Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Studientag zur Algorithmischen Mathematik
Numerik und lineare Algebra
Winfried Hochstättler
Diskrete Mathematik und Optimierung
FernUniversität in Hagen
30. Juni 2012
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Cholesky-Faktorisierung
Fehlerfortpflanzung
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Zahldarstellung im B-adischen System
Satz
Sei x ∈ R \ {0}. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung
x = σB n
∞
X
x−i B −i
i=1
mit σ ∈ {+1, −1}, n ∈ Z, x−i ∈ {0, 1, . . . , B − 1}, x−1 6= 0,
∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Zahldarstellung im B-adischen System
Satz
Sei x ∈ R \ {0}. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung
x = σB n
∞
X
x−i B −i
i=1
mit σ ∈ {+1, −1}, n ∈ Z, x−i ∈ {0, 1, . . . , B − 1}, x−1 6= 0,
∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1.
Zum Beweis zeige Existenz und dann Eindeutigkeit (technisch).
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Zahldarstellung im B-adischen System
Satz
Sei x ∈ R \ {0}. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung
x = σB n
∞
X
x−i B −i
i=1
mit σ ∈ {+1, −1}, n ∈ Z, x−i ∈ {0, 1, . . . , B − 1}, x−1 6= 0,
∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1.
Warum wollen wir ∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1?
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Zahldarstellung im B-adischen System
Satz
Sei x ∈ R \ {0}. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung
x = σB n
∞
X
x−i B −i
i=1
mit σ ∈ {+1, −1}, n ∈ Z, x−i ∈ {0, 1, . . . , B − 1}, x−1 6= 0,
∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1.
Warum wollen wir ∀j : ∃k ≥ j : x−k 6= B − 1?
Was ist 0, 9 im Dezimalsystem? (B = 10)
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
12
181
15
1
:5
15
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
2 Rest 2
1
15
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
1
15
1
2 Rest
15
2 Rest 2
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
1
:
= 0 Rest
15 15
15
2 Rest 2
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
1
1
:
15 25
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
:
= 0 Rest
15 15
5
3
:
= 1 Rest
75 75
2 Rest 2
1
15
2
75
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
1
1
:
15 25
2
1
:
75 125
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
1
:
= 0 Rest
15 15
15
5
3
2
:
= 1 Rest
75 75
75
10
3
1
:
= 3 Rest
375 375
375
2 Rest 2
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
1
1
:
15 25
2
1
:
75 125
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
1
:
= 0 Rest
15 15
15
5
3
2
:
= 1 Rest
75 75
75
10
3
1
1
1
:
= 3 Rest
(es gilt:
=
·
375 375
375
375
25
2 Rest 2
1
15
)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
1
1
:
15 25
2
1
:
75 125
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
1
:
= 0 Rest
15 15
15
5
3
2
:
= 1 Rest
75 75
75
10
3
1
1
1
:
= 3 Rest
(es gilt:
=
·
375 375
375
375
25
2 Rest 2
1
Also: 12 15
= 22.013(5) .
1
15
)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zahlumwandlung
Schreibe
181
15
1
:5
15
1
2
:1
15
1 1
:
15 5
1
1
:
15 25
2
1
:
75 125
12
1
= 12 15
im 5-er System (also B = 5):
=
=
=
=
=
1
15
1
2 Rest
15
3
1
1
:
= 0 Rest
15 15
15
5
3
2
:
= 1 Rest
75 75
75
10
3
1
1
1
:
= 3 Rest
(es gilt:
=
·
375 375
375
375
25
2 Rest 2
1
Also: 12 15
= 22.013(5) .
1
BTW: 12 15
= 12.06(10) .
1
15
)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand. Automobilhersteller E kaufte daraufhin
Produkt B.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand. Automobilhersteller E kaufte daraufhin
Produkt B. 2004 stellte HAL den Vertrieb von Produkt A ein und
