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Dr. H. Grunert
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vorlesungscharts
Vorlesung 4
„Diskrete Zufallsvariable“
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Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Verteilungsfunktion, Parameter
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poissonverteilung
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2004
Dr. H. Grunert
Chart1:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Begriff der Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem (Elementar-) Ereignis
eines Zufallsvorganges x i eine reelle Zahl - seine Eintrittswahrscheinlichkeit zuordnet.
x i ....
Realisationen der Zufallsvariable
Die Gesamtheit der Realisationen einer Zufallsvariablen sind eine
vollständige Zerlegung des zugehörigen Ereignisraumes.
Diskrete Zufallsvariable
endlich oder abzählbar unendlich
viele Realisationen
Stetige Zufallsvariable
kann jeden beliebigen Wert innerhalb eines endlichen oder unendlichen Intervalls annehmen
è unendlich viele Realisationen
Schreibweise
Zufallsvariable
X ; A ..........
Realisationen
x i ; a i ..........
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Chart 2:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Diskrete Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Nimmt die diskrete Zufallsvariable X den Wert x i mit der
Wahrscheinlichkeit p i an, so heißt die Zuordnungsvorschrift
f X ( xi ) = P ( X = xi ) = pi
die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X .
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion
(1)
0 £ f X ( xi ) £ 1
(2)
n
å f (x ) =1
i =1
(3)
i
( Realisationen der Zufallsvariablen sind stochastisch unabhängige Ereignisse )
P ( X = xk È X = x j ) = pk + p j
P ( X = xk Ç X = x j ) = pk × p j
mit xk ; x j Î X ; k ¹ j
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Chart 3:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion
Die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die diskrete
Zufallsvariable X Realisationen xi annimmt, die kleiner oder gleich einem
Wert x sind, heißt Verteilungsfunktion mit
FX ( x ) = P ( X £ x ) = å f ( xi )
xi £ x
.
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
(1)
0 £ FX ( x ) £ 1
(2)
FX ( xi ) £ FX ( xi + a )
FX ( x )
(3)
mit a > 0, ganzzahlig
.... monoton steigende Funktion
P ( a < xi £ b ) = FX ( b ) - FX ( a )
P ( a £ xi £ b ) = FX ( b ) - FX ( a o )
mit
(4)
FX ( a o ) = FX ( a )
FX ( a
o
, wenn a keine Sprungstelle
) = F ( a - 1) , wenn a Sprungstelle
X
P ( X > a ) = 1 - FX ( a )
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Chart 4:
è
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Parameter der diskreten Zufallsvariable
Erwartungswert
.... der Wert, der bei genügend häufiger Durchführung
des Zufallsvorganges als durchschnittliche Realisation
pro Zufallsvorgang zu erwarten ist.
n
E ( X ) = m = å xi f ( xi )
i =1
(= Mittelwert der Zufallsvariable X)
è
Varianz, Standardabweichung
Varianz
... die Summe der mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichteten quadrierten Abweichungen aller möglichen Realisationen vom Erwartungswert.
n
VAR ( X ) = s = å ( xi - E ( X ) ) f ( xi )
2
2
i =1
Standardabweichung
STDEV = VAR ( X ) = s = s 2
STDEV ..... Standard Deviation
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Chart 5:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Binomialverteilung
Eine zufällige Variable X, die die Werte m = 0,1,2,...., n mit den
Wahrscheinlichkeiten
n m
n-m
P ( X = m ) = fB ( X = m ) =   p (1 - p )
m
annimmt, ist binomialverteilt.
n ... Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperimentes
m ... Anzahl der Eintritte des interessierenden Ereignisses A
p ... Eintrittswahrscheinlichkeit von A
Verteilungsfunktion
n a
n-a
FB ( X £ m ) = å   p (1 - p )
a =0  a 
m
Erwartungswert
E(X ) = m = n× p
Varianz/ Standardabweichung
VAR ( X ) = n × p × (1 - p )
STDEV = VAR ( X ) = n × p × (1 - p )
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Chart 6:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Beispiele zur Binomialverteilung
Erfahrungsgemäß sind bei der Produktion bestimmter Werkstücke 99,3%
qualitätsgerecht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Lieferposten von 100
Werkstücken
a)
b)
c)
kein Ausschussstück ?
genau zwei Ausschussstücke ?
höchstens zwei Ausschussstücke ?
Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben beträgt 0,513.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen
Geschlechterkombinationen der Kinder (Knaben / Mädchen) einer Familie mit
drei Kindern.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsgröße.
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Chart 7: Hypergeometrische Verteilung
Merkmale des Zufallsexperimentes:
è
gegeben sind N Elemente
davon haben
M Elemente die Eigenschaft A
N - M Elemente haben die Eigenschaft A nicht
è
von den N Elementen werden n Elemente ohne
Zurücklegen entnommen; es sollen davon x Elemente die
Eigenschaft A haben
Wahrscheinlichkeitsfunktion
  M  N - M 
  

