AKDIS Weiterführende Kapitel aus Diskreter Mathematik

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§3. Quadratische Reste
Wir beginnen mit der für das folgende grundlegenden
Def. 3.1: Für jede ungerade Primzahl p und jede nicht durch p teilbare ganze Zahl a
ist das Legendresymbol (a/p) definiert durch
⎧ +1, wenn x 2 ≡ a mod p lösbar ist
( a / p) = ⎨
2
⎩−1, wenn x ≡ a mod p unlösbar ist
Im ersten Fall sagt man auch, “a ist quadratischer Rest mod p”, im zweiten “a ist
quadratischer Nichtrest mod p.” Ferner sei (a/p)=0, falls p | a.
Im folgenden Satz sind einige wichtige Eigenschaften des Legendresymbols
zusammengefaßt, welche fast unmittelbar aus dessen Definition, sowie der Existenz
einer Primitivwurzel mod p folgen.
Satz 3.2: Seien p ∈ P\{2} und a,b ∈ Z beliebig. Dann gilt:
(1) a ≡ b mod p ⇒ (a/p) = (b/p).
(2) Ist g eine Primitivwurzel mod p, so sind genau die Zahlen g 2 , g 4 ,..., g p −1 die mod
p inkongruenten quadr. Reste und die Zahlen g, g 3 ,..., g p −2 die mod p inkongruenten
quadr. Nichtreste. Insbesondere gibt es gleich viele quadr. Reste wie quadr.
Nichtreste, nämlich je (p-1)/2.
(3) (a/p) ≡ a ( p −1)/ 2 mod p (Eulersches Kriterium).
(4) (ab/p) = (a/p)(b/p). (Insbesondere ist also ( a 2 b/p)=(b/p).)
Die Richtigkeit des folgenden Satzes wurde bereits von Euler vermutet, aber der erste
korrekte Beweis stammt von Gauß.
Satz 3.3: (Quadratisches Reziprozitätsgesetz) Für verschiedene ungerade Primzahlen
p und q gilt:
( p / q )(q / p) = ( −1) ( p −1)/ 2 ⋅ (q-1)/2 .
Insbesondere gilt (p/q) = (q/p) genau dann, wenn p ≡ 1 mod 4 oder q ≡ 1 mod 4, und
(p/q) = −(q/p) genau dann, wenn p ≡ q ≡ 3 mod 4.
Für die praktische Anwendung benötigt man oft noch
Satz 3.4: (1.Ergänzungssatz) Für jede ungerade Primzahl p gilt
( −1 / p) = ( −1) ( p −1)/ 2 .
Es ist also -1 genau dann quadr. Rest mod p, wenn p ≡ 1 mod 4, und quadr. Nichtrest
mod p, wenn p ≡ 3 mod 4 ist.
Satz 3.5: (2.Ergänzungssatz) Für jede ungerade Primzahl p gilt
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(2 / p) = ( −1) ( p
2
−1)/ 8
.
Es ist also 2 genau dann quadr. Rest mod p, wenn p ≡ ±1 mod 8, und quadr. Nichtrest
mod p, wenn p ≡ ±3 mod 8 ist.
Bem. 3.6: Die vorstehenden Sätze können insbesondere dazu verwendet werden, um
Legendresymbole (a/p) auf einfache Weise zu berechnen, wie wir an an
nachfolgendem Beispiel zeigen wollen:
(69/97) = (3⋅23/97) = (3/97)(23/97) (wegen 3.2(4))
= (97/3)(97/23) (wegen 3.3)
= (1/3)(5/23) (wegen 3.2(1))
= (5/23) (da 1 trivialerweise quadr. Rest mod 3 ist9
= (23/5) (wegen 3.3)
= (3/5) (wieder wegen 3.2(1))
= (5/3) (wieder wegen 3.3)
= (2/3) (wieder wegen 3.2(1))
= -1 (wegen 3.5)
Sehr wichtig für unsere Zwecke ist auch die nachstehende Verallgemeinerung von
Legendresymbolen:
Def. 3.7: Sei b ∈ N* ungerade mit einer Darstellung b = p 1 p 2 ... p r (r ≥ 0) als
Produkt (nicht notwendig verschiedener) Primzahlen. Für jedes a ∈ Z ist dann das
Jacobisymbol (a/b) erklärt durch
(a / b) = (a / p 1 )(a / p 2 )...(a / p r ) ,
wobei die (a / p i ) , i= 1,2,...,r, Legendresymbole sind. Insbesondere ist also (a/1)=1,
sowie (a/b) = 0 genau dann, wenn (a,b) ≠ 1.
Bem. 3.8: Man beachte, daß (a/b) = 1 im Fall (a,b)=1 nun nur mehr notwendig, aber
nicht mehr hinreichend für die Lösbarkeit von x 2 ≡ a mod b ist, wie man etwa für a=2
und b=15 sieht.
Es stellt sich nun die Frage, welche der vorstehende Sätze auch noch allgemeiner für
Jacobisymbole gelten. Diese wird beantwortet durch
Satz 3.9: Seien a , a 1 , a 2 ∈Z und b, b 1 , b 2 ∈N * beliebig. Dann gilt:
(1) a 1 ≡ a 2 mod b ⇒ (a 1 / b) = (a 2 / b) .
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(2) (a 1a 2 / b) = (a 1 / b)(a 2 / b) .
(3) (a / b 1 b 2 ) = (a / b 1 )(a / b 2 ) .
(4) (a / b)( b / a ) = ( −1) ( a −1)/ 2⋅( b −1)/ 2 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz)
(5) ( −1 / b) = ( −1) ( b −1)/ 2 (1.Ergänzungssatz)
(6) (2 / b) = ( −1) ( b
2
−1)/ 8
(2.Ergänzungssatz).
Bem. 3.10: Indem man obige Rechenregeln für Jacobisymbole verwendet, lassen sich
nun auch Legendresymbole sehr viel einfacher berechnen, z.B.
(69/97) = (97/69) (wegen 3.9(4))
= (28/69) (wegen 3.9(1))
= (4⋅7/69) = (4/69)(7/69) (wegen 3.9(2))
= (7/69) (da 4 trivialerweise quadratischer Rest mod 69 ist)
= (69/7) (wegen 3.9(4))
= (−1/7) (wegen 3.9(1))
= −1
(wegen 3.9(5)).
Im Unterschied zu 3.6 mußten nun insbesondere keine Primfaktorzerlegungen mehr
vorgenommen werden (abgesehen von harmlosen Abspaltungen von Potenzen von 2,
um das Quadratische Reziprozitätsgesetz anwenden zu können!), wodurch die
Berechnung von Jacobisymbolen (a/b) auch für große a,b ganz harmlos (genauer: ein
Polynomialzeitalgorithmus) ist.
Bem. 3.11: Ist (a/p)=1 für eine ungerade Primzahl p, so kann man sich die Frage
stellen, wie man die Lösungen von x 2 ≡ a mod p dann tatsächlich berechnen kann.
Für p ≡ 3 mod 4 ist sie ganz leicht zu beantworten. Nach dem Eulerschen Kriterium
3.2(3) gilt nämlich
a ( p −1)/ 2 ≡ (a / p) = 1 mod p
und damit weiter
(a
)
( p +1)/ 4 2
= a ( p +1)/ 2 = a ( p −1)/ 2 a ≡ a mod p,
was beweist, daß ± a ( p +1)/ 4 die beiden Wurzeln aus a mod p sind. Mit dem etwas
komplizierteren Fall p≡ 1 mod 4 werden wir uns später auseinandersetzen.