stiftete den Code der Community.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand. Automobilhersteller E kaufte daraufhin
Produkt B. 2004 stellte HAL den Vertrieb von Produkt A ein und
stiftete den Code der Community. 2009 hat HAL hat den Hersteller
von B gekauft.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand. Automobilhersteller E kaufte daraufhin
Produkt B. 2004 stellte HAL den Vertrieb von Produkt A ein und
stiftete den Code der Community. 2009 hat HAL hat den Hersteller
von B gekauft.
Und die Moral von der Geschicht:
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Ein Döneken zu Rundungsfehlern
Ende der 90er haben wir in einem Projekt zur Planung der
Tagesproduktion bei einem großen Automobilhersteller E ein sehr
großes Lineares Programm aufgestellt. Firma E benutzte den
LP-Solver A der Firma HAL1 , wir den LP-Solver B, einer universitären
Ausgründung. A erklärte das Problem für unzulässig, während B eine
zulässige Lösung fand. Automobilhersteller E kaufte daraufhin
Produkt B. 2004 stellte HAL den Vertrieb von Produkt A ein und
stiftete den Code der Community. 2009 hat HAL hat den Hersteller
von B gekauft.
Und die Moral von der Geschicht: Es ist nicht trivial einen numerisch
stabilen LP-Solver zu schreiben.
1 Name
von der Redaktion geändert
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zur Numerik linearer Gleichungssysteme (LGS)
Aufgabenstellung:
Sei A ∈ Rm×n , b ∈ Rm . Gesucht ist ein Vektor x ∈ Rn mit
Ax = b.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zur Numerik linearer Gleichungssysteme (LGS)
Aufgabenstellung:
Sei A ∈ Rm×n , b ∈ Rm . Gesucht ist ein Vektor x ∈ Rn mit
Ax = b.
Ein klassisches Lösungsverfahren ist aus den vorherigen
Mathematikkursen bekannt: Das Gaußsche Eliminationsverfahren.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zur Numerik linearer Gleichungssysteme (LGS)
Aufgabenstellung:
Sei A ∈ Rm×n , b ∈ Rm . Gesucht ist ein Vektor x ∈ Rn mit
Ax = b.
Ein klassisches Lösungsverfahren ist aus den vorherigen
Mathematikkursen bekannt: Das Gaußsche Eliminationsverfahren.
Wir wollen dies hier aus numerischer Perspektive wiederholen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
• Zeilen mit Skalaren multipliziert (Multiplikation mit
Diagonalmatrix D(A|b) )
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
• Zeilen mit Skalaren multipliziert (Multiplikation mit
Diagonalmatrix D(A|b) )
• das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
• Zeilen mit Skalaren multipliziert (Multiplikation mit
Diagonalmatrix D(A|b) )
• das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert.
Diese Schritte setzten wir zu zwei Typen von Makroschritten
zusammen:
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
• Zeilen mit Skalaren multipliziert (Multiplikation mit
Diagonalmatrix D(A|b) )
• das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert.
Diese Schritte setzten wir zu zwei Typen von Makroschritten
zusammen:
Gauss-Eliminationsschritt: erzeuge Nullen unter einem
Nichtnullelement.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Zeilenumformungen
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht, wenn man in der
erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b)
• Zeilen vertauscht (Multiplikation von (A|b) mit
Permutationsmatrix P(A|b))
• Zeilen mit Skalaren multipliziert (Multiplikation mit
Diagonalmatrix D(A|b) )
• das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert.
Diese Schritte setzten wir zu zwei Typen von Makroschritten
zusammen:
Gauss-Eliminationsschritt: erzeuge Nullen unter einem
Nichtnullelement.
Gauss-Jordan-Eliminationsschritt: erzeuge Einheitsspalte.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 1

