Mathematik 1 - für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Mathematik 1: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Aussagenlogik
4
Komplexe Zahlen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
2
Grundlegende Werkzeuge
Notation von Summen
Binomische Formel
Doppelsummen
Grundbegriffe der Logik
Grundlegendes über Mengen
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Summenzeichen
Oft sinnvoll: Abkürzen
P von längeren Summen durch das
Summenzeichen
(Großes griechisches Sigma)
Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 =
6
X
1. Grundlegende
Bausteine
Ni
i=1
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
Sprechweise: „Summe von i gleich 1 bis 6 über Ni “
Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.B.
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
q
X
4. Komplexe Zahlen
ai = ap + ap+1 + . . . + aq
i=p
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.B.
8
X
i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82
i=3
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Mathematik 1
Stefan Etschberger
Summenzeichen
Rechenregeln für das Summenzeichen
n
X
i=1
(ai + bi ) =
n
X
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
c · ai = c
n
X
Additivität
bi
i=1
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
Homogenität
ai
i=1
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Damit leicht zu zeigen (Setze µx =
n
X
i=1
n
X
2.5. Grundlegendes über
Mengen
n
P
ai ):
i=1
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
(ai − µx ) = 0
2
(ai − µx ) =
i=1
1
n
n
X
i=1
a2i
!
− n · µ2x
25
Mathematik 1
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Produktzeichen
Analog zum Summenzeichen:
Q
Das Produktzeichen
n
Y
i=1
ai = a1 · a2 · . . . · an ·
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
Zum Beispiel:
2.5. Grundlegendes über
Mengen
2
Y
i=1
x + (−1)i = (x − 1)(x + 1)
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Spezielle Abkürzung:
n
Y
i=1
i = 1 · 2 · . . . · n = n!
„n Fakultät“
26
Mathematik 1
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Binomialkoeffizient
Man definiert den Binomialkoeffizienten als:
m
Y
m
=
k
i
i=(m−k+1)
k
Y
j
m!
=
k! · (m − k)!
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
j=1
2.4. Grundbegriffe der Logik
Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also:
Beispiel:
Rechenregeln:
m
m
=
k
m−k
m
0
2.5. Grundlegendes über
Mengen
=1
5
5·4
=
= 10
2
1·2
und
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
m+1
m
m
=
+
k+1
k
k+1
27
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Binomische Formel
Newtons binomische Formel
m m
m m−1
a +
a
b + ···
0
1
m
m m
+
abm−1 +
b
m−1
m
(a + b)m =
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
Kurzform:
4. Komplexe Zahlen
(a + b)m =
m
X
k=0
m m−k k
a
b
k
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Zum Beispiel:
(x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
28
Mathematik 1
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Doppelsummen
Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m
Zeilen
Einzelne Einträge: aij mit i ∈ 1, . . . , m und j ∈ 1, . . . , n
Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
m
X
i=1
ai1 +
m
X
ai2 + . . . +
i=1
m
X
ain =
i=1
n
m
X
X
j=1
i=1
aij
!
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Es gilt:
6. Lineare Programme
m X
n
X
i=1 j=1
aij =
n X
m
X
aij
j=1 i=1
29
Sätze, Implikation und Äquivalenz
Mathematik 1
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Satz: Aussage, die als wahr oder falsch nachgewiesen werden
kann
Implikation: Wenn Aussage A wahr ist muss Aussage B wahr
sein. Andernfalls ist Implikation falsch. Schreibweise:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
A⇒B
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
Gilt A ⇒ B sagt man auch:
3. Aussagenlogik
A ist eine hinreichende Bedingung für B
B ist eine notwendige Bedingung für A
Äquivalenz: Gilt A ⇒ B und B ⇒ A gleichzeitig,
sind A und B äquivalent:
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
A⇔B
30
Mathematik 1
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Gleichungen und Äquivalenz
Warum Äquivalenzumformungen bei Gleichungen?
Gegeben: Kette von Äquivalenzumformungen
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
f(x) = 0
⇔
...
⇔
Ersetzen von „⇔“ durch „⇒“?
Bedeutung: Lösungsmenge ⊂ {1, 17}
Ersetzen von „⇔“ durch „⇐“?
Bedeutung: Lösungsmenge ⊃ {1, 17}
x = 1 ∨ x = 17
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
31
Mathematik 1
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Mengen und Elemente
Menge: Sammlung von Elementen
Aufzählung in geschweiften Klammern. Zum Beispiel
Menge E:
E = {Fisch, Nudeln, Huhn, Eis}
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von
A auch in B ist und andersherum, also:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
{a, 1, 4} = {4, 1, a}
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
Darstellung von Mengen durch Beschreibung der Elemente,
z.B.
M = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Zugehörigkeit zu einer Menge:
x∈A
x ist ein Element der Menge A
32
Mathematik 1
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Teilmengen und Verknüpfungen
Teilmengen
Ist Jedes Element einer Menge A auch Element der Menge B,
so heißt A Teilmenge von B
A⊂B
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
2.1. Notation von Summen
2.2. Binomische Formel
Damit gilt:
2.3. Doppelsummen
2.4. Grundbegriffe der Logik
A=B
⇔
A ⊂ B und B ⊂ A
Mengenverknüpfungen
2.5. Grundlegendes über
Mengen
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Notation
A∪B
A∩B
A\B
Sprechweise
Die resultierende Menge besteht
aus den Elementen, die
Vereinigungsmenge von A
und B
mindestens zu A oder B gehören
Schnittmenge von A und B
sowohl in A als auch in B liegen
A ohne B
zu A, aber nicht zu B gehören
6. Lineare Programme
33