Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Mathematischer Vorkurs
NAT-ING II
(02.09.2013 – 20.09.2013)
Dr. Jörg Horst
WS 2013-2014
Mathematischer Vorkurs – TU Dortmund
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und
Wurzeln
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Wir wenden uns nun den komplexen Zahlen als Elemente der Gaußschen
Zahlenebene zu.
hdnipoVc
cOdfebg*h
rh
m
m
r
q
l
i#dfjk/h
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Satz 17.1 (Polarkoordinatendarstellung)
C
Sei z ∈ \ {0} eine komplexe Zahl, die wir als Punkt in der Zahlenebene
betrachten. Dann gibt es einen Winkel α ∈ ] − π, π] und eine reelle Zahl
r > 0, so dass z die folgende Darstellung hat
z = r(cos α + i sin α)
Um auch z = 0 behandeln zu können beschreiben wir diese Zahl durch
r = 0 und einen beliebigen Winkel.
Definition 17.2 (Polarkoordinaten)
Die Darstellung aus Satz 17.1 heißt Polarkoordinatendarstellung
der Zahl z und der Winkel α heißt ihr Argument und wird mit arg(z)
bezeichnet.
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Satz 17.3 (Umrechnung)
1
Ist z = r(cos α + i sin α), so ist z = a + ib mit
a = r cos α
2
und b = r sin α ..
√
Ist z = a + ib, so ist r = |z| = a2 + b2 und für z 6= 0 ist

b


arctan − π falls a < 0, b < 0


a


π


−
falls a = 0, b < 0

 2
b
arg(z) = arctan
falls a > 0

a


π

falls a = 0, b > 0


2



arctan b + π falls a < 0, b ≥ 0.
a
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Satz 17.4 (Rechnen mit Polarkoordinaten)
a
>
0
1 Für alle reellen Zahlen gilt:
genau dann, wenn
a<0
arg(a) = 0
arg(a) = π
2 arg(z) = − arg(z), und |z| = |z|
3
4
5
arg(wz) = arg(w) + arg(z), und |wz| = |w| |z|
1
1
1
= − arg(z), und =
arg
z
z
|z|
(
arg(z) + π falls arg(z) ≤ 0
arg(−z) =
.
arg(z) − π falls arg(z) > 0
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Damit können wir nun einige der einer Zahl z zugeordneten Zahlen in die
Ebene einzeichnen:
ebg*h
rh
r d
h
l
§
h
l
ˆ”h
h
l
jk/h
h
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Das Bild für z 2 haben wir wegen der folgenden Feststellung:
Folgerung 17.5 (Potenzen)
Es gilt arg(z n ) = n arg(z) und |z n | = |z|n .
Satz 17.6 (Wurzeln)
Jede komplexe Zahl w 6= 0 hat n n-te Wurzeln.
Mit anderen Worten: Die Gleichung z n = w hat genau n verschiedene
Lösungen w1 , w2 , . . . , wn (die Wurzeln von w).
Ist |w| = r und arg w = α, so sind diese Wurzeln für k = 1, . . . , n
α 2π α 2π √
n
+
k + i sin
+
k
.
wk = r cos
n
n
n
n
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Beispiel:
1
Löse die Gleichung w3 = √ (−1 − i) = z.
2
A
§
h
A
A
A
“ ­q“‹ÿ«
ÏÇ ­ ‹
“ ç “X‹ð“ ç § “
‹ð“ ç “‰‹«
ÏÇ ç ‹ Ï Ç ç ‹°
«y0 Ï Ç ç ‹ ^« s
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Definition 17.7 (komplexe Exponentialfunktion)
Für z = a + ib ∈
C definieren wir
exp(z) := ea (cos b + i sin b) ,
insbesondere also eib = cos b + i sin b.
Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung z = r(cos α + i sin α)
kürzer als
z = reiα .
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Kapitel 17 — Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln
Satz 17.8
1. Die so definierte komplexe Exponentialfunktion hat die gleichen
Eigenschaften wie die reelle Exponentialfunktion.
2. Es gilt die Formel von Moivre
(cos α + i sin α)n = cos(nα) + i sin(nα) .
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Zuletzt bei der Integration rationaler Funktionen, der
Partialbruchzerlegung, sind wir auf ein besonderes System von Gleichungen
gestoßen, nämlich auf ein System mit mehreren Variablen, die auf eine
ganz spezielle Art in das System eingehen.
Definition 18.1 (Lineares Gleichungssystem – LGS)
Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen
x1 , x2 , . . . , xn und m Gleichungen hat folgende Gestalt
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
R
mit aij , bj ∈ für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m.
Die aij nennen wir die Koeffizienten des LGS und die bj nennen wir
die rechte Seite des LGS.
Das LGS heißt homogen, wenn die rechte Seite verschwindet.
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Kurzschreibweise: Statt der Form in 18.1 benutzen wir auch die etwas
kompaktere Schreibweise

a11
 a21

 ..
 .
a12
a22
..
.
am1 am2

a11
 a21

mit A :=  .
 ..