 2
1

1
1 0
1 −1 2 

3
1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 0

 2
1

1
1 0
0 −2 2 

3
1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 0

 0
1

1
1 0
0 −2 2 

1 −1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 0

 0
0

1
1 0
0 −2 2 

1 −1 4 
−2 −2 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 1

 2
1

1
1 0
1 −1 2 

3
1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 1

 2
1

1
1 0
0 −2 2 

3
1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 1

 2
1

1
1 0
0 −2 2 

1 −1 4 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 1

 2
1

1
1 0
0 −2 2 

1 −1 4 
−2 −2 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 2

 1
1

1
1 0
1 −1 4 

0 −2 2 
−2 −2 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 2

 1
1

1
1 0
1 −1 4 

0 −2 2 
−2 −4 9
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 2

 1
1

1
1 0
1 −1 4 

0 −2 2 
−2
2 5
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
LU-Zerlegung
Wir betrachten nun quadratische Matrizen von vollem Rang.
Satz:
Zu jeder regulären Matrix A gibt es eine Dreieckszerlegung PA = LU,
wobei L linke untere und U rechte obere Dreiecksmatrix ist und P
Permutationsmatrix.
Beispiel:

1
 2

 1
1

1
 2

 1
1

0 0 0
1 1

1 0 0 
 0 1
0 1 0  0 0
−2 2 1
0 0

1
1 0
1 −1 4 

0 −2 2 
−2
2 5
 
1 0
1

−1 4 
= 2
−2 2   1
0 5
1

1
1 0
3
1 4 
 = PA
1 −1 2 
−1 −1 1
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
d-ter Gaußeliminationsschritt: n − d Divisionen, (n − d)2
Multiplikationen und Additionen
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
d-ter Gaußeliminationsschritt: n − d Divisionen, (n − d)2
Multiplikationen und Additionen
d-te Zeile eines diagonalen Gleichungssystems: 1 Division, (d − 1)
Multiplikationen und Additionen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
d-ter Gaußeliminationsschritt: n − d Divisionen, (n − d)2
Multiplikationen und Additionen
d-te Zeile eines diagonalen Gleichungssystems: 1 Division, (d − 1)
Multiplikationen und Additionen.
3
2
+n
Gaußelimination: n2 Divisionen, 2n −3n
Divisionen und Additionen
6
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
d-ter Gaußeliminationsschritt: n − d Divisionen, (n − d)2
Multiplikationen und Additionen
d-te Zeile eines diagonalen Gleichungssystems: 1 Division, (d − 1)
Multiplikationen und Additionen.
3
2
+n
Gaußelimination: n2 Divisionen, 2n −3n
Divisionen und Additionen
6
Lösen der Gleichungssysteme: n Divisionen und n2 Additionen und
Multiplikationen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Effizientes Lösen von Ax = b mittels LU-Zerlegung
1. Pb = PAx = L(Ux).
2. Löse Ly = Pb.
3. Löse Ux = y .
Abschätzung des Rechenaufwandes:
d-ter Gaußeliminationsschritt: n − d Divisionen, (n − d)2
Multiplikationen und Additionen
d-te Zeile eines diagonalen Gleichungssystems: 1 Division, (d − 1)
Multiplikationen und Additionen.
3
2
+n
Gaußelimination: n2 Divisionen, 2n −3n
Divisionen und Additionen
6
Lösen der Gleichungssysteme: n Divisionen und n2 Additionen und
Multiplikationen.
Gauß-Jordan Mindestens
n3
2
Additionen und Multiplikationen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Naiv erhalten wir
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Naiv erhalten wir
Divisionen: n(n + 1 − 1) = n2
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Naiv erhalten wir
Divisionen: n(n + 1 − 1) = n2
Additionen und Multiplikationen: n(n − 1)(n + 1) = n3 − n.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Wenn wir die bereits erzeugten
Einheitsspalten nicht mehr berücksichtigen
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Wenn wir die bereits erzeugten
Einheitsspalten nicht mehr berücksichtigen
Divisionen: n+1
2
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Wenn wir die bereits erzeugten
Einheitsspalten nicht mehr berücksichtigen
Divisionen: n+1
2
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Gauß-Jordan-Algorithmus
def gaussjordanelim(A,i,j):
A_ij=A[i,j]
A[i,:]=A[i,:]/A_ij
for k in range(i)+range(i+1,m):
A_kj=A[k,j]
A[k,:]=A[k,:]-A[i,:]*A_kj
(A, b) ist (n × n + 1)-Matrix. Wenn wir die bereits erzeugten
Einheitsspalten nicht mehr berücksichtigen
Divisionen: n+1
2
Additionen und Multiplikationen:
(n+2)(n2 −1)
.
2
Wenn ich von Hand rechne, habe ich immer den Eindruck der
Gauß-Jordan geht schneller.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Cholesky-Faktorisierung
A∈R
n×n
heißt symmetrisch, falls A> = A. Eine symmetrische Matrix
(=)
heißt positiv (semi-)definit, falls ∀x ∈ Rn \ {0} : x > Ax > 0.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Cholesky-Faktorisierung
A∈R
n×n
heißt symmetrisch, falls A> = A. Eine symmetrische Matrix
(=)
heißt positiv (semi-)definit, falls ∀x ∈ Rn \ {0} : x > Ax > 0.
Satz:
Sei A symmetrisch und positiv definit. Dann existiert eine linke untere
Dreiecksmatrix L mit A = LL> .
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Cholesky-Faktorisierung
A∈R
n×n
heißt symmetrisch, falls A> = A. Eine symmetrische Matrix
(=)
heißt positiv (semi-)definit, falls ∀x ∈ Rn \ {0} : x > Ax > 0.
Satz:
Sei A symmetrisch und positiv definit. Dann existiert eine linke untere
Dreiecksmatrix L mit A = LL> .
`11
 `21
0
`22
`n1
...
`n2


