2.2.3 Ginzburg-Landau-Theorie

2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 50
Ginzburg-Landau-Theorie:
Diese geht einen großen Schritt weiter als die London Theorie. Die makroskopische
Wellenfunktion wird nun nicht mehr als „starr“ angesehen, weshalb diese Theorie
auch für starke Felder, welche die Wellenfunktion verändern, geeignet ist.
Außerdem beschreibt diese Theorie den Phasenübergang Normalleitung →
Supraleitung bei der kritischen Temperatur Tc. Aus diesem Grund wollen wir
zunächst Phasenübergänge allgemein betrachten.
2.2.3.1 Phasenübergänge
Wir wollen einige Beispiele für Phasenübergänge geben:
-
-
-
-
flüssig → fest bei der Schmelztemperatur (z.B. Eis im Winter)
≡ Unordnungs- → Ordnungs-Übergang
In der Flüssigkeit sind die Atome ungeordnet, dagegen im Kristallgitter
geordnet.
paramagnetsich → ferromagnetisch bei der Curietemperatur
≡ Unordnungs- → Ordnungs-Übergang
Es ordnen sich die magnetischen Momente der Gitteratome an.
dielektrisch → ferroelektrisch bei der Curietemperatur
≡ Symmetrie-Erniedrigung
Es kommt hier zu einer Gitterverzerrung mit einer Absenkung der
Symmetrie (z.B.: Übergang kubisch → triklin). Aufgrund der Verzerrung
der Einheitszelle entsteht ein elektrisches Dipolmoment.
normalleitend → supraleitend bei der kritischen Temperatur
≡ Unordnungs- → Ordnungs-Übergang, denn es war SSL<SNL.
Die Unordnungs-Ordnungs-Übergänge treten sehr häufig auf. Sie sind ein typisches
Beispiel von „Selbstorganisation“. Dies bedeutet, daß kein ordnender Eingriff von
außen erfolgt, sondern die Ordnung durch Änderung einer Zustandsvariablen
(Temperatur, Druck etc.) zustande kommt.
Beispiel: Übergang flüssig → fest
Im flüssigen Zustand bewegen sich die Atome stärker, weshalb sie im Mittel einen
größeren Abstand haben. In dieser Unordnung ist die Bindung weniger stark
gerichtet (z.B. metallische Bindung im flüssigen Si, Ge).
Im festen Zustand ist der Abstand der Atome kleiner, so daß die Bindung stärker
wird. Zudem können gerichtete Bindungen aufgebaut werden, die ebenfalls eine
stärkere Bindung bewirken. Dies bedeutet, daß die Innere Energie im festen Zustand
kleiner ist als im flüssigen Zustand. Maßgeblich ist jedoch die Freie Energie:
F=U-TS
Die Entropie S ist im flüssigen Zustand größer als im festen Zustand. Bei genügend
hoher Temperatur überwiegt daher immer der zweite Term und das Material
schmilzt.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 51
Bei der Kondensation tritt wegen der verschiedenen Bindungsmöglichkeiten in den
einzelnen Phasen zusätzlich eine Grenzflächenenergie auf. Da sie nur bei einem
Phasengemisch auftritt (z.B. feste Körner in Flüssigkeit), charakterisierte Landau
1937 den Ordnungsgrad des Systems durch den „Ordnungsparameter“ (z.B. wieviel
Anteil fest vorliegt.)
Figur 2.37 zeigt die Freie Energie in Abhängigkeit vom Ordnungsparameter für
einen flüssig→ fest Übergang.
Die Grenzflächenenergie wirkt wie eine Übergangsschwelle von der flüssigen in die
feste Phase.
Für T<Tc wird das relative Minimum des festen Zustandes zum absoluten Minimum.
Dies bedeutet, daß sich ein endlicher Ordnungsparameter direkt bei der Temperatur
Tc einstellen kann, wenn sich Keime bilden. Während des Erstarrens der ganzen
Probe wird die gesamte Umwandlungswärme frei. Wegen der dabei auftretenden
latenten Wärme spricht man von einem Phasenübergang 1. Ordnung.
Anmerkung: Falls die Probe zu schnell abgekühlt wird, bilden sich keine Keime;
die Übergangsschwelle kann nicht überwunden werden und die
Flüssigkeit wird „unterkühlt“.
