2 KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN 2.1 KONVERGENZ

1
2 KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
2.1 KONVERGENZ VON FOLGEN REELLER ZAHLEN
Es sei X eine beliebige Menge. Jede Abbildung
α : ZZ ⊃ Dα 3 n → an ∈ X,
deren (individueller) Definitionsbereich Dα von der Form Dα = k + IN mit k ∈ ZZ ist, wird
als ”Folge in X” bezeichnet. Man notiert eine solche Folge im allgemeinen in der Form
α =: (an )∞
n=k =: (an )n∈k+IN =: (an )n≥k oder auch nur kurz α =: (an ). Man bezeichnet an
als das ”n-te Folgenglied” der Folge α = (an ). Weiter bezeichnet man
Wα := { an | n ∈ k + IN } als ”Wertemenge” von α .
Im Fall X = IR spricht man von einer ”reellen Zahlenfolge” bzw. ”Folge reeller Zahlen”.
(1) BEISPIELE REELLER ZAHLENFOLGEN:
(i) Für a ∈ IR und k ∈ ZZ definiert k + IN 3 n → a ∈ IR die ”konstante Folge” a.
(ii) Die Folge IN 3 n → n ∈ IR notiert man kurz (n)n∈IN .
(iii) Die Folge IN∗ 3 n → 1/n ∈ IR notiert man kurz ( 1/n )n≥1 .
(iv) Für q ∈ IR definiert IN 3 n → q n ∈ IR bzw. (q n )n∈IN die ”Folge der Potenzen von q”.
(v) Für a ∈ IR+ wird durch von a0 ∈ IR+ und
µ
¶
1
a
an+1 :=
an +
,
2
an
(n ∈ IN)
”rekursiv” eine Folge (an )n∈IN definiert.
Wir definieren für reelle Zahlenfolgen zunächst einige Begriffe, die nur von der Wertemenge
abhängen.
(2) DEFINITION: Für eine reelle Zahlenfolge α = (an )n≥k definiert man mittels ihrer
Wertemenge Wα = {an | n ∈ k + IN } :
(i) sup an := sup(Wα ) ∈ IR ∪ { +∞} heißt ”Supremum” der Folge (an ).
n∈IN
(an ) heißt ”nach oben beschränkt” :⇔ Wα nach oben beschränkt
(ii)
⇔ sup an < +∞:
n∈IN
inf an := inf(Wα ) ∈ IR ∪ {−∞} heißt ”Infimum” der Folge (an ).
n∈IN
(an ) heißt ”nach unten beschränkt” :⇔
Wα nach unten beschränkt ⇔ inf an > −∞.
n∈IN
2
(iii) Schließlich heißt (an ) ”beschränkt” :⇔
Wα beschränkt.
Dies ist offenbar genau dann der Fall, wenn (an ) nach oben und nach unten beschränkt
ist, bzw. genau dann wenn die Folge ( | an | )n≥k nach oben beschränkt ist.
Wir wollen nun für Folgen reeller Zahlen die grundlegenden Begriffe ” Konvergenz” und
”Grenzwert” definieren. Dazu führen wir zunächst eine abkürzende Sprechweise ein:
(3) DEFINITION: Es sei k ∈ ZZ und für n ∈ k + IN jeweils A(n) eine Aussage.
Wir definieren
A(n) (gilt) für fast alle n :⇔ A(n) ffa n :⇔ ∃ N ∈ k + IN ∀ n ≥ N : A(n) (wahr).
Die Aussage A(n) kann hier also höchstens für endlich viele n ∈ k + IN falsch sein.
(4) KONVERGENZ UND GRENZWERT: Es sei (an ) = (an )∞
n=k eine Folge in IR.
(i) Für a ∈ IR definiert man:
(an ) ”konvergiert gegen a” :⇐⇒
(
∀ ² > 0 : | an − a | < ² ffa n
bzw. ∀ ² > 0 ∃ N ∈ k + IN : | an − a | < ² (n ≥ N ).
Man bezeichnet für ² ∈ IR+ das Intervall ]a − ², a + ²[ =: K² (a) als ”²-Umgebung von
a”. Hiermit hat man offenbar
(an ) konvergiert gegen a ⇐⇒
(
∀ ² > 0 : an ∈ K² (a) ffa n
bzw. ∀ ² > 0 ∃ N ∈ k + IN : an ∈ K² (a) (n ≥ N ).
