Das griechische Alphabet

Mathematischer Vorkurs
Prof. Lotze 2011
E
P
T
G
M
k
h
da
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Trillion
Billiarde
Billion
Milliarde
Million
Tausend
Hundert
Zehn
a
f
p
n
µ
m
c
d
Atto
Femto
Piko
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
10−18
10−15
10−12
10−9
10−6
10−3
10−2
10−1
Das griechische Alphabet
A α
B β
Γ γ
∆ δ
E Z ζ
H η
Θ θ
I
ι
K κ
Λ λ
M µ
N ν
Ξ ξ
O o
Π π
P ρ
Σ σ
T τ
Υ υ
Φ φ
X χ
Ψ ψ
Ω ω
z = x + iy
i2 = −1; (i ist
Beta
sin(x)
Gamma
Delta
ε
π
6
1
2
0
Alpha
Epsilon
0
cos(x)
1
tan(x)
0
√
1
2 3
√
1
3 3
2
3
1
√
1
1
1
2
√
2π
3
2
√
1
3
2
− 12
0
− 12
√
− 3
−
3
3π
4
2
√
2
−1
5π
6
1
2
√
− 12 3
√
− 13 3
π
0
-1
0
Theta
Iota
κ
tan(x)
cos(x)
sin(x)
1
Kappa
Lambda
-π
My
− π2
Ny
π
2
π
2π
3π
2
-1
Xi
Omikron
$
%
ς
cosh(x)
Pi
Rho
1
1 x
2e
e = lim (1 + ε) ε
Sigma
ε→0
Tau
sinh(x) = 12 (ex − e−x )
cosh(x) = 12 (ex + e−x )
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
Ypsilon
ϕ
Phi
Chi
1
-1
sinh(x)
1
-1
d
dx
d
dx
sinh(x) = cosh(x)
cosh(x) = sinh(x)
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
Psi
Omega
Realteil von z:
die imaginäre Einheit)
Re(z) = x;
Imaginärteil von z:
2
2
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Zeiger
y
r2 = x2 + y 2 = zz
tan(ϕ) = xy ;
1 y2
+ i y1 xx22 +x
+y 2
Im(z) = y
⇒ z = x + iy ist konjugiert komplex zu z = x + (−i)y
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(y1 x2 + x1 y2 )
x1 x2 +y1 y2
x22 +y22
2 2
√
1
2 2
π
2
Eta
ϑ
r = |z|
=
π
3
√
1
Zeta
z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 )
z1
z2
π
4
√
1
⇒
Azimut / Argument von z (arg(z))
⇓
z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ)
⇓
z1
r1
=
(cos(ϕ
1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ))
z2
r2
vollständige Induktion:
Induktionsvoraussetzung
Induktionsbehauptung
Induktionsanfang
Induktionsschritt
r
z
ϕ
x
(Problem für n)
(Problem für n + 1)
(Problem für n = 0 / n = 1)
(Behauptung wird auf
Voraussetzung zurückgeführt)
1
Mathematischer Vorkurs
Euler:
Moivre:
Prof. Lotze 2011
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
⇒
z = Aeiϕ
z ±n = r±n [cos(±nϕ) + i sin(±nϕ)];
cos(ϕ) = cosh(iϕ)
sin(ϕ) = −i sinh(iϕ)
n∈N
Vektoren: Skalarprodukt: ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(^[~a, ~b]) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
~a · ~b =√~b · ~a (kommutativ)
|~a| = ~a2
~a ⊥ ~b ⇒ ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos( π2 ) = 0
(~a · ~b) · ~c 6= ~a · (~b · ~c) (Assoziativgesetz gilt nicht)
~a
γ
~b
Das Skalarprodukt ist bei Drehung des Koordinatensystems invariant!
N natürliche Zahlen (1,2,3,4,...)
Vektorprodukt: ~a × ~b = −~b × ~a (nicht kommutativ, rechtshändig)
Z ganze Zahlen (...,-2,-1,0,1,2,...)
~
~
~
|~a × b| = |~a| · |b| · | sin(^[~a, b])|
Q rationale Zahlen
( ab ; a, b ∈ Z)
~a × ~a = 0
√
n
R reelle Zahlen ( x, π, e, ...)
~a ↑↑ ~b ∨ ~a ↑↓ ~b: ~a × ~b = 0
C komplexe Zahlen (z = x + iy )
~
~
~
~a × (b × ~c) = b(~a~c) − ~c(~ab)
~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 )~i + (a3 b1 − a1 b3 )~j + (a1 b2 − a2 b1 )~k
Kreis:
(Distributivgesetz gilt)
Menge der Punkte in der Ebene, die von einem Punkt einen kon- Achsenabschnittsgleichung: n1 ~i + n2 ~j + n3 ~k = 1
c
c
c
stanten Abstand haben.
n
n
hessische Normalform: n1 ~i + n2 ~
j + nn3 ~k = nc
2
2
2
x +y =r
/
r = const.