Anders verhält es sich beim ferromagnetischen Übergang. Dieser ist wie der
Übergang in die SL ein Phasenübergang 2. Ordnung. Einzelne Spins stehen hier über
die Austauschwechselwirkung in Beziehung zu ihren Nachbarn. Je geordneter die
Nachbarn sind (d.h. je besser deren Spins parallel stehen), um so stärker ist die
Ausrichtung des einzelnen Spins.
Fig. 2.38 zeigt die Freie Energie als Funktion des Ordnungsparameters. Im Vergleich
zum vorangegangenen Beispiel gibt es keine Grenzflächenenergie. Das Minimum
der Kurven für T < Tc wächst aus dem Punkt Null stetig, d.h. die Ordnung, hier die
spontane Magnetisierung, wächst langsam mit sinkender Temperatur an.
Da die Kondensationsenergie nicht sofort frei wird, liegt keine latente Wärme vor,
sondern nur eine erhöhte Wärmekapazität, die bei Tc einen Sprung aufweist. Daher
spricht man von einem Phasenübergang 2. Ordnung.
Fig. 2.37: Abhängigkeit der freien Energie
vom Ordnungsparameter für einen
Phasenübergang 1. Ordnung
Fig. 2.38: Abhängigkeit der Freien Energie
vom Ordnungsparameter für einen
Phasenübergang 2. Ordnung.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 52
Je mehr Ordnung vorhanden ist, desto stärker sinkt die Freie Energie, was bedeutet,
daß sich die Ordnung weiter erhöht.
Anmerkung: Da beim Phasenübergang 2. Ordnung keine Barriere vorhanden
ist, gibt es hier auch keine Unterkühlung.
Worin besteht nun diese Rückkopplung oder Selbstverstärkung der Ordnung beim
Supraleiter?
Nach dem Pauliverbot dürfen sich die Elektronen nicht am selben Ort befinden.
(Aufgrund der hohen Elektronendichte in Metallen ist deshalb die Fermienergie
groß.) Kondensieren zwei Elektronen zu einem Paar, bedeutet dies, daß die beiden
Elektronen sich relativ zueinander lokalisieren. Am Ort des Paars haben die anderen
Elektronen also weniger Platz, aber außerhalb entsprechend mehr. Solange die
anderen Elektronen ungepaart sind, ist dies für sie ein Nachteil, da ihre
Aufenthaltswahrscheinlichkeit überall gleich ist. Wenn sie sich aber ebenfalls Paaren
und damit relativ zueinander lokalisieren, wird die Tatsache, daß das erste Paar ihnen
Platz gemacht hat, zum Vorteil. Je mehr Paare also vorhanden sind, desto größer
wird die Paarbindungsenergie.
Anmerkung: Der Durchmesser des Paars (vgl. Bohrsche Bahn im Atom) wird
als Kohärenzlänge ξBCS bezeichnet.
Der Supraleiter hat wie der Ferromagnet (Fig. 2.38) einen Phasenübergang 2.
Ordnung.
Anmerkung: In der Landau Theorie wird angenommen, daß das System im
Gleichgewicht sich im Minimum der Freien Energie befindet. In
Wirklichkeit führt das System Fluktuationen um das Minimum
herum aus. Allgemein bezeichnet man eine Theorie, bei der
angenommen wird, daß sich das System im Minimum befindet,
als Molekularfeldtheorie (mean field theory). Beispiele hierfür
sind die Ginzburg-Landau Theorie, die BCS-Theorie oder die
Weisssche Theorie des Ferromagnetismus. Je kleiner die
Korrelationslänge eines Systems ist, desto stärker sind solche
Fluktuationen. Im Supraleiter ist die Korrelationslänge gleich
dem Durchmesser der Paare ξBCS. Fluktuationen müssen
mindestens diese Größe haben. Im Vergleich zum
Ferromagneten ist dies ein relativ großes Volumen, weshalb die
Theorie der Supraleitung deutlich besser ist als die Weisssche
Theorie.
Fluktuationen in der Supraleitung bedeuten, daß sich oberhalb
der kritischen Temperatur Tc „surpaleitende Blasen“ feststellen
lassen, die den Widerstand bereits etwas absenken.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 53
2.2.3.2 Homogener Supraleiter bei B=0
Im Gegensatz zur BCS-Theorie hat die Ginzburg-Landau Theorie ihre Gültigkeit nur
solange der Ordnungsparameter klein ist. Sie gilt also nur nahe Tc bzw. nahe Hc2 (SL
2. Art). Die Ginzburg-Landau Näherung entspricht einer Entwicklung der Freien
Energie für kleine Ordungsparameter (Taylor-Entwicklung um ns=0) bis zur 2.
