vemint - Universität Paderborn

VEMINT
Kurzskript zum Vorkurs
Version 5.0 - September 2013
c 2013 AG Multimedialer Vorkurs Mathematik / VEMINT-Projekt
Fachbereich 10, Institut für Mathematik – Universität Kassel
mail: [email protected]
web: http://www.vemint.de
II
Impressum
c 2013 AG Multimedialer Vorkurs Mathematik / VEMINT-Projekt
Fachbereich 10, Institut für Mathematik – Universität Kassel
Herausgeber und Projektleiter
Prof.
Prof.
Prof.
Prof.
Dr.
Dr.
Dr.
Dr.
Rolf Biehler (Universität Paderborn)
Regina Bruder (Technische Universität Darmstadt)
Reinhard Hochmuth (Leuphana Universität Lüneburg)
Wolfram Koepf (Universität Kassel)
Autoren Universität Kassel, Institut für Mathematik
Wissenschaftliche Mitarbeiter:
Dr. Pascal R. Fischer
Dr. Reinhard Gerhold (Servicecenter Lehre)
Hendrikje Schmidtpott-Schulz
apl. Prof. Dr. Walter Strampp
Studentische Hilfskräfte:
Carolin Keck
Christian Kördel
Ehemalige Mitarbeiter:
apl. Prof. Dr. Bernd Billhardt
Dr. Ruben Debeerst
Dr. Tobias Hofmann
Thomas Lange
Stefan Podworny
Dr. Torsten Sprenger
Dr. Stephan Schreiber
Dr. Stefanie Ucsnay
Thomas Wassong (bis Februar 2009 Kassel, dann Wechsel nach Paderborn)
Autoren TU Darmstadt, FB Mathematik (ab Oktober 2004)
Wissenschaftliche Mitarbeiter:
Isabell Bausch (Gestaltung der Kapitel 5.2 - 5.4 auf Basis ihrer Staatsexamensarbeit)
Renate Nitsch
Ehemalige Mitarbeiter:
Andreas Gärtner (Module Lokale Extrema und Wendepunkte“
”
und Kurvendiskussion“)
”
Prof. Dr. Burkhard Kümmerer (Beratung Kapitel 5: Analysis)
Dr. Werner Nickel
Walter Reußwig (Module Stetigkeit“ und Analysis kompakt“)
”
”
Autoren Universität Paderborn, Institut für Mathematik (ab März 2009)
Wissenschaftliche Mitarbeiter:
Silvia Becher
Leander Kempen
Jörg Kortemeyer
Janina Oesterhaus
Thomas Wassong
Studentische Hilfskräfte:
Jörg Jungermann
Tobias Mai
Ehemalige Mitarbeiter:
Julia Hellwig
Juliane Klemm
Alina Schneider
Autoren Leuphana Universität, Institut für Mathematik
Wissenschaftliche Mitarbeiter:
Dr. Giorgi Goguadze (ab Oktober 2012)
Dr. Stephan Schreiber
Inhaltsverzeichnis
1 Rechengesetze
1.1 Körperaxiome und Rechenregeln . . . . . . . . .
1.1.1 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Rechenregeln und Termumformungen . .
1.1.3 Elementare Gleichungen . . . . . . . . . .
1.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mengen von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . .
1.4 Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Stellenwertsystem . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Logik und Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Aussagen und Wahrheitswerte . . . . . .
1.5.2 Wenn-dann-Aussagen und Äquivalenzen .
1.5.3 Beweisstrategien, Methodik und Formalia
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2 Potenzen
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . .
2.1.1 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Die geometrische Folge und die geometrische Reihe
2.1.3 Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz
2.1.4 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Quadratwurzeln und rationale Exponenten . . . .
2.2.2 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .
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3 Funktionen
3.1 Lineare, quadratische und allgemeine Funktionen
3.1.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . .
3.1.3 Funktionen und ihre Eigenschaften . . . .
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4 Höhere Funktionen
4.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . .
4.1.2 Hornerschema . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Polynomdivision . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . .
4.2.1 Potenz- und Logarithmengesetze . . .
4.2.2 Die allgemeine Exponentialfunktion .
4.2.3 Die Exponentialfunktion zur Basis e .
4.2.4 Der natürliche Logarithmus . . . . . .
4.2.5 Allgemeine Potenzen und Logarithmen
4.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . .
4.3.1 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Zahl π, das Grad- und das Bogenmaß . .
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IV
INHALTSVERZEICHNIS
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
Winkelfunktionen an allgemeinen Dreiecken . . . . . . .
Winkelfunktionen am Einheitskreis . . . . . . . . . . . .
Funktionen periodischer Vorgänge . . . . . . . . . . . .
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5 Analysis
5.1 Analysis kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Analysis kompakt . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . .
5.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit . . . . . .
5.3.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . .
5.3.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Interpretation erster und höherer Ableitungen
5.4.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Lokale Extrema und Wendepunkte . . . . . .
5.5 Funktionsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Flächenberechnung und Integralbegriff . . . .
5.6.2 Integrale berechnen: Der Hauptsatz . . . . .
5.6.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Integration gebrochen-rationaler Funktionen .
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59
61
62
62
65
65
67
69
70
71
6 Vektorrechnung
6.1 Vektorrechnung . . . . . . . .
6.1.1 Vektoren . . . . . . .
6.1.2 Geraden und Ebenen .
6.1.3 Abstände und Winkel
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73
73
73
76
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7 Logik
7.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Aufbau der Aussagenlogik . . . . .
7.1.2 Negation . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Konjunktionen und Disjunktionen
7.1.4 Implikationen und Äquivalenzen .
7.2 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . .
7.3 Logische Schlussweisen . . . . . . . . . . .
7.3.1 Logische Schlussweisen . . . . . . .
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Kapitel 1
Rechengesetze
1.1
1.1.1
Körperaxiome und Rechenregeln
Binomische Formeln
Satz: Erste binomische Formel:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
oder
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
oder
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
oder
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Zweite binomische Formel:
Dritte binomische Formel:
Die erste Umformungsrichtung nennt man Ausmultiplizieren, die zweite Faktorisieren. Beide Anwendungen sind
legitim und können bei Umformungen zeitsparend eingesetzt werden. Die Symbole a und b können auch durch komplexere Terme ersetzt werden.
Definition: Die jeweils erste Umformungsrichtung im letzten Satz nennt man Ausmultiplizieren, die jeweils zweite
Faktorisieren.
1
2
1.1.2
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Rechenregeln und Termumformungen
Axiom: Die Rechenregeln der reellen Zahlen R kann man aus folgenden Grundrechenregeln ableiten:
(1) Assoziativgesetze:
Bei der Addition oder Multiplikation mehrerer Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge an, in der dies durchgeführt
wird:
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c .
und
(2) Kommutativgesetze:
a+b=b+a
a · b = b · a.
und
(3) Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c .
und
(4) Existenz neutraler Elemente:
Es gibt zwei besondere Elemente, welche auch neutrale Elemente genannt werden. Das ist bei der Addition die 0 und
bei der Multiplikation die 1:
a+0=a
a·1=a
und
für alle a ∈ R .
(5) Existenz inverser Elemente:
Ein Element, welches ein Element a wieder auf das neutrale Element zurückführt, nennt man inverses Element von a.
Bei der Addition ist −a das Inverse zu a, denn
a + (−a) = 0 .
Bei der Multiplikation ist
1
a
das Inverse zu a, denn
1
= 1.
a
Dies gilt allerdings nur für a 6= 0, für a = 0 gibt es kein inverses Element bezüglich der Multiplikation.
a·
Definition: Die Operationen Subtrahieren und Dividieren erklärt man durch die Operationen Addieren und
Multiplizieren. Es gilt:
a − b = a + (−b),
wobei −b das (additiv) Inverse von b ist.
Ebenso gilt für b 6= 0:
a:b=a·
wobei b−1 =
1
b
1
= a · b−1
b
das (multiplikativ) Inverse zu b ist.
Satz: a · b = 0 ist gleichbedeutend damit, dass einer der folgenden drei Fälle eintritt:
1.
2.
3.
a=0
a 6= 0
a=0
und
und
und
b 6= 0,
b = 0,
b = 0.
Ein Produkt ist also genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
a
b
=0
ist gleichbedeutend mit: a = 0
und
b 6= 0 .
1.1. KÖRPERAXIOME UND RECHENREGELN
3
Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
b 6= 0 muss für einen Bruch ab immer gelten, denn Division durch Null ist nicht erlaubt.
Regel: Es gelten folgende Vorzeichenregeln:
1.
−(−a) = a,
2.
−(a + b) = −a − b,
3.
−(a − b) = −a + b,
4.
(−a)b = a(−b) = −ab,
5.
(−a)(−b) = ab,
1
1
= − , a 6= 0.
6.
−a
a
Regel: Folgende Rechenregeln, die in der Schule mit Brüchen eingeführt wurden, gelten auch für reelle Zahlen a, b, c
und d:
1) Erweitern und Kürzen:
a
ac
=
b
bc
2) Addition gleichnamiger Brüche:
a c
a+c
+ =
b
b
b
3) Addition allgemeiner Brüche:
4) Multiplikation von Brüchen:
5) Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch:
6) Doppelbruch:
a
c
a·d+c·b
+ =
b
d
b·d
a c
ac
· =
b d
bd
a·
a
b
c
d
1
a b
ab
b
= · =
c
1 c
c
=
a d
ad
a c
: = · =
b d
b c
bc
d
c
Kein Nenner darf dabei gleich Null sein. Bei Doppelbrüchen setzt man den Hauptbruchstrich auf Höhe des Gleichheitszeichens.
7) Kehrwert:
c
d
=1·
4
1.1.3
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Elementare Gleichungen
Definition: Unter einer linearen Gleichung versteht man eine Gleichung der folgenden Form:
ax + b = cx + d,
a, b, c, d ∈ R .
Definition: Eine Gleichung die für alle x richtig ist heißt allgemeingültig. Eine Gleichung die für kein x erfüllbar
ist heißt nicht lösbar.
Regel: Wir lösen die Gleichung ax + b = cx + d, a, b, c, d ∈ R, durch Umformen. Dazu ziehen wir auf beiden Seiten
der Gleichung cx + b ab und erhalten
(a − c)x = d − b .
Es gibt nun drei Fälle:
d−b
1.)
Falls a − c 6= 0, kann man teilen und erhält die eindeutige Lösung x = a−c
.
2.)
Falls a = c ist, so erhält man die Gleichung 0x = b − d und unterscheidet folgende Fälle:
2a.)
Ist b 6= d, so ist b − d 6= 0 und die Gleichung ist für kein x erfüllbar, also nicht lösbar.
2b.)
Ist b = d, so erhält man die Gleichung 0x = 0. Diese Gleichung ist für alle x richtig, also allgemeingültig.
Definition: Zwei Gleichungen heißen äquivalent, falls jede der beiden Gleichungen durch nachfolgende Operationen,
welche die Lösungsmenge nicht verändern, aus der anderen Gleichung entsteht.
Zulässige Operationen sind die Addition und Subtraktion von Zahlen und Termen sowie die Multiplikation und Division mit Zahlen und Termen ungleich Null.
Bei der Multiplikation oder Division mit einem Term muss man aufpassen, für welche Variablenbelegungen der Term
Null wird, denn für diese Variablenbelegungen wäre die Operation keine Äquivalenzumformung.
Bei Umformung von Gleichungen wird oftmals die verwendete Operation hinter einem senkrechten Strich rechts neben
der Gleichung geschrieben.
1.2. UNGLEICHUNGEN
1.2
1.2.1
5
Ungleichungen
Anordnungen
Axiom: Es existiert eine Teilmenge P von R mit den nachfolgenden Eigenschaften:
• Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a ∈ P , −a ∈ P oder a = 0.
• Sind a und b aus P , so ist auch a + b aus P .
• Sind a und b aus P , so ist auch ab aus P .
Definition: Ist a ∈ P , so nennen wir a positiv. Ist −a ∈ P , so nennen wir a negativ.
Definition: Sind a, b ∈ R und ist a − b ∈ P , so schreiben wir a > b oder auch b < a.
Satz: Für zwei reelle Zahlen trifft genau eine der folgenden drei Möglichkeiten zu:
a < b,
a = b,
b < a.
Definition: Wir schreiben a ≤ b, wenn gilt a < b oder a = b und sagen a ist kleiner oder gleich b.
Analog ist a ≥ b gleichbedeutend mit a > b oder a = b.
Satz: Für die Kleiner-Relation gelten folgende Gesetze:
a < b und b < c
=⇒
a<c
Transitivität,
a<b
=⇒
a+c<b+c
Monotonie der Addition,
a < b und c > 0
=⇒
ac < bc
Monotonie der Multiplikation.
Satz: Multipliziert man eine Ungleichung mit einer Zahl, die kleiner als Null ist, dann wird ein Kleiner - Zeichen zum
Größer - Zeichen oder umgekehrt:
a < b und c < 0
Satz: Seien a, b > 0 dann folgt aus a < b :
⇒
a c > b c.
1
1
< .
b
a
Satz: Für die Kleiner-oder-Gleich-Relation (und entsprechend für die Größer-oder-Gleich-Relation) gelten folgende Gesetze:
a ≤ b und b ≤ c
=⇒
a ≤ c,
Transitivität,
a≤b
=⇒
a + c ≤ b + c,
Monotonie der Addition,
a ≤ b und c ≥ 0
=⇒
a c ≤ b c.
Monotonie der Multiplikation.
6
1.2.2
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Betrag
Definition: Der Betrag einer Zahl a wird wie folgt erklärt:
a, a ≥ 0,
|a| =
−a, a < 0.
Anstatt vom Betrag spricht man auch oft vom absoluten Betrag.
Definition: Der Betrag |a−b| der Differenz zweier Zahlen a und b ist der Abstand von a und b auf der Zahlengeraden.
Regel: Es gilt stets
|a · b| = |a| · |b|
und für b 6= 0
a
|a|
.
=
b
|b|
Sei n ∈ N. Dann gilt
|an | = |a|
n
und insbesondere erhält man für n = 2 die Gleichung
2
a = |a|2 .
Satz: Die Dreiecksungleichung für den Betrag lautet
|a + b| ≤ |a| + |b| .
Satz: Die Lösung einer Gleichung der Gestalt
|a| = |b|
entspricht der Lösung der beiden Gleichungen
a = −b
oder
a = b.
Satz: Die Lösung einer Ungleichung der Gestalt
|a| > |b|
entspricht der Lösung der Ungleichungen:
a>b
oder
−a>b
oder
a > −b
oder
− a > −b.
Satz: Die Lösung einer Ungleichung der Gestalt |a| ≤ C mit einer positiven Zahl C ∈ R kann in eine Ungleichungskette überführt werden:
|a| ≤ C
⇐⇒
−C ≤ a ≤ C .
Eine Ungleichung |a| < C mit negativem C ∈ R hat keine Lösung
1.3. MENGEN VON ZAHLEN
1.3
1.3.1
7
Mengen von Zahlen
Grundlagen
Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte. Für jedes Objekt
muss feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Info: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte. Für jedes Objekt muss feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Definition: Enthält eine Menge keine Elemente, dann bezeichnen wir sie als leere Menge und schreiben ∅ bzw.
{ }.
Info: Darstellungsweisen von Mengen:
1.) Aufzählend: {−4, − 12 , 0, 1, 2, 1000}
2.) Verbal: “Es sei B die Menge aller Erstsemesterstudenten der Universität Kassel im Wintersemester 2006.“
3.) Charakterisierend in Zeichen: C = {x ∈ B | x besucht den Vorkurs } .
Dabei werden stets Elemente einer größeren oder gleich großen Menge genommen, für die bestimmte Bedingungen
gelten. Der vertikale Strich | bedeutet “für die gilt“.
4.) Darstellung durch Venn - Diagramme: Ein Venn - Diagramm ist eine grafische Veranschaulichung einer endlichen
Menge durch kreisförmige Gebilde. Die Elemente, die zu einer Menge gehören, werden dabei innerhalb des jeweiligen
Kreises dargestellt, Elemente die nicht dazugehören, außerhalb.
Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleich, in Zeichen A = B, wenn jedes Element von A auch Element von
B ist und wenn jedes Element von B auch Element von A ist.
Definition: Liegt jedes Element der Menge A auch in der Menge B, dann ist A eine Teilmenge von B: A ⊆ B. Die
leere Menge wird als Teilmenge jeder Menge aufgefasst. Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
Definition: Sei A eine Teilmenge von B. Wir sagen A ist eine echte Teilmenge von B, wenn es zusätzlich mindestens
ein Element von B gibt, das nicht zu A gehört. In Zeichen: A ⊂ B .
Definition: Sei A eine Teilmenge von B, also A ⊆ B, dann nennt man die Menge
{x ∈ B | x ∈
/ A}
das Komplement von A in B und man schreibt Ā oder AC .
Definition: Natürliche Zahlen:
N = {1, 2, 3, . . .} .
Ganze Zahlen:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} .
Rationale Zahlen:
Q=
nm
n
o
| m ganze Zahl, n natürliche Zahl .
Definition: Sei A eine wohldefinierte, endliche Menge.
Mit |A| gibt man die Anzahl der Elemente in der Menge A an und sagt, die Menge A hat die Mächtigkeit |A|.
Dabei gilt insbesondere |∅| = 0.
8
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
1.3.2
Mengenoperationen
Info: Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A oder B oder in beiden liegen:
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}.
Definition: Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B
liegen:
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}.
Ist der Durchschnitt leer, so nennen wir die Mengen A und B disjunkt.
Definition: Die Differenzmenge A\B zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A und nicht in B liegen:
A \ B = {x | x ∈ A und x ∈
/ B}.
Satz: Seien A und B zwei wohldefinierte, endliche Mengen, dann gelten:
1.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
und für A ∩ B = ∅ insbesondere |A ∪ B| = |A| + |B| .
2.
|A \ B| = |A| − |A ∩ B| .
1.4. ARITHMETIK
1.4
1.4.1
9
Arithmetik
Stellenwertsystem
Satz: Darstellungssatz für natürliche Zahlen zur Basis 10
Jede natürliche Zahl a ∈ N lässt sich eindeutig in der Form