Man notiert die Aussage ”(an ) konvergiert gegen a” abkürzend in der Form
an → a
(n → ∞)
und bezeichnet
a =: lim an als ”Grenzwert” von (an ) .
n→∞
Diese Bezeichnung ist gerechtfertigt, da der Grenzwert eindeutig bestimmt ist:
Gilt für a, ã ∈ IR sowohl an → a
(n → ∞) als auch an → ã
(n → ∞), so folgt ã = a .
(ii) Gilt speziell an → 0 (n → ∞), so bezeichnet man (an ) als ”Nullfolge” .
(iii) Die Folge (an ) heißt ”konvergent”, kurz: ”(an ) kgt”
3
:⇐⇒
∃ a ∈ IR mit an → a
(n → ∞).
(iv) Die Folge (an ) heißt ”divergent”, wenn sie nicht konvergent ist.
(5) BEISPIELE:
(i) Die konstante Folge k + IN 3 n → a ∈ IR konvergiert gegen a.
(ii) Die Folge (n)n∈IN ist divergent.
(iii) ( 1/n )n≥1 ist eine Nullfolge.
√
(iv) Für 2 ≤ k ∈ IN ist ( 1/ k n )n≥1 eine Nullfolge.
(v) Für q ∈ IR mit 0 ≤ q < 1 ist ( q n )n∈IN eine Nullfolge.
(vi) Die Folge ( (−1)n )n∈IN ist divergent.
√
(vii) Für c ∈ IR+ gilt n c → 1 (n → ∞).
(6) BEMERKUNG: Jede konvergente Folge reeller Zahlen (an )∞
n=k ist beschränkt.
Die Umkehrung der vorstehenden Aussage ist falsch, wie das Beispiel (5) (vi) zeigt.
Aus (6) liest man noch einmal ab, daß die Folge ( n )n∈IN divergent ist, denn sie ist offensichtlich nicht beschränkt.
Einen Zusammenhang zwischen Konvergenz und Nullfolgen beinhaltet die folgende
(7) BEMERKUNG: Für jede reelle Zahlenfolge (an )n≥k gilt
an → a
(n → ∞)
⇔
(an − a)n≥k Nullfolge .
Es ist daher zweckmäßig, zunächst Nullfolgen zu studieren.
(8) RECHENREGELN FÜR NULLFOLGEN:
Es seien (an ) und (bn ) Folgen in IR. Hierfür gilt:
(i) (an ) Nullfolge
⇐⇒
(| an |) Nullfolge .
(ii) (an ) und (bn ) Nullfolgen
=⇒
(an ± bn ) Nullfolgen .
(iii) (an ) Nullfolge und (bn ) beschränkt
(iv) (an ) Nullfolge und | bn | ≤ | an | ffa n
=⇒
=⇒
(an · bn ) Nullfolge
(bn ) Nullfolge .
.
4
∞
In (8) (ii) sowie (8) (iii) sind für (an ) =: (an )∞
n=k und (bn ) =: (bn )n=` die Summen- bzw.
Differenzfolge sowie die Produktfolge durch (an ± bn ) := (an ± bn )∞
n=m sowie (an · bn ) :=
(an · bn )∞
n=m mit m = max{k, `} definiert.
(9) BEISPIELE:
(i) Für k ∈ IN∗ ist ( 1/nk )n≥1 Nullfolge.
¡
¢
(ii) Für k ∈ IN und q ∈ IR mit | q | < 1 ist nk · q n n∈IN Nullfolge .
Wir kommen nun zu den wichtigsten RECHENREGELN für konvergente Folgen.
∞
(10) SATZ: Es seien (an ) = (an )∞
n=k und (bn ) = (bn )n=` Folgen in IR.
(i) Sind (an ) und (bn ) konvergent und gilt
an ≤ bn ffa n ,
so folgt
lim an ≤ lim bn .
n→∞
(ii) Sind
(an )∞
n=k
und
(bn )∞
n=`
n→∞
konvergent mit
lim an =: a ∈ IR und lim bn =: b ∈ IR ,
n→∞
n→∞
so folgt
an ± bn → a ± b (n → ∞) und an · bn → a · b (n → ∞).