 ...
...
...
..
.
...
0
`11
0  0

...
`nn

 ...
0
`21
`22
...
0
...
...
..
.
...
`n1
`2n 

...
`nn
a11
 a21
a21
a22
an1
...
an2

=
  ...
...
...
..
.
...
an1
a2n 

...
ann


Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Cholesky-Faktorisierung
A ∈ Rn×n heißt symmetrisch, falls A> = A. Eine symmetrische Matrix
(=)
heißt positiv (semi-)definit, falls ∀x ∈ Rn \ {0} : x > Ax > 0.
Satz:
Sei A symmetrisch und positiv definit. Dann existiert eine linke untere
Dreiecksmatrix L mit A = LL> .
`11
 `21
0
`22
`n1
...
`n2


 ...
...
...
..
.
...
0
`11
0  0

...
`nn
`11 =
√

 ...
0
a11
`21
`22
...
0
`i1 =
...
...
..
.
...
ai1
`11
`n1
`2n 

...
`nn
a11
 a21
a21
a22
an1
...
an2

=
  ...
falls i ∈ {2, . . . , n}
...
...
..
.
...
an1
a2n 

...
ann


Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Cholesky-Faktorisierung
A ∈ Rn×n heißt symmetrisch, falls A> = A. Eine symmetrische Matrix
(=)
heißt positiv (semi-)definit, falls ∀x ∈ Rn \ {0} : x > Ax > 0.
Satz:
Sei A symmetrisch und positiv definit. Dann existiert eine linke untere
Dreiecksmatrix L mit A = LL> .
`11
 `21
0
`22
`n1
...
`n2


 ...
`kk
...
...
..
.
...
0
`11
0  0

...
`nn
v
u
k −1
X
u
`2kj
= takk −
j=1

 ...
0
`21
`22
...
0
aik −
`ik =
...
...
..
.
...
k −1
X
j=1
`kk
`n1
`2n 

...
`nn
a11
 a21
a21
a22
an1
...
an2

=
  ...
...
...
..
.
...
an1
a2n 

...
ann
`kj `ij
falls i ∈ {k + 1, . . . , n}


Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

LL> = 
0

0
0  0
0

0

1 1
= 1 5
−1 7

−1
7 =A
26
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
LL> = 
`11 =
√
1=1
0

0
1
0  0
0

0

1 1
= 1 5
−1 7

−1
7 =A
26
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
1
LL> = 
−1
`11 =
`21 =
`31 =
√
1=1
1
1 =1
−1
1 = −1
0

0
1
0  0
0
1
0
−1


1 1
= 1 5
−1 7

−1
7 =A
26
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
1
LL> = 
−1
`11 =
`21 =
`31 =
√

0 0
1
2 0  0
0
1=1
1
1 =1
−1
1 = −1
`22 =
√
1
2
0
−1
5 − 12 = 2


1 1
= 1 5
−1 7

−1
7 =A
26
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
1
LL> = 
−1
`11 =
`21 =
`31 =
√

0 0
1
2 0  0
0
4
1=1
1
1 =1
−1
1 = −1
`22 =
`32 =
√
1
2
0
 
−1
4 =
5 − 12 = 2
=4
7−1·(−1)
2
1 1
1 5
−1 7

−1
7 =A
26
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
1
LL> = 
−1
`11 =
`21 =
`31 =
√

0 0
1
2 0  0
0
4 3
1=1
1
1 =1
−1
1 = −1
`22 =
`32 =
√
1
2
0
 
−1
1 1
4 = 1 5
3
−1 7
5 − 12 = 2
=4
7−1·(−1)
2
`33 =
p

−1
7 =A
26
26 − (−1)2 − 42 = 3
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiel:

