dominik bacher Algebra-1 zahlenbereiche ZB Zahlenbereiche: ZB1

dominik bacher
Algebra-1
zahlenbereiche
ZB Zahlenbereiche:
ZB1 Natürliche Zahlen:
Wir bezeichnen mit N die Menge der sogenannten natürlichen Zahlen ℕ={1,2 ,3 , ... }
Auf N betrachten wir die üblichen Addition und mUMultiplikation
Satz ZB 1.1 Addition und Multiplikation auf N sind kommutativ und assoziativ, dh
ab=ba
a∗b=b∗a
abc=abc
a∗b∗c=a∗b∗c 
für alle a , b , c ∈ℕ
und es gilt das folgende Distributivgesetz.
a∗bc=a∗ba∗c für alle a , b , c∈ N.
Axiom ZB 1.1(Induktionsprizip)
Es sei E eine eigenschaft. Es gelte
(1) Die Zahl 1 erfüllt die eigenschaft E (Induktionsanfang)
(2) Wenn eine beliebige Zal n ∈ℕ die Eigenschaft E erfüllt, (Induktionsschritt)
dann erfüllt auch die Zahl n+1 die eigenschaft E.
dann gilt die Eigenschaft e für alle n ∈ℕ .
Bsp. ZB1.1 Es gilt für alle n ∈ℕ: n! ≤n n
Beweis durch Induktion:
Induktionsanfang: 1! =1,11=, 1 !≤11
Induktionsschritt: Induktionsvorraussetzung: n !≤nn Zu Zeigen n1 !≤ n1 n1
Es gilt: n1 !=n !∗n1≤nn∗n1≤n1n n1=n1n1
Bemerkung ZB1.1 Die Gleichnung
xa=b ist in ℕ für feste Werte a , b∈ℕ nicht lösbar.
ZB2 Ganze Zahlen:
Wir bezeichnen mit ℤ die Menge der sogenannten ganzen Zahlen, also
ℤ={...−3,−2,−1, 0,1, 2, 3... }
und betrachten auf ℤ die übliche addition und Multiplikation.
Satz ZB 2.1 Addition und Multiplikation auf ℤ sind Fortsetzungen der addition und Multiplikation
auf ℕ d.h. für die ergebnisse ab und a∗b ist es unerheblich ob wir a und b als Elemente
von ℕ oder von ℤ ansehen.
Satz ZB 2.2 Add. und Mult. auf ℤ sind kommutativ und assoziativ und es gilt das folg.
Distributivgesetz.
a∗bc=abac für alle a , b , c ∈ ℤ .
Satz ZB 2.3 ( ℤ ,+) ist eine Gruppe, d.h. es gelten die folgenden Gesetze
(N) Existenz des neutralen elements: Es gibt eine ganze Zahl
a 0 ∈set Z  nämlicha 0=0 mit der eigenschaft aa =a
0
für alle a ∈ ℤ .
(I) Existenz des inversen elementsFür jedes a ∈ ℤ gibt es ein b ∈ℤ mit ab=0 .
Wir bezeichnen dieses b als inverses elementvon a, schreiben dafür auch -a und schreiben für
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c−a auch kurz (A) Assoziativität: für alle a , b ,c ∈ℤ gilt abc=abc
Bemerkung ZB 2.1 Da die Add auf ℤ kommutativ ist, nennt man ℤ auch ein kommutative
Gruppe.
Bemerkung ZB 2.2 IN ℤ ist jede Gleichung der Form xa=b mit a , b∈ ℤ eindeutig lösbar.
die Lösung lautet x=b−a
Bemerkung ZB 2.3 In ℤ ist nicht jede gleichung der Form
ax=b mit a , b∈ ℤ lösbar. Z.B. ist die Gleichung 2x=3∈ ℤ nicht lösbar.
