Aufgabenblatt Nr. 7

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Analysis I/HS 2015
29.10.2015
Aufgabenblatt Nr. 7
Abgabe: Am Freitag, den 5.11.2015 bis 13:00 Uhr in der Spiegelgasse 1 in
das jeweilige Assistentenfach im Eingangsbereich im Erdgeschoss.
Hinweise: Die Aufgaben mit * sind für das Ergänzungsprogramm bestimmt. Sie
können die Aufgaben selbstverständlich gemeinsam bearbeiten, jedoch müssen Sie
Ihre Lösungen separat einreichen. Offensichtliches Kopieren ist nicht zulässig.
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Aufgabe 7.1. (8 Punkte).
(a) Sei ra, bs Ă R ein kompaktes Intervall und f, g : ra, bs Ñ R stetige Funktionen mit f paq ą gpaq und f pbq ă gpbq. Beweise, dass es ein x0 P ra, bs mit
f px0 q “ gpx0 q gibt.
(b) Zeige, dass die Gleichung
?
1
“ x
1 ` x2
eine Lösung x0 P R` besitzt. Skizziere die Graphen der Funktionen
$
#
&f : R ÝÑ R
g : R ÝÑ R
?
,
1
%x ÞÝÑ
x ÞÝÑ x
1 ` x2
in r0, 2s und gebe ein Intervall der Länge 10´3 an, in dem x0 liegt.
Aufgabe 7.2. (8 Punkte). Bestimme die Konstanten α, β sowie f p´1q, f p1q derart,
dass die Funktion
$ 2
’
&x ´ αx ` β für x ă ´1,
f pxq :“
pα ` βqx
’
%
x2 ` αx ´ β
für ´1 ă x ă 1,
für x ą 1,
auf R stetig ist. Skizziere den resultierenden Graphen von f .
Aufgabe 7.3. (8 Punkte).
(a) Sei f : R Ñ R eine Funktion, die an der Stelle 0 stetig ist und
f px ` yq “ f pxq ` f pyq
für alle x, y P R erfüllt. Zeige, dass f auf ganz R stetig ist.
(b) Für eine Funktion f : R Ñ R gelte
lim rf px ` hq ´ f px ´ hqs “ 0
hÑ0
für alle x P R. Folgt, dass f stetig auf R ist? Die Antwort ist zu begründen.
Aufgabe 7.4. (8 Punkte). Sei a, b P R mit a ă b. Ferner sei f : ra, bs Ñ ra, bs monoton wachsend (d. h. f pxq ď f pyq für x ď y) und stetig. Zeige, dass für beliebiges
x0 P ra, bs die Folge pxn qnPN definiert durch xn`1 :“ f pxn q folgende Eigenschaften
hat:
(a) pxn q ist monoton (Fallunterscheidung!),
(b) pxn q konvergiert gegen einen Grenzwert ξ P ra, bs,
(c) es gilt f pξq “ ξ.
1
2
*Aufgabe 7.5. (8 Punkte). Sei f : D Ă R Ñ R gleichmässig stetig und D eine
beschränkte Menge. Beweise, dass f eine beschränkte Funktion ist, d. h., es gibt
eine Konstante M ě 0, so dass |f pxq| ď M für alle x P D.
Finde zudem zwei Beispiele dafür, dass der obige Schluss falsch wird, falls i) f
gleichmässig stetig aber D unbeschränkt ist, oder ii) falls D beschränkt aber f
lediglich stetig ist.
*Aufgabe 7.6. (8 Punkte). Die Funkion f : R Ñ R sei stetig und genüge der
Funktionalgleichung
f px2 q “ f pxq für alle x P R.
Zeige: f ist konstant.
Hinweis: Es genügt den Fall x ě 0 zu betrachten (wieso?). Schliesse z. B. mit
Hilfe des Folgenkriteriums der Stetigkeit, dass f pxq “ f p1q für 0 ă x ă 1 sowie
f pxq “ f p1q für x ą 1. Also gilt f pxq “ f p1q für alle x ą 0. Zeige schlussendlich,
dass auch f p0q “ f p1q.
**Aufgabe 7.7. (8 Zusatzpunkte). Gibt es eine Abzählung pan qnPN der rationalen
?
Zahlen ą 0, so dass lim n an “ 1 gilt?
nÑ8
Hinweis: Man überlege sich zunächst, dass jede reelle Zahl x ą 0 ein Häufungspunkt
der Folge pan q sein muss.