Propädeutikum Mathematik Formelsammlung

Propädeutikum Mathematik
Formelsammlung
1
Universität des Saarlandes
Inhaltsverzeichnis
1. Potenzgesetze
2
2. Vollständige Induktion
2
3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen
4
4. Folgen und Summen
5
5. Ableitungen
6
6. Grenzwerte
7
7. Stetigkeit
8
8. Gerade, Tangente, Normale, Newton-Verfahren
8
9. Integralrechnung
10
A. Griechisches Alphabet
11
B. Zahlenmengen
11
C. Beispiele
12
1
1. Potenzgesetze
Das n-fache Produkt a
| · a · a{z· . . . · a} einer Zahl a ∈
R mit sich selbst wird als n-te Potenz an
n−mal
dieser Zahl bezeichnet. a wird als Basis, n als Exponent bezeichnet.
1.1 Definition
Ist a > 0 so definieren wir a0 := 1 und für m, n ∈
√
n
N
1
m .
an
√
1
Im Speziellen ergibt sich dann a n := n a und a−n :=
m
a n :=
am
m
und a− n :=
1
an
.
1.2 Satz (Potenzgesetze)
Sind a, b > 0, so gelten die folgenden Rechenregeln:
Q:
∀n, m ∈ Q :
∀n ∈ Q :
P1: ∀n, m ∈
an · am = an+m
P2:
(an )m
= an·m
(a · b)n
= an · bn
P3:
= (am )n
Unter dem Logarithmus einer Zahl u > 0 zur Basis b > 0, b 6= 1, oder als Formel geschrieben
x = logb (u), wird die reelle Zahl x verstanden, für die bx = u gilt. Kurz
bx = u ⇐⇒ logb (u) = x .
1.3 Satz (Logarithmengesetze)
Sind a, b > 0 mit a 6= 1, b 6= 1, dann gelten folgende Rechenregeln:
L1: ∀u, v > 0 :
∀u, v > 0 :
L2: ∀u > 0, ∀x ∈
L3: ∀u > 0 :
loga (u · v) = loga (u) + loga (v)
loga
Q:
u
v
= loga (u) − loga (v)
loga (ux )
= x · loga (u)
loga (u)
= loga (u) =
Weiterhin gilt (L2) ∀a > 0 : log
√
n
a=
(speziell loga
logb (u)
logb (a)
1
u
= − loga (u))
(speziell loga (u) =
ln(u)
ln(a) )
log(a)
n .
2. Vollständige Induktion
2.1 Satz
Sei a(n) eine Aussageform, deren Definitionsbereich aus den natürlichen Zahlen
mit den folgenden Eigenschaften
2
N besteht
1) a(n0 ) ist wahr für ein festes n0 in
N
2) Für alle natürliche Zahlen m ≥ n0 gilt die Implikation a(m) =⇒ a(m + 1).
Dann ist a(n) wahr für alle natürliche Zahlen n ≥ n0 .
2.2 Bemerkung
Das Beweisverfahren der Vollständigen Induktion erfogt in zwei voneinander unabhängigen
Schritten.
1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussageform a(n) für einen beliebigen aber festen
Wert n0 gilt, d.h. dass a(n0 ) wahr ist1 .
2. Induktionsschritt: a(m) =⇒ a(m + 1)
1. Induktionsannahme (oder Induktionsvoraussetzung) a(m) sei wahr
2. Induktionsschluss
Der Induktionsschritt bedeutet: “Wenn a(m) wahr ist, dann ist a(m + 1) wahr“. Es wird
aber keinesfalls ausgesagt, dass a(m) oder a(m + 1) tatsächlich wahr ist. m ist dabei
beliebig.
2.3 Beispiel (Gaußsche Summenformel)
Zu zeigen ist die Aussage (Behauptung)
∀n ∈
N:
a(n) :=
n
X
1
k = n(n + 1)
2
k=1
!