ZB 3 Rationale Zahlenbereiche
Def ZB 3.1 Unter einer raionalen Zahl versteht man eine Zahl, die dargestellt wird durch einen
a
ausdruck (auch Bruch genannt) der Form
, wobei a ∈ℤ und bei b ∈ℤ ∖ {0 } .
b
a1
a2
Zwei Brüche
und
stellen dieselbe rationale Zahl dar, falls gilt a1⋅b2=a2⋅b1 .
b1
b2
Die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet man mit ℚ .
a
Der Einfachheit halber sprechen wir in Zukunft auch in von einer rationalen Zahl r = (obwohl ja
b
a
formel
die rationale Zahl nur darstellt).
b
a
Identifiziert man jede Zahl a ∈ ℤ mit der rationalen Zahl
, so erhält man, daß ℤ ∈ℚ .
1
Auf ℚ führen wir folgende Addition ein: Seien r 1, r 2 ∈ ℚ ,
a1 a2
a b a b
a
a
 := 1 2 2 1
r 1= 1 r 2= 2 a1, a 2 $ elemnt ℤ , b1, b 2 ∈ℤ∖ {0 } Dann legen wir fest.
b1,
b2,
b1 b2
b1 b2
ℚ
Außerdem führen wir auf
eine Multiplikation ein:
a1 a2
Seien r 1, r 2 wie oben. Dann legen wir fest. r 1⋅r 2 :=
b1 b2
Satz ZB 3.1 Add. und Mult. in ℚ sind Fortsetzungen der add. und Mult. auf ℤ und sind
kommutativ und assoziativ und es gilt in ℚ das Distributivgesetz:
s r 1r 2 =sr 1sr 2 für alle s , r 1, r 2 ∈ℚ .
Satz ZB 3.2 ℚ∖ {0 },⋅ ist eine Gruppe.
1 a 1 a⋅1 a 1
a⋅ = ⋅ =
= = =1
a 1 a 1⋅a a 1
1
) sodaß a⋅b=1 . Man
a
1
1 c 1 c
bezeichnet die Multiplikation mit b= auch als Division durch a. c : a:=c⋅ = ⋅ =
a
a a a a
Insbesondere gibt es für jedes a ∈ℤein b∈ℚ (nämlich b :=
Bem ZB 3.1 In ℚ ist eine Gleichung der Form ax=b mit a , b∈ ℚ genau dann lösbar, wenn
nicht a=0 und b≠0 .
Zatz ZB 3.3 In ℚ ist nicht jede Gleichtung der Form
Gleichung x 2=2 in ℚ nicht lösbar.
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x 2=a mit a ∈ℚ lösbar. Z.B. ist die
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a
habe die eigenschaft x 2=2 . Wir können die
b
Dastellung solange mit 2 kürzen, bis nicht beide Zahlen a und b duch 2 teilbar sind. Wir haben also
a a a2
a 2
⋅ = =2 , also a 2=2b 2 . Also ist a=2⋅a mit einem a ∈ℤ .
  =2 Also
b b b2
b
Also 2 a 2=2 b2 , d.h. 4⋅a2=2b 2 , also 2 a2=b 2 . D. h. b ist ebenfalls (wie a) durch 2 teilbar:
Widerspruch !
ZB4 Reelle Zahlen
Def. ZB 4.1 Unter einer reellen Zahl versteht man eine Zahl, die dargestellt wird durch eine
beschränkte, monoton wachsende Folge a nn ∈ℕ in ℚ . Zwei Folgen a nn∈ℕ und bn n∈ℕ
stellen dieselbe reelle Zahl dar, fals die Folge c n :=a n−b n der differenzen eine Nullfolg ist. Die
Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit ℝ . Identifiziert man jede rationale Zahl r mit
derjenigen reellen Zahl die dargestellt wir durch die konstante Folge r n∈ℕ so erhölt mann, daß
ℚ∈ℝ .
Beweis durch Widerspruch: angenommen x=
Auf ℝ führen wir eine Addition und eine Multiplikation wie folgt ein:
Seien a := an  n∈ℕ und b :=b n n∈ℕ , a⋅b :=a n⋅b nn ∈ℕ
Satz ZB 4.1: Add. & Multipl. auf ℝ sind kommutativ, assoziativ und distributiv.
