der Wahrscheinlichkeit

STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG
VORLESUNG 2 - WAHRSCHEINLICHKEIT
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AGENDA
01 WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG?
02 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
03 PERMUTATIONEN & KOMBINATIONEN
04 BERNOULLI-PROZESS/ BINOMINALVERTEILUNG
05 ÜBUNGEN
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WAS IST
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ?
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SUBJEKTIVE VS. OBJEKTIVE
WAHRSCHEINLICHKEIT
|
Wahrscheinlich wird es morgen regnen.
|
Wahrscheinlich schaffe ich die Klausur.
|
Statistische Wahrscheinlichkeit: Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei
beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist
|
Zufallsexperiment: Vorgang, der nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt
wird und dessen Ergebnis „vom Zufall abhängt“
|
Dieses Ergebnis wird Elementarergebnis bzw. Menge der Elementarergebnisse (Ώ)
genannt
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
|
Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem Verhältnis günstiger
Ereignisse zu möglichen Ereignissen
p
|
günstige Ereignisse
mögliche Ereignisse
Laplace-Experimente: alle Elementarergebnisse haben die gleiche
Wahrscheinlichkeit
|
|
Beispiel: Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaligem Versuch eine 1 zu
würfeln?
1
p
1

| Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6
6
| Günstige Ereignisse: Eins, nämlich die Zahl 1

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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
| Vereinigung von Ereignissen: ein Ergebnis, das eintritt, wenn
mindestens ein Ergebnis der verknüpften Ergebnisse eintritt
| Zahl 1 ODER (als auch) Zahl 3 = 1 U 3
| Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6
| Günstige Ereignisse: Zwei, nämlich die Zahlen 1 oder 3
1 1 2
p 1 oder 3   
6 6 6
| Unmögliche Ergebnisse: Ergebnis kann bei den behandelten
Zufallsexperiment nicht eintreten
| Zahl 7 auf einem sechsseitigen Würfel = ∅
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
| Komplementäre Ergebnisse: Alle Ergebnisse außer ein bestimmtes
Ergebnis
| Alle Zahlen außer 1; A = 2 U 3 U 4 U 5 U 6
| Oder A = 1 – P(A)
| Durchschnittsbildung: Alle Elementarereignisse, die sowohl zu A
als auch B gehören
|
|
|
|
Bei dem ersten Versuch 1 und beim zweiten Versuch eine 3
1∩3
1 1 1


p
1
.
1
und
2
.
3

 
Mögliche Ereignisse: 36
36 6 6
Günstige Ereignisse: Eins, nämlich beim ersten Mal eine 1 und beim
zweiten Mal eine 3 zu würfeln.
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
|
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A
unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits
bekannt ist (auch stochastische Abhängigkeit genannt)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵)
|
P(A│B) =
|
Ereignis B eingetreten ist, beschränken sich die Möglichkeiten auf die Ergebnisse
in B
Beispiel: Ziehen von Kugeln aus einer Urne
|
bedingte Wahrscheinlichkeit kann also als Neueinschätzung der Wahrscheinlichkeit
von A interpretiert werden
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
Stochastische Abhängigkeit – Ein simples Beispiel
Ein simples Beispiel zum Verständnis:
In einem Land beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Wolke am Himmel ist 30%.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Trocken bleibt 60%. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für Blauen Himmel (keine Wolke) UND trocken? P(keine Wolke
UND trocken)? Hier sieht man deutlich, dass die Berechnung mithilfe des
Multiplikationstheorems keinen Sinn macht, die Wahrscheinlichkeiten sind eindeutig
voneinander abhängig!
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
Stochastische Unabhängigkeit
| Unbedingte Wahrscheinlichkeit: Unabhängigkeit zweier Ereignisse
bedeutet, dass die Kenntnis des Eintretens von A die
Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B nicht verändern
| Das bedeutet: P(B│A) = P(B)
| Beispiel: Münzwurf
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GRUNDBEGRIFFE DER
WAHRSCHEINLICHKEIT
Axiome (Charaktereigenschaften) der Wahrscheinlichkeit
1.
Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses gilt: Es liegt zwischen 0 und 1
2.
Ein unmögliches Ereignis ist gleich = (P(∅) = 0)
3.
Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist gleich 1 (P(Ω)=1)
4.