2
y
ε = ae
p = ba
r = Radius
P (x)
Ellipse: Die Menge der Punkte in der Ebene deren Summe der Abstände
p
a
zu2 zwei2 Punkten konstant ist.
b
y
p
x
e
F2
a
+
=
1
/
r
=
,
0
<
ε
<
1
2
2
a
b
1−ε cos(ϕ)
x
F1
a: groÿe Halbachse;
b: kleine Halbachse;
e: lineare Exzentrizität;
ε: numerische Exzentrizität;
p: Ellipsen-(Halb-)parameter;
F1 P : Fahrstrahl, Leitstrahl, Radiusvektor
y
Hyperbel: Die Menge der Punkte, deren Dierenz der Abstände zu zwei
Punkten
konstant ist.
y2
p
x2
−
=
1
/
r = 1−ε cos(ϕ)
,
ε>1
e
a2
b2
e
b
a: Scheitelabstand;
b: imaginäre Achse
x
a
F1
F2
1
b
Grenzwinkel: cos(ϕG ) = ε ; tan(ϕG ) = a
ϕ
⇒ Asymptoten: y = ± ab x
Parabel: Die Menge der Punkte in der Ebene, deren Abstand zu einem
Punkt und einer Geraden gleich sind.
p
y 2 = 4ex = 2px
/
r = 1−ε cos(ϕ)
,
ε=1
y
g
g : Leitlinie, Direktrix; y 2 = 4ex: Scheitelgleichung
2
00
p
Dierenzenquotient: f (x+ε)−f (x) = ∆y
f (x0 ) = d 2 f (x)|x=x
ε
∆x
dx
d
f (x + ε) − f (x)
=
f (x)
Dierentialquotient: lim
ε→0
ε
dx
xarit. =
xgeom.
1
n
n
X
xi
i=1
v
uY
u n
n
= t
xi
xharm. =
i=1
n
n
X
1
x
i=1 i
y = xn ,
0
e
eF
d
dx y
= nxn−1
Produktregel: y = u(x) · v(x)
d
dx y
Quotientenregel: y = u(x)
v(x)
Kettenregel: y = u[v(x)]
d
dx y
d
dx y
0
0
= u (x)v(x) + u(x)v (x)
0
0
u (x)v(x)−u(x)v (x)
v 2 (x)
=
0
0
= v (x)u [v(x)]
zyklometrische Funktionen: Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
y = sin(x)
y = arcsin(x)
⇒
2
x
(Abszisse|Ordinate) = (x|y)
sin(arcsin(x)) = x = arcsin(sin(x))
Mathematischer Vorkurs
Prof. Lotze 2011
0
d
dx y
y ≡
y
Partielle Ableitung:
∂f dy
dx
Kettenregel: dtd f (x(t), y(t)) = ∂f
∂x dt + ∂y dt
~ ∂f ~ v
Reisegleichung: dtd f = ( ∂f
∂x i + ∂y j) · ~
∂
∂x f
0
0
a · u(x) + b · v(x)
a · u (x) + bv (x)
u(x) · v(x)
u (x)v(x) + u(x)v (x)
1
u(x)
− uu2(x)
(x)
0
0
0
0
~
~ ∂f ~ ~
~
~
Tangentialebene: [ ∂f
∂x i + ∂y j + k] · [∆x i + ∆y j + ∆z k]
Richtungsableitung:
dz
ds
=
∂f
∂x
0
cos(ϑ) +
∂x
|P0
Höhenlinien: tan(ϑh )|P0 = − ∂f
u[v(x)]
c = const.
0
max. / min. Anstieg: tan(ϑm )|P0 =
xn
nxn−1
ex
ex
ax
ln(a)ax
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
tan(x)
1
cos2 (x)
cot(x)
sinh(x)
1
x
− x12
1
x·ln(a)
√ 1
1−x2
1
− √1−x
2
1
1+x2
1
− 1+x
2
loga x
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arccot(x)
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
+
∂f ~
∂y j
~s
ϑ
∆y
∆x
x
= grad(f )
mit dem entsprechenden Betrag als Wert (bei
|~s| = 1).
Ex falso sequitur quodlibet.
− sin21(x)
cosh(x)
∂f ~
∂x i
∂f
∂y
|
∂f P0
∂x
Der Gradient ist in Richtung des steilsten Anstiegs / Abfalls
= 1 + tan (x)
cosh(x)
y
∂y
Gradient:
2
sinh(x)
sin(ϑ)
∂f
u (x)v(x)−u(x)v (x)
v 2 (x)
du dv
dv · dx
u(x)
v(x)
∂f
∂y
oen
abgeschlossen
Integration durch Substitution:
Z
u(v(x)) ·
dv
dx =
dx
Z
mit a = v(x)
u(a) da
partielle Integration:
Z
Z
du(x)
dv
v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x)
dx
dx
dx
n X
n n−k k
Binomialkoezient: (a + b)n =
a
b
k
k=0
Dreiecksungleichung: |a + b| ≤ |a| + |b|
Bernoulli-Ungleichung: (1 + a)n ≥ 1 + na
n
X
arithm./geometr. Mittel:
i=1
n
xi
v
u n
uY
n
≥ t
xi
i=1
n)
Newton-Verfahren: xn+1 = xn − ff0(x
(xn )
injektiv: ∀x1 , x2 ∈ X : [(f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ) ∨ (x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ))]
bijektiv (eineindeutig)
surjektiv: f (A) = B ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : f (x) = y
Schnitt M ∩ N = {x : x ∈ M ∧ x ∈ N }
Vereinigung: M ∪ N = {x : x ∈ M ∨ x ∈ N }
Dierenz: M \N = {x : x ∈ M ∧ x ∈/ N }
Symmetrische Dierenz: M 4N :\
(M \N ) ∪ (N \M ) = (M ∪ N )\(M ∩ N )
Familie Aα von Mengen α ∈ I :
Aα = {x : ∀α ∈ I : x ∈ Aα }
α∈I
[
Aα = {x : ∃α ∈ I : x ∈ Aα }
α∈I
Taylor-Reihe: f(x) sei beliebig oft stetig dierenzierbar, x0 Entwicklungspunkt, f (n) sei die n-te Ableitung:
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... =
∞
X
n=0
3
(an (x − x0 )n ) =
∞ (n)
X
f (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n