a = zn · 10n + zn−1 · 10n−1 + . . . z1 · 101 + z0 · 100
mit zi ∈ {0, 1, 2, . . . 9} für i = 0, 1, 2, . . . , n und zn 6= 0 darstellen.
Satz: Satz zur Division mit Rest Zu gegebenen a ∈ N0 und b ∈ N existieren eindeutige q, r ∈ N0 mit a = q · b + r
und mit 0 ≤ r < b.
Satz: Zu gegebenen a, b ∈ N (b 6= 1) existieren eindeutige Zahlen n ∈ N und zi ∈ {0, 1, 2, . . . b − 1}, i = 0, 1, 2, . . . , n,
zn 6= 0 mit
a = zn · bn + zn−1 · bn−1 + . . . z1 · b1 + z0 · b0 .
Definition: Gegeben seien a, b ∈ N mit b 6= 1. Für die Darstellung a = zn ·bn +zn−1 ·bn−1 +. . . z1 ·b1 +z0 (entsprechend
des vorherigen Satzes) schreibt man
a = (zn zn−1 . . . z1 z0 )b
und nennt das die Darstellung von a im b-adischen System (oder im Stellenwertsystem zur Basis b) mit den
Ziffern zn , zn−1 , . . . , z1 , z0 .
10
1.4.2
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Teilbarkeit
Info: Für a, b ∈ N definiert man: a teilt b genau dann, wenn es ein n ∈ N gibt, so dass n · a = b gilt.
Mit Hilfe mathematischer Zeichen können wir etwas kürzer schreiben:
a|b ⇐⇒ Es existiert ein n ∈ N mit na = b .
Wegen 0 · a = 0 kann für beliebiges a ∈ N zusätzlich erklärt werden, dass 0 durch alle natürlichen Zahlen (sowie auch
durch 0) teilbar ist.
Satz: Für a, b, c ∈ N gilt:
(1) a|a
(2) Wenn a|b und b|c, dann a|c.
Satz: Für a, b, c, d ∈ N gilt
a|b und c|d =⇒ ac|bd .
Ist also a ein Teiler von b und c ein Teiler von d , dann muss auch das Produkt ac ein Teiler vom Produkt bd sein.
Satz: Für a, b, c, r, s ∈ N gilt:
a|b und a|c =⇒ a|(rb + sc) .
Ist demnach a sowohl ein Teiler von b als auch ein Teiler von c , dann teilt a auch ein Vielfaches von b addiert zu einem
Vielfachen von c .
Satz: Für a, b, c ∈ N:
a|b und a|c =⇒ a|(b − c) .
Definition: Für jedes a ∈ N können wir die sogenannte Teilermenge T (a) definieren:
T (a) := {x ∈ N | x|a}.
Satz: Für a ∈ N beträgt die Anzahl der Teiler (und damit auch die Anzahl der Elemente der Teilermenge) mindestens
1 und höchstens a .
Für a 6= 1 beträgt die Anzahl der Teiler |T (a)| sogar mindestens 2.
Formal können wir also schreiben:
2 ≤ |T (a)| ≤ a .
Satz: Für a, b ∈ N gilt:
a|b ⇐⇒ T (a) ⊂ T (b) .
Definition: Eine Zahl a ∈ N \ {1} heißt Primzahl, wenn T (a) = {1, a} gilt.
Satz: Beträgt die Anzahl der Elemente der Teilermenge T (a) genau 2 , so ist a eine Primzahl.
Satz: Endstellenregeln
Sei a ∈ N im Dezimalsystem gegeben durch
a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )10 ,
1.4. ARITHMETIK
11
wobei zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 eine Ziffernfolge und keine Multiplikation darstellt!
Dann gilt
i) 2|a ⇐⇒ 2|z0 , d.h. 2 teilt die Ausgangszahl genau dann, wenn 2 auch ein Teiler der Einerziffer ist.
ii) 5|a ⇐⇒ 5|z0 , d.h. 5 teilt die Ausgangszahl genau dann, wenn 5 auch ein Teiler der Einerziffer ist.
iii) 4|a ⇐⇒ 4|z1 z0 , d.h. 4 teilt die Ausgangszahl genau dann, wenn 4 auch diejenige Zahl teilt, die aus den letzten
beiden Ziffern gebildet wird.
iv) 25|a ⇐⇒ 25|z1 z0 , d.h. 25 teilt die Ausgangszahl genau dann, wenn 25 auch diejenige Zahl teilt, die aus den letzten
beiden Ziffern gebildet wird.
v) 8|a ⇐⇒ 8|z2 z1 z0 , d.h. 8 teilt die Ausgangszahl genau dann, wenn 8 auch diejenige Zahl teilt, die aus den letzten
drei Ziffern gebildet wird.
vi) 10|a ⇐⇒ z0 = 0 , d.h. 10 teilt alle Zahlen, die als letzte Ziffer eine 0 haben.
Satz: Sei a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )b mit b ∈ N, b > 1, eine Zahl im b - adischen System.
i) Ferner sei d eine Zahl, die zur Teilermenge T (b) gehört. Dann gilt:
d|a
⇐⇒
d|z0 .
ii) Ist d Element der Teilermenge T (b2 ) , so gilt
d|a
⇐⇒
d|(z1 · b + z0 ) .
Satz: Quersummenregeln
Sei a ∈ N im Dezimalsystem gegeben durch
a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )10 .
Dann gilt
i) 3|a ⇐⇒ 3|(zn + zn−1 + zn−2 + . . . + z2 + z1 + z0 ),
ii) 9|a ⇐⇒ 9|(zn + zn−1 + zn−2 + . . . + z2 + z1 + z0 ).
Satz: Für a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )b mit b ∈ N, b > 1, und d ∈ T (b − 1) gilt
d|a
⇐⇒
d|(zn + zn−1 + zn−2 + . . . + z2 + z1 + z0 ) .
Satz: Alternierende Quersummenregel
Sei a ∈ N im Dezimalsystem gegeben durch
a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )10 .
Dann gilt
11|a
⇐⇒
11| |((−1)n zn + (−1)n−1 zn−1 + (−1)n−2 zn−2 + . . . + z2 − z1 + z0 )| .
Satz: Sei a ∈ N im b - adischen System gegeben durch
a = (zn zn−1 zn−2 . . . z2 z1 z0 )b .
Dann gilt für d ∈ N:
Ist d ∈ T (b + 1) , dann gilt
d|a ⇔ d| |((−1)n zn + (−1)n−1 zn−1 + (−1)n−2 zn−2 + . . . + z2 − z1 + z0 )| .
12
1.5
1.5.1
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Logik und Beweis
Aussagen und Wahrheitswerte
Definition: Eine Aussage ist zunächst ein Satz, der in Umgangssprache oder in irgend einer künstlichen Sprache
formuliert werden kann. Ein Satz wird aber erst dadurch zur Aussage, dass man ihm einen der beiden Wahrheitswerte
wahr (abgekürzt w) oder falsch (f ) zuordnen kann.
Definition: Wahrheitstafel der Negation (Verneinung):
A
w
f
¬A
f
w
Definition: Die Konjunktion verknüpft zwei Aussagen A, B durch und: A ∧ B. Beide Aussagen müssen wahr sein,
damit die Konjunktion wahr ist. Die Disjunktion verknüpft zwei Aussagen A, B durch das nicht ausschließende
oder: A ∨ B. Es muss mindestens eine der beiden Aussagen wahr sein, damit die Disjunktion wahr ist. (Es dürfen
aber auch beide wahr sein - im Gegensatz zum alltäglichen Gebrauch von “oder“ als “entweder ... oder“.)
Wahrheitstafeln von Konjunktion und Disjunktion:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
Satz: Für die Verneinung von durch Konjunktion und Disjunktion verknüpften Aussagen gilt:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
¬(A ∨ B)
f
f
f
w
(¬A) ∧ (¬B)
f
f
f
w
“Nicht (A oder B)“ bedeutet dasselbe wie “nicht A und nicht B .“ bzw.:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
¬(A ∧ B)
f
w
w
w
(¬A) ∨ (¬B)
f
w
w
w
“Nicht (A und B)“ bedeutet dasselbe wie “nicht A oder nicht B .“.
Definition: Eine Aussage, die stets den Wert falsch annimmt, bezeichnet man als Widerspruch. Eine Aussage, die
stets den Wert wahr annimmt, bezeichnet man als Tautologie.
1.5. LOGIK UND BEWEIS
1.5.2
13
Wenn-dann-Aussagen und Äquivalenzen
Definition: Wahrheitstafel der Implikation
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
Überraschend ist der Grundsatz: Aus Falsch folgt alles (Ex falso quodlibet). Wenn wir in der Mathematik eine Aussage
A =⇒ B beweisen, beschäftigen wir uns nur mit den ersten beiden Zeilen der Wahrheitstafel. Wir zeigen, dass nur die
Belegung mit Wahrheitswerten A wahr und B wahr möglich ist und die Belegung A wahr und B falsch ausscheidet.
Definition: Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B bedeutet, dass B aus A folgt und dass A aus B folgt. Man
fasst die Aussagen A =⇒ B und B =⇒ A zusammen zu A ⇔ B. Die Wahrheitstafel A ⇔ B besagt, die Äquivalenz ist
genau dann wahr, wenn A und B dieselben Wahrheitswerte besitzen:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
B =⇒ A
w
w
f
w
Dabei ist A ⇔ B die Kurzschreibweise von (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) .
A⇔B
w
f
f
w
14
1.5.3
KAPITEL 1. RECHENGESETZE
Beweisstrategien, Methodik und Formalia
Definition: Der direkte Beweis wird durch die Tautologie
(A ∧ (A =⇒ B)) =⇒ B
definiert.
Satz: Die Aussagen A =⇒ B und ¬B =⇒ ¬A sind äquivalent. Wir haben also die Tautologie:
(A =⇒ B) ⇔ (¬B =⇒ ¬A) .
Definition: Beim Beweis durch Kontraposition zeigt man die Wahrheit der Aussage A =⇒ B durch die Wahrheit
der Aussage ¬B =⇒ ¬A.
Info: Oft ist es günstiger, einen anderen, indirekten Weg zum Nachweis einer Behauptung zu wählen. Man spricht
dann vom indirekten Beweis oder Beweis durch Widerspruch.
Grob gesprochen leitet man aus der Negation der zu beweisenden Aussage einen Widerspruch, also eine stets falsche
Aussage F her.
Info: Bei jeder Implikation kann eine andere Methode gewählt werden.
Info: Für eine Menge von Aussagen A(n), n ∈ N gilt: Ist
i) A(1) wahr, und gilt
ii) für n ∈ N: A(n) wahr =⇒ A(n + 1) wahr,
so ist
A(n) wahr für alle n ∈ N.
Schritt i) nennt man den Induktionsanfang, Schritt ii) den Induktionsschritt und darin “A(n) wahr” die Induktionsvoraussetzung und “A(n + 1) wahr” die Induktionsbehauptung.
Hat man eine Menge von Aussagen A(n) für n ∈ N mit n ≥ k, k ∈ N, gegeben, so ist der Induktionsanfang “A(1)
wahr” durch “A(k) wahr” zu ersetzen und der Induktionsschritt für n ∈ N mit n ≥ k zu beweisen.
Unabhängig davon bezeichnet man dieses Vorgehen als vollständige Induktion. Dass durch dieses Vorgehen die
Wahrheit von A(n) für alle n ∈ N bewiesen ist, nennt man das Prinzip der vollständigen Induktion.
Info: All - Aussagen der Gestalt “Für alle x aus der Menge M gilt die Eigenschaft E“ kann man oft durch Angabe
eines Gegenbeispiels widerlegen.
Man betrachtet die Aussage A: “Für alle x aus der Menge M gilt die Eigenschaft E .“. Die Aussage ¬A lautet: “Es
gibt ein x ∈ M , für welches die Eigenschaft E nicht gilt.“ Wenn man ein solches x angeben kann, hat man die Aussage
¬A direkt bewiesen. Die Aussage A muss dann falsch sein.
Kapitel 2
Potenzen
2.1
2.1.1
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Rechengesetze
Definition: Für reelle Zahlen a ∈ R und eine natürliche Zahl n setzen wir:
an =
an =
n-
|a · a · a{z· . . . · a}
n- faches Produkt aus a
|a · a · a{z· . . . · a}
faches Produkt von a mit sich selbst
a heißt Basis und n Exponent. Sprechweise: a hoch n.
Regel: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert:
an · am = an+m ,
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert:
an · bn = (a · b)n ,
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert:
(an )
m
n
= an m = (am ) .
Definition: Wir setzen zur Abkürzung:
−n
a
n
1
.
:=
a
Damit gilt für a 6= 0, n ∈ N :
a−n =
1
=
an
a−1
n
−1
= (an )
.
Regel: Seien n, m ∈ Z , dann gilt für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis:
an
= an−m ,
a 6= 0 .
am
Für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten gilt
an · am = an+m
und
an · bn = (a · b)n
und
a n
an
=
,
bn
b
und das Potenzieren einer Potenz
(an )
m
n
= an m = (am ) .
15
b 6= 0 ,
16
KAPITEL 2. POTENZEN
Division durch Null muss ausgeschlossen werden.
Regel: Es gelten
0n = 0
und
für alle Exponenten n ∈ Z \ {0} .
Und für alle reellen Zahlen a 6= 0 gilt:
a0 = 1 .
1n = 1
2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN
2.1.2
17
Die geometrische Folge und die geometrische Reihe
Definition: Wir denken uns eine Folge von Zahlen a0 , a1 , a2 , ..., an , die wir durchnummerieren oder durch eine Vorschrift angeben. Die Summe der Zahlen schreibt man mit dem Summenzeichen:
n
X
ak = a0 + a1 + a2 + . . . + an .
k=0
Mit k wird der so genannte Summationsindex bezeichnet. Er ist frei wählbar und hat keine Bedeutung für die Summe:
n
X
ak =
k=0
n
X
aj .
j=0
Wir können mit dem Summenzeichen auch Teile der Folge aufsummieren:
m
X
ak = al + al+1 + . . . + am .
k=l
Satz: Summiert man die ersten n + 1 Glieder der geometrischen Folge 1, q, q 2 , . . . , q n , so ergibt sich für q 6= 1:
n
X
qi = 1 + q + q2 + . . . + qn =
i=0
1 − q n+1
q n+1 − 1
=
.
q−1
1−q
Mit Kn = Kq n , n ∈ N0 ist also
K0 + K1 + K2 + . . . + Kn = K
1 − q n+1
.
1−q
Satz: Ist |q| < 1, so gilt für die geometrische Reihe
∞
X
k=0
qk = 1 + q + q2 + . . . =
1
.
1−q
Satz: Jede rationale Zahl lässt sich in einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt.
18
2.1.3
KAPITEL 2. POTENZEN
Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz
Definition: Die natürliche Zahl
n!
=
1 · 2 · 3 · . . . · n,
0!
=
1,
n ∈ N,
heißt Fakultät von n oder n - Fakultät. Es gilt die Rekursionsformel:
(n + 1)! = (n + 1) · n!
Definition: Die Binomialkoeffizienten ergeben sich zu:
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
n!
n
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
=
.
=
1 · 2 · ... · k
k!
k! · (n − k)!
k
Info: Der Name Binomialkoeffizienten rührt daher, dass diese im Binomischen Satz vorkommen:
n
(a + b)
n n 0
n n−1 1
n n−2 2
n n−n n
a
b
=
a b +
a
b +
a
b + ... +
0
1
2
n
n X
n n−k k
=
a
b .
k
k=0
Info: Wir definieren 00 = 1 .
2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN
2.1.4
19
Zinsrechnung
Info: Wir verzinsen ein Anfangskapital K0 mit p% Jahreszinsen. Man bezeichnet dann p als Zinsfuß (pro anno)
und
p
i=
100
als Zinssatz. Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen jedes Jahr nur für das Anfangskapital berechnet.
Nach einer Laufzeit von einem Jahr erhält man K0 · i Zinsen, nach zwei Jahren erhält man wieder K0 · i Zinsen, usw..
Bei einer Laufzeit von n Jahren erhält man n mal K0 · i Zinsen. Am Ende von n Jahren ist das Kapital K0 also auf
folgendes Endkapital angewachsen:
Kn = K0 + n · K0 · i = K0 (1 + ni).
Wird ein Kapital nicht jährlich, sondern in kleineren Intervallen verzinst, so spricht man von unterjährlicher Verzinsung. Üblich sind tägliche (m = 360), monatliche (m = 12), vierteljährliche (Quartals - ) (m = 4) und halbjährliche
Zinsintervalle (m = 2). Für ein solches Zinsintervall fällt dann bei einem jährlichen Zinssatz i der unterjährliche relative
Zinssatz mi an.
p
erhält man mittels
Satz: Bei jährlicher Verzinsung eines Anfangskapitals K0 mit dem Zinsfaktor q = 1 + i = 1 + 100
Zinseszinsrechnung nach n Jahren das Kapital
Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · q n .
Info: Als effektiven Jahreszins j bezeichnet man denjenigen Zinssatz, den man benötigt hätte, um bei jährlicher
Verzinsung nach n Jahren dasselbe Endkapital zu bekommen. Der effektive Jahreszins j ergibt sich aus der Beziehung
mn
m n
i
i
n
K0 1 +
= (1 + j)n ,
= K0 (1 + j)
⇐⇒
1+
m
m
also
bzw.:
i
1+
m
m
=1+j
m
i
j = 1+
− 1.
m
Die Laufzeit n hat also keinen Einfluss auf den effektiven Jahreszins.
20
KAPITEL 2. POTENZEN
2.2
Potenzen mit rationalen Exponenten
2.2.1
Quadratwurzeln und rationale Exponenten
Definition:
Sei a ≥ 0. Wir bezeichnen die Zahl b, welche größer oder gleich Null ist und deren Quadrat a ergibt, mit
√
a (Quadratwurzel aus a):
√
a = b2
⇐⇒
a=b
(a, b ≥ 0).
Regel: Folgende Rechenregeln gelten für Quadratwurzeln:
√
√ √
ab =
a b, a, b ≥ 0 ,
r
√
a
a
= √ , a ≥ 0, b > 0 ,
b
b
√
2
a = |a| .
√
√
√
Es gilt im Allgemeinen nicht: a + b = a + b
Info: Sei n eine natürliche Zahl und a ≥ √
0 eine reelle Zahl. Wir bezeichnen die Zahl b, welche größer oder gleich Null
ist und deren n - te Potenz a ergibt, mit n a:
√
n
a = bn
⇔
a=b
(a, b ≥ 0).
Sprechweise: n - te Wurzel aus a.
Regel: Sei n eine natürliche Zahl und seien a, b reelle Zahlen. Wie bei den Quadratwurzeln gelten die Regeln:
√
n
ab =
r
a
n
=
b
√
√
n
n
a b, a, b ≥ 0
√
n
a
√
, a ≥ 0, b > 0 .
n
b
Definition: Wir schreiben Wurzeln auch als Potenzen:
√
√
n
√
2
a
=
a
= an
1
a = a2 ,
1
a ≥ 0, n ∈ N.
Definition: Potenzen mit rationalen Exponenten werden eingeführt durch:
m
a n :=
√
m
√
n
a = n am .
(a > 0, m ∈ Z, n ∈ N).
Regel: Für rationale Exponenten p, q und Basen a, b > 0 gilt:
1. ap aq = ap+q ,
2. (ap )q = ap q ,
3. ap bp = (ab)p ,
4. a−p =
1
ap ,
5. ap a−p = 1.
2.2. POTENZEN MIT RATIONALEN EXPONENTEN
2.2.2
21
Quadratische Gleichungen
Definition: Als quadratische Ergänzung bezeichnen wir die Darstellung des Terms ax2 + bx + c als Summe eines
mit einem Faktor versehenen Quadrats und eines konstanten Summanden:
2
2
b
b
ax2 + bx + c = a x +
+ c−a
2a
2a
Definition: Gegeben sei die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0. Wir bezeichnen
d=
b
2a
2
−
c
a
als Diskriminante.
Satz: Wenn die Diskriminante d positiv ist, also
d=
b
2a
2
−
c
>0
a
gilt, dann hat die quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 0
zwei reelle Lösungen:
x1/2
b
=− ±
2a
s
b
2a
2
−
c
.
a
Falls d = 0 ist, fallen die Lösungen zu einer einzigen Lösung zusammen.
Für d < 0 besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung.
Satz: Wenn die Diskriminante d positiv ist, also
d=
p 2
2
−q >0
gilt, dann hat die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0
zwei reelle Lösungen:
r p 2
p
−q.
x1/2 = − ±
2
2
Falls d = 0 ist, fallen die Lösungen zu einer einzigen Lösung zusammen.
Für d < 0 besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung.
Satz: Wurzelsatz von Vieta
2
Sei p2 − q ≥ 0, dann besitzt die Gleichung
x2 + px + q = 0
zwei Nullstellen x1 und x2 . Es gilt
x1 + x2 = −p,
x1 x2 = q
und
x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ).
22
KAPITEL 2. POTENZEN
Kapitel 3
Funktionen
3.1
3.1.1
Lineare, quadratische und allgemeine Funktionen
Lineare Funktionen
Definition: Zuordnungen der Form y = m · x + b mit beliebigen, konstanten Zahlen (Parametern) m und b heißen
lineare Zuordnungen oder lineare Funktionen. Die x-Werte werden als Argumente (Stellen), die y-Werte als
Funktionswerte bezeichnet.
Satz: Eine lineare Funktion wird durch die Vorgabe der Funktionswerte an zwei verschiedenen Stellen eindeutig
festgelegt.
Info: Der Graph einer linearen Funktion y = mx + b ist eine Gerade. Man bezeichnet m als Anstieg (Steigung)
