Vorlesung 25.11.99

2.2 Supraflüssigkeit
2.2.1. Einführung
35
Die Bewegung aller Paare ist also gleich, d.h. quantenmechanisch müssen alle die
gleiche Schwerpunktsbewegung haben. Dies wiederum bedeutet, daß sie alle die
gleiche Wellenfunktion und den selben Phasenfaktor
rr
r
F (rs ) = e iks rs
aufweisen. Selbst in Ruhe (ks=0 – d.h. kein Stromfluß) muß trotzdem die gleiche
Phase vorliegen.
r
F (rs ) = e iT
Aus diesem Grund ist es möglich, von einer makroskopischen Wellenfunktion zu
sprechen. Diese läßt sich als kohärenter Zustand darstellen.
2.2.1.2. Kohärenter Zustand
Zunächst soll allgemein geklärt werden, was ein kohärenter Zustand bei einem
harmonischen Oszillator oder allg. bei Bosonen ist (s. auch Schwabl QM: Kap.
3.1.4).
Dazu betrachten wir die Energie-Eigenzustände des Oszillators Ψ N, siehe Figur 2.23:
Fig. 2.23 Stationäre Zustände in einem harmonischen Oszillatorpotential. (Die Zahl der Nullstellen
ist gleich der Ordnungszahl N.)
Ihre Energie-Eigenwerte sind:
1

