i
+
+i
− · · · + in
2
3! 4! 5!
n! ϕ3 ϕ5
ϕ2 ϕ4
+
− ... + i ϕ −
+
− ...
= 1−
2
4!
3!
5!
= Tncos (ϕ) + iTnsin (ϕ)
Idee: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
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Komplexe Exponentialfunktion II
Definition
Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann legen wir
e z := e a (cos b + i sin b) ∈ C
als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest.
Bemerkung
Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponentialfunktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, da
für b = 0 der Klammerausdruck 1 wird.
Satz
Seien z, w zwei komplexe Zahlen. Dann gilt
e z+w = e z e w ,
also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.
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Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
Für z = iϕ mit ϕ ∈ R erhalten wir
e z = e iϕ = e 0 (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ
und
iϕ q
e = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1.
Weiterhin gilt
e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ + 2πk) + i sin(ϕ + 2πk)
= cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ
für alle k ∈ Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, im
Gegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv.
Schönste Gleichung der Mathematik
e iπ + 1 = 0
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Exponentialform
Satz
Für alle ϕ ∈ R sind die Zusammenhänge
e iϕ = e −iϕ ,
1
cosh(iϕ) = e iϕ + e −iϕ = cos(ϕ),
2
1 iϕ
sinh(iϕ) = e − e −iϕ = i sin(ϕ),
2
erfüllt.
Satz
Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form
z = r e iϕ
mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialform
bezeichnet wird. Dabei ist r der Betrag von z und ϕ wird als
Winkel oder Argument der komplexen Zahl z bezeichnet.
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Multiplikation und Division
Seien z1 = r1 e iϕ1 und z2 = r2 e iϕ2 zwei komplexe Zahlen in Exponentialform. Dann haben wir
z1 z2 = r1 e iϕ1 r2 e iϕ2 = r1 r2 e i(ϕ1 +ϕ2 )
und
r1 e iϕ1
r1
z1
=
= e i(ϕ1 −ϕ2 ) ,
iϕ
z2
r2 e 2
r2
d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert
(dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert).
Weiterhin gilt
n
z n = r e iϕ = r n e i nϕ
für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n ∈ N0 .
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Wurzeln komplexer Zahlen
Satz
Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung z n = 1 genau
n verschiedene komplexe Lösungen, die durch
zk = e
2kπ
i
n
,
k = 0, . . . , n − 1,
gegeben sind. Insbesondere ist z0 = 1.
Satz
Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedene
komplexe Zahl, d. h. r 6= 0. Dann hat die Gleichung w n = z genau
n verschiedene komplexe Lösungen, die durch
√
ϕ
2kπ
w = n r e ( n + n )i ,
k = 0, . . . , n − 1,
k
gegeben sind.
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Fundamentalsatz der Algebra
Satz
Seien n eine natürliche Zahl und
p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n ,
an 6= 0,
ein Polynom von Grad n mit komplexen Koeffizienten a0 , . . . , an .
Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen
z1 , . . . , zn ∈ C derart, dass
p(x) = an (x − z1 )(x − z2 ) . . . (x − zn )
für alle x ∈ C erfüllt ist. Damit sind z1 , . . . , zn die Nullstellen des
Polynoms p.
Beispiel
2x 3 − 2x 2 + 8x − 8 = 2(x − 1)(x 2 + 4)
= 2(x − 1)(x − 2i)(x + 2i)
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