und b als y-Achsenabschnitt der Gerade. Der Anstieg kann jedem Steigungsdreieck entnommen werden. Der yAchsenabschnitt b beschreibt den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse. Gilt y0 = mx0 +b, so liegt der Punkt P0 =
(x0 ; y0 ) auf der Geraden. Eine Gerade wird durch die Angabe von zwei verschiedenen Punkten eindeutig beschrieben.
Definition: Die folgende Gleichung heißt Punkt - Richtungs - Form der Geradengleichung:
y − y1
= m.
x − x1
Die folgende Gleichung heißt Zwei - Punkte - Form der Geradengleichung:
y2 − y1
y − y1
=
.
x − x1
x2 − x1
Definition: Eine Gleichung der Gestalt
Ax + By + C = 0
heißt lineare Gleichung (in zwei Variablen). Ist B 6= 0, so wird die folgende lineare Funktion beschrieben:
y=−
A
C
x− .
B
B
Im Fall B = 0 und A 6= 0 erhalten wir die Gleichung x = −C
A . Diese stellt zwar keine Funktion dar, der zugehörige
Graph ist aber eine zur y−Achse parallele Gerade, die die x−Achse in x = −C
A schneidet.
Definition: Eine Zahl x0 heißt Nullstelle einer linearen Funktion y = mx + b, wenn gilt:
mx0 + b = 0.
Die Nullstelle ist die Stelle, an welcher der Graph die x-Achse schneidet.
Satz: Zwei Geraden können sich in genau einem Punkt schneiden, zusammenfallen oder parallel sein.
23
24
3.1.2
KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Quadratische Funktionen
Definition: Eine Funktionsgleichung y = a(x − xs )2 + ys wird Scheitelform einer Parabel genannt.
Satz: Bei einer Parabel
y = a(x − xs )2 + ys
haben wir für a < 0 einen Hochpunkt und für a > 0 einen Tiefpunkt im Scheitel. Werte oberhalb bzw. unterhalb
des Scheitelwertes werden nicht als Funktionswerte angenommen. Werte unterhalb bzw. oberhalb des Scheitelwertes
werden an zwei verschiedenen Stellen als Funktionswerte angenommen.
Definition: Zuordnungen der Form y = ax2 + bx + c mit beliebigen, konstanten Zahlen (Parametern) a, b und c (mit
a 6= 0) bezeichnen wir als quadratische Zuordnungen oder quadratische Funktionen. Die x-Werte werden als
Argumente (Stellen), die y-Werte als Funktionswerte bezeichnet.
Satz: Die Graphen quadratischer Funktionen stellen Parabeln dar.
Definition: Der Punkt
(xs ; ys ) =
−
b2
b
;c −
2a
4a
heißt Scheitel der Parabel y = ax2 + bx + c. Im Fall a < 0 stellt der Scheitel einen Hochpunkt dar (Der Scheitelwert
ist das Maximum aller Funktionswerte). Im Fall a > 0 stellt der Scheitel einen Tiefpunkt dar. (Der Scheitelwert ist
das Minimum aller Funktionswerte).
Info: Durch die Vorgabe des Scheitelpunkts (xs ; ys ) und eines weiteren Punktes (x0 , y0 ) wird eine Parabel festgelegt:
y = a(x − xs )2 + ys
Der Parameter a wird aus der Gleichung ermittelt:
y0 = a(x0 − xs )2 + ys .
Im Fall |a| < 1 wird die Parabel gestaucht, im Fall |a| > 1 wird die Parabel gestreckt.
3.1. LINEARE, QUADRATISCHE UND ALLGEMEINE FUNKTIONEN
3.1.3
25
Funktionen und ihre Eigenschaften
Definition: Wir definieren eine Funktion durch ihren Definitionsbereich D ⊂ R und die Funktionsvorschrift
f , die jedem Element x aus D eindeutig eine reelle Zahl f (x) zuordnet:
f : D −→ R,
x 7→ f (x) .
Wir vereinbaren wieder folgende Bezeichnungen: x heißt Argument und y = f (x) heißt Funktionswert. Die Bezeichnungen unabhängige Variable für x und abhängige Variable für y sind ebenfalls gebräuchlich.
Definition: Die Gleichheit zweier Funktionen f : Df −→ R und g : Dg −→ R liegt genau dann vor, wenn sie
einen gemeinsamen Definitionsbereich D = Df = Dg haben und für jedes x aus D gilt: f (x) = g(x).
Info: Eine reelle Funktion veranschaulicht man in der Ebene durch ein Schaubild. Die Teilmenge der Ebene
{(x, f (x)) | x ∈ D}
bezeichnet man als Graph der Funktion f . Man lässt die Variable x den Definitionsbereich durchlaufen und bildet
alle Paare (x, f (x)).
Definition: Sei f : D −→ R eine Funktion. Als Wertebereich f (D) von f bezeichnen wir die Menge aller y aus
R, die als Funktionswert angenommen werden. y liegt also im Wertebereich von f , wenn es mindestens ein x aus dem
Definitionsbereich von f mit f (x) = y gibt. Man nennt y dann auch Bild und x Urbild.
Definition: Haben zwei Funktionen f : D −→ R und g : D −→ R einen gemeinsamen Definitionsbereich, so können
sie auf folgende Art addiert und multipliziert werden:
f + g : D −→ R,
f · g : D −→ R,
x 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) ,
x 7→ (f · g)(x) = f (x)g(x) .
Analog zur Addition erkärt man die Subtraktion:
f − g : D −→ R,
Die Division
f
g
x 7→ (f − g)(x) = f (x) − g(x),
ist nur möglich, wenn für alle x aus D der Funktionswert g(x) 6= 0 ist. In diesem Fall setzen wir:
f
f (x)
f
: D −→ R, x 7→
(x) =
.
g
g
g(x)
Definition: Seien f : Df −→ R und g : Dg −→ R Funktionen. Der Wertebereich f (Df ) von f sei im Definitionsbereich Dg von g enthalten. Dann können wir g nach f ausführen:
x 7→ f (x) 7→ g(f (x))
und erhalten die Verkettung von f und g (sprich g verknüpft mit f ). Wir schreiben dafür:
(g ◦ f ) : Df −→ R,
x 7→ g(f (x)),
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) .
Es sind auch Verkettungen von mehr als zwei Funktionen möglich.
Definition: Eine Funktion f : D −→ R heißt injektiv, wenn es zu jedem Funktionswert y aus dem Wertebereich
genau ein Argument x gibt mit f (x) = y. (Die Zuordnung kann umgekehrt werden).
Definition: Die Funktion f : D −→ R sei injektiv. Dann besitzt die Gleichung y = f (x) bei gegebenem y aus dem
Wertebereich von f genau eine Lösung x aus dem Definitionsbereich von f . Man schreibt
x = f −1 (y)
und erklärt die Umkehrfunktion:
f −1 : f (D) −→ R,
y 7→ f −1 (y).
26
KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Satz: Es gilt für alle x aus dem Definitionsbereich von f , wenn f injektiv ist:
f −1 (f (x)) = x
und für alle y aus dem Wertebereich von f :
f (f −1 (y)) = y .
Schreibweise: Nach dem Berechnen der Umkehrfunktion geht man zur Darstellung f −1 : x 7→ f −1 (x) für alle x aus
f (D) über. Man kann dann die Funktion und die Umkehrfunktion in ein gemeinsames Schaubild zeichnen.
Kapitel 4
Höhere Funktionen
4.1
Polynome
4.1.1
Polynomfunktionen
Definition: Unter einem Polynom vom Grad n ∈ N versteht man eine Funktion Pn : R −→ R, die durch folgende
Vorschrift erklärt wird:
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
an 6= 0 .
Die Parameter ak ∈ R werden dabei als Koeffizienten bezeichnet. Das Nullpolynom P0 (x) = 0 hat keinen Grad.
Satz: Für zwei Polynome vom Grad n
Pn (x)
=
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
Qn (x)
=
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0
gilt Pn (x) = Qn (x) für alle x ∈ R genau dann, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen (d.h. aj = bj für alle
j = 0 , . . . , n ).
Durch Koeffizientenvergleich kann demnach die Gleichheit zweier Polynome überprüft werden. Insbesondere können
Polynome verschiedenen Grades nicht gleich sein.
Info: Wir erklären die Addition und Multiplikation zweier Polynome exemplarisch an den beiden Polynomen:
P3 (x) = 2x3 − x2 + 2x + 2
und
Q2 (x) = x2 + 2x − 3
• Addition von Polynomen:
Addiert man zwei beliebige Polynome, so entsteht wieder ein Polynom. Für P3 (x) + Q2 (x) erhält man
(2x3 − x2 + 2x + 2) + (x2 + 2x − 3)
=
2x3 − x2 + x2 + 2x + 2x + 2 − 3
=
(2 + 0)x3 + (−1 + 1)x2 + (2 + 2)x + (2 − 3)
=
2x3 + 4x − 1 .
Um Polynome zu addieren, addiert man also lediglich die Koeffizienten gleicher Potenzen.
• Multiplikation von Polynomen:
Bei der Multiplikation zweier Polynome entsteht ebenfalls ein Polynom. Für P3 (x) · Q2 (x) erhält man mit den
Potenzgesetzen
(2x3 − x2 + 2x + 2) · (x2 + 2x − 3)
=
2x3 · x2 − x2 · x2 + 2x · x2 + 2 · x2 + 2x3 · 2x − x2 · 2x + 2x · 2x + 2 · 2x +
2x3 · (−3) − x2 · (−3) + 2x · (−3) + 2 · (−3)
=
2x5 − x4 + 2x3 + 2x2 + 4x4 − 2x3 + 4x2 + 4x − 6x3 + 3x2 − 6x − 6
=
2x5 + 3x4 − 6x3 + 9x2 − 2x − 6
Um Polynome zu multiplizieren, multipliziert man also jeden Summanden des ersten Polynoms mit jedem Summanden des zweiten Polynoms (gemäß Distributivgesetz) und addiert daraufhin die Koeffizienten von gleichen
Potenzen.
27
28
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Satz: Sei Pn (x) ein Polynom n-ten Grades und Qm (x) ein Polynom m-ten Grades. Dann gilt:
• Der Grad des Polynoms Pn (x) + Qm (x) ist kleiner oder gleich dem Maximum der beiden Grade m und n.
• Der Grad des Polynoms Pn (x) · Qm (x) beträgt genau m + n.
Satz: Seien n + 1 paarweise verschiedene Stützstellen xi mit dazugehörigen yi gegeben. Dann existiert genau ein
Polynom P (x) vom Grad kleiner oder gleich n, dessen Graph durch die Punkte (xi , yi ) verläuft, d.h. welches P (xi ) = yi
für i = 0 . . . n erfüllt. Insbesondere ist also ein Polynom n-ten Grades durch n + 1 verschiedene Punkte eindeutig
bestimmt.
4.1. POLYNOME
4.1.2
29
Hornerschema
Regel: Zur Auswertung eines Polynoms
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
an der Stelle x0 ∈ R kann man nach dem Hornerschema vorgehen:
Hierbei multipliziert man zunächst den höchsten Koeffizienten an mit der Stelle x0 und addiert hierzu an−1 . Das
Ergebnis an x0 + an−1 multipliziert man dann erneut mit x0 und addiert nun an−2 ...
Dieser Prozess wird in analoger Weise so lange fortgeführt, bis letztlich a0 addiert und somit P (x0 ) endgültig berechnet
wird.
30
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
4.1.3
Polynomdivision
Regel: Anleitung zur Polynomdivision
Um den Quotienten zweier Polynome zu berechnen, führt man die folgenden Schritte nacheinander durch:
1. Schreiben Sie die Polynome jeweils sortiert nach den Exponenten in absteigender Reihenfolge auf.
2. Dividieren Sie den ersten Term des Zählerpolynoms durch den ersten des Nennerpolynoms und notieren Sie das
Ergebnis.
3. Multiplizieren Sie dieses Ergebnis mit dem Nennerpolynom und subtrahieren Sie alles vom Zählerpolynom.
4. Wiederholen Sie die Schritte 1 - 3 mit dem Restpolynom in analoger Weise so lange, bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms.
5. Der Rest wird als Zähler eines Bruches mit dem Nennerpolynom als Nenner addiert.
Beispiel:
(x2
−(x2
+2x
+x)
x
−(x
+2)
: (x + 1) = x + 1 +
1
x+1
+2
+1)
1
Satz: Ist P (x) ein Polynom vom Grad n, Q(x) ein Polynom vom Grad m und n ≥ m ≥ 0. Dann liefert die
P (x)
Polynomdivision Q(x)
genau eine Darstellung
P (x) = F (x) Q(x) + R(x) .
F (x) ist ein Polynom vom Grad n − m und R(x) das Restpolynom, welches einen Grad kleiner als m besitzt oder
P (x)
gleich dem Nullpolynom ist. Die Division Q(x)
führt auf folgende Gleichung:
P (x)
R(x)
= F (x) +
.
Q(x)
Q(x)
4.1. POLYNOME
4.1.4
31
Nullstellen
Definition: Sei P (x) ein Polynom vom Grad n ≥ 1 und sei P (x0 ) = 0. Dann heißt x0 Nullstelle von P (x).
Bild: Polynom dritten Grades mit drei Nullstellen bei x1 = −2; x2 = 0 und x3 = 1 .
Satz: Sei P (x) ein Polynom ungeraden Grades. Dann hat P mindestens eine (reelle) Nullstelle.
Satz: Das Polynom P (x) vom Grad n ≥ 1 besitze die Nullstelle x0 . Dann gibt es genau ein Polynom F (x) vom Grad
n − 1 mit der Eigenschaft
P (x) = (x − x0 ) F (x) ,
wobei wir F (x) mittels Polynomdivision erhalten.
Wir sprechen von der Abspaltung eines Linearfaktors.
Satz: Sei P (x) ein Polynom vom Grad n ≥ 1, dann hat P höchstens n Nullstellen.
Satz: Ist Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ai ∈ Z, dann ist
jede ganzzahlige Nullstelle xi ∈ Z des Polynoms ein Teiler von a0 .
32
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
4.2
Exponential- und Logarithmusfunktion
4.2.1
Potenz- und Logarithmengesetze
Definition: (Einführung von Potenzen) Sei a ∈ R und m, n ∈ N. Man definiert
1. am := a
. . · a}
| · .{z
m−mal
Insbesondere gilt a1 = a und wir setzen a0 := 1.
2. Für a 6= 0
a−m := a1m
Insbesondere gilt a−1 = a1 .
√
m
3. a n := n am
(n 6= 0, a > 0)
√
1
(n 6= 0, a > 0)
Insbesondere gilt a n = n a.
4. Mit Hilfe von 2. und 3. kann man Potenzen für alle rationale Exponenten definieren.
5. Für irrationales x können wir x durch rationale Zahlen annähern und bekommen auf diese Weise mit Hilfe von
4. eine Näherung für ax .
Auf diesem Weg kommt man zu einer Definition von ax für alle reellen Zahlen x. Eine exakte Definition erfolgt mit
Hilfe von konvergenten Folgen in der Analysis.
Satz: Seien die reellen Zahlen a > 0, a 6= 1, und b > 0 gegeben. Die Gleichung ac = b besitzt genau eine reelle Zahl c
als Lösung.
Definition: Seien die reellen Zahlen a > 0, a 6= 1, und b > 0 gegeben. Die reelle Zahl c, die die Gleichung ac = b
erfüllt, bezeichnet man als Logarithmus von b zur Basis a und schreibt c = loga (b). Kurz:
ac = b .
⇔
loga (b) = c
Der Logarithmus loga (b) ist also diejenige reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
Regel: (Potenzgesetze) Für alle a, b > 0 und x, y ∈ R gelten folgende Rechenregeln:
ax+y
x
x
a ·b
x y
= ax · ay ,
=
x
(a · b) ,
(a )
= a
ax−y
=
x·y
.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Ferner gilt
x
a
bx
=
ax
,
ay
a x
.
b
(4.4)
(4.5)
Regel: (Logarithmengesetze) Für alle a > 0, a 6= 1, β ∈ R und x, y > 0 gilt:
loga (x · y) = loga (x) + loga (y) ,
x
loga
= loga (x) − loga (y) ,
y
= β loga (x) .
loga xβ
(4.6)
(4.7)
(4.8)
4.2. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION
4.2.2
33
Die allgemeine Exponentialfunktion
Definition: Sei a ∈ R, a > 0. Die Funktion f : R → R mit der Funktionsvorschrift f (x) = ax heißt Exponentialfunktion zur Basis a.
Satz: Exponentialfunktionen der Form f (x) = ax haben folgende Eigenschaften:
(x1 , x2 , a ∈ R, a > 0, a 6= 1)
1. f (0) = 1
2. f (1) = a
3. f (x) > 0
4. Die x-Achse ist stets waagrechte Asymptote (es existieren keine Nullstellen)
5. a > 1 ⇒ f ist streng monoton steigend, d.h. mit zunehmendem x nehmen die Funktionswerte ebenfalls stets zu.
(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ))
6. 0 < a < 1 ⇒ f ist streng monoton fallend, d.h. mit wachsendem x nehmen die Funktionswerte stets ab.
(x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ))
7. f (x1 + x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )
8. f (x + 1) = f (x) · a
34
4.2.3
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Die Exponentialfunktion zur Basis e
Definition: Die Eulersche Zahl e = 2, 71828... ist definiert als der Grenzwert
n
1
lim 1 +
= e.
n→∞
n
Man kann zeigen, dass die folgende Summe ebenfalls gegen die Eulersche Zahl strebt:
∞
X
1
1
1
= 1 + + + ··· = e.
n!
1! 2!
n=0
Definition: Die Funktion f : R → R mit der Funktionsvorschrift f (x) = ex bezeichnet man als Exponentialfunktion
zur Basis e. Der Bildbereich von f ist die Menge aller positiven reellen Zahlen. Es gelten folgende Darstellungen für
die Exponentialfunktion:
x n
f (x) = ex = lim 1 +
n→∞
n
und
∞
X
xn
f (x) = ex =
.
n!
n=0
Satz: Eine Exponentialfunktion reproduziert sich bis auf einen Faktor beim Ableiten. Für alle a > 0, a 6= 1 gilt:
f 0 (x) = f 0 (0) f (x) .
Man kennt also die Ableitung an einer beliebigen Stelle x, wenn man die Ableitung an der Stelle x = 0
ah − 1
h→0
h
f 0 (0) = lim
kennt.
Satz: Für alle a > 0, a 6= 1 gilt:
ah − 1
.
h→0
h
ln(a) := loge (a) = lim
Satz: Die Exponentialfunktion mit der Basis e, also f (x) = ex , besitzt die Eigenschaft f 0 (0) = 1 und
f 0 (x) = f (x).
Info: Die Exponentialfunktion mit der Basis e: f (x) = ex besitzt die Eigenschaft f 0 (0) = 1 und
f 0 (x) = f (x),
da ln(e) = 1 ist. Die Exponentialfunktion mit der Basis e nimmt also unter den Exponentialfunktionen eine Sonderstellung ein. Sie reproduziert sich exakt beim Ableiten.
4.2. EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION
4.2.4
Der natürliche Logarithmus
Info: Zusammenhang zwischen ex und ln(x)
Es gelten die Funktion - Umkehrfunktion - Beziehungen
eln(x) = x für x > 0 ,
ln(ex ) = x für x ∈ R ,
und die Regeln, die sich von der e-Funktion übertragen lassen:
1.) ln(1) = 0 , ln(e) = 1 ,
2.) ln(x
yy) = ln(x) + ln(y) , für x, y > 0 ,
= ln(y) − ln(x) , für x, y > 0,
3.) ln
xq
4.) ln (x ) = q ln(x) , q ∈ R .
5.) ln(x) ≥ 0 , für x ≥ 1
6.) ln(x) < 0 , für 0 < x < 1
35
36
4.2.5
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Allgemeine Potenzen und Logarithmen
Info: Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus erklärt man die Exponentialfunktion zur Basis a:
ax = eln(a) x
für a > 0 und x ∈ R .
Die Funktion ax kann man auch als Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis b schreiben, nämlich durch
ax = blogb (a) x .
Man kann diese Festsetzung auch als Definition der allgemeinen Potenzfunktion ansehen für x > 0, b ∈ R:
xb = eb ln(x) .
Die allgemeine Potenzfunktion ist auch auf andere Basen zurückzuführen:
xb = 10b log10 (x) = cb logc (x) .
Info: Für den allgemeinen Logarithmus zur Basis a gilt
loga (x) =
ln(x)
.
ln(a)
Man kann den allgemeinen Logarithmus auch bezüglich anderer Basen (wie z.B. 10 oder allgemein c) darstellen:
loga (x) =
log10 (x)
logc (x)
=
.
log10 (a)
logc (a)
4.3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
4.3
4.3.1
37
Trigonometrische Funktionen
Strahlensätze
Definition: Gegeben sei ein Punkt S, das so genannte Streckungszentrum und ein k ∈ R mit k > 0, der sogenannte
