der Wahrscheinlichkeit
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STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG VORLESUNG 2 - WAHRSCHEINLICHKEIT 28.11.2014 Seite 1 1 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) AGENDA 01 WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG? 02 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 03 PERMUTATIONEN & KOMBINATIONEN 04 BERNOULLI-PROZESS/ BINOMINALVERTEILUNG 05 ÜBUNGEN 28.11.2014 2 2 Seite 2 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) WAS IST WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ? 28.11.2014 3 3 Seite 3 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) SUBJEKTIVE VS. OBJEKTIVE WAHRSCHEINLICHKEIT | Wahrscheinlich wird es morgen regnen. | Wahrscheinlich schaffe ich die Klausur. | Statistische Wahrscheinlichkeit: Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist | Zufallsexperiment: Vorgang, der nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt wird und dessen Ergebnis „vom Zufall abhängt“ | Dieses Ergebnis wird Elementarergebnis bzw. Menge der Elementarergebnisse (Ώ) genannt 28.11.2014 4 4 Seite 4 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT | Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem Verhältnis günstiger Ereignisse zu möglichen Ereignissen p | günstige Ereignisse mögliche Ereignisse Laplace-Experimente: alle Elementarergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit | | Beispiel: Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaligem Versuch eine 1 zu würfeln? 1 p 1 | Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6 6 | Günstige Ereignisse: Eins, nämlich die Zahl 1 28.11.2014 5 5 Seite 5 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT | Vereinigung von Ereignissen: ein Ergebnis, das eintritt, wenn mindestens ein Ergebnis der verknüpften Ergebnisse eintritt | Zahl 1 ODER (als auch) Zahl 3 = 1 U 3 | Mögliche Ereignisse: Sechs, nämlich die Zahlen 1 bis 6 | Günstige Ereignisse: Zwei, nämlich die Zahlen 1 oder 3 1 1 2 p 1 oder 3 6 6 6 | Unmögliche Ergebnisse: Ergebnis kann bei den behandelten Zufallsexperiment nicht eintreten | Zahl 7 auf einem sechsseitigen Würfel = ∅ 28.11.2014 6 6 Seite 6 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT | Komplementäre Ergebnisse: Alle Ergebnisse außer ein bestimmtes Ergebnis | Alle Zahlen außer 1; A = 2 U 3 U 4 U 5 U 6 | Oder A = 1 – P(A) | Durchschnittsbildung: Alle Elementarereignisse, die sowohl zu A als auch B gehören | | | | Bei dem ersten Versuch 1 und beim zweiten Versuch eine 3 1∩3 1 1 1 p 1 . 1 und 2 . 3 Mögliche Ereignisse: 36 36 6 6 Günstige Ereignisse: Eins, nämlich beim ersten Mal eine 1 und beim zweiten Mal eine 3 zu würfeln. 28.11.2014 7 7 Seite 7 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT | Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist (auch stochastische Abhängigkeit genannt) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃 (𝐵) | P(A│B) = | Ereignis B eingetreten ist, beschränken sich die Möglichkeiten auf die Ergebnisse in B Beispiel: Ziehen von Kugeln aus einer Urne | bedingte Wahrscheinlichkeit kann also als Neueinschätzung der Wahrscheinlichkeit von A interpretiert werden 28.11.2014 8 8 Seite 8 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Stochastische Abhängigkeit – Ein simples Beispiel Ein simples Beispiel zum Verständnis: In einem Land beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Wolke am Himmel ist 30%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Trocken bleibt 60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Blauen Himmel (keine Wolke) UND trocken? P(keine Wolke UND trocken)? Hier sieht man deutlich, dass die Berechnung mithilfe des Multiplikationstheorems keinen Sinn macht, die Wahrscheinlichkeiten sind eindeutig voneinander abhängig! 28.11.2014 9 9 Seite 9 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Stochastische Unabhängigkeit | Unbedingte Wahrscheinlichkeit: Unabhängigkeit zweier Ereignisse bedeutet, dass die Kenntnis des Eintretens von A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B nicht verändern | Das bedeutet: P(B│A) = P(B) | Beispiel: Münzwurf 28.11.2014 10 10 Seite 10 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEIT Axiome (Charaktereigenschaften) der Wahrscheinlichkeit 1. Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses gilt: Es liegt zwischen 0 und 1 2. Ein unmögliches Ereignis ist gleich = (P(∅) = 0) 3. