2. ¨Ubungsblatt — Lösungen

2. Übungsblatt — Lösungen
Ein letztes Beispiel zu komplexen Zahlen
1. a) a0 = 2, a1 = 3
b) (i) Lösungsweg mit komplexer Exponentialfunktion:
√
√ !n
√
i 3
1+i 3
i 3
an = 2 + (−
)
+
3
2
3
√ "
√ !n
i 3
1−i 3
2+
−
3
2
√ !n
1−i 3
=
2
√ !n #
1+i 3
=
2
Jetzt Umwandeln in Polardarstellung (diesen Schritt müssen Sie bereits beherrschen, s. letztes Übungsblatt!)
√
i 3 h −iπ/3 n iπ/3 n i
2+
e
− e
=
3
√ h
i
i 3 −inπ/3
2+
e
− einπ/3 =
3
√ inπ/3
√
i 3 e
− e−inπ/3
2 3
nπ
2 + (−2i)
=2+
sin
3
2i
3
3
|
{z
}
sin
nπ
3
Aus der letzten Zeile ist erstens klar ersichtlich, daß (wie behauptet) alle Folgenglieder reell sind, zweitens
wird die periodische Natur der Lösung klar. (Komplexe Zahlen tauchen beim Lösen von Differenzen
und Differentialgleichungen immer dann auf, wenn durch die Gleichungen periodische Prozesse bzw.
Schwingungsvorgänge beschrieben werden.)
b) (ii) Lösungsweg ohne komplexer Exponentialfunktion:
√ "
√ !n
i 3
1−i 3
an = 2 +
−
3
2
√ !n #
1+i 3
=
2
√
i 3
n
n
[(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) − (cos(π/3) + i sin(π/3)) ] =
3
√
i 3
n
n
2+
[(cos(π/3) − i sin(π/3)) − (cos(π/3) + i sin(π/3)) ] =
3
√
i 3
2+
[cos(nπ/3) − i sin(−nπ/3) − cos(nπ/3) − i sin(nπ/3)] =
3
√
√
i 3
2 3
nπ
2+
(−2i) sin(nπ/3) = 2 +
sin
3
3
3
2+
√
√
√
√
2 31
1
c) a7 = 2 + 2 3 3 sin 7π
3 = 2 + 3 2 3 = 3. (NB: sin(7π/3) = sin(π/3) = 2 3, Formelsammlung!) Aus
der allgemeinen Lösung ersehen Sie übrigens auch, daß a7 = a1 , a8 = a2 usw.
1
Differentiation
2. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen und präzisieren Sie deren Definitionsbereich. Die folgenden
Lösungen zeigen immer den ersten Schritt (Ableitung nach Produkt-, Ketten-, oder Quotientenregel) und
das Endergebnis der möglichen Vereinfachungen, die mir als praktisch erscheinen. (Ausgelassene Schritte
enthalten immer nur algebraische Umformungen!) Die Vereinfachungen sind aber in Hinblick auf die
Berechnung der zweiten Ableitung wichtig!
√
a) f (x) = x 1 −√x2 = x(1 − x2 )1/2 , |x| ≤ 1
. . . = (1 − 2x2 )/ 1 − x2
b) f (x) =
2
x√
,
x+ x
x>0
0
⇒
f (x) =
c) f (x) = x3 exp(−x2 ), x ∈ R
2
e−x (3x2 − 2x4 )
d) f (x) =
sin x
cos x ,
√
√
√
x+1
2x(x+ x)−x2 2 2√
x
√ 2
(x+ x)
⇒
x)n , x > 0
⇒
= ... =
√
x2 + 32 x x
√ 2
(x+ x)
√
x+ 32 x
√ 2
(1+ x)
=
f 0 (x) = 3x2 exp(−x2 ) + x3 exp(−x2 )(−2x) = . . . =
x 6= (2n + 1)π/2, n ∈ Z
e) f (x) = (sin x)n , x ∈ R
f) f (x) = (cos
⇒
f 0 (x) = (1 − x2 )1/2 + x(1/2)(1 − x2 )−1/2 (−2x) =
⇒
⇒
f 0 (x) =
cos2 x+sin2 x
cos2 x
= 1/ cos2 x
f 0 (x) = n(sin x)n−1 cos x
f 0 (x) = n(cos
√
√
√
√
x)n−1 (− sin x)(1/2)x−1/2 = − n2 sin√x x (cos x)n−1
g) f (x) = exp(sin(x2 )), x ∈ R,
⇒
f 0 (x) = exp(sin(x2 )) cos(x2 )2x = 2x cos(x2 ) exp(sin(x2 ))
1+x
h) f (x) = ln 1−x
, −1 < x < 1,
⇒
f 0 (x) =
1−x 1−x−(−1)(1+x)
1+x
(1−x)2
= ... =
2
1−x2
Man kann sich das Leben auch vereinfachen, wenn man berücksichtigt, daß
1+x
f (x) = ln 1−x
= ln(1 + x) − ln(1 − x) ist. Daraus erhält man für die erste Ableitung:
1
1
0
f (x) = 1+x − 1−x
(−1) = . . . = wie zuvor.