E N = hω 0 N + 
2

Dabei wird die Zahl N als die Anzahl der Schwingungsquanten des Oszillators
2
interpretiert. Die Zustände zu festem N sind als Eigenzustände stationär, d.h. ? N ( x )
ist zeitunabhängig. Um die zeitabhängige klassische Pendelbewegung zu
beschreiben, muß daher ein Wellenpaket als Linearkombination aus Eigenzuständen
mit unterschiedlichem N gebildet werden:
∞
ϕ α = ∑ AN?
N =0
N
(2.3)
Wie in Schwabl gezeigt, läuft das Wellenpaket nicht auseinander, wenn alle AN in
Phase sind. Daher heißt der Zustand „kohärent“.
Der kohärente Zustand ist Eigenzustand des Vernichtungsoperators a:
a ϕα = α ϕα
Anmerkung: Der Vernichtungsoperator führt den Zustand Ψ N in den Zustand
Ψ N-1 über, vernichtet also 1 Schwingungsquant.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.1. Einführung
36
Zu jeder Amplitude α gibt es einen zugehörigen Eigenzustand ϕ α, d.h. α ist nicht
gequantelt. Da a nicht hermitesch ist (denn a+ ist der Erzeugungsoperator), sind seine
Eigenwerte α nicht reell, sondern komplex.
Figur 2.24 zeigt schematisch die Schwingung eines solchen Wellenpaketes. Die
Messung liefert nicht den scharfen Wert α (im Scheitelwert) sondern hat die
Unschärfe ∆x des Wellenpakets. Dies heißt „Quantenrauschen“. ∆x ist unabhängig
von α. Die hier als dimensionslos angenommene Variable x kann im Falle
des Schalls
eines Lasers (Photonen)
von Magnonen
ersetzt werden durch
das Druckfeld
das elektrische Feld
die Magnetisierung.
Fig. 2.24: Oszillation eines Wellenpaketes mit der Amplitude α.
Ebenso wie die Amplitude ist auch die Phase nicht völlig scharf. Das
Phasenrauschen des kohärenten Zustandes ist gegeben durch
∆ϕ = ∆x
2πα
Die AN selbst sind gegeben durch die sog. Poissonverteilung (s. Schwabl):
AN =
αN
N!
Für große N ist diese ähnlich einer Gaußkurve (Fig. 2.25):
Fig. 2.25 Aufgetragen sind die Koeffizienten AN gegenüber der Zahl der Quanten N in diesem
Zustand. Die Verteilung entspricht der einer Poisson-Verteilung.
Das Maximum liegt bei No=α². Entsprechend ist α = N . Das ist klar, denn die
Energie des Oszillators ist für große N einerseits proportional zur Quantenzahl N und
andererseits proportional zum Quadrat der Amplitude α.
Die Unschärfe ∆N der Poisson-Verteilung ist: ∆N = N 0
Damit ist die relative Unschärfe der Quantenzahl:
N0
∆N
=
=
N0
N0
1
N0
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.1. Einführung
37
Außerdem wird:
∆N∆ϕ = N 0
∆x
∆x
=
= const.
2πα 2π
Die Gleichung ∆N∆ϕ ≥ 1 heißt Schwingersche Ungleichung. Sie gilt allgemein für
Bosonen.
Wir halten fest: je größer die Quantenzahl N0,
desto größer die Amplitude
∆N
desto größer die relative Schärfe der Quantenzahl
N0
desto klassischer das Pendel (die Welle)
desto einfacher ist die Beschreibung.
Im Fall von Bosonen als 3-dimensionale Wellen tritt zur Wellenfunktion der
Amplitude x (=Auslenkung, E-Feld usw.) noch die Ortsabhängigkeit der Welle in
drei Dimensionen hinzu. Um einen kohärenten Zustand der Amplitude zu bilden,
müssen die Bosonen alle dieselbe Ortsabhängigkeit besitzen, z.B. ~eikr. Sie befinden
sich also hinsichtlich der Ortsabhängigkeit alle in demselben Zustand eikr.
Entsprechend hat auch die Amplitude α diese Ortsabhängigkeit. Da auch die
Cooperpaare im Supraleiter alle denselben Ortszustand haben, können auch sie einen
kohärenten Zustand bilden. Analog zu den Bosonen ist dies der Eigenzustand des
r
r
Vernichtungsoperators der Paare,? ↓ (r )? ↑ (r ), der am Ort r zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin vernichtet. Für den kohärenten Zustand gilt also wieder:
r
r
? ↓ (r )? ↑ (r )ϕ a = αϕ a
Der kohärente Zustand ϕ α ist der sog. BCS-Grundzustand des Supraleiters, der
ebenfalls wieder eine unscharfe Teilchenzahl hat. Die Amplitude α wird in der
Literatur meist mit Ψ oder auch ∆ bezeichnet. Sie ist die „makroskopische
Wellenfunktion“ der London Theorie (s.u.), der „Ordnungsparameter“ der GinzburgLandau Theorie (s.u.), die „superfluide Wellenfunktion“ und wird heute meist in
Analogie zum elektrischen Feld der Photonen als „Paarfeld“ bezeichnet. Das
Paarfeld ist auch proportional zur Energielücke in der BCS-Theorie.
Da die Paar-Zahl so sehr groß ist, z.B. 1022, ist auch ihre relative Unschärfe
∆N
=
N
1
= 10 − 11
N
sehr klein. Ebenso ist das Phasenrauschen ∆ϕ ≈10-11.
Wir haben es also mit einem völlig klassischem Feld zu tun, das einfach durch die
Amplitude zu beschreiben ist.
Da es sich wieder um eine 3d-Welle handelt, ist deren Ortsabhängigkeit wieder durch
diejenige der Paar-Wellenfunktion Φ (r) (d.h. der Schwerpunkts-Wellenfunktion)
gegeben:
r
r
r
α (r ) = αF (r ) = N F (r )
damit wird:
r 2
r 2
α (r ) = N F (r )
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.2. London-Theorie 38
r 2
Da ´F (r ) die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden eines Paars am Ort r ist,
r 2
r 2
ist
N F (r ) bzw. α (r ) ;
die Wahrscheinlichkeitsdichte der N Paare, also die Paardichte:
r 2
r 2
α (r ) = N F (r ) = n p
Dann ist auch
r
r
α (r )= n p e iF ( r ),
wobei eiΦ (r) der Phasenfaktor der Paar-Wellenfunktion Φ (r) ist.
Anmerkung: In Büchern wird statt α meist Ψ geschrieben:
r 2
r 2
? (r ) = N F (r ) = n P
Nachdem nun die quantenmechanische Bedeutung der Supraflüssigkeit im
Grundzustand betrachtet worden ist, soll nun festgestellt werden, wie sie sich bei
einem anliegenden elektromagnetischen Feld verhält
2.2.2.
London – Theorie:
Die London-Gleichungen haben Gültigkeit für schwache elektrische und
magnetische Felder, da sich in diesem Fall die makroskopische Wellenfunktion
r
? = ns e iF ( r )
nicht ändert. F. London nannte dies „die Starrheit der Wellenfunktion“. Aus dieser
Annahme ist der Meissner Effekt ableitbar (2.2.2.3).
Zunächst soll der Einfluß elektrischer Felder betrachtet werden.
2.2.2.1 Reaktion auf ein E-Feld
Das elektrische Feld sei von Null verschieden. Für kurze Zeit während des
Anschaltvorgangs muß die Supraflüssigkeit beschleunigt werden. Dieser Vorgang
findet reibungsfrei statt, da die Paare weder an Phononen noch an Fehlstellen des
Kristalls gestreut werden. Für diese Beschleunigung gilt nach Newton:
r
r q
mv&s = qE ⇒ v&s = p
E
(2.4)
mp
hierbei ist:
mp: Masse des Paars = 2me
qp: Ladung des Paars = 2e
vs: Geschwindigkeit der Supraflüssigkeit
Für die Suprastromdichte der Paare gilt:
r
r
j s = ns q p v s
wobei:
ns: Dichte der Paare (=1/2 Dichte der Elektronen bei T=0)
bzw. für die Ableitung nach der Zeit mit (2.4):
2
r&
r& ns q p r
j s = ns q p v s =
E
mp
r q
mit v&s = p
mp
E
(2.5)
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.2. London-Theorie 39
Das elektrische Feld sei nun ein Wechselfeld, mit
E ∝ e − iω t
(Fourietransformation)
Damit hat die Stromdichte j dieselbe Zeitabhängigkeit, weshalb die Ableitung von
(2.5) geschrieben werden kann als:
r ns q p 2 r
− iω j s =
E
bzw.
mp
r
r
r
ns q 2p r
js = i
E
Dies entspricht dem Ohmschen Gesetz j = σE.
m pω
Damit ist die Leitfähigkeit σs(ω) gegeben mit:
σ s (ω )= i
ns q 2p
m pω
Nach dieser Formel ist festzustellen, daß die Leitfähigkeit tatsächlich nur für ω = 0
unendliche wird. Die Multiplikation mit i bedeutet eine Phasenverschiebung um 90°
zwischen Strom und Spannung, d.h. der Supraleiter verhält sich wie eine
Induktivität.
Figur 2.26 zeigt schematisch den Verlauf des Imaginärteils der Leitfähigkeit eines
Supraleiters. Für ω=0 liegt ein Pol vor.
Fig. 2.26 Verlauf des Imaginärteils der Leitfähigkeit eines Supraleiters. Nur für ω=0 wird die
Leitfähigkeit unendlich.
Da die Leitfähigkeit für ω > 0 endlich bleibt, wird die Normalflüssigkeit nicht
vollständig kurzgeschlossen. Die einzelnen Elektronen spüren ein Feld, in dem sie
beschleunigt und gestreut werden, wie in Normalleitern. Für sie gilt daher das
Ohmsche Gesetz (n=normalleitend) :
r
r
jn = σn E
Für die gesamte Stromdichte folgt deshalb:
r
r
r r 
ns q 2p  r
E = σ ges E
j ges = jn + j s = σ n + i