Satz ZB 4.2: ℝ , und ℝ∖ {0 } bilden jeweils eine Gruppe.
Satz ZB 4.3: In ℝ ist jede Gleichung der Form x 2=a , a∈ℝ , a≥0 lösbar.
Bsp ZB 4.1: (Wurzel aus 2)
Konstruktion durch Induktion
a1 :=max {n∈ℕ∣n2≤2 }=1
für alle n∈ℕ:
n n1 :=max {b∈{0,1,2 ,3 ,... ,4}∣ an
a n1 :=a n
b n1 
b 2
 ≤2 }
10n
10 n
¿
n=1:
2
b 2=max {b∈{0,...9}∣1
a 2=1
n=2:
4
=1.4
10
2
b
4
 ≤2 }=4, denn1  =10,80,16=1.96
10
10
b3=1, a3=1,41 => Konstruktion von
2
Def ZB 4.2: Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine sojektive
Abb. f: ℕ -> M gibt. eine Abb. f:X -> > heißt subjektiv, falls jür jedes
existiert, sodaß f  x = y
Bsp:
f 1 : ℤ ℤ
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y∈Y ein x ∈X
f
x
y
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ist subjektiv, denn für jedes b∈ ℤ existiert ein a∈ ℤ mit a5=b nämlich a :=b−5 .
f 2 : ℤ ℤ
ist nicht subjektiv. Zz:B existiert kein a∈ ℤ mit 5∗a=1 .
Bem: 4.1:
a) ℕ ist abzählbar
| 1 2 3 4 5 6 --- f ---> | 1 2 3 4 5
|-|-|-|-|-|-|-|-|--|-|-|-|-|-|-|------------ℕ ist abzählbar mithilfe der Identität id:a->a
b) Jede endliche Menge ist abzählbar
Satz ZB 4.4: ℚ ist abzählbar
Bild für Satz ZB 4.4
Satz ZB 4.5: ℝ ist nicht abzählbar (überabzählbar)
Beweis: Nehmen wir an wir hätten eine Abzählung f: ℕ -> ℝ gefunden:
x 1 := f 1=141. 45789.....
x 2 := f 2=2.7 0 200....
x 3 := f 3=3.00 1 23....
x 4 := f 4=2837.1121 4...
Konstruiere x ∈ℝ , das nicht in dieser Abzählung vorkommt, in dem man als n-te Ziffer der
Dezimalbruchentwicklung von x eine Ziffer wählt, die ungleich der n-ten Ziffer der
Deszimalbruchentwicklung von f n ist.
x :=0.0100....
Diese zahl x kommt in der Abzählung nicht vor, da x≠ f  x  für alle n∈ N .
Bem. ZB 4.2:
In ℝ hat die Gleichung
x 21=0 keine Lösung, da
x 2≥0 für alle
x ∈ℝ
ZB 5: Komplexe Zahlen
Def. ZB 5.1: uner einer komplexen Zahl versteht man eine Zahl, die dargestellt wird durch einen
Ausruck der Form x jy , wobei x , y∈ℝ . Diese Darstellung nennt man auch die Normalform
einer komplexen Zahl. x nennt man auch den Realteil der komplexen Zahl. y nennt man den
Imaginärteil der komplexen Zahl und j nennt man die imaginäre Einheit.
Die Menge der komplexenZahlen bezeichnen wir mit ℂ .