Zwei Ergebnisse A und B sind elementarfremd/haben nichts gemeinsam
|
P(A U B) = P(A) + P(B)
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Additionstheorem für unabhängige Ereignisse
| Sind günstige Ereignisse durch ein ODER verknüpft, werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten addiert
P (A U B) = P(A) + P(A)
| Beispiel:
| Eine 3 oder eine 4 zu würfeln:
1 1 2 1
   ~ 33%
6 6 6 3
| Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von k elementarfremdes
Ereigniseintritt, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeit für
die k Ereignisse.
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Additionstheorem für abhängige Ereignisse
|
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A oder B ergibt sich als die Summe der
Wahrscheinlichkeiten von A und B abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass
beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.
|
|
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Beispiel: 32 Karten (16 rot, 16 schwarz) mit 4 Königen (2 rot, 2 schwarz). Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Karte (A) oder einen König zu ziehen (B)?
|
P(A U B) =
16
32
+
4
32
−
2
32
=
18
32
Durch die Addition von A und B werden zwei schwarze
Karten doppelt gezählt, die danach wieder abgezogen
werden
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Multiplikationstheorem bei unabhängigen Ergebnissen
| Sind günstige Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die
Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert
P (A ∩ B) = P (A) x P(B)
| Beispiel: Eine 3 und (dann) eine 4
zu würfeln:
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1 1 1
 
~ 2,7%
6 6 36
THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen
| Fragt nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A und B.
Wahrscheinlichkeit des Auftretens der günstigen Ergebnisse sind
gleich der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A multipliziert
mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von B ist, falls A
schon aufgetreten ist.
P (A ∩ B) = P (B) x P(A│B)
P(A│B) =
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P (A ∩ B)
P (B)
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen
| Man errechnet die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame
Eintreten der Ereignisse A und B aus P(B) und P(A I B), also der
bedingten Wahrscheinlichkeit für B unter der Voraussetzung,
dass A eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt,
hängt im Allgemeinen von dem Eintreten des Ereignisses A ab.
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THEOREME DER
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Beispiel
| Untersuchung der Rauchgewohnheiten von Männern und Frauen
Männer
Frauen
Raucher
40
60
100
Nicht-Raucher
100
100
200
140
160
300
| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter
Proband männlich (A) ist, unter der Bedingung, dass sie raucht(B)?
| P(A│B) =
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40 100 40
/ =
=
300 300 100
0,4
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VARIATIONEN,
PERMUTATIONEN,
KOMBINATIONEN
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KOMBINATORIK
| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zehnmaligem
Münzwurf genau dreimal Kopf fällt? Will man hier nun alle
Möglichkeiten aufschreiben, wird das sehr aufwendig
| Mithilfe der Kombinatorik ist es möglich, die Menge der möglichen
Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Ω), zu bestimmen
(Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ergebniskombinationen)
| Es kann die Menge verschiedener Anordnungsmöglichkeiten von
Elementen bestimmt werden ohne mühsame Zählarbeit
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PERMUTATIONSREGEL
| n verschiedene Objekte können in n! = 1 x 2 x 3…x n
verschiedenen Abfolgen angeordnet werden (n! = Fakultät)
| 0! Ist gleich 1
| Beispiel: Wie viele verschiedene „Worte“ lassen sich unter
Verwendung des Wortes Mayer bilden?
|
|
|
|
Jeder Buchstabe ist verschieden
Daher n!
Also mögliche Ergebnisse: 5! = 5x4x3x2x1x= 120
Die Wahrscheinlichkeit für eine Abfolge beträgt p=1/120=0,0083
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1. KOMBINATIONSREGEL
| Wählt man aus n verschiedenen Objekten r zufällig aus, ergeben
sich verschiedene Reihenfolgen der k Objekte
| Beispiel: Bei einer Olympiade haben sich sieben annähernd gleich
starke Läufer qualifiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Läufer 1 Gold, Läufer 2 Silber und Läufer 3 Bronze bekommt, wenn
das Ergebnis von der zufälligen Tagesform bestimmt wird?
| Günstige Fälle: 1
| Mögliche Fälle:
7!
7 −3 !
= 210
| P = 1/210 = 0,005
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𝒏!
𝒏−𝒌 !
