1∑ 1∑ ) 1∑ ( )n ( )n ( )n ( n )2n (( n )n)2 (( )n)2 (( )n)2 (( )n)2 <
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TECHNISCHE UNIVERSITA T BERLIN
Tutor D. Irribarre
Aufgabe 1:
Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz:
a)
WS 1998/1999
Probeklausur Losungen
1
X
(;3)n
(2n)!
2 Punkte
n=1
Quotientenkriterium
n+1
(;3)
(;3)(2n)!
= lim
= 0 < 1 ) konv:
lim (;3) (2n)!n = lim
n!1 (2n + 2)(2n + 1)
n!1 (2n + 2)(2n + 1)(2n)!
n!1 (2n + 2)!(;3)
b)
1 10n
X
nn
2 Punkte
n=1
Wurzelkriterium
10 n 1=n
=
lim
lim 10
n
n
n = 0 < 1 ) konv:
!1
1
X 2n ; 1
n
c)
n=1
n
!1
2 Punkte
3n2 + 7n + 1
Minorantenkriterium
2n ; 1
2n ; 1
2n ; 1 =
=
>
3n2 + 7n + 1 4n2 + 8n + 4 ; n2 ; n ; 3 4(n + 1)2 ; n2 ; n ; 3
2n ; 1 = n + 1 + n ; 2 > n + 1 > 1 ) div:
4(n + 1)2
4(n + 1)2
4(n + 1)2 4(n + 1)
Aufgabe 2:
Bestimme folgende Grenzwerte:
n
a) lim xx ;;11
x!1
xxn;;11 = xn;1 + xn;2 + ::: + x2 + x + 1
lim xn;1 + xn;2 + ::: + x2 + x + 1 = n
x!1
n
n2
2
n!1 (n + 2n + 1)
n 2 n ;
n2
n 2 = n +n 1 2n =
2
(n + 2n + 1) = (n+ 1)
n 2
n 2 ;; n n 2
1
= 1 +1 1
=
n+1
n+1
n
n 2 n
1 )2
11
lim
=
(
e
1+ n
n!1
b) lim
2 Punkte
2 Punkte
Aufgabe 3:
3 Punkte
Aufgabe 4:
3 Punkte
Aufgabe 5:
2 Punkte
Bestimme Sie Konstanten , 2 IR derart,da die Funktion
( 2
x ; x + x ;1
f (x) = ( + )x
;1 < x < 1
x2 + x ; x 1
an allen Stellen x 2 IR stetig wird.
lim f (x) = 1 + + x!;1+
lim f (x) = ; ; ) 2 + 2 = ;1
x!;1;
lim; f (x) = + x!1
lim f (x) = 1 + ; ) = 12 ) = ;1
x!1+
Skizziere den Graphen der folgenden Funktion f , und bestimme ihre Umkehrfunktion. Warum ist umkehrbar?.Warum ist diese
stetig?
n
2
f (x) = (xx;;73) ; 4 xx < 33
Die Funktion ist umkehrbar, weil sie streng monotom steigend ist. Die Umkehrfunktion ist stetig, weil die Funktion f stetig ist.f
ist stetig,weil Polynomfunktionen stets stetig sind. Es ist nur die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle 3 zu untersuchen.
lim f (x) = ;4 = lim+ f (x) = f (3):
x!3;
x!3
f1 (x) = (x ; 3)2 ; 4 ) y1 = (x1 ; 3)2 ; 4 ) (x1 ; 3)2 = y1 + 4 )
x1 = 3 py1 + 4
f1 : 3 +1! ;4 +1) f1 ;1 : ;4 +1! 3 +1) x1 = 3 + py1 + 4.
f2 (x) = x ; 7 ) y2 = x2 ; 7 ) x2 = y2 + 7
f2 : ;1 3! ;1 ;4) f2 ;1 : ;1 ;4! ;1 3
Stelle die folgende komplexen Zahlen in der Form rei' dar:
;
p a) z1 = ;1 + 3 i 4 p
c1 = (;1 + p3 i) r = 1 + 3 = 2 ' = 32 ) c1 = 2e 23 i ) z1 = 16e 38 i
i 8
1 + i (1 + i)(1 + i) 2i
8
0i
b) z2 = 11 +
; i c2 = ( 1 ; i ) = (1 + i)(1 ; i) = 2 ) c2 = i ) z2 = i = 1 = e
Aufgabe 6:
Berechne alle Losungen von z3 = 4p2(i ; 1):
Stelle die Losungen in algebraischer Form dar.
r = 4p2p1 + 1 = 8 ) r = 2 tan(') = ;1 ) ' = 34
(3+2k)
z3 = 8e 4
3
z = 2e 4 + 2k
p p
k = 0 z = 2e 4 ) z = 2(cos( 4 ) + isin( 4 )) ) 2( 22 + 22 i) ) z1 = p2 + p2i
2 Punkte