1. Induktionsanfang: Im ersten Schritt, dem Induktionsanfang ist zu zeigen, dass ein n0 ∈
existiert, für das die Aussage a(n0 ) wahr ist. Probiere n0 = 1.
Zu zeigen
N
1
X
1
k = 1(1 + 1)
2
k=1
Beweis
1
X
k=1
k=1=
1
· 1 · (1 + 1)
2
für n0 = 1 ist die Aussage a(n0 ) wahr.
1
Achtung: der Beweis gilt nur für n ≥ n0 , deshalb ist es günstig mit dem kleinsten n0 , für das a(n0 ) wahr
ist, zu beginnen.
3
2. Induktionsschritt:
a(m) =⇒ a(m + 1)
Im Induktionsschritt muss nun gezeigt werden, dass der Schluß von a(m) auf a(m + 1)
gültig ist.
Induktionsannahme a(m) sei wahr für ein beliebiges aber festes m ∈ , m ≥ n0
N
m
X
1
k = m(m + 1)
2
k=1
Zu zeigen
m+1
X
k =
k=1
1
(m + 1)((m + 1) + 1)
2
Beweis
m+1
X
=
k
k=1
m
X
k+
k=1
m+1
X
k
m
X
=
k=m+1
=
1
m(m + 1) + (m + 1)
2
=
1
(m + 1)(m + 2)
2
Ann.
k + (m + 1)
k=1
1 2 3
m + m+1
2
2
=
3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen
3.1 Definition
Die Betragsfunktion | · | :
x 7→ |x| :=
3.2 Satz
Für alle x, y ∈
i)
(
R → R+0 ist definiert durch:
x für x ≥ 0
−x für x < 0
R gelten folgende Eigenschaften
|x| ≥ 0
iv) |x| = 0
⇐⇒
x=0
ii) | − x| = |x|
v) |x − y|
=
|y − x|
iii) |x · y| = |x| · |y|
vi)
=
|x|
|y|
x
y und folgende Äquivalenzen
i) |x| < y ⇐⇒ x < y ∧ x > −y
ii) |x| ≤ y ⇐⇒ x ≤ y ∧ x ≥ −y
iii) |x| > y ⇐⇒ x > y ∨ x < −y
iv) |x| ≥ y ⇐⇒ x ≥ y ∨ x ≤ −y
v) |x| =
6 y ⇐⇒ x 6= y ∧ x 6= −y .
4
für y 6= 0
4. Folgen und Summen
4.1 Definition (Summenzeichen)
n
P
Ist (ai )ni=1 = a1 , a2 , a3 , . . . , an eine Folge von Zahlen, so definieren wir die Summe
ai der
i=1
Zahlen a1 , . . . , an durch
1
X
ai := a1
k+1
X
und
i=1
k
X
ai :=
Es ergibt sich also
n
P
i=1
für n < m
ai + ak+1 .
i=1
i=1
!
ai = a1 + a2 + . . . + an . Außerdem trifft man die Konvention
4.2 Satz
Seien (ak )k∈Z und (bk )k∈Z reelle Folgen. Sind m, n ∈
Rechenregeln:
a) Für alle λ, µ ∈
n
X
(λ · ak + µ · bk ) = λ ·
k=m
k=m
ak + µ ·
n
X
bk
(Linearität)
k=m
Z
b) Ist ak = c für alle k ∈ , so gilt:
n
X
ak =
k=m
c) Für ℓ ∈
c = (n − m + 1) · c
ℓ
X
ak +
k=m
Z mit m < ℓ < n gilt:
n
X
ak =
k=m
d) Ist ℓ ∈
n
X
k=m
n
X
ak
(Assoziativgesetz)
k=ℓ+1
Z so gilt:
n
X
n−ℓ
X
ak =
k=m
k=m−ℓ
ak+ℓ =
und
(Indextransformation)
ak−ℓ
k=m+ℓ
4.3 Definition (Fakultät)
Die Fakultät ist definiert durch (n ∈
0! = 1! := 1
n+ℓ
X
N):
(n + 1)! := (n + 1) · n!
