Mathematik 1 - für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
A: 1 Pause
B: 2 Pausen
Mathematik 1: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Aussagenlogik
4
Komplexe Zahlen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
2
Grundlegende Werkzeuge
Notation von Summen
Binomische Formel
Doppelsummen
Grundbegriffe der Logik
Grundlegendes über Mengen
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Summenzeichen
Oft sinnvoll: Abkürzen
P von längeren Summen durch das
Summenzeichen
(Großes griechisches Sigma)
Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 =
6
X
1. Grundlegende
Bausteine
Ni
i=1
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
Sprechweise: „Summe von i gleich 1 bis 6 über Ni “
Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.B.
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
q
X
4. Komplexe Zahlen
ai = ap + ap+1 + . . . + aq
i=p
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.B.
8
X
i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82
i=3
24
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Summenzeichen
Rechenregeln für das Summenzeichen
n
X
i=1
(ai + bi ) =
n
X
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
c · ai = c
n
X
Additivität
bi
i=1
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
Homogenität
ai
i=1
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Damit leicht zu zeigen (Setze µx =
n
X
i=1
n
X
2.5. Grundlegendes über
Mengen
n
P
ai ):
i=1
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
(ai − µx ) = 0
2
(ai − µx ) =
i=1
1
n
n
X
i=1
a2i
!
− n · µ2x
25
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Produktzeichen
Analog zum Summenzeichen:
Q
Das Produktzeichen
n
Y
i=1
ai = a1 · a2 · . . . · an ·
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Zum Beispiel:
2.5. Grundlegendes über
Mengen
2
Y
i=1
x + (−1)i = (x − 1)(x + 1)
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Spezielle Abkürzung:
n
Y
i=1
i = 1 · 2 · . . . · n = n!
„n Fakultät“
26
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Binomialkoeffizient
Man definiert den Binomialkoeffizienten als:
m
Y
m
=
k
i
i=(m−k+1)
k
Y
j
m!
=
k! · (m − k)!
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
j=1
2.4. Grundbegriffe der Logik
Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also:
Beispiel:
Rechenregeln:
m
m
=
k
m−k
m
0
2.5. Grundlegendes über
Mengen
=1
5
5·4
=
= 10
2
1·2
und
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
m+1
m
m
=
+
k+1
k
k+1
27
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Binomische Formel
Newtons binomische Formel
m m
m m−1
a +
a
b + ···
0
1
m
m m
+
abm−1 +
b
m−1
m
(a + b)m =
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
Kurzform:
4. Komplexe Zahlen
(a + b)m =
m
X
k=0
m m−k k
a
b
k
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Zum Beispiel:
(x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
28
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Doppelsummen
Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m
Zeilen
Einzelne Einträge: aij mit i ∈ 1, . . . , m und j ∈ 1, . . . , n
Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
m
X
i=1
ai1 +
m
X
ai2 + . . . +
i=1
m
X
ain =
i=1
n
m
X
X
j=1
i=1
aij
!
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Es gilt:
6. Lineare Programme
m X
n
X
i=1 j=1
aij =
n X
m
X
aij
j=1 i=1
29
Sätze, Implikation und Äquivalenz
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Satz: Aussage, die als wahr oder falsch nachgewiesen werden
kann
Implikation: Wenn Aussage A wahr ist muss Aussage B wahr
sein. Andernfalls ist Implikation falsch. Schreibweise:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
A⇒B
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
Gilt A ⇒ B sagt man auch:
3. Aussagenlogik
A ist eine hinreichende Bedingung für B
B ist eine notwendige Bedingung für A
Äquivalenz: Gilt A ⇒ B und B ⇒ A gleichzeitig,
sind A und B äquivalent:
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
A⇔B
30
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Gleichungen und Äquivalenz
Warum Äquivalenzumformungen bei Gleichungen?
Gegeben: Kette von Äquivalenzumformungen
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
f(x) = 0
⇔
...
⇔
Ersetzen von „⇔“ durch „⇒“?
Bedeutung: Lösungsmenge ⊂ {1, 17}
Ersetzen von „⇔“ durch „⇐“?