Identifiziert man jede reelle Zahl x ∈ℝ mit der komplexen Zahl x j0 , o erhält man ℝ⊂ℂ
Auf ℂ führen wir folgende Addition und Multiplikation ein:
Seien z 1= x1 jy 1 , z 2= x 2 jy 2 komplexe Zahlen, x 1, x 2, y1, y 2∈ℝ , dann setzen wir
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z 1z 2 := x1 x 2 j y 1 y 2
d.h.: Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2),
Im(z1+z2)=Im(z1)+Im(z2)
z 1⋅z 2 = x1 x 2− y 1 y 2  j x1 y 2 y1 x 2 
d.h.:
Re(z1 z2) = Re(z1) Re(z2) – Im(z1) im(z2),
Im(z1 z2) = Re(z1) Im(z2) + Im(z1) Re(z2),
Bem ZB 5.1:
j 2=−1
1, 2
j=0 j j =0 j⋅1⋅ o j⋅1=−1 j 0⋅11⋅0=−1
Satz ZB 5.1:
Add. & Multipl. auf ℂ sind Fortsetzungen derAdd. & Multipl. auf ℝ , sind kommutativ,
assoziativ und distributiv, d.h. für allw w , z 1, z 2 ∈ℂ gilt. w⋅ z 1z 2 =w⋅z 1−w⋅z 2
Beweis: Forsetungseigenschaft der Multiplikation:
Seien x 1, x 2∈ℝ . In ℝ lautet das Produkt x 1⋅x 2 Jetzt betrachten wir x 1 und x 2 als
komplexe Zahlen z 1, z 2, d.h. z 1= x1 j0 , z 2= x 2 j0 . In ℂ lautet das Produkt von z 1 und
z2 :
z 1⋅z 2 = x1 j0⋅ x 2 j0= x1⋅x 2−0⋅0 y  x 1⋅00⋅x 2= x1⋅x 2 j0.
Das folgende Diargramm:
Bild Satz ZB 5.1
ist kommutativ.
a ° M ℝ = M ℂ ° a×a
Satz ZB 5.2: ℂ ,  ist eine Gruppe mit neutralem Element 0. außerdem ist ℂ∖ {0 } ,⋅ ebenfalls
eine Gruppe.
Beweis: 1) ℂ ,  Gruppe
1.1)
Neutrales element: Sei z= x jy ∈ℂ xy ∈ℝ
z0= x jy0 j0 = x0 j y0= x jy=z
Inverses Element: Sei z= x jy ∈ℂ , x , y∈ℝ .
Definiere w :=−x j⋅− y
zw= x jy −x j⋅−y = x−x j  y− y=0 j0=0
Assioziativität: Seien z 1, z 2, z 3 ∈ℂ , z 1= x1 jy 1 , z 2= x 2 jy 2 , z 2= x 2 jy 3 ,
x 1, x 2, x 3, y 1, y 2, y 3 ∈ℝ Zu zZeigen ist.  z 1z 2 z 3= z 1 z 2z 3 
 z 1z 2 z 3= x 1 jy 1  x 2  jy 2  x 3 jy 3=
= x 1 x2  j y 1 y 2 x3 jy 3= x 1x 2 x 3 j y 1 y 2  y 3
= x 1 x2 x 3 j  y1 y 2 y 3
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2) ℂ∖ {0 } ,⋅
2.1)
Neutrales Element: 1=1+j0
z= x jy . z⋅1= x jy⋅1 j0= x⋅1 – y⋅0 j x0 y1=x jy= z
2.2)
Inverses element Sei z ∈ℂ z ≠0 , z= x jy , x , y∈ℝ . Gesucht w∈ℂ mit
w⋅z=1
w⋅z=1 , d.h.
1
1
x− jy
x− jy
x− jy
x
y
w= =
=
= 2 2
= 2 2= 2
−j 2
2
2
z x jy  x jy x− jy   x  y  j xy− yx x  y x  y
x y
−y
x
−y
w⋅z= 2 2  j 2 2 ⋅ x jy =
2
2 .
x y
x y
x y
x
−y
x
−y
x 2 y 2 j⋅xy− yx
= 2
⋅x− 2 2⋅y  j  2
⋅y 2 2⋅x = 2 2  2
=1 j0=1
2
2
2
x y
x y
x y
x y
x y
x y
2
2
Probe: w :=x ove x  y j
ZB 5.1: Polarkoordinaten
Erinnerung ZB 5.1.1:
sin −π π
:
, ℝ
cos 2 2
−π π
, 
heißt die Umkehrfunktion arctan : ℝ 
2 2
−π π
, 
Es gilt als: arctan  tanφ=φ für alle φ∈
2 2
Für den Tangens tan :=
Satz ZB 5.1.1: Veranschaulicht man eine komplexe Zahl z ∈ℂ , z= x jy , x , y∈ℝ als
Punkt in der Ebene mit Korordinaten  x , y , so gilt für den abstand r des Punktes  x , y vom
Ursprung 0,0 . r = x 2 y 2 .