Somit ergibt sich für alle natürlichen Zahlen n:
n! = 1 · 2 · . . . · n
5
ai := 0
i=m
Z mit m ≤ n, so erhält man folgende
R gilt:
n
X
n
P
4.4 Definition (Binomialkoeffizient)
Der Binomialkoeffizient nk für alle n, k ∈
n
k
!
:=


n!
k!(n−k)!
0

N0 ist definiert durch:
für k ≤ n
für k > n
4.5 Satz (Binomischer Lehrsatz)
Für reelle Zahlen a, b und n ∈ gilt:
N
n
(a + b) =
n
X
k=0
!
!
n
X
n
n
n−k
k
·a
·b =
· ak · bn−k
k
k
k=0
Arithmetische und geometrische Folgen
a) Arithmetische Zahlenfolgen sind definiert durch die rekursive Vorschrift an+1 = an + d,
wobei d ∈ eine fest vorgegebene konstante Zahl ist. Offensichtlich gilt dann:
R
an = a1 + (n − 1) · d
(Bildungsgesetz der arithmetischen Folge)
Ist (ak )k∈Z eine arithmetische Zahlenfolge, so gilt:
n
X
ak =
k=m
n−m+1
(am + an )
2
b) Geometrische Zahlenfolgen sind definiert durch die rekursive Vorschrift bn+1 = bn · q,
wobei q eine fest vorgegebene reelle Zahl ist. Offensichtlich gilt dann:
bn = b1 · q n−1
(Bildungsgesetz der geometrischen Folge)
Ist (bk )k∈Z eine nicht konstante geometrische Zahlenfolge, so gilt:
n
X
k=m
bk = bm ·
bn+1 − bm
bm+1 − bm
5. Ableitungen
5.1 Definition
Eine Funktion f :
Grenzwert
ℓ := lim
x→x0
D → R (mit D ⊂ R) heißt differenzierbar im Punkt x0 ∈ D, wenn der
f (x) − f (x0 )
∆f
= lim
∆x→0 ∆x
x − x0
existiert. ℓ wird die Ableitung von f an der Stelle x0 genannt und man schreibt
ℓ = f ′ (x0 ) bzw. ℓ =
df
(x0 ).
dx
6
D
Eine Funktion f heißt differenzierbar auf dem Definitionsbereich , wenn f in jedem x ∈
differenzierbar ist.
df
df
(x) = f ′ (x) heißt Ableitung von f und man schreibt: dx
oder f ′ .
Die Abbildung x 7→ dx
D
5.2 Satz
Seien f und g zwei reellwertige, auf dem gemeinsamen Definitionsbereich (
zierbare Funktionen und a, b ∈ so gilt:
D ⊂ R) differen-
R
a) Linearität
′
a · f (x) + b · g(x)
= a · f ′ (x) + b · g′ (x)
b) Produktregel
′
f (x) · g(x)
= f ′ (x) · g(x) + f (x) · g′ (x)
c) Quotientenregel
f (x)
g(x)
′
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g′ (x)
[g(x)]2
=
für
g(x) 6= 0
d) Kettenregel
′
= f ′ g(x) · g′ (x)
f g(x)
|
{z
äußere
| {z }
}
inner Abl.