Ordnung:
FSL (n s ) = FNL + αn s +
1 2
βn s
2
Dabei können α und β von der Temperatur abhängig sein.
Überlegung:
Zunächst sei α=0. Figur 2.40 zeigt für diesen Fall die Abhängigkeit der Differenz der
Freien Energie FSL-FNL von der Dichte der Cooper-Paare.
Wie zu erkennen ist, muß β>0 sein, da für β<0 der Zustand für große ns instabil
wäre.
Fig. 2.40 Graphische Veranschaulichung der Taylorentwicklung für α=0
In der Nähe von Tc genügt es, β als konstant, unabhängig von der Temperatur
anzusehen.
Nun sei α>0. Wir erhalten eine Parabel, deren Scheitel bei negativen ns liegt. Da für
ns>0 kein Minimum vorhanden ist, ist für α>0 kein geordneter Zustand möglich. Es
liegt der normalleitende Zustand (T>Tc) vor (s. Fig. 2.41).
Fig. 2.41: Differenz der freien Energie für α>0 und β>0
Zuletzt betrachten wir den Fall α<0 (s. Fig. 2.42). Der Scheitel der Parabel liegt nun
bei positiven ns, so daß sich nun ein geordneter Zustand durch spontane Bildung von
Cooper-Paaren einstellt.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 54
Fig. 2.42: Differenz der freien Energie für α<0 und β>0
Um einen Phasenübergang in den supraleitenden Zustand zu erhalten, muß demnach
α(T) bei T=Tc einen Nulldurchgang aufweisen. Dies veranschaulicht Figur 2.43.
Fig. 2.43: α in Abhängigkeit von der Temperatur. Nulldurchgang bei T=Tc.
Nun wollen wir das Minimum der Taylor-Entwicklung durch Ableitung bei
konstanter Temperatur bestimmen. Es galt:
⇒
dFs
= 0 = α + βns
dns
⇒ ns = −
α (T )
β
Dies setzen wir in de Ausruck für FSL(ns) ein und erhalten:
α2
FSL , min = FNL − 1
2 β
Dieser Verlauf ist in Figur 2.44 gezeigt.
Fig. 2.44: Verlauf der Dichte der SL-Paare und der Differenz der Freien Energie in Abhängigkeit von
der Temperatur.
An den Supraleiter soll nun ein Magnetfeld angelegt werden und die dadurch
bedingte Modifizierung der Energie betrachtet werden.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 55
2.2.3.3 Supraleiter im Magnetfeld
Wird an einen Supraleiter 2. Art ein Magnetfeld angelegt, so dringen Flußschläuche
in diesen ein. Um die Feldverteilung im Inneren des Supraleiters berechnen zu
können, müssen wir jedes Volumenelement einzeln betrachten.
Für die Dipolenergie eines Volumenelements gilt:
dW = − mdB = − M∆VdB
Hier beschreibt dB im Gegensatz zu 2.1.3. nicht das äußere Feld Ba allein, sondern
auch alle von Strömen im Supraleiter außerhalb des Volumenelements am Ort von
∆V erzeugten Felder (Abschirmströme, Flußfäden).
Da das Feld aller anderen Volumenelemente diamagnetisch ist, gilt: B<Ba.
Für die Magnetisierung des Volumenelements gilt:
B = µ 0 M + Ba
M=
B − Ba
µ0
bzw.
Für konstantes Ba gilt zudem
dB = µ 0 dM
Somit gilt bei der Kondensation des Supraleiters in Ba=const. für das
Volumenelement ∆V:
Ba
W = − ∆V ∫MdB = − ∆V
B
M =0
M=
∫
µ 0 MdM = ∆V
B − Ba
µ0
( B − Ba ) 2
2µ 0
Diesen Ausdruck bezeichnet man als Feldverdrängungsenergie. Sie ist die Arbeit, die
geleistet werden muß, um das Magnetfeld ganz oder teilweise aus dem
Volumenelement zu verdrängen.