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist gleich 1 (P(Ω)=1) 4. Zwei Ergebnisse A und B sind elementarfremd/haben nichts gemeinsam | P(A U B) = P(A) + P(B) 28.11.2014 11 11 Seite 11 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 28.11.2014 12 12 Seite 12 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Additionstheorem für unabhängige Ereignisse | Sind günstige Ereignisse durch ein ODER verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert P (A U B) = P(A) + P(A) | Beispiel: | Eine 3 oder eine 4 zu würfeln: 1 1 2 1 ~ 33% 6 6 6 3 | Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von k elementarfremdes Ereigniseintritt, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeit für die k Ereignisse. 28.11.2014 13 13 Seite 13 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Additionstheorem für abhängige Ereignisse | Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A oder B ergibt sich als die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A und B abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. | | P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Beispiel: 32 Karten (16 rot, 16 schwarz) mit 4 Königen (2 rot, 2 schwarz). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Karte (A) oder einen König zu ziehen (B)? | P(A U B) = 16 32 + 4 32 − 2 32 = 18 32 Durch die Addition von A und B werden zwei schwarze Karten doppelt gezählt, die danach wieder abgezogen werden 28.11.2014 14 14 Seite 14 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei unabhängigen Ergebnissen | Sind günstige Ereignisse durch ein UND verknüpft, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert P (A ∩ B) = P (A) x P(B) | Beispiel: Eine 3 und (dann) eine 4 zu würfeln: 28.11.2014 15 15 Seite 15 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 1 1 1 ~ 2,7% 6 6 36 THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen | Fragt nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A und B. Wahrscheinlichkeit des Auftretens der günstigen Ergebnisse sind gleich der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von B ist, falls A schon aufgetreten ist. P (A ∩ B) = P (B) x P(A│B) P(A│B) = 28.11.2014 16 16 Seite 16 Seite 28.11.2014 Seite P (A ∩ B) P (B) Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Multiplikationstheorem bei abhängigen Ergebnissen | Man errechnet die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten der Ereignisse A und B aus P(B) und P(A I B), also der bedingten Wahrscheinlichkeit für B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, hängt im Allgemeinen von dem Eintreten des Ereignisses A ab. 28.11.2014 17 17 Seite 17 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) THEOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Beispiel | Untersuchung der Rauchgewohnheiten von Männern und Frauen Männer Frauen Raucher 40 60 100 Nicht-Raucher 100 100 200 140 160 300 | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Proband männlich (A) ist, unter der Bedingung, dass sie raucht(B)? | P(A│B) = 28.11.2014 18 18 Seite 18 Seite 28.11.2014 Seite 40 100 40 / = = 300 300 100 0,4 Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) VARIATIONEN, PERMUTATIONEN, KOMBINATIONEN 28.11.2014 19 19 Seite 19 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) KOMBINATORIK | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zehnmaligem Münzwurf genau dreimal Kopf fällt? Will man hier nun alle Möglichkeiten aufschreiben, wird das sehr aufwendig | Mithilfe der Kombinatorik ist es möglich, die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments (Ω), zu bestimmen (Wahrscheinlichkeit für bestimmte Ergebniskombinationen) | Es kann die Menge verschiedener Anordnungsmöglichkeiten von Elementen bestimmt werden ohne mühsame Zählarbeit 28.11.2014 20 20 Seite 20 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) PERMUTATIONSREGEL | n verschiedene Objekte können in n! = 1 x 2 x 3…x n verschiedenen Abfolgen angeordnet werden (n! = Fakultät) | 0! Ist gleich 1 | Beispiel: Wie viele verschiedene „Worte“ lassen sich unter Verwendung des Wortes Mayer bilden? | | | | Jeder Buchstabe ist verschieden Daher n! Also mögliche Ergebnisse: 5! = 5x4x3x2x1x= 120 Die Wahrscheinlichkeit für eine Abfolge beträgt p=1/120=0,0083 28.11.2014 21 21 Seite 21 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 1. KOMBINATIONSREGEL | Wählt man aus n verschiedenen Objekten r zufällig aus, ergeben sich verschiedene Reihenfolgen der k Objekte | Beispiel: Bei einer Olympiade haben sich sieben annähernd gleich starke Läufer qualifiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Läufer 1 Gold, Läufer 2 Silber und Läufer 3 Bronze bekommt, wenn das Ergebnis von der zufälligen Tagesform bestimmt wird? | Günstige Fälle: 1 | Mögliche Fälle: 7! 