Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Komplexe Zahlen
Kapitel 10 Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues
Element
10.1
i
(in der Elektrotechnik
j)
mit
i2 = −1
hinzugenommen wird:
Denition: Komplexe Zahlen
Die Menge C der komplexen Zahlen ist deniert als
C = {x + yi | x, y ∈ R}. Dabei sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen
gelten (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz), und zusätzlich sei
i2 = −1.
Ist z = x + yi eine komplexe Zahl,
Realteil und y Imaginärteil von z .
x = Re z und y = Im z .
Die reellen Zahlen kann man durch
so heiÿen die beiden reellen Zahlen
x = x + 0i
als Teilmenge von
x
C
auassen.
Achtung: Auf
C ist keine Ordnung deniert!
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Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen lassen sich als Elemente der Ebene darstellen. Die
Addition ist die Addition von Vektoren:
Für
z =1+i
und
w =4+i
ist
z + w = 5 + 2i.
z+w
2i
z
i
w
1
2
3
4
5
6
−i
Die Zahlen der Form
z = 0 + iy
die
z = x + 0i
imaginäre Achse.
bilden die
reelle Achse, die der Form
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Komplexe Zahlen
Beim Multiplizieren wird einfach
10.3
Ist
i2 = −1
beachtet:
Addition und Multiplikation
z = a + bi
und
w = c + di,
so ist
1
z ± w = (a ± c) + (b ± d)i
2
zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
10.4
Konjugiert komplexe Zahl
z = a + ib,
z = a − ib.
Ist
so ist die
konjugiert komplexe Zahl z deniert durch
Mit der dritten binomischen Formel ist
z · z = (a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2
immer reell und nicht-negativ.
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Komplexe Zahlen
Durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl kann man für Zahlen
ungleich Null Kehrwerte ausrechnen:
10.5
Kehrwert
a − ib
1
z
a
b
=
= 2
= 2
−i 2
.
z
z·z
a + b2
a + b2
a + b2
Genauso kann man komplexe Zahlen durcheinander teilen:
10.6
Quotient
z
a + bi
(a + bi)(c − di)
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
=
.
w
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
Es stellt sich heraus, dass man Zahlen aus
C wie reelle Zahlen addieren,
subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, und dass weiter die
Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetze gelten.
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Komplexe Zahlen
10.7
Weitere Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl
1.
z =z
2.
z+w =z+w
3.
z · w = z · w,
4. Für
5.
10.8
Der
z∈
R ist
1
z
z=z
1
Re z =
(z + z),
2
=
Im z
1
(z 6= 0)
z
=
1
(z − z)
2i
Denition und Eigenschaften: Betrag
Betrag
einer komplexen Zahl z = a + ib ist deniert durch
√
|z| =
Es ist
a2 + b2 .
|z|2 = zz
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Komplexe Polarkoordinaten
Kapitel 11 Komplexe Polarkoordinaten
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Komplexe Polarkoordinaten
11.1
Sei
Satz: Polarkoordinatendarstellung
z∈
C \ {0} eine komplexe Zahl, die wir als Punkt in der Zahlenebene
betrachten.
Dann gibt es einen Winkel
ϕ ∈ ] − π, π] und eine reelle Zahl r > 0, so dass z die
folgende Darstellung hat
z = a + ib
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Um auch
z = 0
behandeln
zu können beschreiben wir
diese Zahl durch
r=0
und
r = |z|
b = Im z
ϕ = arg z
a = Re z
einen beliebigen Winkel.
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Komplexe Polarkoordinaten
11.2
Denition: Polarkoordinaten
Polarkoordinatendarstellung der
Argument und wird mit arg(z) bezeichnet.
Die Darstellung aus dem obigen Satz heiÿt
Zahl
11.3
1
z
und der Winkel
ϕ
heiÿt
Satz: Umrechnung
Ist
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
so ist
a = r cos ϕ
2
Ist
z = a + ib
und
mit
b = r sin ϕ ..
√
r = |z| = a2 + b2 und für z 6= 0 ist