Bedeutung: Lösungsmenge ⊃ {1, 17}
x = 1 ∨ x = 17
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
31
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Mengen und Elemente
Menge: Sammlung von Elementen
Aufzählung in geschweiften Klammern. Zum Beispiel
Menge E:
E = {Fisch, Nudeln, Huhn, Eis}
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von
A auch in B ist und andersherum, also:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
{a, 1, 4} = {4, 1, a}
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
Darstellung von Mengen durch Beschreibung der Elemente,
z.B.
M = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Zugehörigkeit zu einer Menge:
x∈A
x ist ein Element der Menge A
32
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Teilmengen und Verknüpfungen
Teilmengen
Ist Jedes Element einer Menge A auch Element der Menge B,
so heißt A Teilmenge von B
A⊂B
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
Damit gilt:
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
A=B
⇔
A ⊂ B und B ⊂ A
Mengenverknüpfungen
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Notation
A∪B
A∩B
A\B
Sprechweise
Die resultierende Menge besteht
aus den Elementen, die
Vereinigungsmenge von A
und B
mindestens zu A oder B gehören
Schnittmenge von A und B
sowohl in A als auch in B liegen
A ohne B
zu A, aber nicht zu B gehören
6. Lineare Programme
33
Mathematik 1: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Aussagenlogik
4
Komplexe Zahlen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
3
Aussagenlogik
Einführung
Aussagenverknüpfungen
Argumentationstechniken
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Warum beschäftigen wir uns mit der Aussagenlogik?
zahlreiche „Aussagen“ aus der Vorlesung erforden
grundlegendes Verständnis der Aussagenlogik
Grundlage der mathematischen Beweisführung
Hilfreich zum Erlernen von Programmiersprachen
Wesentliche Lernziele
Kenntniss der relevanten Begriffe wie Definition, Axiom, Satz
und Beweis
Verständnis der wesentlichen aussagenlogischen Operatoren
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Auswertung logischer Aussagen hinsichtlich der
Eigenschaften „wahr“ oder „falsch“
Beherrschung grundlegender Beweistechniken wie dem
direkten und indirekten Beweis sowie der vollständigen
Induktion
35
Beispiel
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Aussagen eines Politikers zur Wahl
1. Grundlegende
Bausteine
Die Vollbeschäftigung wird erhalten
oder die Steuern dürfen nicht erhöht
werden.
Wenn sich Politiker um die Bevölkerung
kümmern, müssen die Steuern
angehoben werden.
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Die Politiker kümmern sich um die
Bevölkerung oder die Vollbeschäftigung
kann nicht erhalten werden.
Es stimmt nicht, dass die Erhaltung der
Vollbeschäftigung eine Steuererhöhung
zur Folge haben muss.
Hat sich der Politiker widersprochen?
36
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Begriffe
Axiom: Grundsachverhalt als Ausgangspunkt, wird nicht bewiesen
Definition: Sachverhalt, wird durch neuen Begriff beschrieben, bezieht sich
auf bereits Definiertes oder auf Axiome
Aussage (math. Satz): Formulierung auf Basis bisherigen Wissens, wird als
wahr oder falsch identifiziert.
Aussagenverknüpfungen: Negation (A), Konjunktion (A ∧ B), Disjunktion
(A ∨ B), Implikation (A ⇒ B), Äquivalenz (A ⇔ B)
Tautologie: Verknüpfte, stets wahre Aussage
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
Kontradiktion: Verknüpfte, stets falsche Aussage
5. Lineare Algebra
Allaussage:
A(1) ∧ A(2) . . .
1. Grundlegende
Bausteine
6. Lineare Programme
=
^
A(x) (für x = 1,2, . . .)
=
∀ x : A(x)
A(x) (für x = 1,2, . . .)
=
∃ x : A(x)
x
Existenzaussage:
A(1) ∨ A(2) . . .