(iii) Ist (an ) = (an )∞
n=k eine konvergente Folge mit
lim an =: a ∈ IR∗ ,
n→∞
so existiert ein (minimales) k̃ ∈ IN mit
an 6= 0 für n ∈ k̃ + IN) .
µ
Hiermit ist die Folge
1
an
¶∞
definiert, und es gilt
n=k̃
1
1
→
an
a
(n → ∞) .
Ist (bn ) konvergent mit lim bn =: b, so folgt
n→∞
bn
b
→
an
a
(n → ∞) .
5
Nützlich für Konvergenzbeweise und Grenzwertberechnungen ist das folgende Einschachtelungsprinzip.
∞
∞
(11) SATZ: Es seien (an )∞
n=k , (bn )n=` und (cn )n=m Folgen in IR mit
an ≤ cn ≤ bn ffa n .
∞
Sind dann (an )∞
n=k und (bn )n=` konvergent mit
lim an = lim bn =: c,
n→∞
n→∞
so ist auch (cn )∞
n=m konvergent mit
lim cn = c.
n→∞
Die divergente Folge (n)n∈IN besizt offenbar ein vernünftiges, den konvergenten Folgen
verwandtes Grenzverhalten.
(12) DEFINITION: Es sei (an ) = (an )∞
n=k eine Folge in IR. Wir definieren
(an )∞
n=k ”konvergiert gegen +∞” :⇔ an → +∞
(n → ∞)
:⇔ ∀ γ ∈ IR : an > γ ffa n ⇔ ∀ γ > 0 : an > γ ffa n .
(an )∞
n=k ”konvergiert gegen −∞” :⇔ an → −∞
(n → ∞)
:⇔ ∀ γ ∈ IR : an < γ ffa n ⇔ ∀ γ > 0 : an < −γ ffa n .
Wir bezeichnen in jeder der beiden Situationen die Folge (an )∞
n=k als uneigentlich konvergent bzw. als bestimmt divergent.
Offenbar gilt für jede reelle Folge (an )∞
n=k
an → +∞ (n → ∞)
⇔
−an → −∞ (n → ∞) , .
(13) BEMERKUNG: Sind (an ) und (bn ) reelle Folgen mit
an ≤ bn ffa n ,
so gilt:
an → +∞ (n → ∞) ⇒ bn → +∞ (n → ∞)
bn → −∞ (n → ∞) ⇒ an → −∞ (n → ∞) .
6
(14) BEISPIELE:
(i) n → +∞ (n → ∞) und −n → −∞ (n → ∞) .
√
(ii) Für IN 3 k ≥ 2 gilt k n → +∞ (n → ∞) und nk → +∞
(iii) Für IR 3 q > 1 gilt q n → +∞
(n → ∞) .
(n → ∞).
Es besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen Nullfolgen und uneigentlich konvergenten Folgen.
(15) BEMERKUNG: Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR mit an > 0 , (n ≥ k) bzw. mit
an < 0 , (n ≥ k) . Dann gilt
an → 0 (n → ∞) ⇔
1
1
→ +∞ (n → ∞) bzw. → −∞ (n → ∞) .
an
an
Hieraus folgt dann auch unmittelbar
| an | → +∞ (n → ∞) ⇒
1
→ 0 (n → ∞) .
an
Es folgen einige weitere RECHENREGELN für uneigentlich konvergente Folgen.
(16) BEMERKUNG: Es seien (an )n≥k und (bn )n≥` Folgen in IR.
(i) Gilt an → +∞ (bzw. → −∞) (n → ∞) und ist (bn )∞
n=` nach unten beschränkt
(bzw. nach oben beschränkt), so folgt
an + bn → +∞ (bzw. → −∞) (n → ∞) .
(ii) Gilt an → +∞ (bzw. → −∞)
(n → ∞) und ist inf { bn | n ∈ ` + IN } > 0 , so
folgt
an · bn → +∞ (bzw. → −∞) (n → ∞).
7
Wir betrachten nun noch MONOTONE FOLGEN.
(17) DEFINITION: Eine Folge (an )∞
n=k in IR heißt ”monoton wachsend” (bzw. ”monoton
fallend”), sofern
∀ n ∈ k + IN : an ≤ an+1 ,
(bzw. ∀ n ∈ k + IN : an ≥ an+1 )
gilt. Gelten hier jeweils die strikten Ungleichungen, so spricht man von einer ”streng
monoton wachsenden” (bzw. ”streng monoton fallenden”) Folge. Gelten die Ungleichungen
jeweils nur für fast alle n ≥ k, so sagt man, daß die Folge schließlich monoton wachsend
(bzw. fallend) ist.