m pω 


(2.6)
Formel (2.6) wird als 1. Londonsche Gleichung bezeichnet.
Die gesamte Leitfähigkeit σges besteht also aus einem Realteil, der durch die
Normalflüssigkeit gebildet wird, und einem Imaginärteil aufgrund der
Supraflüssigkeit. Sie wird als komplexe Leitfähigkeit des Supraleiters bezeichnet und
ist die Ursache, daß z.B. Mikrowellenfilter aus SL immer noch Verluste (deutlich ab
ca. 10 GHz) aufweisen.
Da die Dichte der normalleitenden Elektronen mit der Temperatur abnimmt, nimmt
auch σn ab, währendσs wie ns zunimmt. Damit ist auch σges stark temperaturabhängig.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.2. London-Theorie 40
2.2.2.2 Reaktion auf ein magnetisches Feld:
Hierzu kommt wieder die Quantenmechanik ins Spiel. Es soll zunächst der Ausdruck
für den Stromdichteoperator angegeben werden (s. Schwabl QM Kap. 2.7). Der
Stromdichteoperator eines einzelnen Paars ohne äußeres Magnetfeld ist gegeben mit:
(
r
r
hq p * r
jp =− i
F ∇F − F ∇F *
2m p
)
wobei wieder
Φ : Wellenfunktion des Paars
q p: -2e
mp: 2me
ist.
Für N Paare im selben Schwerpunkt-Zustand Φ gilt:
r
r
j s = Nj p
bzw. mit der makroskopischen Wellenfunktion ? = N F folgt für den Ausdruck
des Suprastromdichteoperators: (Um darauf hinzuweisen, daß wir die Supraflüssigkeit insgesamt betrachten ersetzen wir (rein formal) den Index p durch s.)
(
r *
r
 hq s * r
F
F
F
F
j s = N
i
−
∇
−
∇
 2m
s

 hq s  ? * r ?