Streckungsfaktor. Die zentrische Streckung mit Zentrum S und Faktor k (kurz ZS;k ) ist diejenige Abbildung,
0
bei der der Bildpunkt P eines Punktes P wie folgt konstruiert wird:
0
1. Ist P = S, so ist P = S.
0
2. Ist P 6= S, so liegt P auf der Halbgeraden von S durch P und es gilt SP 0 = k · SP .
Satz: Gegeben sei eine zentrische Streckung ZS;k mit Streckungszentrum S und Streckungsfaktor k =
0
0
SA0
SA
. Es werde
A und B auf A und B abgebildet.
Bild: Skizze
Dann gilt allgemein
1. Die Bildstrecke A0 B 0 besitzt die k - fache Länge der Urbildstrecke AB.
2. Die Bildstrecke A0 B 0 ist parallel zur Urbildstrecke AB.
0
0
3. Der Bildwinkel α bzw. β entspricht dem Urbildwinkel α bzw. β :
α=α
0
0
und β = β .
Satz: Sei p1 k p2 , g1 nicht parallel zu g2 , g1 nicht parallel zu p1 und g2 nicht parallel zu p2 . Ferner schneide g1 die
Gerade g2 in S.
Bild: Strahlensatzfigur
Dann gilt:
38
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
1. Strahlensatz (Längenverhältnisse auf den Geraden):
SA0
SB 0
=
.
SA
SB
Folgerung aus dem 1. Strahlensatz:
SA
SA0
=
.
SB
SB 0
2. Strahlensatz (Längenverhältnisse auf Strahlen und Parallelen):
SA
SA0
= 0 0
AB
AB
oder
SB
SB 0
= 0 0
AB
AB
Satz: Sei g1 nicht parallel zu g2 , g1 nicht parallel zu p1 und g2 nicht parallel zu p2 . Ferner schneide g1 die Gerade g2
in S.
Bild: Skizze
Dann gilt die
Umkehrung des 1. Strahlensatzes:
SA0
SB 0
=
SA
SB
Eine Umkehrung des 2. Strahlensatzes existiert nicht!
⇒
p1 k p2
4.4. DIE ZAHL π, DAS GRAD- UND DAS BOGENMASS
4.4
39
Die Zahl π, das Grad- und das Bogenmaß
Definition: Die Zahl π kann man näherungsweise durch die Zahl 3, 14159265 . . . darstellen. Der Kreisumfang U eines
Kreises mit Radius r bzw. dem Durchmesser d beträgt
U = 2 · π · r = π · d.
Den Flächeninhalt A eines Kreises kann man mit Hilfe der Formel
A = π · r2
bestimmen.
Satz: Sei ein Kreis mit Radius r gegeben. Die Länge b eines Kreisbogens zum Winkel α berechnet sich als
b=
π·α·r
.
180◦
Als Bogenmaß b̃ des Winkels α bezeichnen wir das Verhältnis der Bogenlänge b des Winkels α zum Radius r. Es gilt:
b
π·α
.
=
r
180◦
Gradmaß und Bogenmaß werden wie folgt ineinander umgerechnet:
b̃ =
180◦
π·α
· b̃, b̃ =
.
π
180◦
Die Bogenlänge hat die Einheit m, dm, cm,. . . , das Bogenmaß ist eine reelle Zahl und das Gradmaß hat die Einheit
Grad.
α=
40
4.4.1
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
Definition: In einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck mit gegebenem α (0 < α < 90◦ ) bezeichnet man die Seiten
wie folgt
Bild: Bezeichnungen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Definition: Man definiert:
sin(α)
=
cos(α)
=
tan(α)
=
cot(α)
=
Gegenkathete
(Sinus)
Hypotenuse
Ankathete
(Cosinus)
Hypotenuse
Gegenkathete
(Tangens)
Ankathete
Ankathete
(Cotangens)
Gegenkathete
Satz: Den Tangens und den Cotangens können wir durch Sinus und Cosinus ausdrücken:
sin(α)
cos(α)
cos(α)
cot(α) =
sin(α)
tan(α) =
4.4. DIE ZAHL π, DAS GRAD- UND DAS BOGENMASS
4.4.2
41
Winkelfunktionen an allgemeinen Dreiecken
Satz: Sinussatz:
In jedem Dreieck ABC gilt:
a
b
b
c
c
a
=
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(β)
sin(γ)
sin(γ)
sin(α)
In jedem Dreieck ist das Verhältnis der Längen zweier Dreiecksseiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der den
Seiten gegenüberliegenden Winkel.
Satz: Cosinussatz: In jedem Dreieck ABC gilt:
a2
=
b2 + c2 − 2bc · cos(α)
b2
=
a2 + c2 − 2ac · cos(β)
2
=
a2 + b2 − 2ab · cos(γ)
c
Das Quadrat einer Seitenlänge eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen
vermindert um das Doppelte des Produkts aus diesen Seitenlängen und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
42
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
4.4.3
Winkelfunktionen am Einheitskreis
Definition: Die Sinusfunktion ist definiert als Abbildung, die jedem Winkel α (bzw. dem entsprechenden Bogenmaß)
den Wert sin(α) zuordnet und die Cosinusfunktion ist definiert als Abbildung, die jedem Winkel α den Wert cos(α)
zuordnet.
Bild: Definition von Cosinus und Sinus durch x und y am Einheitskreis
Dabei gilt für α mit −∞ < α < ∞:
sin(α) = y
und
cos(α) = x .
Satz: Die Sinus - und Cosinusfunktion sind periodisch:
• Für k ∈ Z und α ∈ R gilt im Gradmaß:
sin(α)
=
sin(α + k · 360◦ )
cos(α)
=
cos(α + k · 360◦ )
Die kleinste Periodenlänge ist 360◦ .
• Für k ∈ Z und α ∈ R gilt im Bogenmaß:
sin(α)
=
sin(α + k · 2π)
cos(α)
=
cos(α + k · 2π)
Die kleinste Periodenlänge ist 2π.
Satz: Sei k ∈ Z. Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus besitzen die folgenden Nullstellen.
Sinusfunktion:
x = k · 180◦
Im Gradmaß:
Cosinusfunktion: x = (2 · k + 1) · 90◦
Sinusfunktion:
x=k·π
Im Bogenmaß:
Cosinusfunktion: x = (2 · k + 1) · π2
Satz: Es bestehen folgende Zusammenhänge zwischen der Sinus - und Cosinusfunktion:
x
−α
90◦ ± α
180◦ ± α
270◦ ± α
360◦ ± α
sin(x)
− sin(α)
cos(α)
∓ sin(α)
− cos(α)
± sin(α)
cos(x)
cos(α)
∓ sin(α)
− cos(α)
± sin(α)
cos(α)
Satz: Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt:
sin(−x) = − sin(x) .
4.4. DIE ZAHL π, DAS GRAD- UND DAS BOGENMASS
Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, es gilt:
cos(−x) = cos(x) .
Satz: Es gelten die Additionstheoreme für beliebige Winkel α, β:
sin(α + β)
=
sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)
sin(α − β)
=
sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)
cos(α + β)
=
cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
cos(α − β)
=
cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)
43
44
4.4.4
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Funktionen periodischer Vorgänge
Definition: Seien a, b, c, d ∈ R. Die Funktion
f : R → R, x 7→ a · sin(b(x + c)) + d
bezeichnen wir als allgemeine Sinusfunktion.
Satz: Veränderung der Amplitude:.
Wir betrachten
y = a · sin(x).
Für a > 1 wird der Graph von f (x) in y-Richtung gestreckt.
Für 0 < a < 1 wird der Graph von f (x) in y-Richtung gestaucht.
Der Parameter a streckt oder staucht den Graphen in y-Richtung. Er verändert die Amplitude und hat keinen Einfluss
auf die Frequenz der Sinusschwingung.
Satz: Veränderung der Periodenlänge:
Allgemeine Darstellung:
y = sin(b · x)
Für b > 1 wird der Graph von f (x) in x-Richtung gestaucht.
Für 0 < b < 1 wird der Graph von f (x) in x-Richtung gestreckt.
Der Parameter b streckt oder staucht den Graphen in x-Richtung. Er verändert die Periodenlänge bzw. die Frequenz
der Sinusschwingung. Je größer b, desto kleiner ist die Periodenlänge und desto größer ist die Frequenz. Auf die
Amplitude hat dieser Parameter keinen Einfluss.
Satz: Phasenverschiebung:
Allgemeine Darstellung:
y = sin(x + c)
Für c > 0 wird der Graph von f (x) in x-Richtung nach links verschoben.
Für c < 0 wird der Graph von f (x) in x-Richtung nach rechts verschoben.
Der Parameter c verschiebt den Graphen in x-Richtung und verändert damit die Phase der Sinusschwingung. Auf die
Amplitude und die Frequenz hat dieser Parameter keinen Einfluss.
Satz: Verschiebung in y - Richtung:
4.4. DIE ZAHL π, DAS GRAD- UND DAS BOGENMASS
45
Allgemeine Darstellung:
y = sin(x) + d
Für d > 0 wird der Graph von f (x) in y-Richtung nach oben verschoben.
Für d < 0 wird der Graph von f (x) in y-Richtung nach unten verschoben.
Der Parameter d verschiebt den Graphen in y-Richtung. Auf die Amplitude und die Frequenz hat dieser Parameter
keinen Einfluss.
46
KAPITEL 4. HÖHERE FUNKTIONEN
Kapitel 5
Analysis
5.1
5.1.1
Analysis kompakt
Analysis kompakt
Definition: Eine reelle Funktion mit Definitionsbereich D ⊆ R ordnet jedem Punkt x ∈ D einen Wert f (x) ∈ R zu.
Wir schreiben auch f : D → R oder f : D ⊆ R → R.
Definition: Ein endliches Intervall I ⊆ R mit den Randpunkten a und b mit a < b besteht aus allen Punkten, die
zwischen a und b liegen. Gehören die Randpunkte a und b zu I, so schreiben wir I = [a, b] und nennen das Intervall
abgeschlossen.
Gehören die Randpunkte a und b nicht zu I, so schreiben wir I =]a, b[ und nennen das Intervall offen.
Gehört einer der Randpunkte zu I und der andere nicht zu I, so heißt das Intervall halboffen und wir schreiben ]a, b]
oder [a, b[, je nachdem ob a ∈
/ I oder a ∈ I.
Ein abgeschlossenes unendliches Intervall I ist eine Halbgerade ] − ∞, b] oder [a, ∞[. Im ersten Fall enthält es alle
Punkte die kleiner oder gleich dem rechten Randpunkt b sind, im zweiten Fall enthält es alle Punkte, die größer oder
gleich dem linken Randpunkt a sind.
Ein offenes unendliches Intervall ist eine Halbgerade ] − ∞, b[ oder ]a, ∞[. Die Definition ist wie oben, nur dass in
diesem Fall der Randpunkt b bzw. a nicht zum Intervall gehört.
Ein Spezialfall ist das Intervall R =] − ∞, ∞[. Es ist offen und abgeschlossen.
Definition: Es sei f : D =]a, b[→ R eine Funktion und y ∈ R.
• Wir sagen, f besitzt in a den rechtsseitigen Grenzwert y, wenn für positive Zahlen h der Ausdruck |f (a + h) − y|
beliebig klein wird für h gegen 0. In diesem Fall schreiben wir auch limh→0+ f (a + h) = y oder limx→a+ f (x) = y.
• Wir sagen, f besitzt in b den linksseitigen Grenzwert y, wenn für negative Zahlen h der Ausdruck |f (a + h) − y|
beliebig klein wird für h gegen 0. In diesem Fall schreiben wir auch limh→0− f (b + h) = y oder limx→b− f (x) = y.
Ist f : D =]a, d[∪]d, b[→ R eine Funktion, so sagen wir, f besitzt in d den Grenzwert y, wenn f in d den Wert y als
linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert besitzt. Wir schreiben in diesem Fall limx→d f (x) = y.
Für größere Definitionsbereiche D reicht es aus, dass ein Intervall ]a, b[ bzw. ]a, d[∪]d, b[ in D liegt, um über einen
linksseitigen Grenzwert in a bzw. einen rechtsseitigen Grenzwert in b oder einen Grenzwert in d zu sprechen.
Regel: Für folgende Funktionen gilt limh→0+ f (x+h) = f (x) und limh→0− f (x+h) = f (x) für jedes x im angegebenen
Definitionsbereich:
• Für jedes Polynom f auf D = R.
• Für jede rationale Funktion
von g bezeichnen.
f
g
mit Polynomen f und g auf D = R \ {x1 , ...xn }, wobei x1 ,...,xn die Nullstellen
• Für die Exponentialfunktion f (x) = ex auf D = R.
• Für die Logarithmusfunktion f (x) = ln(x) auf D =]0, ∞[.
• Für die trigonometrischen Funktionen sin und cos auf D = R.
47
48
KAPITEL 5. ANALYSIS
Definition: Ist f : D → R eine Funktion, so heißt f stetig im Punkt x0 ∈ D, falls für den Grenzwert limx→x0 f (x) =
f (x0 ) gilt.
Definition: Ist f : D → R eine Funktion, so heißt f stetig, falls die Funktion f für jeden Punkt x0 ∈ D stetig ist.
Regel: (Grenzwertesätze) Sind f und g auf D stetige Funktionen und ist λ ∈ R eine Zahl, so gilt:
• Die Funktion λ · f ist auf D stetig.
• Die Funktion f + g ist auf D stetig.
• Die Funktion f · g ist auf D stetig.
• Die Funktion
f
g
ist auf D stetig, sofern g auf D keine Nullstelle besitzt.
Regel:
1. Ist f : D → R stetig und g : [a, b] → R eine stetige Funktionen, so dass für alle x ∈ [a, b] der Ausdruck f (g(x))
gebildet werden kann, so ist auch x → f (g(x)) eine stetige Funktion.
2. Ist f : D → R stetig und g : [a, b] → R eine in x0 ∈ [a, b] stetige Funktionen, so dass für alle x ∈ [a, b] der
Ausdruck f (g(x)) gebildet werden kann, so ist auch x → f (g(x)) eine in x0 ∈ [a, b] stetige Funktion.
Regel: (spezielle Grenzwerte) Es gilt:
• limh→0
eh −1
h
• limh→0
sin(h)
h
= 1.
= 1.
Definition: Sei f : D → R eine Funktion mit einem Intervall [a, ∞[⊆ D. Dann erklären wir
1
lim f (x) = lim+ f
.
x→∞
x
x→0
Sei f : D → R eine Funktion mit einem Intervall ] − ∞, a] ⊆ D. Dann erklären wir
1
lim f (x) = lim− f
.
x→−∞
x
x→0
Regel: Ist f (x) = p(x) · e−x für ein Polynom p, so gilt
lim f (x) = 0.
x→∞
Definition: [Bestimmte Divergenz]
1. Sei f :]a, b[→ R eine Funktion. Wir schreiben limx→a+ f (x) = ∞, falls folgendes gilt: Für jede Zahl C > 0
existiert ein h ∈]a, b[, so dass die Funktion f auf dem Intervall ]a, h[ nur Werte größer als C annimmt.
2. Sei f :]a, b[→ R eine Funktion. Wir schreiben limx→b− f (x) = ∞, falls folgendes gilt: Für jede Zahl C > 0
existiert ein h ∈]a, b[, so dass die Funktion f auf dem Intervall ]h, b[ nur Werte größer als C annimmt.
3. Sei f :]a, b[→ R eine Funktion. Wir schreiben limx→a+ f (x) = −∞, falls limx→a+ (−f (x)) = ∞.
4. Sei f :]a, b[→ R eine Funktion. Wir schreiben limx→b− f (x) = −∞, falls limx→b− (−f (x)) = ∞.
5.1. ANALYSIS KOMPAKT
49
In obigen Definitionen ist für das Intervall ]a, b[ auch ein Intervall ] − ∞, b[, bzw. ]a, ∞[ erlaubt.
Definition: Sei f :]a, b[→ R eine Funktion und x0 ∈]a, b[ ein Punkt. Die Funktion f heißt differenzierbar im Punkt
x0 , wenn folgender Grenzwert der Differenzenquotienten existiert:
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
f 0 (x0 ) := lim
Dieser Grenzwert heißt auch Differentialquotient und die Zahl f 0 (x0 ) heißt der Wert der Ableitung von f im Punkt
x0 .
Die Funktion f heißt differenzierbar, wenn f in jedem Punkt x0 ∈ D differenzierbar ist. In diesem Falle bezeichnen
wir mit f 0 die Ableitung von f . Diese ist wieder eine auf ]a, b[ definierte Funktion.
Regel: Sei f :]a, b[→ R differenzierbar im Punkt x0 ∈ D, dann ist die Zahl f 0 (x0 ) die Steigung der Tangente im
Graphen von f durch den Punkt (x0 , f (x0 )).
Regel: [Ableitung elementarer Funktionen] Folgende Funktionen sind auf ihrem angegebenen Definitionsbereich differenzierbar mit folgender Ableitung:
• Für jede natürliche Zahl n ∈ N besitzt die Monomfunktion f (x) = xn auf D = R die Ableitung f 0 (x) = n · xn−1 .
• Die Exponentialfunktion f (x) = ex besitzt auf D = R die Ableitung f 0 (x) = ex .
• Die Sinusfunktion f (x) = sin(x) besitzt auf D = R die Ableitung f 0 (x) = cos(x).
• Die Cosinusfunktion f (x) = cos(x) besitzt auf D = R die Ableitung f 0 (x) = − sin(x).
• Die verallgemeinerten Monomfunktionen f (x) = xα für α > 0 besitzen auf D =]0, ∞[ die Ableitung f 0 (x) =
α · xα−1 .
Regel: [Faktorregel] Ist f :]a, b[→ R differenzierbar in x0 und C ∈ R eine beliebige Konstante, so ist auch C · f eine
in x0 differenzierbare Funktion mit Ableitung
(C · f )0 (x0 ) = C · f 0 (x0 ).
Regel: [Summenregel] Sind f, g :]a, b[→ R in x0 differenzierbar mit Ableitung f 0 (x0 ) und g 0 (x0 ), so ist auch (f + g)
in x0 differenzierbar und es gilt
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
Regel: [Produktregel] Sind f, g :]a, b[→ R in t0 differenzierbar mit Ableitung f 0 (x0 ) und g 0 (x0 ), so ist auch (f · g) in
x0 differenzierbar und es gilt
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ).
Regel: [Quotientenregel] Sind f, g :]a, b[→ R in x0 differenzierbar mit Ableitung f 0 (x0 ) und g 0 (x0 ) und hat g auf dem
Intervall ]a, b[ keine Nullstelle, so ist auch fg in x0 differenzierbar und es gilt
0
f
f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
g(x0 )2
Regel: [Kettenregel] Es sei g :]a, b[→ R in x0 differenzierbar, wobei für alle x ∈]a, b[ der Funktionswert g(x) im
Intervall ]c, d[ liege. Weiter sei f :]c, d[→ R eine in g(x0 ) differenzierbare Funktion. Dann ist auch die Verkettung f ◦ g
in x0 differenzierbar und es gilt (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 ).
50
KAPITEL 5. ANALYSIS
Regel: [Ableitung der Umkehrfunktion] Sei f :]a, b[→ R in x0 differenzierbar und sei f −1 die Umkehrfunktion von
f , also f −1 (f (x)) = f (f −1 (x)) = x. Ist dann f (x0 ) 6= 0, so ist die Umkehrfunktion f −1 im Punkt y0 := f (x0 )
differenzierbar mit Ableitung
1
.
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
Definition: Es sei f eine differenzierbare Funktion. Ist die erste Ableitung f 0 wieder differenzierbar, so heißt f 00 :=
(f 0 )0 die zweite Ableitung von f . Ist diese wieder differenzierbar, so heißt f 000 := (f 00 )0 die dritte Ableitung von f usw.
Ist für eine natürliche Zahl n ∈ N eine Funktion f mindestens n-mal differenzierbar, so bezeichnen wir mit f (n) die
n-te Ableitung von f .
Satz: [Mittelwertsatz der Differentialrechnung] Sei f : [a, b] → R stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gibt es
einen Punkt x0 ∈]a, b[ mit
f (b) − f (a)
f 0 (x0 ) =
.
b−a
Satz: Sei f :]a, b[→ R differenzierbar, so gilt:
1. Ist f 0 (x) > 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f streng monoton wachsend.
2. Ist f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f monoton wachsend.
Analoge Resultate für (streng) monoton fallende Funktionen erhalten wir durch Betrachtung von −f .
Regel: Es seien f, g :]a, b[→ R differenzierbare Funktionen.
1. Ist weiter lim+ f (x) = 0, lim+ g(x) = 0 und existiert lim+
x→a
x→a
x→a
lim+
x→a
f 0 (x)
, so gilt
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim+ 0
.
g(x) x→a g (x)
2. Ist weiter lim+ f (x) = ∞, lim+ g(x) = ∞ und existiert lim+
x→a
x→a
x→a
f 0 (x)
, so gilt
g 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→∞ g(x)
x→∞ g (x)
lim
f 0 (x)
, so gilt
x→−∞ g 0 (x)
3. Ist weiter lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 und existiert lim
x→−∞
x→−∞
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→−∞ g(x)
x→−∞ g (x)
lim
