Aufgaben zum Propädeutikum

Aufgaben zum Propädeutikum
Blatt 4
WS 2013/14
J. Schürmann, K. Halupczok
25.11.2013, keine Abgabe
Aufgabe 10 (Vollständigkeitsaxiom): Im Köper R der reellen Zahlen ist nach dem Vollständigkeitsaxiom jede Cauchy-Folge auch konvergent. (Wieso ist es leichter zu zeigen, dass eine Folge
eine Cauchy- als eine konvergente Folge ist?) Diskutieren Sie die folgenden Anwendungen:
(a) 1. Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen ist konvergent.
2. (Prinzip der Intervallschachtelung): Sei für jedes n ∈ N ein Intervall ∅ =
6 In =
[an , bn ] in R gegeben, sodass In+1 ⊆ In für alle n ∈ N gilt und sodass die Folge der
Längen (bn − an )n gegen 0 konvergiert. Dann gibt es genau eine reelle Zahl x, sodass für
alle n ∈ N gilt: x ∈ In . Es gilt x = limn→∞ cn für jede Folge (cn )n mit der Eigenschaft
cn ∈ In für alle n ∈ N.
3. (Bolzano-Weierstraß): Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge,
√
Ein schönes Beispiel aus der Vorlesung ist die Existenz einer positiven Quadratwurzel c
einer reellen Zahl c > 0, welche man als Grenzwert der monoton fallenden und beschränkten Folge an+1 := 21 (an + acn ) mit a0 > 0 bekommt.
(b) Die Existenz einer kleinsten oberen (bzw. größten unteren) Schranke sup M (bzw. inf M )
einer nach oben (bzw. unten) beschränkten Menge ∅ =
6 M ⊂ R.
1. Wiederholen Sie die Begriffe (kleinste) obere bzw. (größte) untere Schranke!
2. Was ist sup M bzw. inf M für M = {1 + n1 | n ∈ N}, M = {−(1 + n1 )| n ∈ N} bzw. für
M ein Intervall [a, b], ]a, b[ ⊂ R oder Q ∩ [a, b], Q ∩ ]a, b[ ⊂ R?
Aufgabe 11 (Komplexe Zahlen): Der Körper C der komplexen Zahlen kann als Menge C =
R2 = R×R der Punkte in der reellen Zahlenebene zusammen mit zwei geeigneten Verknüpfungen definiert werden. Die Addition wird dabei komponentenweise durch (a, b) + (c, d) :=
(a + c, b + d) erklärt, die Multiplikation mit der Formel (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc).
Insbesondere kann man R = R × {0} ⊂ C als Teilmenge von C auffassen, für welche
dieses die übliche Addition und Multiplikation ist, sodass die Multiplikation einer komplexen
mit einer reellen Zahl auch komponentenweise geschieht.
(a) Warum kann die Menge R2 mit der naheliegenden komponentenweise Multiplikation als
Verknüpfung, d. h. (a, b) · (c, d) := (ac, bd), keinen Körper ergeben? Welchen Rechengesetzen genügt die so eingeführte komponentenweise Multiplikation, welche gelten nicht (was
ist z.B. das Einselement 1, also das neutrale Element bzgl. der Multiplikation)?
(b) Schreibt man eine komplexe Zahl z ∈ C in der Form z = x + iy mit x, y ∈ R, so heisst
z̄ := x − iy die konjugiert komplexe Zahl. Machen Sie sich die folgenden Rechenregeln
für z, w ∈ C klar:
(z̄) = z,
z ± w = z̄ ± w̄
und
zw = z̄ · w̄ .
Was bedeutet die komplexe Konjugation ¯: C → C; z 7→ z̄ geometrisch?
(c) Der Betrag einer komplexen
= x + iy ∈ C (x, y ∈ R) ist gegeben als die nicht√ Zahl z p
negative reelle Zahl |z| := z · z̄ = x2 + y 2 . Insbesondere ist z1 = zz̄z̄ = |z|z̄ 2 für z 6= 0.
Zeigen Sie für z, w ∈ C:
|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0, |zw| = |z| · |w| und
|z + w| ≤ |z| + |w|
(für die letzte Dreiecksungleichung berechne man |z + w|2 = (z + w)(z̄ + w̄)). Was wird
geometrisch durch K := {z ∈ C| |z − m| = r} für m ∈ C und 0 ≤ r ∈ R beschrieben?
(d) Angenommen, zwei komplexe Zahlen z, z 0 ∈ C sind gegeben in Polarkoordinaten als
z = r(cos(α) + i sin(α))
bzw. z 0 = r0 (cos(α0 ) + i sin(α0 ))
mit 0 ≤ r, r0 ∈ R und α, α0 ∈ R (vergleiche Aufgabe 1). Dann gilt |z| = r (wieso?).
Berechnen Sie das Produkt z · z 0 mit Hilfe der Additionstheoreme für sin und cos:
cos(α + α0 ) = cos(α) cos(α0 ) − sin(α) sin(α0 ) ,
Wie kann man
1
z
sin(α + α0 ) = sin(α) cos(α0 ) + cos(α) sin(α0 ) .
√
und eine Wurzel z für 0 6= z ∈ C in Polarkoordinaten berechnen?
Aufgabe 12 (Brückenaufgabe):
Sie haben in der Vorlesung zur Linearen Algebra diverse algebraische Strukturen kennengelernt
(Gruppen, Ringe etc.). Erstellen Sie hierzu gemeinsam oder in Einzelarbeit eine concept map1 ,
in der all diese Strukturen und ihre wechselseitigen Beziehungen vorkommen. Denken Sie auch
daran, ähnliche aber dennoch verschiedene Strukturen durch Gegenbeispiele abzugrenzen.
1
Eine concept map ist eine Variante der mind map, bei der Sie eine Art Landkarte eines Wissensgebietes erstellen, in welcher einzelne Begriffe in Kästchen stehen, während Beziehungen der Begriffe durch beschriftete
Verbindungslinien versinnbildlicht werden (z.B. ist Spezialfall von“ oder impliziert“). Auf einer concept map
”
”
zum Thema reelle Zahlenfolgen“ könnte es z.B. Kästchen beschränkt“ und konvergent“ geben, die mit einem
”
”
”
Implikationspfeil in die eine Richtung und einem abgrenzenden Gegenbeispiel für die andere Richtung verbunden
sind, denn nicht jede beschränkte Folge ist konvergent. Eine solche Landkarte kann zur Strukturierung von Wissen
dienen oder zur Aktivierung von Vorwissen. Oder auch ein Diagnoseinstrument liefern. Damit Ihre Landkarte nach
etwas aussieht, könnte es von Vorteil sein, sie zunächst zu skizzieren und dann erst ins Reine zu zeichnen“.
”
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