(18) SATZ: Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR.
(i) Ist (an )∞
n=k monoton fallend, so gilt
an → inf { am | m ∈ k + IN }
(n → ∞).
(ii) Ist (an )∞
n=k monoton wachsend, so gilt
an → sup { am | m ∈ k + IN }
(n → ∞).
Ein Beispiel zur monotonen Konvergenz ist die
(19) REKURSIVE QUADRATWURZELBERECHNUNG
Es sei a ∈ IR+ . Gibt man a0 ∈ IR+ beliebig vor und definiert man rekursiv:
so folgt an →
√
2
1
a
an+1 := (an + ) ,
2
an
(n ∈ IN) ,
a (n → ∞) .
Ein weiteres schönes Beispiel zur monotonen Konvergenz von Folgen ist die Definition der
EXPONENTIALFUNKTION. Zur Motivation betrachten wir das Problem der stetigen
Verzinsung:
Ein (Anfangs-)Kapital K0 werde mit P Prozent verzinst.
K sei das (End-)Kapital nach einem Jahr. Mit x :=P /100 gilt
bei jährlicher Verzinsung:
K = K0 · (1 + x),
bei monatlicher Verzinsung:
³
x ´12
,
K = K0 · 1 +
12
8
bei täglicher Verzinsung:
³
x ´360
K = K0 · 1 +
,
360
1
bei n-maliger Verzinsung nach jeweils -tel Jahr
n
³
x ´n
K = K0 · 1 +
,
n
bei ” stetiger Verzinsung ”
³
x ´n
K = K0 · lim 1 +
.
n→∞
n
Die Existenz des Grenzwertes beinhaltet der folgende Satz.
(20) SATZ:
Für N ∈ IN∗ , x ∈ [−N, N ] und IN 3 n ≥ N + 1 gilt:
µ
¶n+1
³
1
x ´n
x
≤ 1+
≤ (N + 1)N +1 .
≤ 1+
N
+1
(N + 1)
n
n+1
Damit existiert für jedes x ∈ IR der Grenzwert
³
x ´n
lim 1 +
=: exp(x) ∈ ]0, +∞[.
n→∞
n
Man bezeichnet
exp : IR 3 x → exp(x) ∈ IR
als (reelle) Exponentialfunktion.
Speziell bezeichnet man
µ
e := exp(1) = lim
n→∞
1
1+
n
¶n
= 2.718 281 828 459 ...
als Eulersche Zahl .
Die Exponentialfunktion hat die folgenden EIGENSCHAFTEN:
(i) exp(0) = 1 ,
(ii)
exp(x) > 0 , exp(x) ≥ 1 + x ,
(x ∈ IR) ,
(iii) exp(x + y) = exp(x) exp(y) ,
insbesondere gilt:
(x, y ∈ IR),
1
, (x ∈ IR).
exp(−x) =
exp(x)
BEISPIEL: Für jede Nullfolge (an )n≥1 gilt
³
an ´n
1+
→ 1 , (n → ∞) .
n
9
2.2 LIMES INFERIOR UND LIMES SUPERIOR;
BERÜHRPUNKTE; TEILFOLGEN; CAUCHY-FOLGEN
(1) DEFINITION, BEMERKUNG: Es sei (xn )∞
n=k eine Folge in IR.
Hiermit seien für n ∈ k + IN
an := inf { xm | m ≥ n } ∈ IR ∪ {−∞} ,
bn := sup { xm | m ≥ n } ∈ IR ∪ {+∞}
betrachtet.
∞
Ist (xn )∞
n=k nach unten beschränkt, so ist (an )n=k eine monoton wachsende Folge in IR.
Es existiert dann der Grenzwert
lim an = sup { an | n ≥ k } =: a ∈ IR ∪ {+∞} .
n→∞
Ist (xn )∞
n=k nicht nach unten beschränkt, so gilt an = −∞ , (n ≥ k). Wir setzen dann
a := −∞. Man bezeichnet jeweils
a =: lim inf xn
n→∞
als ”limes inferior” von (xn )∞
n=k .