Analoge Resultate gelten natürlich auch für rechtsseitge Grenzwerte in b oder Grenzwerte limx→∞ .
5.2. FOLGEN UND GRENZWERTE
5.2
5.2.1
51
Folgen und Grenzwerte
Zahlenfolgen
Definition: Eine Funktion mit der Definitionsmenge der natürlichen Zahlen (N) heißt Folge. Die Funktionswerte
sind Elemente aus R. Somit ist eine Folge eine Abblidung von N nach R (a : N → R)
Die einzelnen Funktionswerte heißen Folgenglieder.
Eine Folge wird mit (an ) = a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ; ... notiert.
Hierbei beschreibt der Index n die Platznummer oder Position des Folgengliedes.
Für Folgen lassen sich in der Literatur ebenso folgende Schreibweisen finden:
• (an )n
• (an )n∈N
Definition: Eine Folge (an ) heißt monoton fallend, wenn für alle n ∈ N gilt:
an ≥ an+1
Eine Folge (an ) heißt monoton wachsend, wenn für alle n ∈ N gilt:
an ≤ an+1
Falls das Folgenglied an+1 echt größer (>)oder echt kleiner (<) als an ist, wird die Folge streng monoton wachsend
bzw. streng monoton fallend genannt.
Definition: Eine Folge (an ) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl K gibt, die von keinem Folgenglied überschritten wird:
an ≤ K
für alle
n∈N
K heißt obere Schranke.
Eine Folge (an ) heißt nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k gibt, die von keinem Folgenglied unterschritten wird:
an ≥ k
für alle
n∈N
k heißt untere Schranke.
Definition: Die Folge (an ) heißt beschränkt, wenn die Folge eine obere Schranke K und eine untere Schranke k
besitzt. In diesem Fall lässt sich auch eine Zahl S finden, sodass der Betrag der Folge kleiner als S ist. Mathematisch
lässt sich das wie folgt ausdrücken:
Es gibt ein S ∈ R mit S ≥ 0, so dass für alle n ∈ N gilt:
|an | ≤ S
Es gibt also eine obere Schranke K = S und eine untere Schranke k = −S.
52
KAPITEL 5. ANALYSIS
Definition: Eine Folge (an ) heißt konstant, falls alle Folgenglieder den gleichen Wert besitzen.
Definition: Eine Folge (an ) heißt alternierend, wenn je zwei aufeinander folgende Glieder entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.
Definition: Eine Folge (an ) heißt arithmetisch, wenn ein d ∈ R existiert mit
an+1 − an = d für alle
n ∈ N.
Für arithmetische Folgen gilt damit :
an = a1 + d · (n − 1)
für n ∈ N.
Eine Folge (an ) ist arithmetisch, wenn das nächste Folgenglied durch Addition eines konstanten Wertes erzeugt wird.
Das heißt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Glieder stets gleich ist.
Definition: Eine Folge (an ) heißt geometrisch, wenn ein q ∈ R existiert und
an+1
=q
an
für alle
n∈N
gilt.
Satz: Für geometrische Folgen gilt damit:
an = a0 · q n
für alle
n ∈ N.
5.2. FOLGEN UND GRENZWERTE
5.2.2
53
Grenzwerte von Folgen
Definition: Eine reelle Zahl g heißt Grenzwert der Folge (an ), wenn für jede Zahl ε > 0 die Ungleichung |an − g| < ab einem Index N mit N ∈ N für alle n ≥ N erfüllt ist.
Formal wird die Definition des Grenzwertes in der Mathematik häufig mit Hilfe von Quantoren ausgedrückt:
∀ε > 0
∃N ∈ N
∀n ≥ N : |an − g| < ε
Definition: Um den Prozess der Grenzwertbildung mathematisch auszudrücken, wird folgende Kurzschreibweise verwendet:
lim an = g
n→∞
Gelesen wird diese Schreibweise als “ Grenzwert (Limes) von (an ) für n gegen Unendlich ist g“. Diese Schreibweise
kann nur verwendet werden, wenn ein Grenzwert existiert.
Definition: Folgen, die einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent. Man sagt auch: Die Folge konvergiert
gegen den Grenzwert g.
Alle Folgen, die nicht konvergent sind, nennt man divergent.
Satz: Jede konvergente Folge (an ) ist beschränkt.
Definition: Folgen, die den Grenzwert g = 0 besitzen, heißen Nullfolgen.
Satz: Die Folge (an ) besitzt den Grenzwert g genau dann, wenn lim (an − g) = 0
n→∞
Satz: Sei a ∈ R und k ∈ N. Jede Folge (an ) mit an =
a
nk
ist eine Nullfolge.
Satz: Es sei a ∈ R \ 0, q ∈ R,|q| < 1.
Dann ist die Folge (an ) mit an = a · q n eine Nullfolge.
Satz: (an ) und (bn ) seien konvergente Folgen mit den Grenzwerten a bzw. b.
Es gelten die folgenden Aussagen:
1. Die Summenfolge (sn ) = (an + bn ) hat den Grenzwert a + b
2. Die Differenzenfolge (dn ) = (an − bn ) hat den Grenzwert a − b
3. Die Produktfolge (pn ) = (an · bn ) hat den Grenzwert a · b
4. Die Quotientenfolge (qn ) = ( abnn ) hat den Grenzwert
a
b,
falls b 6= 0 und bn 6= 0 für n ∈ N
54
KAPITEL 5. ANALYSIS
5.3
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
5.3.1
Grenzwerte von Funktionen
Definition: Eine Funktion f hat für x → ∞ den Grenzwert g, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1) f ist für ein a auf der Menge D = {x ∈ R : x ≥ a} definiert
2) Für jede gegen ∞ strebende Folge (xn ), deren Glieder in D liegen, konvergiert die Folge der zugehörigen Funktionswerte f (xn ) gegen g.
Wenn beide Bedingungen erfüllt sind, konvergiert die Funktion gegen g. Es gilt lim f (x) = g.
x→∞
Analog gilt für x → −∞ die Schreibweise lim f (x) = g
x→−∞
Definition: Die Funktion f hat an der Stelle x0 genau dann den Grenzwert g, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. f ist in einer Umgebung von x0 definiert (nicht unbedingt in x0 selbst).
2. Für jede gegen x0 konvergierende Testfolge (xn ), deren Glieder in D \ {x0 } liegen, konvergiert die Folge der
dazugehörigen Funktionswerte f (xn ) gegen g.
Man sagt die Funktion f konvergiert an der Stelle x0 gegen g.
Es wird lim f (x) = g geschrieben und limes f(x) für x gegen x0 ist gleich g“ gelesen.
”
x→x0
Definition: Die Funktion f hat an der Stelle x0 genau dann einen linksseitigen Grenzwert g, wenn die beiden
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. f ist in einer linksseitigen Umgebung von x0 definiert (nicht unbedingt in x0 selbst).
2. Für jede gegen x0 konvergierende Folge (xn ) mit xn < x0 , deren Glieder in D \ {x0 } liegen, konvergiert die Folge
der dazugehörigen Funktionswerte f (xn ) gegen g.
Analog dazu ist auch der rechtsseitige Grenzwert definiert.
Satz: Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion f an der Stelle x0 überein, so besitzt f an der
Stelle x0 einen Grenzwert g, und es gilt
lim
f (x) =
lim
f (x) = lim f (x) = g
x→x0
x → x0
x → x0
x > x0
x < x0
Definition: In der folgenden Tabelle sind verschiedene Schreibweisen für einseitige Grenzwerte notiert:
rechtsseitiger Grenzwert
linksseitiger Grenzwert
lim f (x)
x→x+
0
lim f (x)
x→x−
0
lim f (x)
x↓x0
lim f (x)
x↑x0
lim f (x)
x&x0
lim f (x)
x%x0
lim
f (x)
x → x0
x > x0
lim
f (x)
x → x0
x < x0
Definition: Eine Stelle x0 heißt Polstelle oder Pol der gebrochen rationalen Funktion f mit f (x) =
Nennerpolynom v(x0 ) = 0 und das Zählerpolynom u(x0 ) 6= 0 sind.
Die Gerade mit x = x0 heißt Polgerade.
u(x)
v(x) ,
wenn das
5.3. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
55
Definition: Ist g(x) eine Gerade, der sich f (x) beim Grenzübergang nach +∞ oder −∞ beliebig genau annähert,
dann nennt man g(x) eine Asymptote von f(x) und es gilt
lim [f (x) − g(x)] = 0
x→∞
oder
lim [f (x) − g(x)] = 0.
x→−∞
Satz: f und g seien Funktionen mit den Grenzwerten lim f (x) = a und lim g(x) = b , wobei a, b ∈ R
x→x0
x→x0
1. lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = a + b
x→x0
x→x0
x→x0
2. lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x) = a − b
x→x0
x→x0
x→x0
3. lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) = a · b
x→x0
x→x0
4. lim
x→x0
f (x)
g(x)
x→x0
lim f (x)
=
x→x0
lim g(x)
x→x0
=
a
b
, falls b 6= 0 und g(x) 6= 0 in einer Umgebung von x0 gilt.
Die Grenzwertsätze gelten ebenso für x → ∞ und x → −∞.
56
KAPITEL 5. ANALYSIS
5.3.2
Stetigkeit
Definition: Es sei D eine Teilmenge von R und f : D → R eine auf D definierte Funktion.
1. Die Funktion f heißt stetig im Punkt x0 ∈ D, falls für alle konvergenten Folgen (xn )n∈N mit Folgengliedern in
D und Grenzwert x0 gilt: limn→∞ f (xn ) = f (x0 ).
2. Die Funktion f heißt stetig, wenn f in allen Punkten x0 aus D stetig ist.
Satz: [Rechenregeln für stetige Funktionen] Es sei D ⊆ R und es seien f, g : D → R in x0 ∈ D stetige Funktionen.
Dann sind folgende Funktionen ebenfalls in x0 stetig:
• α · f + β · g für eine beliebige Wahl von reellen Zahlen α, β ∈ R.
• f · g.
•
f
g,
sofern g keine Nullstelle in D hat (andernfalls ist die Quotientenfunktion nicht definiert).
Regel:
• Die Exponentialfunktion ist auf D = R stetig.
• Die Logarithmusfunktion ist auf D = R+ stetig.
• Sinus und Cosinus sind auf D = R stetig.
• Tangens ist auf D = R \ {..., − 32 π, − 12 π, 12 π, 23 π, ...} stetig.
• Die allgemeinen Potenzfunktionen f (x) = xα ist für D = [0, ∞[ und jedes feste α > 0 stetig. Somit ist z. B.
stetig.
√
x
• Die Betragsfunktion g(x) = |x| ist auf D = R stetig.
Satz: [Hintereinanderausführungen stetiger Funktionen sind stetig] Es seien f und g Funktionen, deren Verkettung
f ◦ g definiert ist. Weiter sei g : D → R in x0 stetig und f im Punkt g(x0 ) stetig. Dann ist auch die verkettete Funktion
f ◦ g : D → R in x0 stetig.
Satz: Sind f : [a, b] → R und g : [b, c] → R stetige Funktionen mit der Anschlussbedingung f (b) = g(b), so ist auch
folgende zusammengesetzte Funktion h : [a, c] → R stetig.
(
f (x), x ∈ [a, b]
h(x) =
g(x), x ∈ [b, c].
Satz: [Zwischenwertsatz] Es sei f : [a, b] → R stetig. Ist f (a) < 0 und f (b) > 0, dann hat f mindestens eine Nullstelle
in [a, b].
Satz: [Satz vom Maximum und Minimum] Es sei f : [a, b] → R stetig. Dann gibt es einen Punkt xmax ∈ [a, b] und
einen Punkt xmin ∈ [a, b] mit
f (x) ≤ f (xmax ),
f (x) ≥ f (xmin ),
für alle x ∈ [a, b].
Satz: Es gibt stetige Funktionen f : [0, 1] → R, die nicht gezeichnet werden können.
Satz: [Alternative Charakterisierung stetiger Funktionen] Es sei D ⊆ R und f : D → R eine Funktion. Ist f stetig in
x0 ∈ D, so hat f die folgende Eigenschaft:
Ist eine reelle Zahl > 0 gegeben, dann gibt es eine reelle Zahl δ > 0, so dass aus |x−x0 | ≤ δ folgt, dass |f (x)−f (x0 )| ≤ gilt. Diese Folgerung gilt für alle Punkte x ∈ D, welche die Ungleichung |x − x0 | ≤ δ erfüllen.
Umgekehrt ist jede Funktion mit dieser Eigenschaft in x0 ∈ D stetig.
5.4. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.4
57
Differentialrechnung
5.4.1
Differenzierbarkeit
Info: Sekantensteigung
Eine Sekante ist eine Gerade, welche die Funktion f : D → R in mindestens zwei Punkten schneidet. Die Steigung
(x0 )
berechnen.
einer Sekante lässt sich durch m = f (x)−f
x−x0
Info: Differenzenquotient
(x0 )
Qf,x0 (x) = f (x)−f
wird als Differenzenquotient der Funktion f : D → R an der Stelle x0 ∈ D bezeichnet.
x−x0
Bild: Differenzenquotient
Info: Tangentensteigung
Hat die Funktion f : D → R im Punkt (x0 |f (x0 )) eine Tangente mit Steigung m ∈ R, dann ist m = limx→x0
D.h. die Steigung der Tangente ist durch den Grenzwert des Differentialquotienten gegeben.
f (x)−f (x0 )
.
x−x0
Info: Differentialquotient
Falls der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert, wird er Differentialquotient oder Ableitung von f nach x an
der Stelle x0 genannt. Schreibe:
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
.
= lim
h→0
x − x0
h
Info: Die Funktion f heißt differenzierbar in x0 ∈ D, wenn der Grenzwert
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
h
existiert.
Info: Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle x0 ∈ D differenzierbar ist.
Info: Differenzierbare und stetige Funktionen
Ist die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, so ist f dort auch stetig.
58
KAPITEL 5. ANALYSIS
5.4.2
Interpretation erster und höherer Ableitungen
Satz: Beste lineare Approximation
Mit Hilfe der Ableitung kann eine Funktion lokal linear approximiert bzw. angenähert werden.
Es gilt f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + r(x), wobei r den Fehler dieser Approximation beschreibt. Für diesen Fehler
gilt
r(x)
lim
= 0.
x→x0 x − x0
Die Funktion verhält sich also in der Nähe von x0 ∈ D fast so wie eine Gerade, deren Steigung durch die Ableitung
beschrieben wird.
Definition: Ableitungsfunktion
Ableitungen lassen sich bei differenzierbaren Funktionen wieder als Funktionen auffassen. Lokales Verhalten der Funktion führt in jedem Punkt zu einer Zuordungsvorschrift und damit zu einer neuen global definierten Funktion.
Für differenzierbare Funktionen beschreiben also die Wertepaare (x0 |f 0 (x0 )) eine Funktion, die so genannte Ab(x)
(Leibniz-Schreibweise) bezeichnet. Meist kann die
leitungsfunktion. Diese Funktion wird mit f 0 (x) oder mit dfdx
Ableitungsfunktion durch einen eigenen Funktionsterm angegeben werden.
Bild: Graphische Ableitung
Satz: Monotonie
f : D → R sei eine in einem Intervall I differenzierbare Funktion. Dann gilt:
1. Ist f 0 (x) > 0 für alle x ∈ I, so wächst f (x) in I streng monoton.
2. Ist f 0 (x) < 0 für alle x ∈ I, so fällt f (x) in I streng monoton.
Info: Die Ableitung einer Funktion kann oft als Änderungsverhalten einer Funktion gedeutet werden. Beispielsweise
können räumliche oder zeitliche Veränderungen wie in der genetischen Hinführung betrachtet werden.
Info: Schreibweisen
Die folgende Tabelle zeigt weitere mögliche Schreibweisen der Ableitung.
df (x) df
Erste Ableitung f 0 (x0 ) f˙(x0 ) f (1) (x0 )
dx dx (x0 )
x=x0
d2 f (x) d2 f
Zweite Ableitung f 00 (x0 ) f¨(x0 ) f (2) (x0 )
dx2 dx2 (x0 )
x=x0
n
f (x) dn f
n-te Ableitung
f (n) (x0 ) d dx
n dxn (x0 )
x=x0
d
dx f (x0 )
d2
dx2 f (x0 )
dn
dxn f (x0 )
5.4. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.4.3
59
Ableitungsregeln
Satz: Konstantenregel
Für eine konstante Funktion f(x)=k mit k ∈ R gilt:
f 0 (x) = (k)0 = 0
Satz: Potenzregel
(xn )0 = n · xn−1 n ∈ Z
Satz: Faktorregel
f sei eine differenzierbare Funktion und c eine beliebige reelle Zahl. Dann gilt:
(c · f )0 = c · f 0
Satz: Summenregel
Sind die Funktionen f und g im Intervall I differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion f + g differenzierbar und
es gilt:
(f + g)0 = f 0 + g 0
Satz:
Seien f, g : D → R in x ∈ D differenzierbare Funktionen, dann gilt:
Produktregel (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
0
0
g0
falls g(x) 6= 0 für jedes x ∈ D.
Quotientenregel fg = f g−f
g2
Satz: Kettenregel
Seien f : D → R und g : E → R Funktionen mit g(E) ⊂ D. Die Funktion g sei an der Stelle x ∈ E differenzierbar und
f sei in g(x) ∈ D differenzierbar. Dann ist die Funktion f (g(x)) = f ◦ g : D → R im Punkt x differenzierbar und es
gilt (f (g(x)))0 = g 0 (x) · f 0 (g(x)).
Satz: Ableitung der Umkehrfunktion
Es sei f eine umkehrbare, an der Stelle x0 stetige Funktion. Die Umkehrfunktion f −1 von f sei an der Stelle f (x0 )
differenzierbar und es sei (f −1 )0 (f (x0 )) 6= 0. Dann ist f an der Stelle x0 differenzierbar und es gilt
f 0 (x0 ) =
1
(f −1 )0 (f (x
0 ))
.
Satz: Die Funktion f (x) = ex ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar und es gilt
f 0 (x) = ex .
Satz: Jede Exponentialfunktion f (x) = ax mit a > 0 und a 6= 1 ist auf D = R differenzierbar und es gilt
f 0 (x) = ln a · ax .
Satz: Die Funktion f (x) = ln x ist für alle x > 0 differenzierbar und es gilt (ln x)0 =
1
x
60
KAPITEL 5. ANALYSIS
Satz: Jede Logarithmusfunktion f (x) = loga x =
gilt:
ln x
ln a
(x > 0, a > 0, a 6= 1) ist für jedes x > 0 differenzierbar und es
(loga x)0 =
1
x · ln a
Satz: Die Funktion f (x) = sin(x) ist differenzierbar auf D = R. Für alle x ∈ D gilt
f 0 (x) = cos(x)
Satz: Die Funktion f (x) = cos(x) ist auf D = R differenzierbar. Es gilt für alle x ∈ D:
f 0 (x) = −sin(x)
5.4. DIFFERENTIALRECHNUNG
5.4.4
61
Lokale Extrema und Wendepunkte
Info: Sei f : D → R eine Funktion. Dann hat f an der Stelle xe ∈ D ein lokales Minimum (bzw. lokales
Maximum), falls es ein Intervall I = ]a, b[ ⊆ D gibt, welches xe enthält, so dass f (xe ) ≤ f (x) (bzw. f (xe ) ≥ f (x))
für jedes x ∈ I ist.
Info: (Notwendiges Kriterium) Ist die Funktion f : D → R differenzierbar und hat f in xe ∈ D ein lokales
Extremum, dann ist f 0 (xe ) = 0.
Info: (Hinreichendes Kriterium) Sei f : D → R zweimal differenzierbar. Ist f 0 (xe ) = 0 und f 00 (xe ) > 0 (bzw.
f 00 (xe ) < 0), dann hat f an der Stelle xe ∈ D ein lokales Minimum (bzw. Maximum).
Info: (Vorzeichenwechsel-Kriterium) Für eine differenzierbare Funktion f : D → R gilt:
• Ist f 0 (xe ) = 0, f 0 (x) < 0 auf einem Intervall [a, xe [ ⊆ D und f 0 (x) > 0 auf einem Intervall ]xe , b] ⊆ D, dann hat
f in xe ∈ D ein lokales Minimum.
• Ist f 0 (xe ) = 0, f 0 (x) > 0 auf einem Intervall [a, xe [ ⊆ D und f 0 (x) < 0 auf einem Intervall ]xe , b] ⊆ D, dann hat
f in xe ∈ D ein lokales Maximum.
Info: Für eine Funktion f : D → R liegt in xe ∈ D das globale Maximum (bzw. das globale Minimum) vor,
falls f (xe ) ≥ f (x) (bzw. f (xe ) ≤ f (x)) für jedes x ∈ D ist.
Info: Sei f : D → R eine zweimal differenzierbare Funktion. Dann heißt xw ∈ D Wendestelle (für f ), falls
die Ableitungsfunktion f 0 an der Stelle xw ein lokales Extremum besitzt. Den Punkt (xw , f (xw )) nennt man auch
Wendepunkt.
Info: (Notwendiges Kriterium) Ist die Funktion f : D → R zweimal differenzierbar und xw ∈ D eine Wendestelle,