Ein weiterer Unterschied bei der Betrachtung von starken Magnetfeldern ist, daß sich
auch die suprafluide Dichte ns ändern kann. Die von London geforderte Starrheit der
Wellenfunktion ist nicht mehr gegeben. Ein Grund für eine inhomogene Dichte ns ist
z.B. die Bildung von Flußfäden. Ein Gradient in ns bedeutet wegen ns=|
Ψ ²|ein
Gradient in der Wellenfunktion und damit das Vorhandensein von Strömen (k≠0).
Als weiteren Term zu Freien Energie erhalten wir deshalb die kinetische Energie der
sich bewegenden Paare:
E kin =
r
r
p2
1
=
− ih∇ Ψ − qAΨ
2m 2m
2
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 56
Die Zusammenfassung aller Energieterme ergibt die Dichte der Freien Energie im
Magnetfeld nach Ginzburg-Landau (mit ns=|
Ψ|
²):
f SL = F
∆V
= f NL + α Ψ
2
+
1
βΨ
2
4
+
r
r
1
− ih ∇ Ψ − q A Ψ
2m
2
+
1 r r 2
( B − Ba )
2µ 0
Die gesamte Freie Energie der Probe erhält man durch räumliche Integration über die
Probe:
r 2
r

1
1
1 r r 2 r
2
4
FSL = FNL + ∫
i
q
A
h
( B − Ba ) 
α
Ψ
+
β
Ψ
+
−
∇
Ψ
−
Ψ
+
d ³r

2
2m
2µ 0


Dies ist die „Ginzburg-Landau Freie Energie“
Wie erwähnt, wird angenommen, das System befinde sich im Gleichgewicht im
Minimum der Freien Energie. Um dieses zu berechnen, variieren wir Ψ (r) und A(r)
so, daß FSL minimal wird. Die Rechnung wird hier nicht durchgeführt. Siehe dazu
Schmidt oder Tinkham (Kap. 4).
Als Ergebnis erhält man 2 Differentialgleichungen. Aus der Variation von Ψ ergibt
sich:
r
r
1
(− ih∇ − qA) 2 Ψ + (α + βΨ * Ψ )Ψ = 0
2m
„1. Ginzburg-Landau Gleichung“
bzw. aus der Variation von A:
r
r * q 2p Ψ
js = −
(Ψ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ) −
2m p
mp
ih q p
*
2
r
A
„2. Ginzburg-Landau Gleichung“
Wie bei London erhält man einen diamagnetischen Strom, welcher die
kinetische Energie minimiert. Dieser folgt hier aber aus dem Minimum
der Freien Energie. Bei London folgte er aus der Eigenschaft des
kanonischen Impulses.
Die Lösung dieser Differentialgleichungen (Abrikosov 1957) für starke Felder ist der
Supraleiter 2. Art mit Flußfäden. Abrikosov konnte so den Verlauf der
makroskopischen Wellenfunktion in einem SL 2. Art angeben und zeigen, daß der
gemischte Zustand wirklich ein eigener Zustand ist und nicht auf Verschmutzungen
im SL zurückzuführen ist.
Im nächsten Kapitel wollen wir hierfür eine qualitative Betrachtung anstellen.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 57
2.2.3.4 Charakteristische Längen
Bekannt ist bereits die Londonsche Eindringtiefe λ. Aus der 1. Ginzburg-Landau
Gleichung folgt eine weitere charakteristische Länge:
Für A=0 und ψ ≈0, wird die 1. Ginzburg-Landau Gleichung:
h2 r 2
−
∇ Ψ + αΨ = 0
2m
Wobei der |
Ψ|
³-Term vernachlässigt wurde.
Wir nehmen an, daß wir uns in einer supraleitenden Blase (Fluktuation) knapp
oberhalb von Tc befinden. Dann ist α positiv(s. Schmidt).
Mit dem Ansatz
Ψ ∝e
wird:
−
−
x
ξGL
h2 1
+ α =0
2
2m ξGL
bzw. :
ξGL =
h2
2 mα
= "Ginzburg - Landau Kohärenzlänge"
mit α statt α gilt dies übrigens auch für T<Tc.
ξGL ist die charakteristische Länge, auf der sich Ψ und ns von Ort zu Ort ändern
können. Man spricht daher von der Ausheil-Länge (healing length). Schärfere
Änderungen von ns würden zu große Gradienten und damit zu große kinetische
Energien bedeuten.
