Einführung in die Topologie

Zürich, 20.03.2008
Universität Zürich
Thomas Foertsch
Anna Mätzener
Johannes Meyer
5. Übung zur
Einführung in die Topologie
Aufgabe 1 Nach Aufgabe 3 des letzten Übungsblattes können wir notieren:
Definition: Ein nicht-prinzipaler Ultrafilter auf N ist ein endlich additives
Wahrscheinlichkeitsmass ω auf N, so dass
(i) alle Teilmengen S ⊂ N ω-messbar sind, ω(S) ∈ {0, 1}, und
(ii) #S < ∞ =⇒ ω(S) = 0.
(a) Beweisen Sie die
Behauptung: Sei ω ein nicht prinzipaler Ultrafilter auf N. Dann
existiert für jede beschränkte Folge reeller Zahlen {an }n∈N ein eindeutiges a ∈ R, so dass
n o
ω n |an − a| < = 1
∀ > 0.
Man schreibt dann a = limω (an ).
(b) Argumentieren Sie, dass es zur alternierenden Folge {an }n∈N ,
a2n+1 = 0,
n ∈ N,
a2n = 1,
nicht prinzipale Ultrafilter ω0 und ω1 auf N gibt, so dass
lim an = 0
und
ω0
gelten.
1
lim an = 1
ω1
(c) Zeigen Sie schliesslich, dass für beschränkte, reellwertige Folgen {ai }i∈N
und {bi }i∈N die üblichen Rechenregeln,
lim[{ai }i∈N + {bi }i∈N ] = lim{ai }i∈N + lim{bi }i∈N
ω
ω
ω
sowie
lim[{ai }i∈N · {bi }i∈N ] = lim{ai }i∈N · lim{bi }i∈N ,
ω
ω
ω
gelten.
5 Punkte
Aufgabe 2 Sei ω ein nicht-prinzipaler Ultrafilter auf N.
Betrachten Sie die Menge der reellwertigen Folgen RN .
Auf RN sei die Relation ≤ω wie folgt erklärt.
{an } ≤ω {bn }
ω{n | an ≤ bn } = 1.
:⇐⇒
(a) Zeigen Sie, dass ≤ω reflexiv und transitiv aber nicht antisymmetrisch
ist.
(b) Zeigen Sie, dass durch
{an } ∼ω {bn }
:⇐⇒
ω{n | an = bn } = 1
eine Äquivalenzrelation ∼ω auf RN definiert ist.
Sei nun ∗ Rω := RN / ∼ω .
(c) Zeigen Sie, dass durch
[{an }] ≤ω [{bn }]
:⇐⇒
{an } ≤ω {bn }
eine totale (also nicht nur teilweise) Ordnungsrelation ≤ω auf ∗ Rω
definiert ist.
Überlegen Sie sich, dass ∗ Rω mit der von RN vererbten komponentenweisen
Addition und Multiplikation ein Körper ist. Er heisst der Körper der ωhyperreellen Zahlen. Der Körper R der reellen Zahlen ist vermöge x 7→
{x}n∈N kanonisch in ∗ Rω eingebettet.
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Ein x ∈∗ Rω heisst endlich, wenn es ein N ∈ N mit {−N }n∈N <ω x <ω
{N }n∈N gibt.
Verifizieren Sie anhand Ihres Beweises von Aufgabe ?? (a), dass auf der
Menge ∗ Rend
ω der endlichen hyperreellen Zahlen die Abbildung
st :∗ Rend
ω −→ R,
st(x) := lim x
ω
wohldefiniert ist.
Zu einer Abbildung f : R −→ R gibt es nun eine ganz natürliche Erweiterung
fˆ :∗ Rω −→∗ Rω ,
fˆ([{an }]) 7→ [{f (an )}].
Zwei hyperreelle Zahlen [{an }] und [{bn }] heissen infinitesimal benachbart,
wenn sie vermöge der Äquivalenzrelation
[{an }] ≈ω [{bn }]
⇐⇒
ω{n | |an − bn | < } ∀ > 0
äquivalent zueinander sind. Hyperreelle Zahlen, die zu [{0}n∈N ] infinitesimal benachbart sind, heissen infinitesimale hyperreelle Zahlen.
(d*) Zeigen Sie schliesslich, dass man die Stetigkeit einer Funktion f :
R −→ R folgendermassen charakterisieren kann:
f ist stetig
⇐⇒
h
x ≈ω y
⇐⇒
h
st(fˆ(x)) = f (st(x)) ∀ x ∈ ∗ Rend
ω
=⇒ fˆ(x) ≈ω fˆ(y) ∀ x, y ∈ ∗ Rend
ω
i
i
Das heisst also, dass infinitesimale Änderungen im Definitionsbereich
auch nur infinitesimale Änderungen im Bild bewirken.
5+5* Punkte
Abgabe: Donnerstag, den 03. April - vor der Vorlesung.
Frohe Ostern!!!
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