Bild Satz ZB 5.1.1
Man nent diesen abstand r auch den Betrag der komplexen Zahl z
Des weiteren gilt für den Winkel φ zwischen der reelen achse und der Verbindungsgerade zwischen z
und dem Ursprung:
y
y
x
y
Falls x0 , dann φ=arctan   . (Begründung: sin φ=
, cos φ= , tan φ=
, und
x
r
r
x
−π π
, 
x0 => φ∈
2 2
=> tan φ=
Falls x=0
sin φ y / r y
y
=
=
=> φ=arctan  
cos φ x / r x
x
und
Falls x=0 und
y=0 , dann ist φ nicht def.
π
y0 , dann ist φ=
2
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Falls x=0
und
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y0 , dann ist
φ=
zahlenbereiche
−π
2
y
y≥0 , dann ist φ=arctan  π
x
y
Falls x0 und y0 , dann ist φ=arctan  −π
x
Bemerke: Durch diese Definition von φ ist erzwungen, dass φ∈−π , π ]
Falls x0 und
Mann nennt das Paar (r, φ) die Polarkoordinaten der komplexen Zahl z.
Es gillt: z=r cos φ jr sin φ
Trick ZB 5.1.1:
φ (Bogenmaß)
0
π
6
π
4
π
3
π
2
φ (Winkelmaß)
00
300
450
600
900
cos φ
1
 4=1
2
1
 3
2
1
 2
2
1
1
1=

2
2
1
 0=0
2
sin φ
1
 0=0
2
1
1
 1= 2
2
1
 2
2
1
 3
2
1
 4=1
2
tan φ
0
1
1
=  3
3 3
1
3
/
ZB 5.2 Polarkoordinaten und Multiplikation:
Erinnerung ZB 5.2.1: Für die Winkelfunktionen Sinus & Kosinus gelten die folgenden Identitäten.
sin =sin ⋅cos cos ⋅sin 
cos =cos ⋅cos −sin ⋅sin 
Satz ZB 5.2.1 Es seien z 1, z 2 ∈ℂ mit Polarkoordinaten  r 1, 1  bzw  r 2,  2  . dann sind die
Polarkoordinaten von Produkt z 1 cdot z 2 gegeben durch  r 1⋅r 2, 1 2  .
Multiplizieren mit einer komplexen Zal z mit der Polarkoordinaten  r , bedeutet also: Drehen
um den Winkel  und Strecken um den Faktor r.
Beweis:
z 1=r 1⋅cos  1 jr 1 sin  1
z 2=r 2 cos  2 jr 2 sin 2
z 1⋅z 2 =r 1 cos 1⋅r 2 cos  2 – r 1 sin  1⋅r 2 sin  2
 jr 1 cos  1⋅r 2 sind 2 r 2 cos  2⋅r 1 sin 1 
=r 1⋅r 2 cos 1⋅cos  2−sin  1 sin  2
 j r 1⋅r 2 cost 1 sind 2cos  2 sind 1 
=r 1⋅r 2 cos 1 2  j r 1⋅r 2 sin 12 
ZB 5.3. Komplekonjugation
Def ZB 5.3.1 Sei z= y jy die Normalform einer komplexen Zahl z
Dann bezeichen wir mittwoch
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z := x− jy
die sogenannte komplex konjugierte Zahl z.