∞
Ist (xn )∞
n=k nach oben beschränkt, so ist (bn )n=k eine monoton fallende Folge in IR. Es
existiert dann der Grenzwert
lim bn = inf { bn | n ≥ k } =: b ∈ IR ∪ {−∞} .
n→∞
Ist (xn )∞
n=k nicht nach oben beschränkt, so gilt bn = +∞ , (n ≥ k). Wir setzen dann
b := +∞. Man bezeichnet jeweils
b =: lim sup xn
n→∞
als ”limes superior” von (xn )∞
n=k .
Es gilt offenbar
lim inf xn ≤ lim sup xn .
n→∞
n→∞
Mit −(+∞) = −∞ und −(−∞) = +∞ hat man
(2) BEMERKUNG: Für jede Folge (xn )∞
n=k in IR gilt
lim inf (−xn ) = − lim sup xn .
n→∞
n→∞
10
(3) BEISPIELE:
(i) xn := (−1)n , (n ∈ IN) ⇒ lim inf xn = −1, lim sup xn = 1.
n→∞
n→∞
√
√
(ii) xn := n + 1 + (−1)n n, (n ∈ IN) ⇒ lim inf xn = 0, lim sup xn = +∞.
n→∞
n→∞
Um im folgenden bequemer formulieren zu können, führen wir eine weitere Sprechweise
ein. Dazu sei wie gehabt k ∈ ZZ und für n ∈ k + IN sei jeweils A(n) eine Aussage. Wir
definieren
A(n) (gilt) für unendlich viele n ∈ k + IN :⇔ A(n) fuv n
:⇔ ∀ N ≥ k ∃ n ≥ N : A(n).
Es folgt eine Charakterisierung des Limes Inferior und des Limes Superior.
(4) BEMERKUNG: Es seien (xn )∞
n=k eine Folge in IR und c ∈ IR. Dann gilt
(
1) ∀ γ < c : xn > γ ffa n,
c = lim inf xn ⇔
n→∞
2) ∀ γ > c : xn < γ fuv n,
sowie entsprechend
(
c = lim sup xn
⇔
n→∞
1)
2)
∀ γ > c : xn < γ ffa n,
∀ γ < c : xn > γ fuv n.
(5) DEFINITION: Es sei (xn )∞
n=k eine Folge in IR und a ∈ IR.
a heißt Berührpunkt (Bp) von (xn )∞
n=k
:⇔
∀ ε > 0 : xn ∈ Kε (a) fuv n.
Entsprechend heißt +∞ (bzw. −∞) (uneigentlicher) Berührpunkt (Bp) von (xn )∞
n=k
:⇔
∀ γ > 0 : xn > γ fuv n (bzw. xn < −γ fuv n) .
(6) SATZ: Für jede Folge (xn )∞
n=k in IR gilt
©
ª
lim inf xn = min x ∈ IR | x Bp von (xn )∞
n=k
n→∞
und
©
ª
lim sup xn = max x ∈ IR | x Bp von (xn )∞
.
n=k
n→∞
(6’) FOLGERUNG (BOLZANO-WEIERSTRASS):
Jede Folge in IR besitzt (mindestens) einen Berührpunkt in IR. Ist die Folge beschränkt,
so liegen alle ihre Berührpunkte in IR.
11
(7) SATZ: Es seien (xn )∞
n=k eine Folge in IR. Dann gilt für a ∈ IR
xn → a (n → ∞) ⇔ a ist der einzige Bp von (xn )∞
n=k
⇔ lim inf xn = lim sup xn = a .
n→∞
n→∞
(8) BEMERKUNG: Für IR 3 xn > 0, (n ∈ IN) gilt:
√
√
xn+1
xn+1
lim inf
≤ lim inf n xn ≤ lim sup n xn ≤ lim sup
.
n→∞
n→∞
xn
xn
n→∞
n→∞
Wir definieren nun noch
∞
(9) DEFINITION: Es seien (xn )∞
n=k und (yn )n=` Folgen in IR. Man bezeichnet:
∞
(yn )∞
n=` heißt Teilfolge von (xn )n=k :⇔
∃ τ : ` + IN → k + IN mit τ (n) < τ (n + 1) und yn = xτ (n) für n ≥ `.
