Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen
Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau
2. Vorlesung
Roland Gunesch
Roland Gunesch (Mathematik)
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Themen heute
1
Wiederholung: Aussagenlogik
2
Mengen
3
Aussageformen
4
Quantoren
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Organisatorisches
Organisatorisches
Übungsaufgaben: Abgabe hier in der Vorlesung am Mittwoch oder
Donnerstag (bis 12 Uhr).
Teamarbeit in Gruppen (bis 4 Personen) ist erlaubt.
Vorlesungsvideos: Werden produziert und Ihnen kostenlos zur
Verfügung gestellt, sofern eine Person pro Vorlesung bereit ist, die
Kamera zu führen (ganz einfach, keine Vorkenntnisse nötig).
Freiwillige bitte melden.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagen
Wir befassen uns mit Aussagen, die wahr oder falsch sind. Andere
Möglichkeiten existieren erst einmal nicht (tertium non datur).
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagenlogik: Die Verknüpfung und (Konjunktion)
Die Verknüpfung
der Aussage
a
und der Aussage
b
a
und
b
, auch geschrieben als
a ∧ b,
ist wahr, wenn sowohl
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a
als auch
b
wahr sind. Ansonsten falsch.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagenlogik: Die Verknüpfung oder (Disjunktion)
Die Verknüpfung
der Aussage
a
und der Aussage
b
a
oder
b
, auch geschrieben als
a ∨ b,
ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen
falsch.
w ∨w = w.
w
w =f
ab
,
wahr sind. Ansonsten
Insbesondere gilt
Dies ist ein inklusives oder. Es gibt auch ein exklusives oder, geschrieben
XOR, für das
XOR
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gilt.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagenlogik: Die Verknüpfung impliziert (Implikation)
Die Verknüpfung
a
der Aussage
a
b
b
a =⇒ b,
impliziert
und der Aussage
, auch geschrieben als
ist immer wahr, auÿer wenn aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt.
Insbesondere ist
f
( =⇒
w)
eine korrekte Implikation, also wahr.
Sprechweisen:
a
b.
b,
a.
a b.
b
a
a
b
b
a.
b
a
Wenn
, dann
wenn
Aus
folgt
folgt aus
.
ist hinreichend für
.
ist notwendig für
a
b
ist mindestens so wahr wie
.
gilt höchstens dann, wenn
gilt.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagenlogik: Die Verknüpfung ist äquivalent zu
Die Verknüpfung
der Aussage
a
a
ist äquivalent zu
und der Aussage
b
b
, auch geschrieben als
a ⇔ b,
ab
ist wahr, wenn beide der Aussagen
,
wahr sind oder wenn sie beide
falsch sind. Ansonsten ist die Äquivalenz falsch.
Sprechweisen:
a b
a
a
a
a b
a
a
a
und
sind äquivalent.
gilt genau dann, wenn
b
gilt.
dann und nur dann, wenn
Aus
und
folgt
b
b
.
und umgekehrt.
implizieren sich gegenseitig.
b
b.
ist gleichbedeutend zu
ist genauso wahr wie
ist gleichwertig zu
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b
.
.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagenlogik: Das Gegenteil (Negation)
Für eine Aussage
a
schreiben wir mit
a
¬a
¬
das Gegenteil: Wenn
a
wahr ist, ist
falsch und umgekehrt.
Sprechweisen:
nicht
a
,
Gegenteil von
a
,
Komplement von
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a
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Wiederholung: Aussagenlogik
Beweistechnik: Wahrheitstabelle
Bei Verknüpfung von wenigen Aussagen ist es leicht möglich, alle
auftretenden Fälle in einer Tabelle aufzuschreiben.
Das ermöglicht z.B., die Äquivalenz von Aussagen zu zeigen, auch wenn
diese aus langen Termen bestehen:
Für jeden neuen Term fügen wir eine Spalte an die Tabelle an, bis wir alle
Terme (insbesondere die ganze Aussage) in der Tabelle stehen haben.
Dieses Verfahren ist einfach, zuverlässig und funktioniert immer.
Bei einer Aussage hat die Tabelle 2 Zeilen, bei zwei Aussagen hat sie 4
Zeilen, bei drei Aussagen 8 Zeilen usw.
Nachteil: Bei vielen verknüpften Aussagen sind viele Zeilen nötig.
Es gibt noch andere Methoden, z.B. algebraische Umformungen gemäÿ
bestimmter Gesetze (Distributivgesetz, usw.), die wir noch kennenlernen
werden.
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Wiederholung: Aussagenlogik
Aussagen mit Variablen
Zunächst müssen wir die logischen Verknüpfungen, die wir kennen, wirklich
verstehen.
Danach werden wir Aussagen studieren, deren Wahrheitsgehalt von
Variablen abhängig ist. Für Variablen benötigen wir Mengen.
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Mengen
Mengen (einfach dargestellt)
Eine Menge ist eine Ansammlung von Objekten.