a1n b1
a2n b2 

.. ..  oder noch kompakter (A|b)
. . 
. . . amn bm
...
...
a12
a22
..
.
...
...

 
a1n
b1
 b2 
a2n 

 
..  und b :=  .. .
 . 
. 
am1 am2 . . . amn
bm
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Definition 18.1 [cont.]
Die Lösungsmenge des LGS (A|b) bezeichnen wir mit
L(A, b) := (x1 , . . . , xn ) ∈ n | (x1 , . . . , xn ) löst (A|b)
R
Satz 18.2 (Gauß-Operationen)
Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht:
1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a 6= 0.
2. Vertauschen von Zeilen.
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
4. Vertauschen von Spalten
Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche
Variable zu welcher Spalte gehört!
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Satz 18.3 (Gauß-Algorithmus)
↓
1
0

 ..
.

0

0

 ..
.

↓ ···
0 ···
1 ···
.. . .
.
.
0 ···
0 ···
..
.
↓ ↓ ···
0 ∗ ···
0 ∗ ···
..
..
.
.
1 ∗ ···
0 0 ···
..
..
.
.
0 0 ···
0 0 ···
jn
jk+1
jk
j2
j1
Es sei (A|b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete
Gauß-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt:
↓
∗
∗

c1
c2 

.. 
. 

∗ ck 

0 ck+1 

.. 
. 
0 cm
Dabei gibt j` an, dass diese Spalte zur j` -ten Variablen gehört.
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus:
Step1 Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten)
und 1.(Skalierung einer Zeile) eine “1” in die obere linke Ecke zu
bekommen.
(Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die
Koeffizienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle
Null.)
Step2 Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen
unterhalb und oberhalb dieser “1”.
Step3 Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn auf
das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und
ersten Zeile erhalten.
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Definition 18.4 (Rang eines LGS)
Es sei (A|b) ein LGS. Die Zahl k aus der Endgestalt des Gauß-Algorithmus
nennt man den Rang des LGS.
Satz 18.5
Es sei (A|b) ein LGS vom Rang k. Der Gauß-Algorithmus liefert die
folgenden Fälle für die Lösungsmenge L(A, b):
1
2
3
Ist mindestens eine der Zahlen ck+1 , . . . , cm ungleich Null, so ist
L(A, b) = ∅.
Im Fall k = n = m ist das System eindeutig lösbar und es gilt
L(A, b) = {(x1 , . . . , xn ) | xj1 = c1 , xj2 = c2 , . . . , xjn = cn }.
Für k < n und ck+1 = . . . = cm = 0 ist, können die n − k Variablen
xjk+1 , . . . , xjn als freie Parameter gewählt werden. Damit sind die
Werte xj1 , . . . , xjk für jede Wahl der Parameter eindeutig bestimmt.
Man sagt: Die Lösungsmenge L(A, b) ist (n − k)-dimensional.
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Beispiel : Wir lösen das LGS
2x1 +
x1 +
3x1 +
3x1 +
oder

2
 1

 3
3
6x2 +
2x4 = 10
3x2 + x3 + 2x4 = 7
9x2 + 4x3
= 16
9x2 + x3 + x4 = 17
6
3
9
9
0
1
4
1

2 10
2 7 

0 16 
1 17
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
1.) Vertausche Z1 und Z2.







x1 x2 x3 x4
1 3 1 2 7 

2 6 0 2 10 

3 9 4 0 16 
3 9 1 1 17
2.) Addiere (−2)× Z1 zu Z2, dann (−3)× Z1 zu Z3 und (−3)× Z1 zu Z4.






x1 x2 x3 x4
1 3
1
2
7
0 0 −2 −2 −4
0 0
1 −6 −5
0 0 −2 −2 −4






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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
3.) Vertausche S2 und S4.







x1 x4 x3 x2
1
2
1
3
7 

0 −2 −2 0 −4 

0 −6 1
0 −5 
0 −2 −2 0 −4
4.) Addiere Z2 zu Z1, dann (−3)× Z2 zu Z3 und (−1)× Z2 zu Z3. Dann
multipliziere Z2 mit − 21 .






x1 x4 x3 x2
1 0 −1 3
0 1
1
0
0 0
7
0
0 0
0
0
3
2
7
0






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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
5.) Multipliziere Z3 mit 71 , addiere (−1)× Z3 zu Z2, dann Z3 zu Z1.






x1 x4 x3 x2
1 0 0 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
4
1
1
0






Dies ist nun die Endform des Gauß-Algorithmus, aus dem wir die Lösung
ablesen.
Der Rang des LGS ist k = 3 und als freien Parameter wählen wir x2 .
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Kapitel 18 — Lineare Gleichungssysteme
Wir schreiben die Gleichungen noch einmal aus:
x1 + 3x2 = 4
x4 = 1 ,
x3 = 1
und es gilt
L(A, b) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈
R4 | x1 = 4 − 3x2, x3 = 1, x4 = 1
Setzen wir x2 = t für den Parameter, so schreiben wir auch
   

 
x1
4
−3 



   

 1 
x
0
2
 =   + t  t ∈
L(A, b) = 
x3  1
 0 






x4
1
0 R
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