6. Grenzwerte
6.1 Satz
Existieren lim f (x) und lim g(x), so gelten folgende Aussagen (analog für x → ±∞):
x→x0
x→x0
a) lim a · f (x) + b · g(x) = a · lim f (x) + b · lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
mit a, b ∈
R
b) lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x)
x→x0
c) lim
x→x0
f (x)
g(x)
x→x0
lim f (x)
=
x→x0
für lim g(x) 6= 0
lim g(x)
x→x0
x→x0
d) lim f g(x) = f
x→x0
x→x0
lim g(x)
x→x0
falls f stetig ist
6.2 Satz (L’Hospital)
Sei x0 ∈ ∪ {−∞, ∞}, f und g differenzierbare Funktionen mit lim f (x) = lim g(x) = 0
R
oder lim f (x) = lim g(x) = ±∞ und existiert der Grenzwert
x→x0
lim
x→x0
x→x0
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
g(x) x→x0 g (x)
für g′ (x) 6= 0 .
7
x→x0
′
lim f ′ (x)
x→x0 g (x)
x→x0
so gilt
7. Stetigkeit
D
R
D R
Eine Funktion f :
→
mit
⊂
bezeichnet man als stetig im Punkt x0 , wenn die
Funktion an diesem Punkt definiert ist und weiter gilt, dass linksseitiger Grenzwert lim− f (x)
x→x0
gleich rechtsseitiger Grenzwert lim f (x) gleich Funktionswert f (x0 ) an der Stelle x0 sind.
x→x+
0
D
Die Funktion f heißt stetig, falls sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches
stetig ist.
Wir sagen, f ist unstetig in x0 , wenn f in x0 nicht stetig ist. Schließlich ist f unstetig, wenn
f in mindestens einem Punkt des Definitionsbereiches unstetig ist.
7.1 Satz
Sei f : →
D R eine Funktion und x0 ∈ D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt x0, wenn gilt
lim f (x) = f (x0 ) = lim f (x) .
x→x+
0
x→x−
0
7.2 Satz
Seien f, g : → mit ⊂ stetig. Dann sind auch f + g, αf (α ∈ ), f · g und fg stetig,
allerdings muss der Definitionsbereich von fg für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen
hat, auf den Bereich ′ := {x ∈ | g(x) 6= 0} eingeschränkt werden. Die Komposition f ◦ g
zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.
D R
D R
D
R
D
8. Gerade, Tangente, Normale, Newton-Verfahren
Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung:
y = f (x) = m · x + n
Wobei m die Steigung angibt und n den y-Achsenabschnitt. Falls g senkrecht auf f steht
(g⊥f ), gilt: mf · mg = −1
Tangentengleichung
Die Tangentengleichung durch den Punkt P = (x0 , f (x0 )) an den Graph der differenzierbaren
Funktion f ist gegeben durch
t(x) = f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ) .
Normalengleichung
Die Normalengleichung durch den Punkt P = (x0 , f (x0 )) an den Graph der differenzierbaren
Funktion f ist gegeben durch
1
n(x) = − ′
· (x − x0 ) + f (x0 ) .
f (x0 )
8
Newton-Verfahren
Das Newtonverfahren (Newtonsche Näherungsverfahren) ist eines der Standardverfahren zur
numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen2 . Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion f : → Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f (x) = 0, d.h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion
finden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu
linearisieren, d.h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte
Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Diese Iteration erfolgt bis die Änderung
in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschritten hat.
R R
6
5
t0 (x) = 4x − 5
4
t1 (x) = 2.5x − 2.5625
(x0 , f (x0 ))
3
b
2
1
(x1 , f (x1 ))
1
b
x1 = 1, 25
x0 = 2
2
−1
Abbildung 1: Newtonverfahren f :
2
R+ → R mit f (x) := x2 − 1
Beispielsweise ist die Gleichung ex = −x + 1 nicht analytisch lösbar, obwohl x = 0 die Gleichung löst. Diese
Gleichung zu lösen ist äquivalent mit dem Nullstellenproblem der Funktion f : → mit f (x) := ex +x−1.
R R
9
Berechnet man die Nullstelle der Tangente t(x) = f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ) so ergibt sich
0 = f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 )
⇐⇒
x = x0 −
f (x0 )
f ′ (x0 )
Iteriert man diese Vorgehensweise, ergibt sich folgende Aussage.