Die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 6:
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Die Menge der beiden Worte ja und nein:
{ja,
nein}
Dies sind endliche Mengen.
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Mengen
Unendliche Mengen
Es gibt auch unendliche Mengen:
Die Menge der natürlichen Zahlen:
N = {1, 2, 3, 4, . . . }
Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null:
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Die Menge der ganzen Zahlen:
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . . }
Die Menge der rationalen Zahlen:
Q=
p | p ∈ Z, q ∈ N
q
Es gibt auch die reellen Zahlen. Diese enthalten z.B. Wurzeln aus
positiven ganzen Zahlen. Deren genaue Konstruktion wird z.B. in der
Analysis gelehrt.
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Aussageformen
Aussageform
Eine Aussageform ist eine Formulierung, die durch Einsetzen zu einer
Aussage wird. Eine Aussageform ist eine von (einer oder mehreren)
Variablen abhängige Aussage.
Beispiele:
x=
x =x
x2 <
0 (in
Z
erfüllbar),
(in
R
allgemeingültig),
0 (in
R
nicht erfüllbar).
Wenn die Aussageform
a
von
x
Es gibt einen (formalen) Unterschied zwischen
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a(x )
a a(x ).
abhängt, dann ist
Aussage.
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für jedes
x
eine
und
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Aussageformen
Beschreibung von Mengen
Teilmengen kann man beschreiben mittels einer Grundmenge
Aussageform
a(.)
G
und einer
:
M = {x ∈ G | a(x )
ist wahr}
bzw. kürzer geschrieben
M = {x ∈ G | a(x )}.
Beispiel:
Hier ist
Z
M = {x ∈ Z | x 2 =
a(x )
die Grundmenge und
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4}.
gegeben durch
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x2 =
4.
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Aussageformen
Äquivalenz von Aussageformen über einer Menge
Wenn
a(.)
b(.)
a(.) b(.)
{x ∈ G | a(x )} = {x ∈ G | b(x )}.
und
dann heiÿen
wenn gilt
zwei Aussageformen über derselben Menge
und
äquivalent über der Menge
Wir schreiben
Beispiel:
a
x
b
G
sind,
genau dann,
a(.) ⇐⇒ b(.)
⇐⇒ .
{ ∈ R | | | ≤ 1} = { ∈ R | − 1 ≤ ≤ 1}.
oder kurz
G
x
x
Aussageformen
x
Also sind die
x
| |≤1
und
x
−1 ≤ ≤ 1
äquivalent über der Menge
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R.
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Quantoren
∀
Quantoren: der Allquantor
Allquantor
∀:
Wenn die Aussageform
erfüllt ist, heiÿt
a(.)
a(.)
für alle Elemente der Grundmenge
allgemeingültig.
Wir schreiben
x
∀ ∈G:
und sagen:
Für alle
Beispiel:
x
x ∈G
∀ ∈R:
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G
0·
a(x )
gilt
a(x ).
x=
0.
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Quantoren
∃
Quantoren: der Existenzquantor
∃:
Existenzquantor
Wenn die Aussageform
Grundmenge
G
a(.)
für mindestens ein Element der
erfüllt ist, heiÿt
Wir schreiben
a(.)
x
erfüllbar.
∃ ∈G:
und sagen:
Es existiert ein
Beispiel:
x
x ∈G
∃ ∈R:
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a(x )
x2 =
mit
a(x ).
4.
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Quantoren
Verschiedene Quantoren nicht vertauschen!
Die Reihenfolge ist wichtig! Die Aussagen
x
y
a(x , y )
y
x
a(x , y )
∀ ∈G ∃ ∈G:
und
∃ ∈G ∀ ∈G:
sind im Allgemeinen nicht äquivalent.
Beispiel: Die Aussage
x
y
x +y =
0
x
x +y =
0
∀ ∈R ∃ ∈R:
ist wahr. Aber die Aussage
y
∃ ∈R ∀ ∈R:
ist falsch.
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Quantoren
Verschiedene Quantoren nicht vertauschen!
Sie dürfen nicht einen Allquantor mit einem Existenzquantor
vertauschen.
Sie dürfen immerhin zwei (nebeneinander stehende) Allquantoren
vertauschen.
Und Sie dürfen zwei (nebeneinander stehende) Existenzquantoren
vertauschen.
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Quantoren
Einige Fragen und Aussagen
Der Äquivalenzpfeil sieht aus wie zwei Implikationspfeile. Wieso?
Bei manchen Verknüpfungen dürfen
a
und
b
vertauscht werden. Bei
welchen? Bei welchen nicht?
Es gilt:
a b
a b
[¬(a ∨ b)] ⇐⇒ [(¬a) ∧ (¬b)].
[¬( ∧ )] ⇐⇒ [(¬ ) ∨ (¬ )].
a b c
a b c
[(a ∧ b) ∧ c ] ⇐⇒ [a ∧ (b ∧ c )].
[( ∨ ) ∨ ] ⇐⇒ [ ∨ ( ∨ )].
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