1
1
LL> = 
−1
`11 =
`21 =
`31 =
√

0 0
1
2 0  0
0
4 3
1=1
1
1 =1
−1
1 = −1
`22 =
`32 =
√
1
2
0
 
−1
1 1
4 = 1 5
3
−1 7
5 − 12 = 2
=4
7−1·(−1)
2
`33 =
p

−1
7 =A
26
26 − (−1)2 − 42 = 3
Bemerkung
Existiert eine Cholesky-Faktorisierung A = LL> und steht auf der
Hauptdiagonalen von L keine 0, so ist A positiv definit, denn dann gilt
für x 6= 0:
x > Ax = x > LL> x = (L> x)> (L> x) > 0.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Lösen von LGS mittels Choleskyfaktorisierung
In der konvexen Optimierung muss man häufiger LGS mit positiv
definiten Matrizen lösen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Lösen von LGS mittels Choleskyfaktorisierung
In der konvexen Optimierung muss man häufiger LGS mit positiv
definiten Matrizen lösen.
Was sind die Kosten einer solchen Lösung?
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Lösen von LGS mittels Choleskyfaktorisierung
In der konvexen Optimierung muss man häufiger LGS mit positiv
definiten Matrizen lösen.
Was sind die Kosten einer solchen Lösung?
n Quadratwurzeln, n2 − n Divisionen, und jeweils
Multiplikationen.
n3 −n
6
Additionen und
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Lösen von LGS mittels Choleskyfaktorisierung
In der konvexen Optimierung muss man häufiger LGS mit positiv
definiten Matrizen lösen.
Was sind die Kosten einer solchen Lösung?
n Quadratwurzeln, n2 − n Divisionen, und jeweils
Multiplikationen.
n3 −n
6
Additionen und
Gegenüber der LU-Zerlegung hat man also etwa den halben
Aufwand.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
1. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
(Nichtentartetheit)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
1. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
2. ∀α ∈ R : kαxk = |α| · kxk
(Nichtentartetheit)
(Homogenität)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
1. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
2. ∀α ∈ R : kαxk = |α| · kxk
3. kx + y k ≤ kxk + ky k
(Nichtentartetheit)
(Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
1. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
(Nichtentartetheit)
2. ∀α ∈ R : kαxk = |α| · kxk
3. kx + y k ≤ kxk + ky k
(Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
Die m × n Matrizen bilden auch einen Vektorraum.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Normen reeller Vektorräumen
Eine Abbildung k · k : V −→ R heißt Norm auf V , wenn
1. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
(Nichtentartetheit)
2. ∀α ∈ R : kαxk = |α| · kxk
(Homogenität)
3. kx + y k ≤ kxk + ky k
(Dreiecksungleichung)
Die m × n Matrizen bilden auch einen Vektorraum.
Satz:
Seien k · kRn bzw. k · kRm Normen über Rn bzw. Rm . Die Abbildung
k · k : Rm×n −→ R mit
kAk := max kAxkRm
kxkRn =1
ist eine Norm, die wir die zugehörige Matrixnorm nennen.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Beispiele für zugehörige Matrixnormen
1. kxk1 =
n
X
|xi | ist die 1-Norm
zugehörige Matrixnorm:
i=1
kAk1 =
max
j∈{1,...,n}
n
X
i=1
|aij | ist die Spaltensummennorm
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiele für zugehörige Matrixnormen
1. kxk1 =
n
X
|xi | ist die 1-Norm
zugehörige Matrixnorm:
i=1
kAk1 =
max
j∈{1,...,n}
2. kxk∞ =
kAk∞ =
n
X
|aij | ist die Spaltensummennorm
i=1
max |xi | ist die ∞-Norm
i∈{1,...,n}
max
i∈{1,...,n}
n
X
j=1