b

arctan − π falls a < 0, b < 0


a



− π2
falls a = 0, b < 0


b
arg(z) = arctan
falls a > 0

a


π

falls a = 0, b > 0


2


b

arctan + π falls a < 0, b ≥ 0.
a
z = a + ib,
so ist
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Komplexe Polarkoordinaten
11.4
Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten
1
Für alle reellen Zahlen gilt:
2
3
4
5
a>0
a<0
genau dann, wenn
arg(a) = 0
arg(a) = π
arg(z) = − arg(z),
und
|z| = |z|
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
arg
= − arg(z), und =
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
Insbesondere ist
arg(z k ) = k arg(z)
und
|z k | = |z|k
für
k∈
Z.
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Komplexe Polarkoordinaten
Damit können wir nun einige der einer Zahl
z
zugeordneten Zahlen in die
Ebene einzeichnen:
Im z
i
|z| = 1
z
1
−z
1
z
Re z
z
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Komplexe Polarkoordinaten
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist in Polarkoordinaten besonders
einfach (siehe 11.4)
z · w = −4 + 2i
Im z
w = −1 + i
z =3+i
Re z
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Komplexe Polarkoordinaten
11.5
Für
Denition: komplexe Exponentialfunktion
z = a + ib ∈
C denieren wir
exp(z) := ea (cos b + i sin b) ,
insbesondere also
eib = cos b + i sin b.
Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
kürzer als
z = reiϕ .
Die so denierte komplexe Exponentialfunktion hat die gleichen
Eigenschaften wie die reelle Exponentialfunktion.
Insbesondere gilt die
Formel von Moivre
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) .
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Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 12 Lineare Gleichungssysteme
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Lineare Gleichungssysteme
12.1
Denition: Lineares Gleichungssystem LGS
Ein (reelles)
lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen
x1 , x2 , . . . , xn
und
m
Gleichungen hat folgende Gestalt
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
mit
Die
R für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m.
wir die Koezienten des LGS und die bj nennen wir die
aij , bj ∈
aij nennen
rechte Seite des LGS.
Das LGS heiÿt homogen, wenn die rechte Seite nur aus Nullen besteht.
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Lineare Gleichungssysteme
Kurzschreibweise: Statt der Form in oben benutzen wir auch die etwas
kompaktere Schreibweise
(A|b) :=
a11
a21
a12
a22
.
.
.
.
.
.
am1 am2
12.2
a1n b1
a2n b2
. .
. .
.
.
. . . amn bm
...
...
.
Denition: Lösungsmenge
Die Lösungsmenge des LGS
(A|b)
L(A, b) := (x1 , . . . , xn ) ∈
bezeichnen wir mit
Rn | (x1, . . . , xn) löst (A|b)
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Lineare Gleichungssysteme
12.3
Satz: Gauÿ-Operationen
Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht:
1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl
a 6= 0.
2. Vertauschen von Zeilen.
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
4. Vertauschen von Spalten
Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche
Variable zu welcher Spalte gehört!
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Lineare Gleichungssysteme
12.4
Satz: Gauÿ-Algorithmus
Es sei
(A|b)
ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete
Gauÿ-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt:
y1 y2 · · ·
1 0 ···
0 1 ···
Die
yj
yk yk+1 · · ·
0
∗
···
0
∗
···
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
0
0
0
0
···
···
1
0
.
.
.
.
.
.
0
0
0
c1
c2
.
.
.
.
.
.
∗
0
.
.
.
···
yn
∗
∗
···
···
∗
0
ck
ck+1
.
.
.
0
sind die Variablennamen
···
x1
.
.
.
0
bis
cm
xn ,
aber eventuell in vertauschter
Reihenfolge.
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Lineare Gleichungssysteme
Praktische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus:
1k Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten)
und 1.(Skalierung einer Zeile) eine 1 in die obere linke Ecke zu
bekommen.
(Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die
Koezienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle
Null.)
2k Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen
unterhalb und oberhalb dieser 1.
3k Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn auf
das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und
ersten Zeile erhalten.
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