(10) BEMERKUNG: Es sei (xn )∞
n=k eine Folge in IR und a ∈ IR. Dann gilt:
∞
∞
(i) a Bp von (xn )∞
n=k ⇒ ∃ (yn )n=1 Teilfolge von (xn )n=k : yn → a (n → ∞).
∞
(ii) Ist (yn )∞
n=` Teilfolge von (xn )n=k , so folgt:
∞
a Bp von (yn )∞
n=` ⇒ a Bp von (xn )n=k ;
xn → a
(n → ∞) ⇒ yn → a
(n → ∞).
(11) FOLGERUNG:
Jede Folge in IR besitzt eine Teilfolge, die konvergent ist oder gegen +∞ oder gegen −∞
konvergiert. Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
(12) DEFINITION: Es sei (xn )∞
n=k eine Folge in IR. Dann heißt
(xn )∞
n=k Cauchy-Folge ( CF )
:⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ≥ k ∀ n, m ≥ N : | xn − xm | < ε .
(13) BEMERKUNG: Es sei (xn )∞
n=k eine Folge in IR. Dann gilt:
∞
(i) (xn )∞
n=k konvergent ⇒ (xn )n=k Cauchy-Folge.
∞
(ii) (xn )∞
n=k Cauchy-Folge ⇒ (xn )n=k beschränkt.
∞
(iii) (xn )∞
n=k Cauchy-Folge und a Berührpunkt von (xn )n=k
⇒ a ∈ IR und xn → a
Hiermit folgt nun leicht
(n → ∞).
12
(14) SATZ (CAUCHY’SCHES KONVERGENZKRITERIUM):
Für jede Folge (xn )∞
n=k in IR gilt:
∞
(xn )∞
n=k Cauchy-Folge ⇔ (xn )n=k konvergent .
Die Aussage ⇒ von Satz (14) wird als Folgenvollständigkeit von IR bezeichnet. Diese zusammen mit der Aussage des Satzes von Archimedes sind äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom.
13
2.3 UNENDLICHE REIHEN; POTENZREIHEN
(1) DEFINITION: Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR. Für n ∈ k + IN heißt
sn :=
n
X
n-te Partialsumme der Folge (an )∞
n=k
aj
j=k
und die Folge der Partialsummen
(sn )∞
n=k
∞
X
=:
Reihe der Folge (an )∞
n=k .
an
n=k
∞
Ist die Reihe der (an )∞
n=k (d.h. die Folge der Partialsummen (sn )n=k ) konvergent, so notiert
man dies auch in der Form
∞
X
an konvergent (kgt) .
n=k
In diesem Fall bezeichnet man deren Grenzwert als die Reihensumme
lim sn =:
n→∞
∞
X
an ∈ IR .
n=k
Man notiert die Konvergenz der Reihe, bzw. die Konvergenz der Reihe gegen die Reihensumme a auch kurz in der Form
∞
X
an ∈ IR
bzw.
∞
X
an = a ∈ IR .
n=k
n=k
Man bezeichnet die Reihe als divergent , wenn sie nicht konvergent ist.
Den Fall der (uneigentlichen) Konvergenz der Reihe gegen +∞, bzw. −∞ notiert man
auch kurz in der Form
∞
X
an = +∞
(bzw. = −∞) .
n=k
(2) BEISPIELE:
(i) GEOMETRISCHE REIHE Für q ∈ IR mit | q | < 1 gilt
∞
X
n=0
(ii) Es gilt
∞
X
n=1
qn =
1
.
1−q
1
= 1.
n(n + 1)
14
(3) BEMERKUNG (LINEARITÄT):
∞
Es seien (an )∞
n=k , (bn )n=k Folgen in IR und α, β ∈ IR. Gilt dann
∞
X
∞
X
an = a ∈ IR ,
n=k
so folgt
bn = b ∈ IR,
n=k
∞
X
(α an + β bn ) = α a + β b.
n=k
(4) SATZ (CAUCHY-KRITERIUM): Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR. Dann gilt:
∞
X
n=k
an konvergent
¯
¯ n
¯
¯ X
¯
¯
aj ¯ < ε.
⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ k + IN ∀ n, m ≥ N mit n ≥ m : ¯
¯
¯
j=m+1
(5) FOLGERUNG (NOTWENDIGE KONVERGENZBEDINGUNG):
Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR. Dann gilt:
∞
X
an konvergent
⇒
an → 0 (n → ∞).
n=k
Die notwendige Bedingung in (5) ist nicht hinreichend.