i) f (x) = x ln x − x, x > 0
⇒
f 0 (x) = (ln x + 1) − 1 = ln x
j) f (x) = ln(sin x), 2nπ < x < (2n + 1)π, n ∈ Z,
⇒
f 0 (x) =
1
sin x
cos x =
cos x
sin x
3. Berechnen Sie die zweite Ableitung der Beispiele aus 2). Der erste gezeigte Schritt startet vom vereinfachten Resultat von 2).
√
a) f (x) =√x 1 − x2
1−x2 (−4x)−(1−2x2 )(1/2)(1−x2 )−1/2 (−2x)
1−x2
f 00 (x) =
= ... =
2x3 −3x
(1−x2 )3/2
2
x√
x+ x
√
√
√
(1+ x)2 (1+(3/2)(1/2)x−1/2 )−2(1+ x)(1/2)x−1/2 (x+(3/2) x)
√
(1+ x)4
b) f (x) =
f 00 (x) =
= ... =
√
1+3/ x
√
4(1+ x)3
c) f (x) = x3 exp(−x2 )
2
2
2
f 00 (x) = e−x (−2x)(3x2 − 2x4 ) + e−x (6x − 8x3 ) = e−x (6x − 14x3 + 4x5 )
sin x
d) f (x) = cos
x
x(− sin x)
f 00 (x) = −2 cos
=
(cos x)4
2 sin x
(cos x)3
e) f (x) = (sin x)n
f 00 (x) = n(n − 1)(sin x)n−2 (cos x)2 + n(sin x)n−1 (− sin x) = n(n − 1)(sin x)n−2 (cos x)2 − n(sin x)n
(Hier wären noch weitere trigonometrische Vereinfachungen möglich . . . )
√
√
f) f (x) = (cos x)n Weiterrechnen mit Produktregel auf Dreifachprodukt! (1/ x = x−1/2 !)
2
√
√ n−1
√
√ n−1
−1/2 −1/2
−3/2
f 00 (x)√= −n/2[cos x(1/2)x
x
(cos
x)
+ sin x(−1/2)x
(cos
x)
+
√
√
√
√
√
√
+ sin xx−1/2 (n − 1)(cos x)n−2 (− sin x)(1/2)x−1/2 ] =− 4xn√x [ x(cos x)n − sin x(cos x)n−1 −
√
√
√
(n − 1) x(sin x)2 (cos x)n−2 ]
(Hier wären ebenfalls weitere trigonometrische Vereinfachungen möglich . . . )
g) f (x) = exp(sin(x2 ))
f 00 (x) = exp(sin(x2 )) cos(x2 )2x cos(x2 )2x + exp(sin(x2 ))(− sin(x2 )2x2x + exp(sin(x2 )) cos(x2 )(2) =
2 exp(sin(x2 ))[cos(x2 ) − 2x2 sin(x2 ) + 2x2 (cos(x2 ))2 ]
1+x
h) f (x) = ln 1−x
f 00 (x) =
−2(−2x)
(1−x2 )2
=
4x
(1−x2 )2
Alternativ kann man f 0 (x) =
1
1+x
+
1
1−x
1
weiterableiten: f 00 (x) = − (1+x)
2 +
i) f (x) = x ln x − x, f 00 (x) = 1/x
j) f (x) = ln(sin x)
sin x−cos x cos x
f 00 (x) = (− sin x) (sin
= −1/(sin x)2 (vgl. 2d)
x)2
3
−1(−1)
(1−x)2
= . . . wie zuvor.