Die Kohärenzlänge ξGL ist für T nahe bei Tc stets größer als der Durchmesser der
Cooper Paare ξBCS.
Wegen α(T) ist ξGL temperaturabhängig (s. Fig. 2.45). Bei T=Tc divergiert ξGL, da
α=0 ist, d.h. je kleiner ∆F ist, desto schwächer müssen auch mögliche Gradienten
sein. Für tiefe Temperaturen gilt die Ginzburg-Landau Theorie noch immer, wenn
B≈Bc ist, weil in diesem Fall auch ns klein wird. Dann erhält man einen konstanten
Wert für ξGL.
Fig. 2.45: Temperaturabhängigkeit der Ginzburg-Landau Kohärenzlänge
Nach der Gorkov-Theorie gilt für einen reinen Supraleiter (reiner Grenzfall), wenn
die mittlere freie Weglänge der Elektronen l ξ ist:
ξGL(T=0) = 0,74ξBCS
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 58
Die magnetische Eindringtiefe folgt aus der 2. Ginzburg-Landau Gleichung. Da nach
dieser der erhaltene diamagnetische Strom gleich ist wie für schwache Felder, ergibt
sich der gleiche Ausruck wie bei London:
λL =
mp
µ 0 q 2p n s
Mit ns=-α/β=|
α|
/β (s. St. 54) ergibt dies:
λGL =
mpβ
µ 0 q 2p α
Für starke Felder nimmt ns ab, so daß auch λ etwas länger wird als bei schwachen
Feldern.
Je nach Material kann ξGL oder λ größer sein. Dies hat Auswirkung auf die
Grenzflächenenergie zwischen Normalleitern und Supraleitern, auf die wir im
nächsten Kapitel eingehen.
2.2.3.5 Die Grenzflächenenergie
Betrachten wir den 1-dimensionaeln Fall einer NL-SL-Grenzfläche (s. Fig. 2.46) im
Magnetfeld.
Fig. 2.46: NL-SL-Grenzfläche im Magnetfeld
Die Grenzfläche soll stabil sein. Im Volumen haben dann SL und NL die gleiche
Freie Energie: FSL=FNL. Für das Magnetfeld gilt somit B=Bcth.
Einerseits wird an der Grenzfläche Feldverdrängungsenergie eingespart, da das
Magnetfeld innerhalb λ eindringt. Andererseits geht Kondensationsenergie auf der
Länge ξ verloren.
Damit hat die Grenzfläche die Freie Energie je Fläche A:
Fgr
B2
= − λGL
+ ξ GL ∆FVol
A
2µ 0
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 59
Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt die
Feldverdrängungsenergie, der zweite die verlorene Kondensationsenergie.
gesparte
2
Bcth
Wegen B=Bcth und mit ∆F =
ergibt sich:
2µ 0
Fgr
A
=
2
Bcth
(ξGL − λGL )
2µ 0
Die Grenzflächenenergie kann also größer oder kleiner Null sein:
ξGL >λGL ⇒ Grenzflächenenergie > 0, d.h. die Bildung von Grenzflächen ist
energetisch ungünstig.
ξGL <λGL ⇒ Grenzflächenenergie < 0, d.h. die Bildung von Grenzflächen ist günstig.
Bei negativer Grenzflächenenergie kommt es zu einer spontanen Bildung von NLSL-Grenzflächen im Inneren des Supraleiters in Form von Flußfäden. Die
Grenzflächen sind dabei die „Mantelflächen“ der Flußfäden. Damit handelt es sich
hier um Supraleiter 2. Art, während bei positiver Grenzflächenenergie ein Supraleiter
1. Art vorliegt.
Da das Verhalten des Supraleiters durch das Verhältnis von λ und ξ bestimmt wird,
definiert man:
κ≡
λGL m p
=
ξGL qh
2β
µ0
als „Ginzburg-Landau-Parameter“. Da er von α nicht abhängt, ist er nur gering
temperaturabhängig.
Wir hatten die Grenzflächenenergie nur grob abgeschätzt. Die genaue Rechnung von
Abrikosov ergab einen zusätzlichen Faktor 2 :
Fgr > 0 ⇔ falls κ < 1
Fgr < 0 ⇔ falls κ > 1
2
2
SL 1. Art
SL 2. Art