1 zahlen und zahlenmengen

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ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN
W 1.01
Unter welchen Voraussetzungen ist A ? B wahr? Unter welchen Voraussetzungen ist A = B wahr?
W 1.02
Unter welchen Voraussetzungen ist A ? B falsch? Unter welchen Voraussetzungen ist A = B falsch?
W 1.03
Wie lautet die korrekte Verneinung von A ? B?
W 1.04
Wie lautet die korrekte Verneinung von A = B?
W 1.05
Wie lautet die korrekte Verneinung von ¬ A ? B?
W 1.06
Wie lautet die korrekte Verneinung von A = ¬ B?
W 1.07
Was bedeutet A w B und was bedeutet A É B? Worin liegt der Unterschied?
W 1.08
Wie kann man eine Allaussage widerlegen?
W 1.09
Wie kann man eine Existenzaussage beweisen?
W 1.10
Gib einige Beispiele für Wörter an, die in der Mathematik oft in anderer Bedeutung verwendet werden
als in der Umgangssprache!
W 1.11
Wie kann man aus zwei Mengen neue Mengen bilden? Definiere diese Mengenbildungen!
W 1.12
Unter welchen Voraussetzungen nennt man zwei Mengen A und B gleich?
W 1.13
Unter welchen Voraussetzungen ist eine Menge A eine Teilmenge einer Menge B?
W 1.14
Unter welchen Voraussetzungen ist eine Menge A eine echte Teilmenge einer Menge B?
W 1.15
Was sind natürliche, ganze, rationale, irrationale bzw. reelle Zahlen? Wie hängen die dazugehörigen
Mengen miteinander zusammen?
W 1.16
Warum kann nicht jedem Punkt der Zahlengeraden eine rationale Zahl zugeordnet werden?
W 1.17
Welchen Abstand haben die den Zahlen x und y entsprechenden Punkte einer Zahlengeraden?
W 1.18
Welcher Zahl entspricht auf der Zahlengeraden der Pfeil von x nach y, welcher Zahl jener von y nach x?
W 1.19
Welche reellen Zahlen lassen sich in Bruchdarstellung angeben, welche nicht?
W 1.20
Welche reellen Zahlen lassen sich in Dezimaldarstellung angeben? Was lässt sich über die
Dezimaldarstellung rationaler bzw. irrationaler Zahlen aussagen?
W 1.21
Wie ist |a| definiert?
W 1.22
Was versteht man unter einem endlichen Intervall, was unter einem unendlichen Intervall?
W 1.23
Erläutere die Rundungskonvention!
W 1.24
Was lässt sich über a aussagen, wenn a = b ± c gilt?
W 1.25
Was versteht man unter 10n bzw. 10–n mit n * N*? Was ergibt 100?
W 1.26
Was ist der Unterschied zwischen der Festkommadarstellung und der normierten
Gleitkommadarstellung? Erläutere beide Darstellungen!
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2017. | www.oebv.at | | Mathemarik verstehen 5 SB | ISBN: 978-3-209-09569-5
Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet.
Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung.
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ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN
Lösungen
W 1.01
A ? B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. A = B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen
A bzw. B wahr ist.
W 1.02
A ? B ist genau dann falsch, wenn mindestens eine der Aussagen A bzw. B falsch ist. A = B ist genau dann falsch, wenn sowohl A
als auch B falsch sind.
W 1.03
¬ A = ¬B
W 1.04
¬ A ? ¬B
W 1.05
A = ¬B
W 1.06
¬A ? B
W 1.07
A w B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Wenn A falsch ist, dann kann B wahr oder falsch sein.
A É B bedeutet: Entweder sind A und B beide wahr oder A und B sind beide falsch.
Ein Unterschied: Aus A É B folgt A w B und B w A. Aus A w B folgt nicht unbedingt B w A.
W 1.08
Eine Allaussage kann durch Angabe eines Gegenbeispiels widerlegt werden.
W 1.09
Eine Existenzaussage kann durch Angabe eines Beispiels bewiesen werden.
W 1.10
„oder“, „und“, „wenn …, dann …“, „ein“, „einige“, „höchstens“, „mindestens“, „für alle“, „es gibt“, „nie nicht“, …
W 1.11
Für A, B a G kann man den Durchschnitt A ° B = {x * G | x * A ? x * B}, die Vereinigung A ± B = {x * G | x * A = x * B} und die
Differenz A\B = {x * G | x * A ? x + B} bilden.
W 1.12
Zwei Mengen A und B nennt man gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
W 1.13
A ist Teilmenge von B, kurz A a B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
W 1.14
A ist eine echte Teilmenge von B, kurz A ² B, wenn A a B und A ≠ B.
W 1.15
Die Menge N der natürlichen Zahlen besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus den Zahlen … –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus jenen Zahlen, die sich in der Form zn mit z * Z und n * N* darstellen lassen.
Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus jenen Zahlen, die den Punkten auf der Zahlengeraden entsprechen bzw. eine
endliche oder unendliche Dezimaldarstellung aufweisen.
Die Menge R\Q der irrationalen Zahlen besteht aus jenen Zahlen, die sich nicht in Bruchdarstellung angeben lassen.
Es gilt: N ² Z ² Q ² R.
W 1.16
Es gibt Punkte auf der Zahlengeraden, die sich durch Konstruktion darstellen lassen wie zB √2, die keine Element der Menge Q
sind. Die rationalen Zahlen füllen die Zahlengerade nicht lückenlos aus.
W 1.17
|x – y| = |y – x|
W 1.18
y – x bzw. x – y
W 1.19
Die rationalen Zahlen lassen sich in Bruchdarstellung angeben, die irrationalen Zahlen nicht.
W 1.20
Alle reellen Zahlen besitzen eine Dezimaldarstellung. Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist endlich oder periodisch, die
einer irrationalen Zahl ist unendlich, aber nicht periodisch.
W. 1.21
|a| =
W 1.22
Endliche und unendliche Intervalle sind Teilmengen von R.
Bei den endlichen Intervallen unterscheidet man ein beidseitig abgeschlossenes Intervall [a; b] = {x * R | a ª x ª b}, ein beidseitig
offenes Intervall (a; b) = {x * R | a < x < b}, ein links abgeschlossenes und rechts offenes Intervall [a; b) = {x * R | a ª x < b} und ein
links offenes und rechts abgeschlossenes Intervall (a; b] = {x * R | a < x ª b}.
Bei den unendlichen Intervallen unterscheidet man ein links abgeschlossenes Intervall [a; ∞) = {x * R | a ª x} von a bis unendlich,
ein links offenes Intervall (a; ∞) = {x * R | a < x} von a bis unendlich, ein rechts abgeschlossenes Intervall (–∞; b] = {x * R | x ª b} von
minus unendlich bis b und ein rechts offenes Intervall (–∞; b) = {x * R | x < b} von minus unendlich bis b.
W 1.23
Ist die Ziffer rechts von der Stelle, auf die gerundet wird, kleiner als 5, wird abgerundet, ansonsten aufgerundet.
W 1.24
a = b ± c bedeutet (b – c) ª a ª (b + c).
W 1.25
10n = 10 · 10 · 10 · … · 10; 10–n =
a ⩾0
{−aa ,, falls
falls a < 0
1
10n
; 100 = 1
n Faktoren
W 1.26
Der Festkommadarstellung einer Zahl entspricht die Dezimaldarstellung, bei der das Komma nach der Einerstelle des Zahlenwerts
steht. Die normierte Gleitkommadarstellung hat die Form m·10k (mit m * Q, k * Z und 1 ª m < 10).
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