3.7 D: Teilbarkeitslehre in Polynomringen

LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
3.7
c Rudolf Scharlau
257
D: Teilbarkeitslehre in Polynomringen
In diesem Abschnitt verstehen wir (wie im vorigen) unter einem Ring immer
einen kommutativen Ring mit Einselement. Wir interessieren uns vor allem für
Polynomringe und setzen hierzu die Untersuchungen des vorigen Abschnittes fort.
Wir beschäftigen uns jetzt mit der Zerlegung von Polynomen in irreduzible Polynome, eine Frage, die völlig analog zur bereits behandelten Primfaktorzerlegung
ganzer Zahlen ist. Bevor wir dieses durchführen, verallgemeinern wir den Rahmen
unserer Überlegung noch ein wenig.
Definition 3.7.1 Ein euklidischer Ring ist ein nullteilerfreier Ring R, der eine
Funktion γ : R r {0} → N0 , genannt “Gradfunktion”, besitzt, so daß gilt:
(Division mit Rest) Zu a, b ∈ R, b 6= 0 gibt es q, r ∈ R mit a = qb + r und
γ(r) < γ(b) oder r = 0.
Beispiele 3.7.2
1. Der Ring Z der ganzen Zahlen wird durch die Funktion
x 7→ |x| zu einem euklidischen Ring.
2. Jeder Polynomring K[X] über einem Körper K ist mit der üblichen Gradfunktion für Polynome ein euklidischer Ring (siehe 3.6.11 und 3.6.8).
3. Der Ring Z[i] := {z = x + yi | x, y ∈ Z} ⊂ C der sogenannten ganzen
Gaußschen Zahlen ist mit der Funktion z 7→ x2 + y 2 = |z|2 ein euklidischer
Ring.
Das dritte Beispiel (und damit verwandte Ringe) behandelt man in der Algebra
oder Zahlentheorie.
Wie bei Polynomen setzt man auch in allgemeinen euklidischen Ringen γ(0) =
−∞, was einige Ausnahmen in den Formulierungen vermeidet.
Hier noch ein grundlegender Begriff aus der allgemeinen Ringtheorie:
Definition 3.7.3 Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt ein Ideal, falls folgendes
gilt:
(I 0) 0 ∈ I
(I 1) a, b ∈ I =⇒ a + b ∈ I,
(I 2) r ∈ R, a ∈ I =⇒ r · a ∈ I.
Ein Ideal in (R, +, ·) ist insbesondere eine Untergruppe der Gruppe (R, +), denn
das additive Inverse (Negative) zu a erhält man mit Hilfe des Ringelementes −1
als (−1) · a aus der Eigenschaft (I2).
Wir notieren zunächst denjenigen allgemeinen Satz, der die Motivation des Idealbegriffs liefert.
c Rudolf Scharlau
258 LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
Satz 3.7.4 Der Kern
Kern ϕ = {x ∈ R | ϕ(x) = 0} ⊆ R
eines Ringhomomorphismus ϕ : R → S ist ein Ideal.
Beweis: zu (I0): Wie bei linearen Abbildungen (siehe 2.4.11) zeigt man ϕ(0R ) =
0S , d.h. 0 = 0R ∈ Kern ϕ. (Hier wird wie im Fall der linearen Abbildungen
nur benutzt daß ein Ringhomomorphismus bzw. eine lineare Abbildung auch ein
Homomorphismus der unterliegenden additiven Gruppen ist.)
zu (I1): Wenn a, b ∈ Kern ϕ sind, so ist ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) = 0 + 0 = 0,
also a + b ∈ Kern ϕ.
zu (I2): Wenn r ∈ R, a ∈ Kern ϕ ist, so ist ϕ(r · a) = ϕ(r) · ϕ(a) = ϕ(r) · 0 = 0,
also r · a ∈ Kern ϕ. Die gerade verwendete Regel 0 · s = 0 = s · 0 gilt in beliebigen
Ringen und wird wie in Körpern bewiesen.