2. KOMBINATIONSREGEL
| Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt
hierbei die Reihenfolge außer Acht, ergeben sich für die k Objekte
𝒏
verschiedene Kombinationen.
𝒌
𝑛
|
wird Binomialkoeffizient genannt
𝑘
𝑛
𝑛!
|
ist ein anderer Ausdruck für=
𝑘!∙ 𝑛−𝑘 !
𝑘
Beispiel: Untersuchung von Begriffsbildung bei Kindern
| Apfel – Baum – Birne – Sonne - Pflaume
5!
5
| Mögliche Ergebnisse
=
= 10
3!∙2!
3
| P= 1/10 = 0,1
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3. KOMBINATIONSREGEL
| Sollen n Objekte in k Gruppen der Größe n1,n2 ….,nk eingeteilt
𝒏!
werden (wobei n1 + n2 +…nk =n), ergeben sich
(𝒏𝟏!∙𝒏𝟐!∙..𝒏𝒌!)
Möglichkeiten.
Beispiel: In einem Ferienhaus stehen 9 Personen ein 4 Bett-, ein 3-Bett
und ein 2-Bett-Zimmer zur Verfügung. Die Raumzuweisung soll nach
Zufall erfolgen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte
Raumzuweisung?
| Mögliche Kombinationen:
9!
=1260
4!∙3!∙2!
| Wahrscheinlichkeit: p= 1/1260 = 0,0008
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HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG
Exkurs
|
Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher
Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen
vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben
|
Man kann sich die hypergeometrische Verteilung einfach als Urne vorstellen, bei der
Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden. Die Urne enthält allerdings zwei
verschiedene Sorten von Kugeln, von denen nur eine für uns interessant ist
|
Bei der Binomialverteilung müssten in der Urne unendlich viele Kugeln der zwei
Sorten liegen oder wir legen die Kugel zurück, damit die Wahrscheinlichkeit
konstant bleibt
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG
Exkurs
| Formel:
N = Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit; insgesamt
befinden sich 49 Kugeln in der Trommel
M = Anzahl der günstigen Elemente; insgesamt befinden
sich sechs "Richtige" Zahlen in der Trommel
n = Größe der Stichprobe; insgesamt ziehen wir sechs
Zahlen
k = Anzahl der Elemente aus M, die in n enthalten sind;
von den sechs Zahlen die wir ziehen müssen dreis Zahlen
richtig sein
| Wahrscheinlichkeit für 3 von 6 Richtigen beim Lotto
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BERNOULLI PROZESS /
BINOMINAL-VERTEILUNG
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
DER BERNOULLI-PROZESS
|
Ein Bernoulli-Prozess (auch: Bernoulli-Kette ) besteht aus einer Abfolge mehrerer
unter gleichbleibenden Bedingungen durchgeführter Bernoulli-Versuche.
|
Es ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, 1 oder 0, ja oder
nein, richtig oder falsch, Erfolg oder Misserfolg.
|
Die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse wird durch die Bernoulli-Verteilung
beschrieben.
|
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei p ; dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen
Misserfolg q = 1 - p .
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
DER BERNOULLI-PROZESS
|
Eine Voraussetzung ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit p nicht
verändern darf und das die Einzelexperimente stochastisch voneinander
unabhängig seien müssen.
|
Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt:
Ziehen mit Zurücklegen, Würfeln, Glücksrad, Roulette
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
BINOMIALVERTEILUNG
Diskrete Wahrscheinlichkeiten
|
Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden verwendet, um anzugeben,
wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse,
insbesondere auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen, verteilt.
|
Existieren für ein Ereignis zwei Ausgangsmöglichkeiten (ja / nein, richtig /
falsch etc.) und werden hierfür Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten
abgetragen, spricht man von einer sogenannten Binomialverteilung.
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BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG
(hier Basis: n=20)
0,25
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,15
0,1
0,05
p=0,5
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31 31
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p=0,25
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p=0,2
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG
(hier Basis: n=50)
Wahrscheinlichkeit
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
5
10
15
20
25
p=0,5
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30
35
40
45
50
FORMEL FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG
n
pk      p k  q n k
k 
|
n = Anzahl der Ereignisse insgesamt
|
k = Anzahl der „günstigen“ Ereignisse
|
p = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines günstigen Ereignisses
|
q = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines ungünstigen Ereignisses (1 - p)
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BINOMIALVERTEILUNG
Beispiel
| Ergebnis „Zahl 6“ beim Würfeln
| Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 8 Würfen genau einmal
eine 6 zu würfeln.