zugehörige Matrixnorm:
|aij | Zeilensummennorm
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Beispiele für zugehörige Matrixnormen
1. kxk1 =
n
X
|xi | ist die 1-Norm
zugehörige Matrixnorm:
i=1
kAk1 =
max
j∈{1,...,n}
2. kxk∞ =
kAk∞ =
n
X
|aij | ist die Spaltensummennorm
i=1
max |xi | ist die ∞-Norm
i∈{1,...,n}
max
i∈{1,...,n}
n
X
zugehörige Matrixnorm:
|aij | Zeilensummennorm
j=1
v
uX
u n 2
3. kxk2 = t
xi ist die euklidische Norm
i=1
zug. Matrixnorm:
√
kAk2 = max{ λ | λ ist EW von A> A} ist die Spektralnorm
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
exakter Wert x
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
exakter Wert x
Näherungswert x + ∆x
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
exakter Wert x
Näherungswert x + ∆x
absoluter Fehler k(x + ∆x) − xk = k∆xk = abs(x)
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
exakter Wert x
Näherungswert x + ∆x
absoluter Fehler k(x + ∆x) − xk = k∆xk = abs(x)
relativer Fehler k(x+∆x)−xk
= k∆xk
kxk
kxk = rel(x) (unter Vor: x 6= 0)
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerabschätzung
Wenn wir mit Fließpunktzahlen rechnen, machen wir notwendig
Rundungsfehler.
exakter Wert x
Näherungswert x + ∆x
absoluter Fehler k(x + ∆x) − xk = k∆xk = abs(x)
relativer Fehler k(x+∆x)−xk
= k∆xk
kxk
kxk = rel(x) (unter Vor: x 6= 0)
Kondition einer Matrix cond(A) = kAk · kA−1 k
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung bei Lösung eines LGS
Sei x eindeutige Lösung von Ax = b.
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung bei Lösung eines LGS
Sei x eindeutige Lösung von Ax = b.
Sei x + ∆x Lösung des in b gestörten Systems A(x + ∆x) = (b + ∆b)
Satz 1:
Falls b 6= 0, so ist
rel(x) ≤ cond(A)rel(b).
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung bei Lösung eines LGS
Sei x eindeutige Lösung von Ax = b.
Sei x + ∆x Lösung des in b gestörten Systems A(x + ∆x) = (b + ∆b)
Satz 1:
Falls b 6= 0, so ist
rel(x) ≤ cond(A)rel(b).
Sei nun x + ∆x Lösung des in A gestörten Systems
(A + ∆A)(x + ∆x) = b.
Satz 2:
Falls x 6= 0 und kA−1 k · k∆Ak < 1, so ist
rel(x) ≤
cond(A)
rel(A)
1 − cond(A) · rel(A)
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
A∆x = ∆b, also ∆x = A−1 ∆b, somit
LGS
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
A∆x = ∆b, also ∆x = A−1 ∆b, somit
k∆xk = kA−1 ∆bk ≤ kA−1 k · k∆bk.
Aus Ax = b folgt
kbk = kAxk ≤ kAk · kxk.
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
A∆x = ∆b, also ∆x = A−1 ∆b, somit
k∆xk = kA−1 ∆bk ≤ kA−1 k · k∆bk.
Aus Ax = b folgt
kbk = kAxk ≤ kAk · kxk.
Multiplizieren wir beide Ungleichungen (alle Werte sind ≥ 0), so
haben wir
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
A∆x = ∆b, also ∆x = A−1 ∆b, somit
k∆xk = kA−1 ∆bk ≤ kA−1 k · k∆bk.
Aus Ax = b folgt
kbk = kAxk ≤ kAk · kxk.
Multiplizieren wir beide Ungleichungen (alle Werte sind ≥ 0), so
haben wir
k∆xk · kbk ≤ kA−1 k · k∆bk · kAk · kxk
oder
Fehlerfortpflanzung
Outline
Kodierung von Zahlen
Rundungsfehler
LGS
Beweis von Satz 1:
Aus A(x + ∆x) = (b + ∆b) und Ax = b folgt
A∆x = ∆b, also ∆x = A−1 ∆b, somit
k∆xk = kA−1 ∆bk ≤ kA−1 k · k∆bk.
Aus Ax = b folgt
kbk = kAxk ≤ kAk · kxk.
Multiplizieren wir beide Ungleichungen (alle Werte sind ≥ 0), so
haben wir
k∆xk · kbk ≤ kA−1 k · k∆bk · kAk · kxk
oder
k∆xk
k∆bk
≤ kA−1 k · kAk ·
.
|
{z
} kbk
kxk
cond(A)
Fehlerfortpflanzung