7 −3 ! = 210 | P = 1/210 = 0,005 28.11.2014 22 22 Seite 22 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 𝒏! 𝒏−𝒌 ! 2. KOMBINATIONSREGEL | Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt hierbei die Reihenfolge außer Acht, ergeben sich für die k Objekte 𝒏 verschiedene Kombinationen. 𝒌 𝑛 | wird Binomialkoeffizient genannt 𝑘 𝑛 𝑛! | ist ein anderer Ausdruck für= 𝑘!∙ 𝑛−𝑘 ! 𝑘 Beispiel: Untersuchung von Begriffsbildung bei Kindern | Apfel – Baum – Birne – Sonne - Pflaume 5! 5 | Mögliche Ergebnisse = = 10 3!∙2! 3 | P= 1/10 = 0,1 28.11.2014 23 23 Seite 23 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 3. KOMBINATIONSREGEL | Sollen n Objekte in k Gruppen der Größe n1,n2 ….,nk eingeteilt 𝒏! werden (wobei n1 + n2 +…nk =n), ergeben sich (𝒏𝟏!∙𝒏𝟐!∙..𝒏𝒌!) Möglichkeiten. Beispiel: In einem Ferienhaus stehen 9 Personen ein 4 Bett-, ein 3-Bett und ein 2-Bett-Zimmer zur Verfügung. Die Raumzuweisung soll nach Zufall erfolgen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Raumzuweisung? | Mögliche Kombinationen: 9! =1260 4!∙3!∙2! | Wahrscheinlichkeit: p= 1/1260 = 0,0008 28.11.2014 24 24 Seite 24 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG Exkurs | Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben | Man kann sich die hypergeometrische Verteilung einfach als Urne vorstellen, bei der Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden. Die Urne enthält allerdings zwei verschiedene Sorten von Kugeln, von denen nur eine für uns interessant ist | Bei der Binomialverteilung müssten in der Urne unendlich viele Kugeln der zwei Sorten liegen oder wir legen die Kugel zurück, damit die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt 28.11.2014 25 25 Seite 25 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG Exkurs | Formel: N = Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit; insgesamt befinden sich 49 Kugeln in der Trommel M = Anzahl der günstigen Elemente; insgesamt befinden sich sechs "Richtige" Zahlen in der Trommel n = Größe der Stichprobe; insgesamt ziehen wir sechs Zahlen k = Anzahl der Elemente aus M, die in n enthalten sind; von den sechs Zahlen die wir ziehen müssen dreis Zahlen richtig sein | Wahrscheinlichkeit für 3 von 6 Richtigen beim Lotto 28.11.2014 26 26 Seite 26 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BERNOULLI PROZESS / BINOMINAL-VERTEILUNG 28.11.2014 27 27 Seite 27 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) DER BERNOULLI-PROZESS | Ein Bernoulli-Prozess (auch: Bernoulli-Kette ) besteht aus einer Abfolge mehrerer unter gleichbleibenden Bedingungen durchgeführter Bernoulli-Versuche. | Es ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, 1 oder 0, ja oder nein, richtig oder falsch, Erfolg oder Misserfolg. | Die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse wird durch die Bernoulli-Verteilung beschrieben. | Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei p ; dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg q = 1 - p . 28.11.2014 28 28 Seite 28 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) DER BERNOULLI-PROZESS | Eine Voraussetzung ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit p nicht verändern darf und das die Einzelexperimente stochastisch voneinander unabhängig seien müssen. | Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt: Ziehen mit Zurücklegen, Würfeln, Glücksrad, Roulette 28.11.2014 29 29 Seite 29 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BINOMIALVERTEILUNG Diskrete Wahrscheinlichkeiten | Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden verwendet, um anzugeben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen, verteilt. | Existieren für ein Ereignis zwei Ausgangsmöglichkeiten (ja / nein, richtig / falsch etc.) und werden hierfür Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten abgetragen, spricht man von einer sogenannten Binomialverteilung. 