L. Frerick / M. Müller WS 2015/16 7.12.2015 4. Übung zur

L. Frerick / M. Müller
WS 2015/16
7.12.2015
4. Übung zur Fourieranalysis
Abgabe: vor der Übung am Montag, 4.1.16, 16-18 Uhr in E 52.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
H13: (3 Punkte)
Es seien (E, h·, ·iE ) und (F, h·, ·iF ) Prähilberträume und T ∈ L (E, F ). Zeigen Sie, dass
folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gilt
kT (x)kF = kxkE
(x ∈ E) .
(ii) Es gilt
hT (x) , T (y)iF = hx, yiE
(x, y ∈ E) .
(iii) Ist (xι )ι∈I ein Orthonormalsystem in E, so ist auch (T (xι ))ι∈I ein Orthonormalsystem
in F.
Definition: Es seien (E, h·, ·iE ) und (F, h·, ·iF ) Hilberträume. Eine bijektive Abbildung T : E → F
heißt unitär, wenn
hT (x) , T (y)iF = hx, yiE
(x, y ∈ E)
gilt. (Man sieht leicht ein, dass ein solches T stetig ist.)
H14: (3+2+2+3 Punkte)
(i) Es sei T : E → F eine unitäre Abbildung zwischen Hilberträumen (E, h·, ·iE ) und (F, h·, ·iF ).
Zeigen Sie, dass T linear ist.
(ii) Es seien (X, k·kX ) und (Y, k·kY ) Banachräume und U : X → Y eine Isometrie mit dichtem
Bild, d.h. für alle x, y ∈ X gelte
kU (x) − U (y)kY = kx − ykX
und
U (X) = Y.
Zeigen Sie, dass U dann schon surjektiv ist. (Es reicht zu zeigen, dass U (X) vollständig
ist.)
(iii) Es sei für s ≥ 0 und α ∈ CZ
(
)
X
l2 (α) := x ∈ CZ :=
(|xν | αν )2 < ∞
ν∈Z
versehen mit der Norm
!1/2
kxk := kxkα :=
X
(|xν | αν )2
(x ∈ l2 (α))
ν∈Z
Zeigen Sie , dass F :
s
H2π
→ l2
1 + |ν|
2
s/2 , definiert durch
ν∈Z
f 7→ fˆ (ν)
ν∈Z
,
unitär ist.
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(iv) Zeigen Sie:
1
iν·
s .
(1)
ist Orthonormalbasis in H2π
s/2 e
(1+|ν|2 )
ν∈Z
s → H s ist orthogonaler Projektor.
(2) Sn : H2π
2π
H15: (1+2+4 Punkte)
Es sei f ∈ L2π definiert durch
(
f (x) =
π−x
2 ,
falls x ∈ (0, 2π)
falls x = 0.
0,
Ferner sei für n ∈ N und x ∈ [0, 2π)
rn (x) := Sn (f ) (x) − f (x) =
n
X
sin (νx)
ν=1
ν
−
π−x
.
2
(i) Zeigen Sie mithilfe von 1.3.3
rn0 (x) =
sin ((2n + 1) x/2)
2 sin (x/2)
(x ∈ (0, 2π))
und folgern Sie daraus
x
rn (x) = −π/2 +
sin ((2n + 1) t/2)
dt
2 sin (t/2)
(x ∈ [0, 2π))
0
(ii) Es sei nun (xn )n∈N mit xn =
2π
2n+1 .
Zeigen Sie, dass
π
lim rn (xn ) =
n→∞
sin (t)
dt − π/2 > 0.
t
0
(Substituieren Sie geschickt und nutzen Sie ohne Beweis
sin (x)
sin (x) −
→0
(α → ∞) .
sup x
x x∈[0,π] α sin ( /α)
Berechnen Sie
π
0
sin(t)
t dt
numerisch, um die Ungleichung zu zeigen.)
(iii) Es sei S die Menge aller f ∈ L2π , die in einer Umgebung der 0 als Differenz monotoner
Funktionen darstellbar, stetig in U \ {0} und mit f (0+ ) − f (0− ) 6= 0 sind. Unter dem
Gibbsschen Phänomen versteht man Folgendes: Es gibt eine Nullfolge (xn )n∈N positiver
Zahlen und ein α > 1 mit
lim (Sn (f ) (xn ) − Sn (f ) (−xn )) = α · f 0+ − f 0− .
n→∞
Beweisen Sie: Tritt das Gibbssche Phänomen für eine Funktion f ∈ S auf, so auch für alle
anderen. (Betrachten Sie für f ∈ S, für welches das Gibbssche Phänomen auftritt, und
g (0+ )−g (0− )
ein beliebiges g ∈ S die Hilfsfunktion: F (x) = g (x) − f (0+ )−f (0− ) f (x) . Zeigen Sie unter
geeigneter Verwendung des Satzes von Dirichlet-Jordan, dass das Gibbssche Phänomen
für g auch auftritt.)
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