8.1 Satz
Sei f : [a, b] →
eine stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall ]a, b[ eine Nullstelle
hat, so kann diese Nullstelle über die Iterationsformel
R
xn+1 = xn −
f (xn )
f ′ (xn )
approximiert werden. Vergleiche hierzu Abbildung 1 auf Seite 9.
9. Integralrechnung
9.1 Satz (Partielle Integration)
R
Sind f, g : [a, b] → stetig differenzierbare Funktionen, so ist f (x)g(x) − f ′ (x)g(x)dx eine
Stammfunktion von f (x)g′ (x), d.h. es gilt:
R
Z
b
a
ib
h
′
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
a
Z
b
f ′ (x)g(x)dx
a
9.2 Satz (Substitution)
Sei die Funktion f :
→
(mit
⊂ ) stetig und die Funktion g : [a, b] →
differenzierbar. Gilt g([a, b]) ⊂ , so kann f ◦ g gebildet werden, und es gilt:
D
Z
b
a
f g(x) · g′ (x)dx =
R
Z
D
g(b)
D R
f (y)dy
wobei y = g(x)
g(a)
10
R stetig
A. Griechisches Alphabet
klein
α
β
γ
δ
ǫ, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π, ̟
ρ, ̺
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
GROSS
Γ
∆
Θ
Λ
Ξ
Π
Σ
Υ
Φ
Ψ
Ω
Name
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
lambda
my
ny
xi
omikron
pi
rho
sigma
tau
ypsilon
phi
chi
psi
omega
B. Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
B.1 Beispiel
e = 2, 71828 . . . ∈
N
N0
Z
Q
R
:= {1, 2, 3, . . .}
:= {0, 1, 2, . . .}
:= {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Z
:= { pq | p ∈ , q ∈
:=
Q
N}
∪ irrationalen Zahlen
R und π = 3, 14159 . . . ∈ R
11
C. Beispiele
C.1 Beispiel
zu den Potenzgesetzen
a) a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a5 = a2+3
3
b) (a2 ) = (a2 ) · (a2 ) · (a2 ) = (a · a) · (a · a) · (a · a) = a6 = a2·3
c) (a · b)2 = (a · b) · (a · b) = a · a · b · b = a2 · b2
d) für a > 0: a1 = a, a0 = 1, a−n =
1 am
an , an
= am−n
C.2 Beispiel
zu den Logarithmusgesetzen
a) ax = b ⇐⇒ loga (b) = x für a, b > 0 und a 6= 1, b 6= 1 denn
ax = b ⇐⇒ ln(ax ) = ln(b) ⇐⇒ x · ln(a) = ln(b) ⇐⇒ x =
ln(b)
ln(a)
= loga (b)
b) 2x = 8 ⇐⇒ log2 (8) = x also x = 3
c) ln(a) := loge (a)
und
lg(a) := log10 (a)
d) ln(ex ) = x = eln(x) für x > 0
C.3 Beispiel
zum Summenzeichen
a)
4
P
k =1+2+3+4
k=1
b)
2
P
(2·ak +3·bk ) = 2a1 +3b1 +2a2 +3b2 = 2a1 +2a2 +3b1 +3b2 = 2(a1 +a2 )+3(b1 +b2 ) =
k=1
2·
c)
k=1
6
P
k=4
d)
4
P
k=1
e)
3
P
2
P
k=1
ak + 3 ·
2
P
bk
k=1
c = c + c + c = (6 − 4 + 1) · c
2k = (2 · 1) + (2 · 2) + (2 · 3) + (2 · 4) =
2k = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 =
2
P
k=0
2
P
k=1
2k +
4
P
2k
k=3
2(k + 1) = 2 · (0 + 1) + 2 · (1 + 1) + 2 · (2 + 1)
C.4 Beispiel
zu arithmetschen Folgen
12
a)
1 3
5 7
...
ist eine aritmetische Folge mit der Differenz d = ak+1 − ak = 2 und a1 = 1. Es gilt also
a1
a2
a3
a4
=
=
=
=
..