28.11.2014 30 30 Seite 30 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG (hier Basis: n=20) 0,25 Wahrscheinlichkeit 0,2 0,15 0,1 0,05 p=0,5 28.11.2014 31 31 Seite 31 Seite 28.11.2014 Seite p=0,25 Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) p=0,2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 BEISPIELE FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG (hier Basis: n=50) Wahrscheinlichkeit 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 5 10 15 20 25 p=0,5 28.11.2014 32 32 Seite 32 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 30 35 40 45 50 FORMEL FÜR DIE BINOMIALVERTEILUNG n pk p k q n k k | n = Anzahl der Ereignisse insgesamt | k = Anzahl der „günstigen“ Ereignisse | p = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines günstigen Ereignisses | q = Wahrscheinlichkeit für Eintreten eines ungünstigen Ereignisses (1 - p) 28.11.2014 33 33 Seite 33 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BINOMIALVERTEILUNG Beispiel | Ergebnis „Zahl 6“ beim Würfeln | Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 8 Würfen genau einmal eine 6 zu würfeln. 1 1 5 7 8 | P(1) = x x = 0,372 6 6 1 | Aber was ist, wenn wir wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand bei 20 Würfen höchstens 5 mal 6 würfelt. 28.11.2014 34 34 Seite 34 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BEISPIEL | Höchstens fünf heißt: Keine, eine, zwei, drei, vier oder fünf | Die Anzahl der Würfe ist n=20 | p(6)=1/6 und q(falsch)=5/6 | Was ist k? k ist 0, 1, 2, 3, 4, 5 | Für alle diese Fälle müssen die folgende Rechenschritte durchlaufen werden. | 𝒏! 𝒌!∙ 𝒏−𝒌 ! 28.11.2014 35 35 Seite 35 Seite 28.11.2014 Seite x 𝒑𝒌 x 𝒒𝒏−𝒌 Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) BEISPIEL | Also gilt für k= 0 | 20! 0!∙ 20−0 ! | Für k= 1 = 0,104 10 520 = 1 p=1 x 6 x 6 = 0,026 | k=2 (0,198) , k=3 (0,238) , k=4 (0,202), k=5 (0,129) | p(höchstens 5)= 0,897 | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person bei zwanzig Würfen per Zufall höchstens fünf mal 6 würfelt, beträgt 89,7 %. | Bei mindestens 5 mal 6 bei 20 Würfen, muss man alle Wahrscheinlichkeiten von k=5,6,7 …20 ausrechnen oder einfach 1 minus die Wahrscheinlichkeiten für k=1,2,3,4 28.11.2014 36 36 Seite 36 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNGEN 28.11.2014 37 37 Seite 37 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) HERANGEHENSWEISE BEI AUFGABEN ZUR WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 1. Was ist alles gegeben? 2. Alles gegebene herausschreiben! 3. Tauchen in einer Aufgabe Begriffe wie „höchstens/mindestens/genau/nicht mehr als oder ähnliches auf, handelt es sich höchstwahrscheinlich um eine Aufgabe, bei der die Formel zur Binomialverteilung angewendet werden muss. 4. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem UND kombiniert, -> Multiplizieren! 5. Werden Wahrscheinlichkeiten mit einem ODER kombiniert, -> Addieren! 28.11.2014 38 38 Seite 38 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 1 Aufgabenstellung | Wir haben eine Trommel mit insgesamt 200 Bällen. Die Bälle haben unterschiedliche Farben und können zusätzlich noch einen aufgedruckten Stern haben. Die Aufteilung der Bälle: Rot Blau Grün Gesamt Mit Stern 60 40 30 130 Ohne Stern 20 40 10 70 Gesamt 80 80 40 200 28.11.2014 39 39 Seite 39 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Ball zu ziehen? einen roten oder einen grünen Ball zu ziehen? einen grünen Ball mit einem Stern zu ziehen? einen grünen und einen blauen Ball zu ziehen? zuerst einen grünen und dann einen blauen Ball zu ziehen? entweder einen grünen Ball ohne Stern oder einen blauen Ball mit Stern zu ziehen? | entweder einen roten Ball oder einen Ball mit Stern zu ziehen? | dass ein blauer Ball einen Stern hat? | dass ein Ball ohne Stern rot ist? | | | | | | 28.11.2014 40 40 Seite 40 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 1 Lösung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. p=0,4 p=0,6 p=0,15 p= 0,2 x 0,4 x 2(es gibt zwei Möglichkeiten)=0,16 p=0,08 p=0,25 p=0,75 p=0,5 p=0,29 28.11.2014 41 41 Seite 41 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 2 Aufgabenstellung | Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Statistikunterricht versteht, sei p(verstehen) = 0,8 | Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einer Seminargruppe mit n = 25 Teilnehmer alle den Statistikunterricht verstehen? | Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Seminargruppe mit n = 25 Teilnehmer niemand der Statistikunterricht versteht? 28.11.2014 42 42 Seite 42 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 2 Lösung | Binomialformel | p=0,0038 | p= 0,0000000000000000033554432 28.11.2014 43 43 Seite 43 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 3 Aufgabenstellung | Die Wahrscheinlichkeit, sich zu irgendeiner Zeit am „richtigen Ort“ zu befinden, beträgt p(Ort) = 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, sich zur „richtigen Zeit“ irgendwo zu befinden, beträgt p(Zeit) = 0,5. | Wie große ist die Wahrscheinlichkeit, zur richtigen Zeit am falschen Ort zu sein? | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zur falschen Zeit am richtigen Ort zu sein? | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich von n = 5 Personen mindestens 3 zur richtigen Zeit am richtigen Ort befinden? 