Bem. ZB. 5.3.1
Komplexkonjugation bedeutet Spiegelung an der reellen achse.
z ∈ℝ gilt:
Satz. ZB. 5.3.1 Für jede komplexe Zahl
z⋅z∈ℝ und  z⋅z =∣z∣
Beweis: Sei z= x jy die Normalform von z.
Dann z cdot bar z= x jy  x− jy= x⋅x –  y⋅−y  j x⋅−y  y⋅x = x 2 y 2
∣z∣= x 2 y 2
ZB 5.4 Die imaginäre Einheit j
Def. ZB 5.4.1 Man schreibt für k , m, n∈ℤ
m=nmod k  ,
falls es ein l∈ℤ gibt, sodass
m=nl⋅k
Bsp. ZB 5.4.1: Frage 5=9 mod 4 ?
Gibt es ein l∈ ℤ so dass 5=9l⋅4 ? Antwort ja nämlich l=−1
Satz ZB 5.4.1 Es gilt für alle n∈ℕ :
{
1
j n= j
−1
−j
falls n=0 mod 4
falls n=1 mod 4
falls n=2 mod 4
falls n=3 mod 4
}
j 0=1, j 1= j , j 2=−1, j 3= j 2⋅j=−1⋅j=− j
j 4= j 2⋅j 2=−1−1=1
Bsp:
j 433= j 432⋅ j= j , weil 433=1 mod 4
ZB 5.5: Potenzieren komplexer Zahlenbereiche:
Satz ZB 5.5.1: Sei z in setC mit Polarkoordinaten  r , .
Dann gilt für alle n∈ℕ :
z n hat die Polarkoordinaten  r n , n⋅
Bsp. ZB 5.5.1:
Sei z=1 j  3 , z hat die Polarkoordinaten  2,
8 von 13

 .
3
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Es folgt
Algebra-1
¿3
z 13 hat die Polarkoordinaten  2 m
zahlenbereiche
13⋅
13 
 , d.h.  2 , 
3
3
13
13
13 1
12
12
also z =2  j2 ⋅  3=2  j2  3 .
2
ZB 5.6 n-te Wurzel in ℂ :
Def ZB 5.6.1 Unter einer n-ten Wurzel einer komplexen Zahl
komplexe Zahl w=w n=z Man schreibt dann n z=w .
z ∈ℂ n∈ℕ , versteht man eine
Satz ZB 5.6.1 Sei n in setN. Dann gibt es in ℂ n verschiedene n-te Wurzeln
w k , k=0,... , n−1, von1, nämlich
k
k
w k =cos 2 j sin  2 
n
n
Bemerkung: ∣wk∣=1, für alle k =0,... , n−1
k
Wenn  k den Winkel von w k bezeichnet, so gilt  k = 2 
n
Bsp ZB 5.6.1:
n=1: 1 1= x ⇔ x 1=1⇔ x=1
d.h. 1 1 , gemäß Satz. w 0=cos 0 j⋅sin 0=1
n=2:
2 1=? ,
w 0=cos 0 j⋅sin 0=1
1
1
w 1=cos  2  j⋅sin  2=−1
2
2
n=3:
3 1=? ,
w 0=1
n=4:
4 1=? ,
1
1
1
1
w 1=cos  2  j⋅sin  2=−  j 3
3
3
2
2
2
2
1
1
w 2=cos  2 j⋅ 2 =− − j 3
3
3
2
2
w 0=1
w 1= j
w 2=−1
w 3=− j
Satz ZB 5.6.2 Sei n∈ℕ , z ∈ℂ , z≠0 , z=r cos  j r sin  .