= N − i
∇
−
 2m s  N
N


r
r
hq
= − i s ? *∇? − ? ∇? *
2m s
(
)
)

r ? * 

∇

N
N 

?
(2.7)
rr
Zum Beispiel wird für Ψ ∝ e ikr die Stromdichte wie gewohnt:
r
r hk q s
pq n
js =
ns = s s = v s q p ns
ms
ms
Nun betrachten wir den Einfluß eines Magnetfeldes. Dabei wird das Vektorpotential
A verwendet, wobei gilt:
r r r
B = ∇ ×A
r
Dem Impulsoperator − ih∇ entspricht in der klassischen Mechanik der kanonische
Impuls, der definiert ist als
r
r
r
p kan = mv + qA
dabei beschreibt
mv
qA
:
:
den kinetischen Impuls
den Feldimpuls
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.2. London-Theorie 41
Folgt man dem Hamilton-Jakobi-Formalismus (s. Schwabl QM Anhang B) so ergibt
sich aus dem Feldimpuls die Lorentzkraft (s. auch Jackson Kap. 12 od. Nolting Kap.
4.1.5).
Für die klassische Stromdichte galt:
r
r
j = nqv
Drückt man nun die Geschwindigkeit über den Impuls aus, so gilt klassisch:
r
r
r
( p kan − qA)
j = nq
m
Entsprechend zu oben muß in der Quantenmechanik der ∇-Operator im
Stromausdruck übergeführt werden:
r
r
r
- ih∇
→ − ih∇ − qA
ohne Feld
mit Feld
Damit ergibt sich folgende Modifikation für Formel (2.7) nach etwas
Zwischenrechnung:
r * q s2 r *
r r
hq s * r
js(A) = − i
? ∇? − ? ∇? A? ?
2m s
ms
r
q2n r
= js( 0 ) − s s A
ms
(
)
Wir nehmen an, daß der SL ohne Magnetfeld (A=0) stromlos sei. Somit gilt: js(0)=0.
Damit gilt für den quantenmechanischen Ausdruck der Stromdichte
r r
q2n r
j s ( A) = − s s A,
ms
(2.8)
weshalb man wegen des Vorzeichens von einem „diamagnetischen Strom“ spricht.
Der Strom ist zeitlich konstant. D.h. es handelt sich wieder um einen Suprastrom, der
nicht abklingt. Es ergab sich aus unserer Annahme, daß sich im Magnetfeld nur der
Impulsoperator verändert, nicht aber die „starre“ Wellenfunktion. Im Normalleiter
dagegen heben sich beide Änderungen genau gegeneinander auf, so daß der
Suprastrom verschwindet.
Um vom Vektorpotential A zum Magnetfeld B zurückzukommen, wenden wir die
Rotation auf Formel (2.8) an:
r r r
q s2 n s r
∇ × j s ( B) = −
B
ms
Diese Gleichung wird als „2. London Gleichung“ bezeichnet.
Kombiniert man die Londongleichungen mit dem Ampèreschen Gesetz, läßt sich der
Meissnereffekt erklären.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.2. London-Theorie 42
2.2.2.3 Meissner-Effekt:
Nach dem Ampèreschen Gesetz gilt:
r r
r
∇ ×B = µ 0 j
r
∂
D
Da sich die Felder nicht schnell ändern, enthält diese Gleichung nicht den
∂t
Maxwell Term.
Bildet man davon die Rotation, folgt:
(
)
r r r
r r
∇ × ∇ ×B = µ 0∇ × j
Mit der 2. London Gleichung folgt:
( )
r rr
r
q s2 ns r
2
B
∇ ∇ B − ∇ B = − µ0
ms
rr
Wegen ∇B = 0 also :
r
q s2 ns r
∇ B = µ0
B
ms
2
r
Diese Poisson-Gleichung kann mit dem Ansatz B ∝ e − x / λ gelöst werden. Der
schematische Verlauf dieser Lösung ist in Figur 2.27 gezeigt.
Fig. 2.27:
Graphische Veranschaulichung der Lösung von
Londonsche Eindringtiefe.
r
1 r
∇ 2 B = µ0 2 B . λ bezeichnet hierbei die
λ
Dabei ergibt sich für die Londonsche Eindringtiefe λ:
λ=
mp
µ 0 q 2p ns