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Über Zufallsgeneratoren (fakultativ)
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Über Zufallsgeneratoren (fakultativ)
Erzeugung von gemäÿ einem WMaÿ P Überblick
verteilter Realisationen mit Hilfe von Zufallsgeneratoren.
Der Satz von GlivenkoCantelli bietet eine Möglichkeit
zur empirischen Überprüfung.
Erläutert wird die
15.1 Notwendigkeit von Realisationen
WMaÿe (Verteilungen) oenbaren sich beispielsweise in der Statistik durch ihre Realisationen, die
dann die Grundlage für die Schätzung (Mutmaÿung)
bez. des den Realisationen zugrundeliegenden (unbekannten) WMaÿes bilden.
Für verschiedene Aufgaben ist man nun auf solche, künstlich erzeugte (Stichproben) Realisationen angewiesen, von denen man weiÿ, welchem
WGesetz (WMaÿ, Verteilung) diese folgen.
Soll beispielsweise ein Schätzverfahren zur bestimmung
eines WMaÿes aufgrund von durch dieses WMaÿes
erzeugter Realisationen empirisch überprüft werden,
so setzt dies die Kenntnis dieses WMaÿes voraus!
Das Gesagte unterstreicht die Verfügbarkeit von Tech-
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niken zur Erzeugung von Realisationen gemäÿ
einem vorgegebenen WMaÿ P .
Unter Vorwegnahme späterer Ausführungen lässt sich
die Erzeugung von Realisationen gemäÿ einem WMaÿ
P auf eine solche von Realisationen gemäÿ der Gleichverteilung λ(0;1) bez. dem Intervall (0; 1) reduzieren.
15.2 (0; 1)Realisation
Die Erzeugung von Zufallszahlen durch Zufallsgene-
ratoren meint zunächst die Erzeugung von Zahlen auf
einem endlichen Abschnitt von N ∪ {0}.
Die Erzeugung von Zufallszahlen aus dem Intervall
(0; 1), den sogenannten (0; 1)Realisationen ergibt
sich dann durch geeignete Normierung.
15.3 Beschaung von künstlichen (0; 1)Realisationen
Grundsätzlich bieten sich zwei Möglichkeiten zur Beschaung bzw. Erzeugung von Zufallszahlen und mithin von (0; 1)Realisationen.
Die eine Möglichkeit besteht in der Nutzung eines geeigneten physikalischen Experimentes, d.h. konkret z.B. die
Verarbeitung eines elektromagnetische bzw. elektrischen
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Signals. Im beschriebenen Fall spricht man von der Erzeugung durch einen physikalischen Zufallsgenerator.
Wenn auch Vieles für die Verwendung physikalisch erzeugter Realisationen spricht, so wird der Nutzung von
PseudoZufallsgeneratoren der Vorzug gegeben; was
im Umstand begründet liegt, dass bei PseudoZufallsgeneratoren
die Zufallsdaten ohne groÿen Aufwand auch später wieder zur Verfügung stehen.
15.4 Anforderungen
Auch wenn (Pseudo) Zufallsgeneratoren eine deterministisch bestimmte Folge von (0; 1)Realisationen liefern, müssen diese in der Stochastik wenigstens Aspekten des Zufalls genügen, in dem Sinne, dass die stati-
stische Widerlegung nur aufgrund von groÿen
Stichprobenumfängen möglich ist.
In der Stochastik angestrebt sind Realisationen, die
sich möglichst als solche einer Folge unabhängiger, auf (0, 1) gleichverteilter ZVen darstellen.
15.5 Typen von (Pseudo) Zufallsgeneratoren
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Zufallsgeneratoren sind algorithmische Verfahren, die
eine deterministische Folge von Zahlen aus einem endlichen Abschnitt A ⊂ N ∪ {0} erzeugen, (die dann auf
(0; 1) normiert werden).
Sind Zufallsgeneratoren über eine Iterationsabbildung
f deniert, d.h., gilt für eine Folge von Zufallszahlen
(zi )
zi+1 := f (zi ) , i ∈ N ,
so sind die Zufallsgeneratoren wegen zi ∈ A , i ∈ N
periodisch, d.h. es existiert eine Periode (Zahl) p ∈ N
mit
zi = zi+p , i ∈ N .