Dann gibt es in ℂ genau n verschiedene n-teWurzeln n z , nämlich
 k
 k
n
n
w k =  r cos   2 j  r sin   2  , k=0,... , n−1
n n
n n
ZB 5.7 Quadratische Ergänzung
Seien p , q∈ℂ . Dann hat die Gleichung x 2 pxq=0 in ℂ folgende Lösungen x 1 , x 2
:
− p  p2
x 1/ 2=
 −q
2 − 4

Beweis:
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dominik bacher
Algebra-1
zahlenbereiche


p 2
p2
p 2 p2
p
p2
1
p2
2
x  pxq= x  1− =0 ⇔ x  = −q ⇔ x =  −q⇔ x 1 /2=−   −q
2
4
2
4
2
4
2− 4
ZB 5.8 Hauptsatz der Algebra
Satz ZB 5.8.1 In ℂ hat jedes Polynom a n x n a n−1 x n−1...a1xa 0
mindestens eine Nullstelle, d.h. die Gleichung
a n x n ...a 0=0
hat mindestens eine Lösung.
(Beachte in ℝ ist das i.A. nicht so!)
ZB 6 Modulorechnung:
Def. Sei n∈ℕ . Unter der restabbildung
ϱn : ℤ ℤn :={0,1 ,2 ,... , n−1 }
versteht man diejenige Abbildung, die jeder Zahl a∈ ℤ ihren Rest bei Division durch n zuordnet.
Bsp ZB 6.1
n=7,ϱ: ℤ ℤ7={0,1,2 ,3,4 ,5 ,6 }
ϱ7 0=0,ϱ7 1=1,...ϱ7 6=6,
ϱ7 7=0,ϱ7 8=1,
ϱ8143=ϱ7 20⋅73=ϱ7 3=3
ϱ7 −7=0, ϱ7 −6=1,ϱ7 −5=2,...
ϱ7 −8=6, weil −8=−2⋅76
Bemerkung ZB 6.1 Formal könnte man ϱn von ℤ ℤ n folgendermaßen definieren:
Für a∈ ℤ gibt es genau eine Zahl ϱn a∈ℤn und ein k ∈ℤ , sodaß
a=k⋅nϱn a  .
ZB 6.1 Addition modulo n:
Def. ZB 6.1.1 Für jedes n∈ℕ definieren wir auf ℤ n auf folgende Weise eine addition:
n: ℤn×ℤn  ℤn
a , bϱn  ab
Bsp ZB 6.1.1 Additionstabelle für ℤ6
6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Satz ZB 6.1.1 Für jedes n∈ℕ ist n kommutativ und assoziativ.
Satz ZB 6.1.2 Für jedes n∈ℕ ist ℤn ,n  eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.
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Algebra-1
zahlenbereiche
Beweis:
(N) für jedes k ∈ℤn gilt
(I) Für jedes k ∈ℤn gilt es ein l∈ ℤn , mit k n l=0 , nämlich l :=n−k
(A) ....
Bsp ZB 6.1.2
Es gilt: 5−7 6=57 x=6 , (weil 5=67 6 )
wobei x 7 6=0
ZB 6.2 Multilikation modulo n
Def ZB 6.2.1 für jedes n∈ℕ definieren wir auf ℤ n auf folgende Weise eine Multiplikation:
⋅n : ℤn×ℤn  Z N
a , bϱn  a⋅b
Bsp ZB 6.2.1 Multiplikationstabelle auf ℤ6
⋅6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Bsp ZB 6.2.2 Multiplikationstabelle für ℤ5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
⋅5
Satz ZB 6.2.1 Für jedes n∈ℕ ist ⋅n kommutativ, assoziativ und es gilt das Distributivgesetz
a⋅n bn c=a⋅n bn a⋅n c 
a
,
b
,c
∈ℤ
für alle
n .
Def ZB 6.2.2 Eine Zahl
b=1 .
p∈ℕ heist Primzahl, wenn gilt a , b∈ℕ ,
p=a⋅b => a=1 oder
Satz ZB 6.2.2 Das Paar ( ℤ n ∖ {0 } , ⋅n ) bildet genau dann eine Gruppe, wenn n eine Primzahl ist.
Beweis (N) es gilt für jedes k ∈ℤn das k⋅n 1=k , also ist die 1 das neutrale Element (der Mult.)
für jedes ℤ n .