dann ist f 00 (xw ) = 0.
Info: (Hinreichendes Kriterium) Sei f : D → R dreimal differenzierbar. Ist f 00 (xw ) = 0 und f 000 (xw ) 6= 0, dann
hat f an der Stelle xw ∈ D einen Wendepunkt.
Info: (Vorzeichenwechsel-Kriterium) Für eine zweimal differenzierbare Funktion f : D → R gilt:
Ist f 00 (xw ) = 0, f 00 (x) < 0 (bzw. f 00 (x) > 0) auf einem Intervall [a, xw [ und f 00 (x) > 0 (bzw. f 00 (x) < 0) auf einem
Intervall ]xw , b], dann hat f in xw ∈ D einen Wendepunkt.
Info: Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente wird auch als Sattelpunkt oder Terassenpunkt bezeichnet.
Die Tangente in einem Wendepunkt heißt auch Wendetangente.
Info: Ist n eine gerade Zahl, f : D → R eine n-mal differenzierbare Funktion und x0 ∈ D. Dann gilt:
• Ist f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) (x0 ) > 0, so besitzt f in x0 ein lokales Minimum.
• Ist f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) (x0 ) < 0, so besitzt f in x0 ein lokales Maximum.
Info: Für eine gerade Zahl n, eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion f : D → R und x0 ∈ D gilt: Ist f 0 (x0 ) =
f 00 (x0 ) = ... = f (n) (x0 ) = 0 und f (n+1) (x0 ) 6= 0, so besitzt f in x0 eine Wendestelle.
62
KAPITEL 5. ANALYSIS
5.5
5.5.1
Funktionsuntersuchung
Kurvendiskussion
Info: Bei einer Kurvendiskussion untersucht man Eigenschaften des Graphen einer Funktion. Dabei bestimmt
man
1. den maximalen Definitionsbereich,
2. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
3. Symmetrien (zum Koordinatensystem),
4. Periodizität,
5. lokale Extrema,
6. Wendepunkte und Sattelpunkte,
7. Polstellen rationaler Funktionen,
8. das Verhalten im Unendlichen und an den Rändern des Definitionsbereichs,
9. Asymptoten,
10. globale Extrema und
11. das Monotonieverhalten.
Info: Der maximale Definitionsbereich Df ⊆ R einer Funktion f besteht aus allen reellen Zahlen x ∈ R, für die
der Funktionswert f (x) definiert ist.
Info: Ist 0 ∈ D, so schneidet der Graph der Funktion f : D → R die y-Achse im Punkt (0, f (0)).
Für jede Nullstelle xi ∈ D (d.h. f (xi ) = 0) ist der Punkt (xi , 0) ein Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der
x-Achse.
Info: Eine Funktion f : D → R heißt
• achsensymmetrisch zur y-Achse oder auch gerade, wenn f (−x) = f (x) für jedes x ∈ D gilt,
• punktsymmetrisch zum Ursprung oder auch ungerade, wenn f (−x) = −f (x) für jedes x ∈ D gilt.
Insbesondere muss in beiden Fällen für jedes x ∈ D auch (−x) in D liegen (also muss D = −D sein).
Info: Ist die Funktion f : D → R gegeben durch f (x) = g(x) · h(x), dann ist f
• gerade, falls die Funktion g und h beide gerade oder beide ungerade sind und
• ungerade, falls eine der Funktion g und h gerade und die andere ungerade ist.
Außerdem sind Summen gerader Funktionen wieder gerade und Summen ungerader Funktionen wieder ungerade.
Info: Eine Funktion f : D → R hat eine Periode 0 6= L ∈ R, falls für jedes x ∈ D auch (x + L) ∈ D ist und
f (x + L) = f (x) gilt. In diesem Fall heißt die Funktion f L-periodisch.
Info: Ist die Funktion f : D → R differenzierbar, können die lokalen Extrempunkte wie folgt berechnet werden:
1. Kandidaten für lokale Extremstellen erhält man mit Hilfe des notwendigen Kriteriums:
Dazu bestimmt man alle Nullstellen x1 , . . . , xn der 1. Ableitung f 0 im Definitionsbereich D. (Es kann auch
unendlich viele Kandidaten geben. Außerdem muss nicht jeder Kandidat auch eine Extremstelle sein!)
2. Bei welchen dieser Stellen es sich tatsächlich um eine lokale Extremstelle handelt, bestimmt man mit einem der
hinreichenden Kriterien:
5.5. FUNKTIONSUNTERSUCHUNG
63
• (2. Ableitung) Kann man f : D → R zweimal differenzieren, setzt man jede der im 1. Schritt gefundenen
Stellen in die 2. Ableitung f 00 ein:
Ist f 00 (xi ) > 0, so liegt an der Stelle xi ∈ D ein lokales Minimum vor.
Falls f 00 (xi ) < 0 ist, hat die Funktion f an der Stelle xi ∈ D ein lokales Maximum.
• (Vorzeichenwechsel-Kriterium) Hat die 1. Ableitung f 0 an der Stelle xi ∈ D einen Vorzeichenwechsel,
dann liegt dort ein lokales Extremum vor.
Wechselt das Vorzeichen bei xi von − nach +“, dann hat f in xi ein lokales Minimum.
”
Findet bei xi ein Vorzeichenwechsel von + nach −“ statt, so besitzt f in xi ein lokales Maximum.
”
• Erfüllt einer der im 1. Schritt gefundenen Kandidaten keines der beiden hinreichenden Kriterien, muss diese
Stelle weiter untersucht werden, denn f kann dort trotzdem ein lokales Extremum besitzen!
3. Als letzten Schritt bestimmt man den Funktionswert an den lokalen Extremstellen, um auch die y-Koordinaten
der Extrempunkte zu erhalten. D.h. man setzt die Stellen x1 , . . . , xn , die man als Extremstellen identifiziert hat,
in die Ursprungsfunktion f ein.
Damit ergibt sich für jede Extremstelle xi ∈ D der Extrempunkt (xi , f (xi )).
Info: Ist die Funktion f : D → R zweimal differenzierbar, können die Wendepunkte wie folgt berechnet werden:
1. Kandidaten für Wendestellen erhält man mit Hilfe des notwendigen Kriteriums:
Dazu bestimmt man alle Nullstellen x1 , . . . , xn der 2. Ableitung f 00 im Definitionsbereich D. (Es kann auch
unendlich viele Kandidaten geben. Außerdem muss nicht jeder Kandidat auch eine Wendestelle sein!)
2. Bei welchen dieser Stellen es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, bestimmt man mit einem der hinreichenden Kriterien:
• (3. Ableitung) Kann man f : D → R dreimal differenzieren, setzt man jede der im 1. Schritt gefundenen
Stellen in die 3. Ableitung f 000 ein:
Ist f 000 (xi ) 6= 0, so liegt an der Stelle xi ∈ D ein Wendepunkt vor.
• (Vorzeichenwechsel-Kriterium) Hat die 2. Ableitung f 00 an der Stelle xi ∈ D einen Vorzeichenwechsel,
hat die Funktion f dort einen Wendepunkt.
• Erfüllt einer der im 1. Schritt gefundenen Kandidaten keines der beiden hinreichenden Kriterien, muss diese
Stelle weiter untersucht werden, denn f kann dort trotzdem einen Wendepunkt besitzen!
3. Als letzten Schritt bestimmt man den Funktionswert an den Wendestellen, um auch die y-Koordinaten der
Wendepunkte zu erhalten. D.h. man setzt die Stellen x1 , . . . , xn , die man als Wendestellen identifiziert hat, in
die Ursprungsfunktion f ein.
Damit ergibt sich für jede Wendestelle xi ∈ D der Wendepunkt (xi , f (xi )).
Info: Ein Sattelpunkt oder auch Terassenpunkt ist ein Wendepunkt (xw , f (xw )) mit waagrechter Tangente, d.h.
es gilt f 0 (xw ) = 0. Die Tangente in einem Wendepunkt heißt auch Wendetangente.
Info: Sei D ⊆ R der maximale Definitionsbereich einer rationalen Funktion f : D → R mit f (x) =
eine Nullstelle des Polynoms h im Nenner.
g(x)
h(x)
und x0 ∈
/D
• Falls das Nennerpolynom in x0 eine Nullstelle höherer Ordnung als das Polynom im Zähler besitzt, heißt x0 ∈
/D
Polstelle für f. Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktionswerte für x % x0 und x & x0 jeweils gegen
±∞ gehen (d.h. die Funktionswerte von f in der Nähe von x0 werden im Betrag beliebig groß).
• Andernfalls existiert der Grenzwert limx→x0 f (x) und f hat an der Stelle x0 eine stetig behebbare Definitionslücke.
Info: Eine Gerade g(x) = ax + b mit a, b ∈ R ist eine Asymptote für eine Funktion f : D → R mit unbeschränktem
Definitionsbereich D ⊆ R, falls gilt:
lim f (x) − g(x) = 0
x→∞
oder
lim f (x) − g(x) = 0.
x→−∞
• Ist a 6= 0, dann wird die Gerade g auch als schräge Asymptote bezeichnet.
• Falls a = 0 ist, heißt g auch waagrechte Asymptote.
64
KAPITEL 5. ANALYSIS
Hat f bei x0 eine Polstelle, dann wird die Gerade x = x0 als senkrechte Asymptote bezeichnet.
Info: Für eine Funktion f : D → R gilt:
• Ist die Funktion nach oben unbeschränkt (d.h. gibt es für jedes M ∈ R ein xM ∈ D mit f (xM ) > M ), dann
existiert kein globales Maximum.
• Ist die Funktion nach unten unbeschränkt (d.h. gibt es für jedes m ∈ R ein xm ∈ D mit f (xm ) < m), dann
existiert kein globales Minimum.
Info: Für eine differenzierbare Funktion f : D → R geht man zur Bestimmung des globalen Maximums (bzw.
Minimums) wie folgt vor:
1. Bestimmung der Grenzwerte bzw. Funktionswerte im Unendlichen und an allen Rändern des Definitionsbereichs.
Ist die Funktion nach oben (bzw. unten) unbeschränkt, existiert kein globales Maximum (bzw. Minimum).
2. Bestimmung aller Stellen x1 , . . . , xn ∈ D, bei denen ein lokales Maximum (bzw. Minimum) vorliegt.
können auch unendlich viele sein.)
(Das
3. Berechnung der Funktionswerte f (x1 ), . . . , f (xn ) der lokalen Maxima (bzw. Minima).
4. Vergleich aller dieser Funktionswerte und Grenzwerte (auch aus Schritt 1) um den größten (bzw. kleinsten) Wert
zu ermitteln. Da f nach oben (bzw. unten) beschränkt ist (sonst kann man nach dem 1. Schritt aufhören), ist
dieser durch eine reelle Zahl b ∈ R gegeben.
5. Wird dieser Wert an einer Stelle xb ∈ D angenommen (d.h. gilt f (xb ) = b), dann haben wir das globale Maximum
(bzw. Minimum) gefunden! (Es kann mehr als eine solche Stelle geben.)
Andernfalls ist b ∈ R der Grenzwert der Funktionswerte an einem Randpunkt bzw. für x → ±∞ und die Funktion
f hat kein globales Maximum (bzw. Minimum).
Info: Eine Funktion f : D → R heißt
• monoton steigend, falls für alle reellen Zahlen x1 < x2 aus D folgt, dass f (x1 ) ≤ f (x2 ) ist bzw.
• streng monoton steigend, falls aus x1 < x2 sogar f (x1 ) < f (x2 ) folgt,
• monoton fallend, falls für alle reellen Zahlen x1 < x2 aus D folgt, dass f (x1 ) ≥ f (x2 ) ist bzw.
• streng monoton fallend, falls aus x1 < x2 sogar f (x1 ) > f (x2 ) folgt.
Info: Eine differenzierbare Funktion f : D → R ist auf einem Intervall I ⊆ D genau dann
• monoton steigend, wenn f 0 (x) ≥ 0 für jedes x ∈ I und
• monoton fallend, wenn f 0 (x) ≤ 0 für jedes x ∈ I.
Die Funktion f ist auf I ⊆ D streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend), wenn f 0 (x) > 0 (bzw.
f 0 (x) < 0) ist für jedes x ∈ I.
Außerdem ist f auch dann streng monoton auf I, wenn f monoton ist und die 1. Ableitung f 0 nur für endlich viele
x1 , . . . , xn aus dem Intervall I ⊆ D gleich Null wird (d.h. f (x1 ) = . . . = f (xn ) = 0 und f (x) > 0 bzw. f (x) < 0 für
alle übrigen x ∈ I \ {x1 , . . . , xn }).
5.6. INTEGRALRECHNUNG
5.6
5.6.1
65
Integralrechnung
Flächenberechnung und Integralbegriff
Definition: Zur näherungsweisen Berechnung der Fläche, die von einer positiven Funktion f , der x-Achse und den
Geraden x = a, x = b (a < b) eingeschlossen wird, führen wir Linkssummen ein:
n
X
k=1
f
b−a
a + (k − 1) ·
n
n
b−a
b−a X
b−a
=
·
.
f a + (k − 1) ·
n
n
n
k=1
Das Intervall [a, b] wird in n Teilintervalle gleicher Länge zerlegt: b−a
n . Über jedem Teilintervall wird ein Rechteck
gebildet. Als Höhe des Rechtecks wird der Funktionswert von f am linken Randpunkt des Teilintervalls genommen.
Satz: Für eine im Intervall [a, b] stetige Funktion f (x) konvergiert die Linksumme für n → ∞.
Definition: Die Funktion f (x) sei im Intervall [a, b] stetig. Den Grenzwert der Linkssumme für n → ∞ bezeichnen
wir als bestimmtes Integral über f (x) über dem Intervall [a, b]
Zb
n b−a X
b−a
f (x) dx = lim
f a + (k − 1) ·
.
n→∞
n
n
k=1
a
Man spricht auch vom bestimmten Integral über f von a bis b.
Satz: Für eine stetige Funktion f (x) ergibt das Integral über f (x) in den Grenzen von a bis b die Summe der
gewichteten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f (x), der x-Achse und den Geraden x = a und x = b .
Bild: Das Integral als Flächenbilanz
Satz: Für eine stetige Funktion f (x) und a ≤ c ≤ b gilt die Intervall-Additivität:
Zb
Zc
f (x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx .
c
Definition: Für eine stetige Funktion f (x) und a ≤ b definieren wir:
Za
Zb
f (x) dx = −
f (x) dx .
a
b
Regel:
Faktorregel
Zb
Zb
c f (x) dx = c
a
f (x) dx ,
a
c ∈ R.
66
KAPITEL 5. ANALYSIS
Summenregel
Zb
Zb
(f (x) + g(x)) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
g(x) dx .
a
5.6. INTEGRALRECHNUNG
5.6.2
67
Integrale berechnen: Der Hauptsatz
Definition: Sei f eine stetige Funktion. Jede auf dem Definitionsbereich von f erklärte, differenzierbare Funktion F
heißt Stammfunktion von f , wenn für alle x aus dem Definitonsbereich von f gilt:
(F (x))0 = f (x) .
Die Stammfunktion F ist also eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion f ergibt.
Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f eine auf einem Intervall I ⊂ R stetige Funktion und a eine beliebige Stelle aus I, dann bildet die Flächenfunktion
Zx
F (x) :=
f (t) dt,
x∈I,
a
eine Stammfunktion von f : (F (x))0 = f (x) .
Satz: Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei f eine stetige Funktion auf [a; b] . Dann existiert eine Zwischenstelle ξ ∈ (a; b), sodass gilt:
Zb
f (x) dx = f (ξ) (b − a) .
a
Definition: Sei f (x) eine stetige Funktion. Wir schreiben die Menge aller Stammfunktion {F (x) | F 0 (x) = f (x)}
als F (x) + C oder als das unbestimmte Integral:
Z
f (x) dx = F (x) + C .
Satz: Mit einer beliebigen Stammfunktion F (x) von f (x) bekommen wir das bestimmte Integral:
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a) ,
a
Ein bestimmtes Integral wird also durch die Differenz der Stammfunktion an der oberen Grenze und der Stammfunktion
an der unteren Grenze berechnet.
Definition: Man verwendet häufig die Schreibweise:
Zb
b
f (x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) .
a
Satz: Zwischen einer stetig differenzierbaren Funktion f (x) und ihrer Ableitung f 0 (x) besteht der Zusammenhang:
Z
f 0 (x) dx = f (x) + C .
Regel:
Stammfunktionen der Potenzfunktionen
Z
xn dx =
1
xn+1 + C ,
n+1
n 6= −1 , n ∈ Z ,
68
KAPITEL 5. ANALYSIS
von Sinus und Cosinus
Z
sin(x) dx = − cos x + C ,
Z
cos(x) dx = sin x + C
und der Exponentialfunktion
Z
Für die Potenzfunktion f (x) = x−1 =
1
x
ex dx = ex + C .
gilt schließlich noch:
R
1
x
dx = ln |x| + C .
Regel:
Faktorregel:
Z
Z
c f (x) dx = c
f (x) dx .
Summenregel
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f (x) dx +
g(x) dx .
5.6. INTEGRALRECHNUNG
5.6.3
69
Partielle Integration
Satz: Ein Produkt zweier Funktionen kann man mit partieller Integration integrieren, indem man einen Faktor
als Ableitung betrachtet, und eine der beiden folgenden Formeln anwendet:
Z
Z
l0 (x) · r(x) dx = l(x) · r(x) − l(x) · r0 (x)dx ,
Z
0
l(x) · r (x) dx = l(x) · r(x) −
Z
l0 (x) · r(x)dx .
Die partielle Integration beruht auf der Produktregel beim Differenzieren.
70
5.6.4
KAPITEL 5. ANALYSIS
Substitution
Satz: Substitutionsregel (erste Form):
Gegeben sei ein Integrand der Gestalt: f (g(x))g 0 (x). Die Funktion f (x) besitze eine Stammfunktion F (x): F 0 (x) = f (x),
dann gilt:
Z
f (g(x))g 0 (x) dx = F (g(x)) + C .
Anders ausgedrückt:
Z
0
f (g(x))g (x) dx =
Z
f (t) dt
.
t=g(x)
Satz: Substitutionsregel (Zweite Form):
Die Funktion g(t) sei stetig differenzierbar und umkehrbar (g 0 (t) < 0 oder g 0 (t) > 0). Die Verkettung f (g(x)) sei
möglich. Dann gilt:
Z
Z
0
f (g(t))g (t) dt
f (x) dx =
.
t=g −1 (x)
5.6. INTEGRALRECHNUNG
5.6.5
71
Integration gebrochen-rationaler Funktionen
Regel: Jede echt gebrochen-rationale Funktion f (x) =
z(x)
n(x)
lässt sich genau auf eine Weise als Summe aus einfa-
z(x)
chen Brüchen, so genannte Partialbrüche, schreiben. Gegeben sei eine echt gebrochen-rationale Funktion: f (x) = n(x)
.
Man zerlegt den Nenner in Linearfaktoren und in quadratische Faktoren, welche keine reelle Nullstellen besitzen. Jeder
Faktor liefert nun Terme zur Partialbruchzerlegung entsprechend seiner Vielfachheit:
A1
1. Fall: Ein einfacher Linearfaktor x − λ liefert den Term: x−λ
n
2. Fall: Ein mehrfacher Linearfaktor (x − µ) liefert die Terme:
Bn
B1
B2
+ ... +
+
2
x − µ (x − µ)
(x − µ)n
3. Fall: Ein einfacher quadratischer Faktor ax2 + bx + c ohne reelle Nullstellen liefert die Terme:
Cx + D
ax2 + bx + c
4. Fall: Ein mehrfacher quadratischer Faktor ax2 + bx + c ohne reelle Nullstellen liefert die Terme:
E1 x + F1
Em x + Fm
E2 x + F2
+ ... + +
+
m .
2
2
2
ax + bx + c (ax + bx + c)
(ax2 + bx + c)
Die Beiträge aller Nullstellen summiert man und erhält den Ansatz für die Partialbruchzerlegung. Die unbekannten
Koeffizienten werden bestimmt, indem man die Zerlegung auf den Hauptnenner n(x) bringt und im Zähler einen
Koeffizientenvergleich durchführt.
Info: Jede rationale Funktion lässt sich in ein Polynom und eine echt gebrochen rationale Funktion zerlegen.
72
KAPITEL 5. ANALYSIS
Kapitel 6
Vektorrechnung
6.1
6.1.1
Vektorrechnung
Vektoren
Definition: Die Dimension eines Raumes wird durch die Anzahl der Koordinaten eines Punktes des Raumes
bestimmt. Statt “Koordinate“ spricht man auch von Komponenten.
So hat ein Punkt aus dem zweidimensionalen Raum R2 genau 2 Koordinaten: eine x- und eine y-Koordinate.
Ein Punkt des dreidimensionalen Raumes R3 besitzt drei Koordinaten: eine x-, eine y- und eine z-Koordinate.
Statt der Koordinatenbezeichungen x, y und z findet man häufig auch die Bezeichungen x1 , x2 und x3 , was gleichbedeutend ist.
Mit der letzten Schreibweise kann man leicht auch in höheren Dimensionen arbeiten.
 