Bekannt geworden sind verschiedene Typen von Zufallsgeneratoren, deren bekanntester wohl der sogenannte LinearGenerator ist.
In Experimental Stochastics, O.Moeschlin et al., Berlin Heidelberg New York, 1998, ndet sich eine
Darstellung solcher Typen; dort wird auch gezeigt, wie
die Realisationen solcher Zufallsgeneratoren auf die gewünschten Anforderungen hin getestet werden können.
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15.6 Realisationen gemäÿ einem WMaÿ P
Heute, im Ramen von SoftwarePackages angebotene Zufallsgeneratoren, liefern (in aller Regel) Realisationen ui , i ∈ N, die in der Tat weitestgehend
als solche einer unabhängigen Folge von auf (0; 1)
gleichverteilten ZVen aufgefasst werden können.
Ist dann P ein WMaÿ (auf B über R mit der
inversenen Verteilungsfunktion F inv , so können
die F inv (ui ) als Realisationen einer unabhängigen Folge gemäÿ P verteilter ZVen aufgefasst
werden, vgl. 8.5.
15.7 Zur Überprüfung gemäÿ einem W-Maÿ P
verteilter Realisationen
15.7.1 Denition (empirische Verteilungsfunktion)
Seien Xi : (Ω, A, P ) → (R, B), i ∈ N gemäÿ P über
(R, B) verteilte ZVen, d.h., es gelte PXi = P, i ∈ N .
Für eine Realisation ω̄ ∈ Ω stellen xi := Xi (ω) Realisationen der ZVen Xi dar, i ∈ N . Sei weiter
X = (Xi )i∈N
und x = (xi )i∈N .
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Die durch
(15.7.1.1)
n
1 X
Fn (t, ω̄) :=
1(−∞;t] ◦ Xj (ω̄),
n j=1
(t ∈ R, ω̄ ∈ Ω)
denierte Abbildung Fn : R × Ω → [0, 1] erweist sich
als die Verteilungsfunktion eines speziellen (hier nicht
wiedergegebenen) WMaÿes.
Man spricht von Fn als von der empirischen Verteilungsfunktion der ZVen X1 , . . . , Xn .
Man beachte: Für ein festes t ∈ R bzw ein festes
ω̄ ∈ Ω nimmt
1(−∞;t] ◦ Xj (ω)
nach Denition der Indikatorfunktion entweder die Werte 1 oder 0 an, je nachdem ob
Xj (ω̄) ∈ (−∞; t]
oder
Xj (ω̄) ∈
/ (−∞; t]
gilt.
Damit gibt Fn (t, ω̄) den Prozentsatz der Xj (ω̄), j ∈
Nn wieder, die in das Intervall (−∞; t] fallen.
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Für die empirische Verteilungsfunktion Fn gilt nun als einer Vorform des sogenannten Hauptsatzes der
Statistik von GlivenkoCantelli der
15.7.2 Satz
Seien die Voraussetzungen der Denition 15.7.1 gegeben, wobei insbesondere je endlich viele der ZVen
Xi , i ∈ N unabhängig seien. F sei die Verteilungsfunktion von P .
Dann gilt
P ({ω ∈ Ω| lim Fn (t, ω̄) = F (t)} = 1,
n→∞
t ∈ R,
d.h. für fast alle ω ∈ Ω mit höchstens einer P Nullmenge als Ausnahmemenge konvergiert Fn (t, ω̄)
gegen F (t).
Dieser Sachverhalt wird in Experiment 15.1 zu einer
empirischen Überprüfung der Qualität von (0; 1) Realisationen herangezogen.
Zu auf der vertikalen Achse ausgegebenen (0; 1) Realisationen ui werden gemäÿ den Erläuterungen von
15.6 Realisationen xi := F inv (ui ) bestimmt. Nach Satz
8.5 handelt es sich bei den xi um Realisationen von
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unabhängigen, gemäÿ P verteilten ZVen, sofern die ui
solche von unabhängigen, gemäÿ der Gleichverteilung
λ(0;1) verteilten ZVen sind, was sich anhand der punktweisen Konvergenz von Fn (ti , ω̄) für ausgewählte Werte ti gegen F (ti ) 'empirisch' überprüfen lässt.