(6) BEISPIEL (HARMONISCHE REIHE):
∞
X
1
= +∞ ,
n
n=1
1
→ 0 (n → ∞).
n
(7) REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN:
Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR mit an ≥ 0, (n ≥ k). Dann gilt:
( n
)
∞
X
X
an = sup
aj | n ≥ k ∈ IR.
n=k
j=k
Insbesondere hat man
∞
X
n=k
an konvergent
⇔
à n
X
j=k
!∞
beschränkt.
aj
n=k
15
(8) p-ADISCHE DARSTELLUNG DER REELLEN ZAHLEN: Es sei IN 3 p > 1. Dann
existiert zu jedem x ∈ IR eine Folge (an )∞
n=k mit an ∈ {0, . . . , p − 1} , (n ≥ k) und
an 6= p − 1 fuv n, so daß
∞
X
an
x=±
pn
n=k
mit + im Falle x ≥ 0 und − im Falle x < 0 gilt.
Diese Darstellung ist eindeutig: Ist (ãn )∞
eine weitere Folge mit entsprechenden Eigenn=k̃
schaften, wobei o.E. k̃ ≤ k gelte, so folgt
(
0 , (k̃ ≤ n < k ,
ãn =
an , (n ≥ k) .
Speziell im Fall p = 10 liefert dies die Darstellung von x als (unendlichen) Dezimalbruch,
den man dann in der Form x = ak ak+1 ...a0 , a1 a2 a3 a4 ... notiert.
Speziell im Fall p = 2 erhält man die Dualdarstellung reeller Zahlen.
(9) ALTERNIERENDE REIHEN; LEIBNIZ-KRITERIUM:
Es sei (an )∞
n=k eine monotone (monoton fallende oder wachsende) Nullfolge reeller Zahlen.
∞
X
(−1)n an konvergent. Ist deren Reihensumme
Dann ist die (”alternierende”) Reihe
n=k
gleich a ∈ IR, so gilt für die Reihenreste jeweils
¯
¯ ¯
¯
n
∞
¯
¯ ¯ X
¯
X
¯
¯ ¯
¯
j
j
a
−
(−1)
a
=
(−1)
a
¯
¯
j¯
j ¯ ≤ | an+1 | ,
¯
¯ ¯
¯
(n ≥ k).
j=n+1
j=k
(10) ABSOLUTE KONVERGENZ:
Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR.
Man bezeichnet die Reihe der (an )∞
n=k als absolut konvergent und notiert dies
∞
X
an absolut konvergent (abs.kgt),
n=k
genau dann, wenn die Reihe der (| an |)∞
n=k konvergent ist, d.h. wenn
∞
X
| an | konvergent .
n=k
Dann ist auch die Reihe der
(an )∞
n=k
konvergent, und es gilt für die Reihensummen
¯
¯
∞
∞
¯ X
¯X
¯
¯
≤
| an | .
a
¯
n¯
¯
¯
n=k
n=k
16
∞
(11) DEFINITION: Es seien (an )∞
n=k und (bn )n=` Folgen in IR. Man bezeichnet
∞
X
bn Majorante von
∞
X
n=`
n=k
n=`
n=k
an ⇔ | an | ≤ bn ffa n,
und entsprechend
∞
∞
X
X
bn Minorante von
an ⇔ 0 ≤ bn ≤ | an | ffa n.
(12) VERGLEICHSKRITERIEN FÜR ABSOLUTE KONVERGENZ:
∞
Es seien (an )∞
n=k und (bn )n=` Folgen in IR. Dann gilt:
(i) (MAJORANTENKRITERIUM)
∞
∞
X
X
bn konvergente Majorante von
an
n=`
⇒
n=k
(ii) (MINORANTENKRITERIUM)
∞
∞
X
X
bn divergente Minorante von
an
n=`
an absolut konvergent.
n=k
⇒
n=k
(13) BEISPIEL: IN 3 k ≥ 2 ⇒
∞
X
∞
X
an nicht absolut konvergent.
n=k
∞
X
1
konvergent.
k
n
n=1
(14) WURZELKRITERIUM: Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR. Dann gilt
(i)
∞
X
p
n
an absolut konvergent.
lim sup | an | < 1 ⇒
n→∞
(ii)
lim sup
n→∞
n=k
p
n
| an | > 1 ⇒
∞
X
an divergent .
n=k
(15) QUOTIENTENKRITERIUM: Es sei (an )∞
n=k eine Folge in IR mit
an 6= 0, (n ≥ k). Dann gilt:
¯
¯
∞
X
¯ an+1 ¯
¯
¯
<1 ⇒
an absolut konvergent.