1 1
5 7
8
| P(1) =
x
x
= 0,372
6
6
1
| Aber was ist, wenn wir wissen wollen, wie hoch die
Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand bei 20 Würfen höchstens 5 mal
6 würfelt.
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BEISPIEL
| Höchstens fünf heißt: Keine, eine, zwei, drei, vier oder fünf
| Die Anzahl der Würfe ist n=20
| p(6)=1/6 und q(falsch)=5/6
| Was ist k? k ist 0, 1, 2, 3, 4, 5
| Für alle diese Fälle müssen die folgende Rechenschritte
durchlaufen werden.
|
𝒏!
𝒌!∙ 𝒏−𝒌 !
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35 35
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x 𝒑𝒌 x 𝒒𝒏−𝒌
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BEISPIEL
|
Also gilt für k= 0
|
20!
0!∙ 20−0 !
|
Für k= 1 = 0,104
10
520
= 1  p=1 x 6 x 6 = 0,026
| k=2 (0,198) , k=3 (0,238) , k=4 (0,202), k=5 (0,129)
|
p(höchstens 5)= 0,897
|
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person bei zwanzig Würfen
per Zufall höchstens fünf mal 6 würfelt, beträgt 89,7 %.
|
Bei mindestens 5 mal 6 bei 20 Würfen, muss man alle
Wahrscheinlichkeiten von k=5,6,7 …20 ausrechnen oder einfach 1 minus
die Wahrscheinlichkeiten für k=1,2,3,4
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ÜBUNGEN
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HERANGEHENSWEISE BEI AUFGABEN
ZUR WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
1. Was ist alles gegeben?
2. Alles gegebene herausschreiben!
3. Tauchen in einer Aufgabe Begriffe wie „höchstens/mindestens/genau/nicht
mehr als oder ähnliches auf, handelt es sich höchstwahrscheinlich um eine
Aufgabe, bei der die Formel zur Binomialverteilung angewendet werden muss.
4. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem UND kombiniert, -> Multiplizieren!
5. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem ODER kombiniert, -> Addieren!
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ÜBUNG 1
Aufgabenstellung
|
Wir haben eine Trommel mit insgesamt 200 Bällen. Die Bälle haben
unterschiedliche Farben und können zusätzlich noch einen aufgedruckten
Stern haben. Die Aufteilung der Bälle:
Rot
Blau
Grün
Gesamt
Mit Stern
60
40
30
130
Ohne Stern
20
40
10
70
Gesamt
80
80
40
200
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
ÜBUNG 1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
einen blauen Ball zu ziehen?
einen roten oder einen grünen Ball zu ziehen?
einen grünen Ball mit einem Stern zu ziehen?
einen grünen und einen blauen Ball zu ziehen?
zuerst einen grünen und dann einen blauen Ball zu ziehen?
entweder einen grünen Ball ohne Stern oder einen blauen Ball mit Stern zu
ziehen?
| entweder einen roten Ball oder einen Ball mit Stern zu ziehen?
| dass ein blauer Ball einen Stern hat?
| dass ein Ball ohne Stern rot ist?
|
|
|
|
|
|
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ÜBUNG 1
Lösung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
p=0,4
p=0,6
p=0,15
p= 0,2 x 0,4 x 2(es gibt zwei Möglichkeiten)=0,16
p=0,08
p=0,25
p=0,75
p=0,5
p=0,29
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41 41
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ÜBUNG 2
Aufgabenstellung
| Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Statistikunterricht
versteht, sei p(verstehen) = 0,8
| Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einer Seminargruppe mit n
= 25 Teilnehmer alle den Statistikunterricht verstehen?
| Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Seminargruppe mit n =
25 Teilnehmer niemand der Statistikunterricht versteht?
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
ÜBUNG 2
Lösung
| Binomialformel
| p=0,0038
| p= 0,0000000000000000033554432
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43 43
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ÜBUNG 3
Aufgabenstellung
| Die Wahrscheinlichkeit, sich zu irgendeiner Zeit am „richtigen Ort“ zu
befinden, beträgt p(Ort) = 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, sich zur
„richtigen Zeit“ irgendwo zu befinden, beträgt p(Zeit) = 0,5.
| Wie große ist die Wahrscheinlichkeit, zur richtigen Zeit am falschen Ort
zu sein?
| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zur falschen Zeit am richtigen Ort zu
sein?
| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich von
n = 5 Personen mindestens 3 zur richtigen Zeit am richtigen Ort
befinden?