v1
Definition: Sei v2  ein Tripel von Zahlen. Die Zuordnung
v3
~v : R3 → R3 ,
~v (x1 ; x2 ; x3 ) = (v1 + x1 ; v2 + x2 ; v3 + x3 ) ,
die jedem Punkt (x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R3 genau einen Punkt (v1 + x1 ; v2 + x2 ; v3 + x3 ) ∈ R3 zuordnet, heißt Verschiebung
im R3 .
Die
 Abbildung ~v nennt man Verschiebungsvektor oder kurz Vektor. Wir schreiben der Einfachheit halber ~v =
v1
v2  .
v3
−−→
Definition: Der Vektor P Q zwischen den Punkten P (p1 ; p2 ; p3 ) und Q(q1 ; q2 ; q3 ) ist definiert als


q − p1
−−→  1
P Q = q2 − p2  .
q3 − p3
Definition: Den Vektor
 vom Ursprung 0 zu einem Punkt P nennt man Ortsvektor.
p1 − 0
p1
−→
Es gilt 0P = p2 − 0 = p2  = p~ .
p3 − 0
p3
 
0
−
−
→
Definition: Seien P, Q zwei beliebige Punkte des R3 mit P = Q , so bezeichnen wir den Vektor P Q = ~0 = 0 als
0
so genannten Nullvektor. Seine Richtung ist unbestimmt.
73
74
KAPITEL 6. VEKTORRECHNUNG
Info: Schreibweisen
−−→
Neben den Schreibweisen P Q und ~v werden für Vektoren häufig folgende Schreibweisen verwendet:
v
bzw.
 
v1
v2 
v3
oder
 
v1
v2  .
v3
In diesem Kurs verwenden wir für Vektorvariablen Pfeile und für die Darstellung der Komponenten eckige Klammern:
 
v1
~v = v2  .
v3
Definition: Zwei Vektoren ~a ∈ R3 und ~b ∈ R3 werden komponentenweise addiert:
Es gilt
    

a1
b1
a1 + b1
~a + ~b = a2  + b2  = a2 + b2  .
a3
b3
a3 + b3
Definition: Sei ~a ∈ R3 ein beliebiger Vektor, so bezeichnen wir −~a als Gegenvektor von ~a , und es gilt:
~a + (−~a) = ~0 .
Die Komponenten von −~
sich aus den Komponenten
 a ergeben


 von ~a durch Umkehrung der Vorzeichen:
a1
−a1
So erhalten wir zu ~a = a2  den Gegenvektor −~a = −a2  .
a3
−a3
Der Gegenvektor hat dieselbe Länge wie der Ausgangsvektor, er zeigt jedoch genau in die entgegengesetzte Richtung.
Satz: Zwei Vektoren ~a ∈ R3 und ~b ∈ R3 werden komponentenweise subtrahiert:
  
 

a1
−b1
a1 − b1
~a − ~b = ~a + (−~b) = a2  + −b2  = a2 − b2  .
a3
−b3
a3 − b3


λ · a1
Definition: Sei λ ∈ R und ~a ∈ R3 , so gilt λ · ~a = λ · a2  .
λ · a3
λ ∈ R ist eine reelle Zahl und wird Skalar genannt. Entsprechend heißt die hier definierte Multiplikation Multiplikation mit Skalaren.
Regel: Regeln für Vektoren
Gegeben seien die Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ R3 sowie die Skalare λ, δ ∈ R .
(1) Assoziativgesetz der Addition:
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c .
(2) Kommutativgesetz der Addition:
~a + ~b = ~b + ~a
6.1. VEKTORRECHNUNG
75
(3) neutrales Element der Addition:
Das neutrale Element bei der Vektoraddition ist der Nullvektor ~0 . Es gilt:
~a + ~0 = ~a .
(4) inverses Element der Addition:
Bei der Addition des Vektors ~a mit seinem Gegenvektor erhält man das neutrale Element ~0 . Der Gegenvektor ist somit
das inverse Element bzgl. der Vektoraddition. Es gilt:
~a + (−~a) = ~0 .
(5) Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation:
λ · (δ · ~c) = (λ · δ) · ~c .
(6) Distributivgesetz:
Auch Distributivgesetze gelten bei Vektoren bzgl. der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation. Es gilt:
λ · (~b + ~c) = λ · ~b + λ · ~c sowie ~a · (λ + δ) = ~a · λ + ~a · δ .
Alle diese Regeln gelten analog im R2 .
 
 
a1 a1
3


a
Satz: Die Länge eines Vektors ~a = 2 ∈ R nennen wir den Betrag des Vektors und schreiben |~a| = a2  .
a3 a3
Wir berechnen diese Länge wie folgt:
|~a| =
q
Für Vektoren ~a ∈ R2 gilt:
|~a| =
a21 + a22 + a23 .
q
a21 + a22 .
76
6.1.2
KAPITEL 6. VEKTORRECHNUNG
Geraden und Ebenen
Definition: Die Gerade g gehe durch den Punkt P (p1 ; p2 ; p3 ) und verlaufe in Richtung des Vektors ~a .
Mit λ ∈ R lässt sich der Ortsvektor ~x eines beliebigen Punktes dieser Geraden wie folgt berechnen:
g:
 
p1
~x = p2  + λ~a ,
p3
(λ ∈ R) .
 
p1
Diese Gleichung bezeichnet man als Parameterdarstellung einer Geraden. Dabei zeigt der Ortsvektor p2  auf
p3
einen Punkt der Geraden und ~a ist ein Richtungsvektor der Geraden g .
Bild: Graphische Darstellung der Geraden g :
 
 
−5
1
~x = 3 + λ  1  aus unterschied−6
2
lichen Perspektiven.
Satz: Lagebeziehung zweier Geraden im R2
Für zwei Geraden g, h ∈ R2 gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:
Fall 1: Die Geraden fallen zusammen; sie sind identisch. In diesem Fall gilt g ∩ h = g bzw. g ∩ h = h .
Dies ist der Fall, wenn die Richtungsvektoren der beiden Geraden zueinander parallel sind und wenn ihre Ortsvektoren
zu Punkten derselben Gerade gehören.
Fall 2: Die Geraden schneiden sich nicht und sind parallel: g ∩ h = {} , g k h .
Dieser Fall liegt vor, wenn die beiden Richtungsvektoren parallel sind und wenn die Ortsvektoren zu Punkten auf
unterschiedlichen Geraden gehören.
Fall 3: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt S , es gilt g ∩ h = {S} ,
Liegt keiner der ersten beiden Fälle vor, schneiden sich die Geraden in einem Punkt. Dieser wird durch Gleichsetzen
der Parameterdarstellungen berechnet.
Satz: Lagebeziehung zweier Geraden im R3
Für zwei Geraden g, h ∈ R3 gibt es vier mögliche Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum:
Fall 1: Die Geraden fallen zusammen; sie sind identisch: g ∩ h = g bzw. g ∩ h = h .
Wie bereits im zweidimensionalen Raum ist dies der Fall, wenn die Richtungsvektoren parallel sind und die Ortsvektoren zu Punkten derselben Geraden gehören.
Fall 2: Die Geraden schneiden sich nicht und sind parallel g ∩ h = {} , g k h .
Wie im R2 liegt dies vor, wenn die Richtungsvektoren parallel sind und die Ortsvektoren nicht zu Punkten derselben
Geraden gehören.
Fall 3: Die Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel: g ∩ h = {} , g ∦ h .
In diesem Fall sind die Richtungsvektoren nicht parallel und die Ortsvektoren gehören außerdem zu Punkten unterschiedlicher Geraden. Liegt dies vor, schneiden sich die Geraden nicht und sind auch nicht parallel. Man spricht in
6.1. VEKTORRECHNUNG
77
diesem Fall von windschiefen Geraden.
Fall 4: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt S : g ∩ h = {P } .
Dieser Fall tritt ein, wenn keiner der obigen Fälle eingetreten ist
 
p1
Definition: Die Ebene E enthalte den Punkt P mit dem Ortsvektor p~ = p2  und enthalte zudem die beiden nicht
p3
parallele Vektoren ~a und ~b , d.h es gilt a ∦ b . Seien zudem λ, µ ∈ R , dann kann der Ortsvektor ~x eines beliebigen
Punkts der Ebene E durch folgende Gleichung berechnet werden:
E:
 
p1
~x = p2  + λ~a + µ~b ,
p3
(λ, µ ∈ R) ,
Diese Gleichung wird Parameterdarstellung der Ebene genannt. Man nennt p~ Ortsvektor und die beiden Vektoren
~a, ~b Spannvektoren der Ebene. ~a und ~b sind nicht parallel, d.h. es gibt kein k ∈ R mit ~a = k · ~b .
Bild: Die Ebene E :
 
 
 