(i) lim sup ¯
an ¯
n→∞
n=k
¯
¯
∞
X
¯ an+1 ¯
¯>1 ⇒
(ii) lim inf ¯¯
an divergent.
n→∞
an ¯
n=k
17
∞
(16) REIHENUMORDNUNG: Es seien (an )∞
k und (bn )` Folgen in IR.
Gilt bn = aϕ(n) , (n ≥ `) mit einer bijektiven Abbildung ϕ : {`, ` + 1, ...} → {k, k + 1, ...},
∞
∞
X
X
so bezeichnet man die Reihe
bn als ”Umordnung” der Reihe
an .
n=`
n=k
(17) KLEINER UMORDNUNGSSATZ:
Es seien k, ` ∈ IN und ϕ : {`, ` + 1, ...} → {k, k + 1, ...} injektiv.
Weiter sei (an )∞
k eine Folge in IR mit
∞
X
an absolut kgt.
n=k
Dann ist
∞
X
aϕ(n) absolut kgt
n=`
und im Fall ϕ bijektiv gilt zudem
∞
X
aϕ(n) =
∞
X
an .
n=k
n=`
(18) DEFINITION: Es sei (an )∞
k eine Folge in IR.
∞
X
an als ”unbedingt konvergent”, falls jede Umordnung dieser
Man bezeichnet die Reihe
n=k
Reihe konvergent ist. Man bezeichnet sie als ”bedingt konvergent”, falls sie konvergent
aber nicht unbedingt konvergent ist.
(19) RIEMANNSCHER UMORDNUNGSSATZ: Es sei (an )∞
k eine Folge in IR mit
∞
X
an konvergent aber nicht absolut konvergent.
n=k
Dann gibt es zu jedem c ∈ IR eine Umordnung
∞
X
bn von
n=`
∞
X
∞
X
an mit
n=k
bn = c.
n=`
(20) FOLGERUNG: Für jede Folge (an )∞
k in IR gilt
∞
X
n=k
an absolut kgt ⇔
∞
X
n=k
an unbedingt kgt.
18
Wir kommen nun zu den POTENZREIHEN.
(21) DEFINITION, SATZ: Es sei (an )∞
n=0 eine Folge in IR und x0 ∈ IR.
Dann heißt für x ∈ IR
∞
X
an (x − x0 )n
Potenzreihe um x0 mit den Koeffizienten an .
n=0
Als Konvergenzradius dieser Potenzreihe bezeichnet man
p
ρ := 1/ lim sup n | an | ∈ [0, +∞],
n→∞
wobei man hier 1/0 := +∞ und 1/ + ∞ := 0 vereinbart.
Es gilt für x ∈ IR
| x − x0 | < ρ ⇒
∞
X
an (x − x0 )n absolut konvergent,
n=0
| x − x0 | > ρ ⇒
∞
X
an (x − x0 )n divergent .
n=0
Für | x − x0 | = ρ kann Konvergenz oder Divergenz eintreten.
Wir beweisen nun die Darstellung der Exponentialfunktion durch eine Potenzreihe und
definieren die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus mittels Potenzreihen.
(22) SATZ, DEFINITION:
Die folgenden Potenzreihen um 0 haben jeweils den Konvergenzradius +∞:
∞
∞
∞
X
X
1 n X (−1)n
(−1)n 2n
2n+1
x ,
x
,
x .
n!
(2n
+
1)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
(i) Für x ∈ IR gilt
∞
X
1 n
x = exp(x).
n!
n=0
(ii) Für x ∈ IR definiert man
∞
X
n=0
(−1)n
x2n+1 =: sin(x) ,
(2n + 1)!
∞
X
(−1)n 2n
x =: cos(x).
(2n)!
n=0
Die hierdurch definierten Funktionen bezeichnet man
sin : IR → IR
Sinus ,
cos : IR → IR
Cosinus .