.
1
a1 + 2
a2 + 2
a3 + 2
= a1 + 2 + 2
= a1 + 2 · 2
= a1 + 2 + 2 + 2 = a1 + 3 · 2
ak = a1 + (k − 1) · d = 1 + (k − 1) · 2
b)
0 5
10
15
Bildungsgesetz
...
ist eine aritmetische Folge mit der Differenz d = ak+1 − ak = 5 und a1 = 0
C.5 Beispiel
zu geometrischen Folgen
a)
3 6
12
24
...
ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotient q =
gilt also
b1
b2
b3
b4
=
=
=
=
..
.
3
b1 · 2
b2 · 2
b3 · 2
100
− 50
25
−
25
2
Bildungsgesetz
...
ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotient q =
C.6 Beispiel
zum Binomialkoeffizient
n
n
!
n
k
!
10
7
= 1,
!
= 1,
n
1
!
= n,
!
n
=n
n−1
n!
n!
n
=
=
=
k! · (n − k)!
(n − k)! · k!
n−k
!
!
n
0
= 2 und b1 = 3. Es
= b1 · 2 · 2
= b1 · 22
= b1 · 2 · 2 · 2 = b1 · 23
bk = b1 · q k−1 = 3 · 2k−1
b)
bk+1
bk
!
10!
10!
10!
=
=
=
=
7! · (10 − 7)!
7! · 3!
3! · (10 − 3)!
10
3
!
5
5!
5!
5·4·3·2·1
5·4
=
=
=
=
= 10
3
3! · (5 − 3)!
3! · 2!
3·2·1·2·1
2
13
bk+1
bk
= − 12 und b1 = 100
C.7 Beispiel
zum Binomischen Lehrsatz
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
c) (a + b) · (a − b) = a2 − b2
C.8 Beispiel
zur Stetigkeit
Wir wollen die Funktion f :
R \ {0} → R mit x 7→ x1 auf Stetigkeit untersuchen.
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
5
−2
−3
−4
−5
Abbildung 2: Graf der Funktion f :
R \ {0} → R mit x 7→ x1 .
Betrachten wir den Fall x0 6= 0: Dann gilt
1
x→x0 x
lim f (x) = lim
x→x0
=
1
x0
= f (x0 ) .
Für x0 6= 0 ist f somit an jeder Stelle x0 ∈
R \ {0} stetig.
14
Da die Stelle x0 = 0 nicht im Definitionsbereich von f liegt, ist f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.
C.9 Beispiel
zu Ableitungen
R R
a) Sei f : → mit x 7→ x2 . Dann ergibt sich für die Ableitung f ′ (x0 ) := lim
x→x0
an der Stelle x0
x2 − x20
x→x0 x − x0
(x − x0 ) · (x + x0 )
= lim
x→x0
x − x0
f ′ (x0 ) =
=
lim
lim x + x0 = 2x0
x→x0
und damit als Ableitung f ′ :
R → R mit f ′(x) := 2x.
15
f (x)−f (x0 )
x−x0
b) Tabelle zu häufigen Ableitungen
f (x)
f ′ (x)
c
0
x
1
ax
a
xn
nxn−1
1
x
√
x
− x12
1
√
2 x
für x 6= 0
für x ∈
ex
ex
aex
aex
eax
aeax
ef (x)
ef (x) · f ′ (x)
R+
ln(x)
1
x
für x > 0
a · ln(x)
a
x
für x > 0
c · g(x)
c · g′ (x)
ax
ax · ln(a)
g(x)n
n · g(x)n−1 · g′ (x)
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
tan(x)
1
cos2 (x)
sin(g(x))
cos(g(x)) · g′ (x)
cos(g(x))
− sin(g(x)) · g′ (x)
16