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Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
ÜBUNG 3
Lösung
| Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,35
| Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,15
| Binomialformel berechnen für Fälle 3,4,5 Personen
| P(k=3)= 0,0244, p(k=4)=0,0022, p(k=5)=0,000076
| P(k=3,4,5)=0,02667
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ÜBUNG 4
Aufgabenstellung
| Bei einem Pferderennen sollen jeweils die drei schnellsten Pferde
eines Rennens mit ihrer Reihenfolge des Eintreffend ins Ziel
vorhergesagt werden. Insgesamt gehen 20 Pferde an den Start. Wie
viele verschiedene Tipplisten gibt es?
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ÜBUNG 4
Lösung
| 1. Kombinationsregel
| 6840 verschiedene Tipplisten
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ÜBUNG 5
Aufgabenstellung
| Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt (32 Karten)
ein Ass (A) unter der Voraussetzung zu ziehen, dass es sich um eine
Herz-Karte (B) handelt?
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ÜBUNG 5
Lösung
| Multiplikationstheorem für bedingte Wahrscheinlichkeit
| 1/32 Wahrscheinlichkeit für Herz-Ass
| 8/32 Wahrscheinlichkeit für eine Herz-Karte
| (1/32)/(8/32) = 1/8 = 0,125
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ÜBUNG 6
Aufgabenstellung
| Im Untertest „Bilderordnen“ des Hamburger-WechslerIntelligenztests werden die Probanden aufgefordert, verschiedene
grafische dargestellte Szenen so in eine Reihenfolge zu bringen, dass
sie eine sinnvolle Geschichte ergeben. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Reihenfolge von sechs
Einzelbildern zufällig erraten wird?
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ÜBUNG 6
Lösung
| Permutationsregel
| p= 1/6! = 0,0014
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ÜBUNG 7
Beispiel
| In einem parapsychologischen Experiment wird ein Hellseher
aufgefordert vorherzusagen, welches Menü sich ein Gast in einem
Restaurant zusammenstellen wird. Zur Auswahl stehen 4 Vorspeisen,
6 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Menüzusammenstellung zufällig richtig
erraten wird?
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ÜBUNG 7
Lösung
| Multiplikationstheorem für unabhängige Wahrscheinlichkeiten
| p= 1/4x1/6x1/3 = 0,014
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VIELEN DANK
FÜR DIE
AUFMERKSAMKEIT!
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1. VARIATIONSREGEL-EXKURS
| Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei
jedem Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen
verschiedene Ereignisabfolgen.
| Übersetzt: Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf 5 mal
hintereinander Zahl zu werfen?
| Günstiges Ergebnis 1
| Mögliches Ergebnis 25 = 32
| Wahrscheinlichkeit p= 1/32= 0,031
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1. VARIATIONSREGEL-EXKURS
Beispiel
|
Fragebogen zur vegetativen Labilität
|
Antwortmöglichkeiten: ja, nein, ?
|
Typisches Antwortmuster für Schlafstörungen:
| Ja, ja, ?, ja, nein, nein, ?, ja, ?, nein
|
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Muster zufällig auf?
|
Günstiges Ergebnis 1
|
Mögliches Ergebnis 310 = 59049
|
 p= 1/59049 = 0,0000169
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2. VARIATIONSREGEL-EXKURS
|
Werden n voneinander unabhängige Zufallsexperimente durchgeführt, und
besteht die Menge der Elementarereignisse des ersten Zufallsexperiments aus k1,
die des zweiten aus k2 etc. und die des n-ten Zufallsexperiments aus kn verschiedenen
Elementarereignissen, sind k1xk2x…xkn verschiedenen Ereignisabfolgen
möglich.
|
Übersetzt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mir einer Münze „Zahl“ und mit einem
Würfel „6“ zu werfen.
|
Günstiges Ergebnis 1
|
Das mögliche Ereignisse kann unter 2x6 = 12
|
Wahrscheinlichkeit: p= 1/12= 0,08
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