Musterlösung zum ¨Ubungsblatt 1 des Wiederho

Musterlösung zum Übungsblatt 1 des Wiederholungskurses Analysis I
Allgemeine Hinweise.
• Wenn man keine Vorstellung davon hat, wie die gegebene Menge aussieht,
kann es sinnvoll sein, einfach mal ein paar interessante Elemente auszurechnen.
• Die Adjektive steigend“ und wachsend“ sind vertauschbar.
”
”
• Die Schlussfolgerungen (an )n∈N ist streng monoton wachsend, also hat
”
die Folge kein Maximum“ und (an )n∈N ist streng monoton fallend, also
”
hat (an )n∈N“ sind korrekt. Falsch hingegen ist, hier streng“ wegzulassen.
”
Außerdem sagen diese Schlussfolgerungen nichts über die Existenz von
Supremum bzw. Infimum aus. Zum Beispiel kann eine streng monoton
wachsende Folge ein Supremum in R haben, oder auch nicht.
• Wenn man schreibt A hat kein Supremum“, dann sollte man sicherheits”
halber in R“ dazuschreiben, denn man kann ja sup A = ∞ schreiben.
”
(Allerdings würde ich hier in der Klausur keine Punkte abziehen, wenn
dieses Prädikat fehlt.) Analoges gilt auch für das Infimum.
• Wenn ihr eine Menge zerlegt, wie etwa die Menge B in der Aufgabe,
dann achtet bitte darauf, die Teilmengen genau zu definieren. Bei falscher
Definition gibt es leider Punktabzug in der Klausur.
• Rechnet nur das aus, was in der Aufgabe verlangt ist.
Aufgabe.
Gegeben seien die folgenden Mengen:
A := {(n − 10)2 : n ∈ N},
n
B := {n(−1) : n ∈ N},
o
nn
: n, m ∈ N .
C :=
m
Bestimme jeweils Supremum und Infimum von A, B und C. Existieren jeweils
Maximum und Minimum? Bitte alle Antworten begründen!
Lösung. Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind, enthält A nur nicht
negative Zahlen. Außerdem enthält A das Element (10 − 10)2 = 0. Da 0 die
kleinste nicht negative Zahl ist, ist das Minimum und damit auch das Infimum
inf A = 0. Andererseits existiert für jede reelle Zahl C > 0 wegen ArchimedesEudoxos ein Element N ∈ N, so dass N > C + 10, also N − 10 > C > 0.
Dann ist N − 10 ≥ 1, also ist erst recht (N − 10)2 > C. Also ist A nach oben
unbeschränkt und hat daher weder Maximum noch Supremum in R.
Die Menge B zerlegen wir in zwei Teilmengen B = B1 ∪ B2 mit
1
: n ∈ N, n ungerade .
B1 := {n ∈ N : n gerade},
B2 :=
n
1
Wegen Archimedes-Eudoxos (1. Teil) und a für alle n ∈ N entweder n oder n + 1
gerade ist, hat B1 weder Maximum noch Supremum in R. Da die Folge (n)n∈N
monoton wachsend ist, ist das Minimum und das Infimum von B die kleinste
gerade Zahl, also 2. Die Folge (1/n)n∈N ist streng monoton fallend. Also ist
das Maximum und das Supremum von B2 der größte Kehrwert eine ungeraden
Zahl, also 1. Da die Folge streng monoton fällt, hat sie kein Minimum. Der
Grenzwert ist 0, und dies ist aufgrund der Monotonie auch das Infimum von B2 ,
da für n ∈ N entweder 1/n oder 1/(n + 1) Kehrwert einer ungeraden Zahl ist.
Zusammengenommen folgt, dass B kein Supremum, Maximum und Minimum
hat und das Infimum inf B = 0 ist.
Die Menge C enthält n/1 = n für alle n ∈ N, also ist N ⊆ C. Damit ist C
nach Archimedes-Eudoxos unbeschränkt und hat daher weder Maximum noch
Supremum in R. Andererseits enthält C Elemente der Form 1/m für m ∈ N.
Wie in der vorherigen Aufgabe folgt, dass das Infimum dieser Folge 0 ist, also
ist inf C ≤ 0. Nun enthält C aber nur positive Zahlen, also muss inf C = 0 sein.
Außerdem ist 0 ∈
/ C. Daher existiert kein Minimum.
Für die Menge C existiert noch folgende, geschicktere Lösung. Aus der Definition der rationalen Zahlen folgt, dass C = Q+ . Wäre inf C > 0, dann gäbe es,
da Q+ dicht in R+ liegt, ein x ∈ C mit 0 < x < inf C. Also ist inf C ≤ 0, mangels nicht positiver Zahlen in C also inf C = 0 und es existiert kein Minimum.
Andererseits ist ja N ⊆ Q+ , so dass sup C = ∞ wie oben folgt.
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