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Algebra-1
zahlenbereiche
(I) 1. Fall n keine Primzahl,
d.h. Es gibt a , b∈ℕ , a≠1 , b≠1 , sodaß n=a⋅b , Also a⋅n b=0 .
Angenommen, es existiert ein c ∈Z n mit b⋅n c=1 . Dann gälte: a⋅n b codt n c=a ,
a⋅n b⋅n c=0 , Widersprucht!
(II) 2. Fall n ist Primzahl,
Sei a , b ,c ∈ℤn . Dann gilt c≠0 , a⋅n c=b⋅n c => a=b .
(Beweis a⋅n c=b⋅n c <=>
a⋅n c – b⋅n c=0 <=>
a−n b⋅n c=0 <=>
a−n b⋅c=k⋅n für ein k ∈ℕ <=>
a−b b=0 <=>
a=b )
Also sind für verschiedene a , b∈ℤn auch die Produkte a⋅n c , b⋅n c verschieden, Produkte
der Form x⋅n c , mit x ∈ℤ N . Insbesondere existiert also ein x ∈ℤn mit x⋅n c=1 .
(A) Gilt für alle n∈ ℤn ...
Bsp ZB 6.2.3
3 :5 2=3⋅53=4 -> weil 2⋅5 3=1 , also das mult. Inverse der 2 ist die 3 (in 25 )
ZB 7 Körper
Def ZB 7.1 Unter einem Körper ( M ,,⋅ ) versteht man eine Menge M mit zwei Verknüpfungen
: M ×M  M
⋅: M ×M  M
mit den folgenden Eigenschaften:
(1) (M,+) bildet kommutative gruppe („Man kann subtrahieren“)
(2) ( M ∖ {0 } ,⋅ ) bildet kommutative Gruppe („Mankann dividieren“)
(3) Es gilt das Distributitivgesetz
m⋅m 1m2=m⋅m 1m⋅m2
für alle m , m1, m2∈M . („Man kann ausklammern“)
Satz ZB 7.1 Di efolgenden Zahlenbereiche sind Körper:
1) ( ℚ ,,⋅ )
2) ( ℝ ,,⋅ )
3) ( ℂ ,,⋅ )
4) ( ℤ p ,p ,⋅p ) genau dann, wenn p Primzahl
ZB 7.1 Lineare Gleichungsysteme über beliebigen Körper
Def ZB 7.1.1 Es sei K ein Körper. ein System aus mehreren linearen gleichungen der Form
a11 X 1...a1n X n= y 1
a m1 X 1...amn X n= y m
a
∈k
,
i=1,...
,
m
,
j=1,
y
;∈k
,
i=1,
... , m
mit
ij
und man lineares Gleichungsystem überk mit den Unbekannten X 1, ... , X n
Satz ZB 7.1.1 sei G ein lineares Gleichungsystem üben den Körper k. Dann bringt der
Faußalgorithmus (1. Teil), gemäß Alg. LG 2.8.1, G in Zeilenstufenform G' derart, daß alle
Pivotelemente gleich 1 sind. derGaußalgorithmus (2.Teil), gemäß Alg LG 2.10.1 bringt G' in
bereinigte Zeilenstufenform G'' 1und die Lösungsmenge von G läßt sich gemäß Satz LG 2.10.2 aus
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dominik bacher
Algebra-1
zahlenbereiche
G'' bestimmen.
Bsp ZB 7.1.1 Betrachte das folgende lin. GlÄ system über ℤ5 :
2x 13x 24x3=4
x 1x 23x3=3
Matrixdarstellung:
{10
0 0 0
1 3 3
{21
3 4 4
1 3 3
} Freie Indizes
{[ ] [ ] [ ]
} {11
4 2 2
1 3 3
4 2 2
2 1 1
} {10
4 2 2
1 3 3
j 1 = Gebundene Indizes i 1=1, i 2=2 L=
x 0
0
L= y ∣ 3  3 , wobei labda∈ℤ5 beliebig
z 0
4
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} {10
}
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}