1
−5
1
~x = 3 + λ  1  + µ −6 ,
3
−6
2
(λ, µ ∈ R) , aus unterschied-
lichen Perspektiven.
Definition: Die Gleichung Ax + By + Cz = D bezeichnet man als Koordinatendarstellung oder auch parameterfreie Darstellung der Ebene mit den Konstanten A, B, C ∈ R .
78
6.1.3
KAPITEL 6. VEKTORRECHNUNG
Abstände und Winkel
Definition: Das so genannte Skalarprodukt zweier Vektoren ~a · ~b mit ~a, ~b ∈ R3 ist definiert als :
~a · ~b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 ∈ R .
Neben dem Begriff “Skalarprodukt“ ist auch die Bezeichnung inneres Produkt geläufig.
Man beachte, dass das Ergebnis des Terms auf der rechten Seite stets eine reelle Zahl (und kein Vektor) ist und dass
damit das Skalarprodukt zweier Vektoren einen Skalar (reelle Zahl) liefert. Im R2 setzt man analog ~a ·~b = a1 ·b1 +a2 ·b2 .
Satz: Seien ~a, ~b ∈ R3 , so gilt
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ ,
wobei ϕ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ~a und ~b ist.
Satz: Folgerung
Für den Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren ~a, ~b ∈ R3 gilt:
cos ϕ =
a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
~a · ~b
=
~
|~a| · |b|
|~a| · |~b|
Satz: Gegeben seien zwei Vektoren ~a, ~b ∈ R3 mit ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0 , dann beträgt das Skalarprodukt der beiden
Vektoren genau dann Null, wenn der Winkel zwischen ihnen 90◦ beträgt.
In Zeichen:
~a · ~b = 0 ⇔ ϕ = 90◦ ⇔ a ⊥ b .
Wir sagen “~a steht senkrecht auf ~b“ oder “~a ist orthogonal zu ~b“.
Regel: Eigenschaften des Skalarprodukts
Für beliebige Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ R3 gelten folgende Eigenschaften des Skalarprodukts:
1.) Positive Definitheit
a.) ~a · ~a = |~a|2 , |~a|2 ≥ 0 ,
b.) ~a · ~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0
2.) Kommutativgesetz
~a · ~b = ~b · ~a
3.) Distributivgesetz
(~a + ~b) · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c
4.) Assoziativgesetz
(λ~a)~b = λ(~a~b) = λ~a~b
 
n1
Definition: Einen Vektor ~n = n2  , der orthogonal zu einer Ebene ist, nennt man Normalenvektor der Ebene.
n3
Ein Normalenvektor ist stets orthogonal zu jedem beliebigen Spannvektor ~s der Ebene, und es gilt:
~n · ~s = 0 .
Definition: Sei ~x0 der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X0 und ~n ein Normalenvektor der Ebene E .
6.1. VEKTORRECHNUNG
79
Die Gleichung ~x · ~n = ~x0 · ~n nennt man Normalengleichung der Ebene E .
Satz: Lagebeziehung zweier Ebenen im R3
Für zwei Ebenen E, H ∈ R3 mit den Normalenvektoren n~E und n~H gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:
Fall 1: Die Ebenen fallen zusammen; sie sind identisch: E ∩ H = E bzw. E ∩ H = H .
Dieser Fall liegt vor, wenn die Normalenvektoren der beiden Ebenen parallel sind, also wenn n~E = λ · n~H für ein λ 6= 0
gilt.
Fall 2: Die Ebenen schneiden sich nicht und sind parallel: E ∩ H = {} , E k H .
Auch in diesem Fall gilt für die Normalenvektoren n~E = λ · n~H mit λ 6= 0 , d.h. die Normalenvektoren sind parallel.
Ein beliebiger Ortsvektor der Ebene E kann in diesem Falle jedoch nie Ortsvektor der anderen Ebene H sein.
Es genügt dabei, für einen einzigen, beliebigen Ortsvektor von E zu prüfen, ob dieser auch Ortsvektor der Ebene H
ist oder nicht. Ist dies kein Ortsvektor von H so sind die Ebenen parallel aber nicht identisch.
Fall 3: Die Ebenen können sich in einer Geraden g schneiden: E ∩ H = {g} ,
Dies ergibt sich immer dann, wenn die ersten beiden Fälle nicht eingetreten sind.
Satz: Gegeben sei ein beliebiger Punkt P ∈ R3 sowie eine beliebige Ebene
E:
n1 x + n2 x + n2 x = d .
Der Abstand |LP | des Punktes P von der Ebene E ist dann gegeben durch
|LP | =
−→
1
· |d − ~n · 0P | .
|~n|
80
KAPITEL 6. VEKTORRECHNUNG
Kapitel 7
Logik
7.1
Aussagenlogik
7.1.1
Aufbau der Aussagenlogik
Definition: Eine Aussage ist zunächst ein Satz, der in Umgangssprache oder in irgendeiner künstlichen Sprache
formuliert werden kann. Ein Satz wird aber erst dadurch zur Aussage, dass man ihm einen der beiden Wahrheitswerte
wahr (abgekürzt w oder 1) oder falsch (f oder 0) zuordnen kann.
Definition: Eine Aussage, die nicht weiter in Einzelaussagen zerlegbar ist, heißt atomare Aussage oder Atom.
Definition: Die Sprache der Aussagenlogik wird aus folgendem Alphabet gebildet:
(i) Logische Konstanten 0, 1, ⊥, > mit folgenden Bedeutungen:
0
1
⊥
>
Wahrheitswert falsch
Wahrheitswert wahr
Aussage, die stets den Wert falsch annimmt: Widerspruch
Aussage, die stets den Wert wahr annimmt: Tautologie
(ii) Symbole für Aussagen bzw Aussagenvariablen: A, B, . . . oder p0 , p1 , . . . oder ϕ, ψ, . . .,
(iii) Verknüpfungen: ∧, ∨, ⇒, ¬, ⇔ mit folgenden Bedeutungen:
∧
und
Konjunktion
∨
oder
Disjunktion
⇒
wenn . . ., dann . . .
Implikation
¬
nicht
Negation
⇔ . . .genau dann, wenn . . . Äquivalenz, Bi-Implikation
(iv) Klammersymbole: (, ).
Info: [Verum und Falsum] Die logischen Konstanten > (lies: Top oder Verum) und ⊥ (lies: Bottom oder Falsum)
haben einen festgelegten Wahrheitswert. So steht Verum für eine stets wahre Aussage (Tautologie) und Falsum für
einen Widerspruch.
Info: Für die logische Äquivalenz findet man in der Literatur unterschiedliche Symbole, u.a. ⇔, ↔ und ≡. Teilweise
werden auch zwei verschiedene Schreibweisen verwendet, um zwischen logischer Äquivalenz und Bikonditional zu
unterscheiden. Wir verzichten im Rahmen des Vorkurses auf diese Unterscheidung.
Definition: Sei V eine Menge aussagenlogischer Variablen. Die Menge AL(V) der aussagenlogischen Formeln
über V erhält man durch folgende Konstruktionsvorschriften:
(i) >, ⊥ ∈ AL(V), sowie V ∈ AL(V),
(ii) Wenn A ∈ AL(V), dann ist auch (¬A) ∈ AL(V),
(iii) Wenn A, B ∈ AL(V), dann sind auch (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) ∈ AL(V).
81
82
KAPITEL 7. LOGIK
Definition: Eine Funktion I, die Aussagen bzw. aussagenlogischen Formeln ϕ ∈ AL(V ) einen Wahrheitswert zuordnet,
heißt Interpretation (oder auch Belegung). Falls p eine atomare Aussage ist, gilt
wahr falls I(p) = 1
I : V → {0, 1}, sodass p 7→ I(p). I interpretiert p als
falsch falls I(p) = 0
Falls A ∈ AL(V ) keine atomare Aussage, sondern eine Verknüpfung von Aussagen ist, ist ihre Interpretation von den
Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen abhängig. Für A, B ∈ AL(V) gilt
• I(¬A) = 1 − I(A)
• I(A ∧ B) = min(I(A), I(B))
• I(A ∨ B) = max(I(A), I(B))
0 wenn I(A) = 1 und I(B) = 0
• I(A ⇒ B) =
1 sonst
1 wenn I(A) = I(B)
• I(A ⇔ B) =
0 sonst
Definition: Wenn zwei Aussagen A, B unter jeder Interpretation denselben Wahrheitswert zugeordnet bekommen,
nennen wir sie logisch äquivalent. Wir schreiben dann A ⇔ B.
7.1. AUSSAGENLOGIK
7.1.2
83
Negation
Definition: Die Negation (Verneinung) einer Aussage A lässt sich durch die Funktion
¬ : AL(V ) → AL(V )
A 7→ (¬A)
definieren, deren Interpretation genau den gegenteiligen Wert annimmt:
I(¬A) = 1 − I(A)
84
KAPITEL 7. LOGIK
7.1.3
Konjunktionen und Disjunktionen
Definition: Die Aussagenverknüpfung Konjunktion ( und“, Symbol: ∧) wird durch die Funktion
”
∧ : AL(V) × AL(V)
A1 × A2
−→ AL(V)
7→ (A1 ∧ A2 )
definiert, wobei die Interpretation folgende Werte annimmt:
I(A ∧ B) = min(I(A), I(B)).
Satz: Der Ausdruck ((A ∨ B) ∧ (¬(A ∧ B))) ist genau dann wahr, wenn genau eine der beiden Teilaussagen A und
B wahr ist. Der Ausdruck ist genau dann falsch, wenn beide Teilaussagen wahr oder beide Teilaussagen falsch sind.
Beweis: Wir zeigen die Behauptung anhand einer Wahrheitstafel:
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
(A ∧ B)
1
0
0
0
(¬(A ∧ B))
0
1
1
1
(A ∨ B)
1
1
1
0
((A ∨ B) ∧ (¬(A ∧ B)))
1
1
1
0
Somit beschreibt der genannte logische Ausdruck das exklusive oder“.
”
Definition: Die Aussagenverknüpfung Disjunktion ( oder“, Symbol: ∨) wird durch die Funktion
”
∨ : AL(V) × AL(V)
A1 × A2
−→ AL(V)
7→ (A1 ∨ A2 )
definiert, wobei die Interpretation folgende Werte annimmt:
I(A ∨ B) = max(I(A), I(B)).
Satz: De Morgan’sche Regeln
Seien A, B jeweils Aussagen. Dann gilt:
1. (¬(A ∧ B)) ist äquivalent zu ((¬A) ∨ (¬B))
2. (¬(A ∨ B)) ist äquivalent zu ((¬A) ∧ (¬B))
Beweis: Der Beweis der De Morgan’schen Regeln erfolgt in ??Aufgaben.
7.2. PRÄDIKATENLOGIK
7.1.4
85
Implikationen und Äquivalenzen
Definition: Die Aussageverknüpfung Implikation wird durch die Funktion
⇒ : AL(V) × AL(V)
A1 × A2
−→ AL(V)
7→ (A1 ⇒ A2 )
definiert, wobei die Interpretation folgende Werte annimmt: I(A ⇒ B) =c
Definition:
Die Aussageverknüpfung Äquivalenz wird durch die Funktion
⇔ : AL(V) × AL(V)
→ AL(V)
A1 × A2
7→ (A1 ⇔ A2 )
0 wenn I(A) = I(B)
definiert, wobei die Interpretation folgende Werte annimmt: I(A ⇔ B) =
1 sonst
Satz: Zwei Aussagen A1 und A2 sind genau dann äquivalent, wenn die Aussage A1 die Aussage A2 impliziert und
die Aussage A2 die Aussage A1 impliziert.
Dieser Zusammenhang wurde bereits mehrfach erwähnt und soll nun bewiesen werden.
7.2
Prädikatenlogik
86
KAPITEL 7. LOGIK
7.2.1
Prädikatenlogik
Definition: Seien ci , (i ∈ I) Konstantensymbole, xi , (i ∈ N) Variablen und fi , (i ∈ I) Funktionen, die jeweils ri -stellig
sind. Die Menge der Terme T ERM ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
1. ci ∈ T ERM, xi ∈ T ERM
2. für Terme t1 , . . . , tri ist fi (t1 , . . . , tri ) ∈ T ERM .
Info: Achtung! Terme sind, wie sie bis hierher definiert werden, nichts weiter als Symbolfolgen, die nach einer
bestimmten Vorschrift gebildet wurden. Solange wir keine Interpretation, d.h. eine Struktur mit einer Belegung für
Variablen und Konstanten angeben, bleiben sie bedeutungslos. Das gleiche gilt für Formeln.
Definition: Sei σ = {c, . . . , f, . . . , R, . . .} eine Menge von Konstanten-, Funktions- und Relationssymbolen. Diese
Menge heißt Signatur. Wir definieren zu einer gegebenen Signatur σ, die σ– Struktur S = (S, cS , . . . , f S , . . . , RS , . . .),
bestehend aus der Trägermenge S 6= ∅, zusammen mit der Interpretation der Symbole aus σ, d.h.
• für jedes Konstantensymbol c ∈ σ: ein bestimmtes Element cS ∈ S.
• für jedes n-stellige Funktionssymbol f ∈ σ : eine n-stellige Funktion f S : S n → S.
• für jedes n-stellige Relationssymbol R ∈ σ : eine n-stellige Relation RS ⊆ An .
Definition: Sei V die Menge der Variablen und S eine Struktur mit Trägermenge S. Die Funktion
β : V → S,
die jede Variable eindeutig auf ein Element in der Trägermenge von S abbildet, heißt Belegung. Eine Struktur S mit
einer zugehörigen Belegung β nennen wir Interpretation und bezeichnen wir mit I = (S, β). Nun können wir die
Interpretation von Termen definieren:
• für eine Variable x ∈ V ist die Interpretation von x das von der zugehörigen Belegung abgebildete Element aus
S: xI = β(x).
• für eine Konstante c ∈ σ ist die Interpretation von c das Element aus S, das c fest zugeordnet ist: cI = cS .
• für eine Funktion f (x1 , . . . , xn ) ist die Interpretation die Funktion angewendet auf die Interpretation der Variablen: f I (x1 , . . . , xn ) = f I (β(x1 ), . . . , f I (β(xn ))).
Definition: Die Sprache der Prädikatenlogik wird aus folgendem Alphabet aufgebaut:
Symbole der Signatur σ
c, . . . , f . . . , R, . . .
x∈V
Variablensymbole
∧, ∨, ¬
Verknüpfungen
weitere definierte Verknüpfungen, vgl. Aussagenlogik
⇒, ⇔, . . .
=
Gleichheitssymbol
Existenz- und Allquantor
∃, ∀
), (
Klammersymbole
Info: Die Äquivalenz kann ganz analog zur Aussagenlogik definiert werden: Zwei Formeln F und G sind äquivalent,
falls für jede Struktur S gilt: S(f)=S(G). Es gelten insbesondere die Äquivalenzen der Aussagenlogik auch in der
Prädikatenlogik. Zusätzliche prädikatenlogische Äquivalenzen ergeben sich aus den semantischen Beziehungen zwischen
Quantoren (z.B. Dualität).
Info: Wenn ein Quantor in einer Formel vorkommt, dann heißt die Teilformel, vor die der Quantor geschrieben wurde,
der Bereich des Quantors. Eine (Individuen-)Variable x, die im Bereich eines Quantors ∀x oder ∃x steht, heißt durch
diesen Quantor gebunden; eine Variable, die durch keinen Quantor gebunden ist, nennt man frei. Das Ganze kann man
natürlich abstrakt definieren, es ist aber auch intuitiv verständlich.
Satz: [Dualität] Sei ϕ ∈ F O. Dann gelten folgende Äquivalenzen:
7.3. LOGISCHE SCHLUSSWEISEN
1. ¬x∃ϕ(x) ⇔ ∀x¬ϕ(x)
d.h. Alles ist nicht P.“ bzw. Es gibt nicht mindestens ein (=kein) Ding, das nicht P ist.“.
”
”
2. ¬∀xϕ(x) ⇔ ∃x¬ϕ(x)
d.h. Nicht alles ist P.“ bzw. Es gibt wenigstens ein Ding, das nicht P ist.“.
”
”
3. ∃xϕ(x) ⇔ ¬∀x¬ϕ(x)
d.h. Nicht alles ist nicht P.“ bzw. Es gibt wenigstens ein Ding, das P ist.“.
”
”
4. ∀xϕ(x) ⇔ ¬∃x¬ϕ(x)
d.h. Alles ist ϕ.“ bzw. Es gibt nicht wenigstens ein (=kein) Ding, das nicht P ist.“.
”
”
Satz: Sei ϕ ∈ F O. Dann gilt:
1. ∃x∃yϕ(x, y) ⇔ ∃y∃xϕ(x, y)
2. ∀x∀yϕ(x, y) ⇔ ∀y∀xϕ(x, y)
Satz: Sei ϕ, ψ ∈ F O. Dann gelten folgende Äquivalenzen:
1. ∃x(ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ ∃xϕ(x) ∨ ∃xψ(x)
2. ∀x(ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ ∀xϕ(x) ∧ ∀xψ(x)
7.3
Logische Schlussweisen
87
88
7.3.1
KAPITEL 7. LOGIK
Logische Schlussweisen
Satz: Der Ausdruck ((A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B) stellt eine Tautologie dar. Demnach ist (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B ein gültiger
Schluss.
Definition: Man nennt den Schluss A ⇒ B direkten Beweis.
Satz: Der Ausdruck
((A ⇒ B) ⇔ ((A ∧ (¬B)) ⇒ ⊥)).
stellt eine Tautologie dar. Also sind die Ausdrücke (A ⇒ B) und ((A ∧ (¬B)) ⇒ ⊥) äquivalent.
Beweis: Wir zeigen wieder anhand einer Wahrheitstafel, dass obiger Satz gilt:
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
⊥
0
0
0
0
(A ⇒ B)
1
0
1
1
(¬B)
0
1
0
1
(A ∧ (¬B))
0
1
0
0
((A ∧ (¬B)) ⇒ ⊥)
1
0
1
1
((A ⇒ B) ⇔ ((A ∧ (¬B)) ⇒ ⊥))
1
1
1
1
Definition: Man nennt den Nachweis einer Aussage durch Nutzung der logischen Äquivalenz zwischen ((A∧(¬B)) ⇒
⊥) und (A ⇒ B) Widerspruchsbeweis.
Satz: Die Aussagen (A ⇒ B) und ((¬B) ⇒ (¬A)) sind äquivalent. Der Ausdruck
((A ⇒ B) ⇔ ((¬B) ⇒ (¬A))) .
stellt also eine Tautologie dar.
Definition: Beim Beweis durch Kontraposition zeigt man die Wahrheit der Aussage A ⇒ B durch die Wahrheit
der Aussage (¬B) ⇒ (¬A).
Info: Die Äquivalenz der Aussagen (A ⇒ B) und ((¬A) ⇒ (¬B)) gilt im Allgemeinen nicht.
Info: Für eine Menge von Aussagen A(n), n ∈ N gilt: Ist
i) A(1) wahr, und gilt
ii) für n ∈ N: A(n)wahr =⇒ A(n + 1)wahr,
so ist
A(n) wahr für alle n ∈ N.
Definition: Schritt i) nennt man den Induktionsanfang, Schritt ii) den Induktionsschritt und darin “A(n) wahr”
die Induktionsvoraussetzung und “A(n + 1) wahr” die Induktionsbehauptung.
Hat man eine Menge von Aussagen A(n) für n ∈ N mit n ≥ k, k ∈ N, gegeben, so ist der Induktionsanfang “A(1)
wahr” durch “A(k) wahr” zu ersetzen und der Induktionsschritt für n ∈ N mit n ≥ k zu beweisen.
Man bezeichnet dieses Vorgehen als vollständige Induktion. Dass durch dieses Vorgehen die Wahrheit von A(n) für
alle n ∈ N bewiesen ist, nennt man das Prinzip der vollständigen Induktion.
Info: Allaussagen der Gestalt Für alle x aus der Menge M gilt die Eigenschaft E.“ kann man oft durch Angabe
”
eines Gegenbeispiels widerlegen.
7.3. LOGISCHE SCHLUSSWEISEN
89
Man betrachtet die Aussage A: Für alle x aus der Menge M gilt die Eigenschaft E ..“. Die Aussage ¬A lautet: Es
”
”
gibt ein x ∈ M , für welches die Eigenschaft E nicht gilt.“ Wenn man ein solches x angeben kann, hat man die Aussage
¬A direkt bewiesen. Die Aussage A muss dann falsch sein.
Info: Prinzipiell gibt es zwei grundsätzliche Möglichkeiten, um A ⇔ B nachzuweisen:
1. Man wendet Äquivalenzumformungen an: A ⇔ Z1 ⇔ . . . ⇔ Zn ⇔ B. Hierbei ist bei jeder Umformung darauf zu
achten, dass es sich wirklich um Äquivalenzen und nicht nur um Implikationen zwischen den Aussagen handelt.
2. Man zeigt, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt. Um die Implikationen nachzuweisen, kann man jeweils eine
geeignete Methode aus den oben genannten auswählen.