28.11.2014 44 44 Seite 44 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 3 Lösung | Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,35 | Multiplikationstheorem unabhängig: p=0,15 | Binomialformel berechnen für Fälle 3,4,5 Personen | P(k=3)= 0,0244, p(k=4)=0,0022, p(k=5)=0,000076 | P(k=3,4,5)=0,02667 28.11.2014 45 45 Seite 45 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 4 Aufgabenstellung | Bei einem Pferderennen sollen jeweils die drei schnellsten Pferde eines Rennens mit ihrer Reihenfolge des Eintreffend ins Ziel vorhergesagt werden. Insgesamt gehen 20 Pferde an den Start. Wie viele verschiedene Tipplisten gibt es? 28.11.2014 46 46 Seite 46 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 4 Lösung | 1. Kombinationsregel | 6840 verschiedene Tipplisten 28.11.2014 47 47 Seite 47 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 5 Aufgabenstellung | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt (32 Karten) ein Ass (A) unter der Voraussetzung zu ziehen, dass es sich um eine Herz-Karte (B) handelt? 28.11.2014 48 48 Seite 48 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 5 Lösung | Multiplikationstheorem für bedingte Wahrscheinlichkeit | 1/32 Wahrscheinlichkeit für Herz-Ass | 8/32 Wahrscheinlichkeit für eine Herz-Karte | (1/32)/(8/32) = 1/8 = 0,125 28.11.2014 49 49 Seite 49 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 6 Aufgabenstellung | Im Untertest „Bilderordnen“ des Hamburger-WechslerIntelligenztests werden die Probanden aufgefordert, verschiedene grafische dargestellte Szenen so in eine Reihenfolge zu bringen, dass sie eine sinnvolle Geschichte ergeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Reihenfolge von sechs Einzelbildern zufällig erraten wird? 28.11.2014 50 50 Seite 50 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 6 Lösung | Permutationsregel | p= 1/6! = 0,0014 28.11.2014 51 51 Seite 51 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 7 Beispiel | In einem parapsychologischen Experiment wird ein Hellseher aufgefordert vorherzusagen, welches Menü sich ein Gast in einem Restaurant zusammenstellen wird. Zur Auswahl stehen 4 Vorspeisen, 6 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Menüzusammenstellung zufällig richtig erraten wird? 28.11.2014 52 52 Seite 52 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) ÜBUNG 7 Lösung | Multiplikationstheorem für unabhängige Wahrscheinlichkeiten | p= 1/4x1/6x1/3 = 0,014 28.11.2014 53 53 Seite 53 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) VIELEN DANK FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT! 28.11.2014 54 54 Seite 54 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 1. VARIATIONSREGEL-EXKURS | Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen verschiedene Ereignisabfolgen. | Übersetzt: Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf 5 mal hintereinander Zahl zu werfen? | Günstiges Ergebnis 1 | Mögliches Ergebnis 25 = 32 | Wahrscheinlichkeit p= 1/32= 0,031 28.11.2014 55 55 Seite 55 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 1. VARIATIONSREGEL-EXKURS Beispiel | Fragebogen zur vegetativen Labilität | Antwortmöglichkeiten: ja, nein, ? | Typisches Antwortmuster für Schlafstörungen: | Ja, ja, ?, ja, nein, nein, ?, ja, ?, nein | Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Muster zufällig auf? | Günstiges Ergebnis 1 | Mögliches Ergebnis 310 = 59049 | p= 1/59049 = 0,0000169 28.11.2014 56 56 Seite 56 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.) 2. VARIATIONSREGEL-EXKURS | Werden n voneinander unabhängige Zufallsexperimente durchgeführt, und besteht die Menge der Elementarereignisse des ersten Zufallsexperiments aus k1, die des zweiten aus k2 etc. und die des n-ten Zufallsexperiments aus kn verschiedenen Elementarereignissen, sind k1xk2x…xkn verschiedenen Ereignisabfolgen möglich. | Übersetzt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mir einer Münze „Zahl“ und mit einem Würfel „6“ zu werfen. | Günstiges Ergebnis 1 | Das mögliche Ereignisse kann unter 2x6 = 12 | Wahrscheinlichkeit: p= 1/12= 0,08 28.11.2014 57 57 Seite 57 Seite 28.11.2014 Seite Mona Ulrich, Psychologie (M.Sc.)