=
_
x
37
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Aussagenverknüpfungen
Wahrheitswerte aller möglichen Verknüpfungen der
Aussagen A und B
A
B
w
w
w
f
f
w
f
f
1)
2)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
w
f
f
w
w
w
f
w
f
f
f
w
f
f
f
w
f
f
w
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
f
w
w
w
f
f
f
w
w
f
w
w
1. Grundlegende
Bausteine
Verknüpfung ist stets wahr
Verknüpfung ist stets falsch
Verknüpfung ist stets falsch
Disjunktion A ∨ B
Implikation B ⇒ A
Implikation A ⇒ B
Negierte Konjunktion A ∧ B
Konjunktion A ∧ B
Negierte Implikation A ⇒ B
Negierte Implikation B ⇒ A
Negierte Disjunktion A ∨ B
Äquivalenz A ⇐⇒ B
Negierte Äquivalenz A ⇐⇒ B
Negation B
Negation A
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
38
Beispiel
Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit
vertriebenen Markterzeugnisses P in zwei Handelszonen:
A: „ Das Produkt P hat in der Europäischen Union (EU) einen
Marktanteil von mehr als 25 %“
B: „ Das Produkt P hat in Nordamerika (NA) einen Marktanteil von
mehr als 25 %“
Mathematik 1
Stefan Etschberger
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
39
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel
Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit
vertriebenen Markterzeugnisses P in zwei Handelszonen:
A: „ Das Produkt P hat in der Europäischen Union (EU) einen
Marktanteil von mehr als 25 %“
B: „ Das Produkt P hat in Nordamerika (NA) einen Marktanteil von
mehr als 25 %“
Abgeleitete Aussagen:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
A: Der Marktanteil von P in der EU beträgt höchstens 25%.
A ∧ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU und in NA mehr als 25%.
A ∨ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU oder in NA mehr als 25%.
A ⇒ B: Wenn der Marktanteil von P in der EU mehr als 25% beträgt, so liegt er
6. Lineare Programme
auch in NA über 25 %.
A ⇔ B:
der Marktanteil von P in der EU beträgt genau dann mehr als 25%, wenn
er auch in NA über 25 % liegt.
39
Beispiel
Ausgangspunkt: Aussage A mit
A: „ Der Gewinn einer Unternehmung ist gleich dem Umsatz
abzüglich der Kosten.“
Daraus abgeleitet:
Mathematik 1
Stefan Etschberger
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
A1 : Die Kosten wachsen.
A2 : Der Umsatz wächst.
A3 : Der Gewinn wächst.
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Dann ist die folgende Implikation wahr:
A1 ∧ A2 ⇒ A3 :
40
Beispiel
Ausgangspunkt: Aussage A mit
A: „ Der Gewinn einer Unternehmung ist gleich dem Umsatz
abzüglich der Kosten.“
Daraus abgeleitet:
Mathematik 1
Stefan Etschberger
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
3.2. Aussagenverknüpfungen
A1 : Die Kosten wachsen.
A2 : Der Umsatz wächst.
A3 : Der Gewinn wächst.
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Dann ist die folgende Implikation wahr:
A1 ∧ A2 ⇒ A3 : „Wenn der Umsatz bei nicht steigenden
Kosten wächst, so wächst auch der Gewinn.“
40
Mathematik 1
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Argumentationstechniken
Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B (analog Äquivalenz A ⇔ B):
A ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ B
1. Grundlegende
Bausteine
Beweis von A 6⇒ B durch Gegenbeispiel
2. Grundlegende
Werkzeuge
Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen
3. Aussagenlogik
Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n
(oft n = 0 oder n = 1 )
Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist
Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass
die Aussage auch für n + 1 gültig ist
Beispiel (vollst. Induktion): A(n) =
n
P
Ind.-Anfang: n = 1 :
i=1
=
i=1
Ind.-Schluss:
n+1
n
P
P
i=
i + (n + 1) =
i=1
i=1
(n+1)(n+2)
2
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
i=
i=1
1
P
3.1. Einführung
n(n+1)
2
n(n+1)
2
1·2
2
;n ∈ N
=1
+ (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)
2
=
41
Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung
Gewinn
=
Umsatz − Kosten
Daraus:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein
B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich
Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A .
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A:
42
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel
Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung
Gewinn
=
Umsatz − Kosten
Daraus:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein
B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich
Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A .
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A:
Für zwei Produkte gegeben:
Umsätze u1 = 2, u2 = 5
Kosten c1 = 1, c2 = 4
Dann ist g1 = u1 − c1 = 2 − 1
u1 6= u2 , c1 6= c2 .
=1=
u2 − c2 = 5 − 4 = g2 , aber
42