Mathematische Methoden für Informatiker INF-120

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Dr. Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker INF-120
Sommersemester 2016
2. Kurz-Lösungen für die Woche 18.04. - 24.04.2016
Konvergenz von Zahlenfolgen
Ü8 (b) xn =
2n + 3
2n
n−1
, n>0
lim
lim xn =
1+
lim 1+
n→∞
n→∞
3
2
n
n→∞
3
2
n
n
3
= e2 .
(e*) Trick:
xn
=
=
p
p
n2 − n − 1 − (n2 + 1)
−n − 2
√
√
n2 − n − 1 − n2 + 1 = √
=√
n2 − n − 1 + n2 + 1
n2 − n − 1 + n2 + 1
−1 − n2
q
q
.
1 − n1 − n12 + 1 + n12
Es folgt (mit der Stetigkeit der Wurzelfunktion):
2
n→∞ n
q
lim 12 + 1
n→∞ n
−1 − lim
lim xn = q
n→∞
1−
lim 1
n→∞ n
−
+
1
=− .
2
lim 12
n→∞ n
Da der Grenzwert existiert, ist die Folge konvergent.
H11 (a) (i) xn = n3 + n3 > n3 und letztere Folge ist nach oben unbeschränkt, folglich hat auch xn
den uneigentlichen Grenzwert ∞.
q
q
p
3
n
2
(ii) n n3 ≤ n n3 + n3 ≤ n 2n
3 für alle n ≥ 3 ( n ≤ 3 ⇔ 9 ≤ n ).
q
√
p
n n
√ = 1 und analog lim n 2n = 1, mit Quetschlemma, lim xn = 1.
Da lim n n3 = lim
3
lim n 3
n→∞
sin(n)
1 + 6n4
+ (−1)n
. Es gilt:
(iii) xn = 4
3n + 2n − 1 |
{z 2n }
|
{z
}
:=zn
:=yn
−
1
1
1 ≤ zn ≤
und lim ±
= 0.
n→∞
2n
2n
2n
Mit Quetschlemma folgt lim zn = 0.
n→∞
Weiter ist nach Rechenregeln lim yn =
n→∞
(b) an =
n
X
k=1
n2
6
3
= 2. Also insgesamt lim xn = 2.
n→∞
1
.
+k
Es gilt: 0 ≤ an ≤
n
P
k=1
eine Nullfolge.
1
n2
=
n
n2
=
1
n.
Da
1
n
→ 0 für n → ∞ gilt, ist (an ) nach Quetschlemma
H12 (a)
• Für beliebige positive reelle Zahlen a, b mit a 6= b gilt stets ’geometrisches Mittel kleiner
arithmetischem Mittel’, denn
√
ab <
a+b
⇔ 4ab < a2 +2ab+b2 ⇔ 0 < a2 −2ab+b2 ⇔ 0 < (a−b)2 wahre Aussage.
2
Zeigen mit vollständiger Induktion, dass damit: ∀n ∈ N : an < bn .
IV: 0 < a0 < b0 ist gegeben.
IA: Es sei n ∈ N , so dass 0 < an < bn gilt.
IS: Aus der IA folgt mit obigem Beweis sofort, dass 0 < an+1 < bn+1 gilt.
• Es sei n ∈ N beliebig. Dann gilt wegen 0 < an < bn :
p
p
an+1 = an bn > a2n = |an | = an .
Ähnlich ergibt sich wegen 0 < an < bn :
bn+1 =
(b)
x3
x2
⇒
=q=
108
−36 =
m m
(−1) 3
−3, ⇒ c =
x2
q2
=
= 6561 ⇒ m = 8.
−36
9
an + bn
2bn
<
= bn .
2
2
= −4, ⇒ xm = cq
m
m
= (−4) · (−3)
= −26 244,
2