x
n
x

  
fH ( X ) = 
N
 

n



0
für x = max 0; n - ( N - M ) ;
...; min n; M 
sonst
Verteilungsfunktion
 M  N - M 


x 
a
n
a

FH ( X £ x ) = å   
N
a =0
 
n
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Erwartungswert
M
E(X ) = m = n
N
Varianz
VAR ( X ) = s ² = n
M
N
 M  N -n
1 - 
N  N -1

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Chart 8:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Beispiel zur hypergeometrischen Verteilung
Ein Lieferung umfasst 20 Werkstücke, davon sind 5 Werkstücke Ausschuss.
Es werden zur Qualitätskontrolle 5 Werkstücke entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Werkstücke nicht
qualitätsgerecht sind ?
xi
f H ( xi )
0
1
2
3
4
5
0,19369
0,44021
0,29347
0,06772
0,00484
0,00006
FH ( x = xi )
0,19369
0,63390
0,92737
0,99509
0,99993
1,00000
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Chart 9:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Poisson - Verteilung
(Grenzfall der Binomialverteilung)
Merkmale des Zufallsexperimentes
-
Ereignisse treten zu bestimmten Zeitpunkten zufällig ein
-
zwei Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten
-
es gibt innerhalb eines Zeitintervalls unendlich viele
unterschiedliche Zeitpunkte, folglich auch unendlich
viele mögliche zufällige Ereigniseintritte
-
Ereignisse treten aber bezogen auf beliebige gleichlange
Zeitintervalle gewöhnlich nur durchschnittlich häufig ein
Für das durchschnittliche Eintreten der Ereignisse (= Erwartungswert der
Verteilung der Ereignisse) innerhalb eines Zeitintervalls gilt:
lim np = 
n 
mit  > 0; const .
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition
Eine diskrete zufällige Variable X, die die Werte k = 0,1,2,........... mit der
Wahrscheinlichkeit
 k -
P ( X = k ) = fP ( k ;  ) =
e
für k = 0,1, 2,.....
k!
annimmt, ist Poisson - verteilt.
Verteilungsfunktion
a

FP (k ;  ) = e -  å
a =0 a !
k
für k = 0,1, 2,........
Erwartungswert
E(X ) = 
Varianz
VAR ( X ) = s 2 = 
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Chart 10: Beispiel zur Poissonverteilung
Ein Arbeiter überwacht mehrere Maschinen, die aus verschiedenen Gründen
bedient werden müssen.
Durchschnittlich sind drei Bedienungen pro Stunde erforderlich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine ( ,dass 3 ) Bedienungen
erforderlich sind ?
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
......
f P ( xi )
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
FP ( x = xi )
0,04979
0,19915
0,42319
0,64723
0,81526
0,91608
0,96649
0,98809
0,99619
0,99889
0,99970
..........
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