Bemerkung und Definition 3.7.5
a) In jedem Ring R ist die Vielfachenmenge
aR = Ra := {xa | x ∈ R}
eines beliebigen Elementes a ∈ R ein Ideal. Ein solches Ideal heißt auch
Hauptideal. Das Element a heißt Erzeuger des Ideals Ra.
b) Ein Hauptidealring ist ein nullteilerfreier Ring R, in dem jedes Ideal I ein
Hauptideal ist,
Der folgende Satz liefert eine Standardmethode um zu zeigen, daß ein gegebener
Ring ein Hauptidealring ist.
Satz 3.7.6 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Insbesondere gilt dieses
für Z und den Polynomring K[X] über einem Körper K.
Beweis: Wenn wir zu einem gegebenen Ideal I 6= {0} für c ein Element kleinsten
Grades γ(c) in I wählen, dann ist I = Rc. Denn wenn wir ein beliebiges a ∈ I
durch c mit Rest dividieren, a = qc + r, γ(r) < γ(c) oder r = 0, dann ist auch
r = a − qc ∈ I, nach Konstruktion also r = 0 und somit a ∈ Rc.
Wir kehren nun zu den Überlegungen des vorigen Abschnittes zurück und betrachten wieder Erweiterungen unseres Ringes R. Wir erinnern an den Begriff
des adjungierens eines Elementes und die Bezeichnung R[b] (siehe 3.6.4).
Satz und Definition 3.7.7 (Minimalpolynom)
a) Der Ring S sei eine Erweiterung des Körpers K, es sei b ∈ S. Dann gibt es
ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom mb mit folgender Eigenschaft:
für alle f ∈ K[X] gilt
f (b) = 0
⇐⇒
Dieses Polynom heißt das Minimalpolynom von b.
mb | f.
LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
c Rudolf Scharlau
259
b∗ ) Es ist K[b] ∼
= K[X]/mb K[X]. Insbesondere hat K[b] als K-Vektorraum die
Dimension grad mb , falls mb 6= 0 ist.
Der Ring S muß hier nicht kommutativ sein, vielmehr gilt die im Anschluß an
Satz 3.6.6 formulierte Bemerkung. Das Minimalpolynom ist insbesondere für Endomorphismen und für quadratische Matrizen definiert.
Beweisskizze: Das Minimalpolynom erhält man unter Verwendung der Tatsache, daß K[X] ein Hauptidealring ist, als Erzeuger des Kerns des Einsetzhomomorphismus (siehe 3.6.6). Es ist Null genau dann, wenn die Potenzen von b
linear unabhängig über K sind. Falls S endlich-dimensional ist, kann dieses nicht
vorkommen.
Der Teil b) des letzten Satzes enthält ein bisher noch nicht erklärtes Objekt vom
Typ R/I, wobei R ein Ring und I ein Ideal in R ist. Es handelt sich um den
sogenannten Faktorring, der analog zu Z/mZ gebildet ist. Seine Elemente sind
Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation x − y ∈ I. Der Faktorring
K[X]/mb K[X] ist eine K-Algebra. Dieser Teil des Satzes kann zunächst übergangen werden.
Wir kommen nun zum zweiten Hauptteil dieses Abschnitts, nämlich der Teilbarkeitslehre mit den Begriffen “Größter gemeinsamer Teiler”, “Kleinstes gemeinsames Vielfaches” sowie Primfaktorzerlegung. Die Behandlung dieses Themas für
die ganzen Zahlen im Abschnitt 1.2 war bereits so angelegt, daß sie von den
Konzepten und den Verfahren her leicht auf beliebige euklidische Ringe verallgemeinert werden kann. Im folgenden wird insbesondere der wichtige Fall des
Polynomrings über einem beliebigen Körper mit erfasst.
Die Teilbarkeitsrelation von Elementen eines Ringes kann auf die Inklusionsrelation zwischen den zugehörigen Hauptidealen zurückgeführt werden. Auf dieser
Ebene kann man auch gut die gleichzeitige gegenseitige Teilbarkeit behandeln (die
in den natürlichen Zahlen nicht vorkommt; dort ist Teilbarkeit eine Halbordnung,
also insbesondere antisymmetrisch).
Bemerkung und Definition 3.7.8 (Teilbarkeit und Assoziiertheit)
Seien a, b ∈ R, dabei R ein kommutativer Ring.
a) a | b : ⇐⇒ b ∈ Ra “a teilt b”
b) a | b ⇐⇒ Ra ⊇ Rb
c) a ∼ b : ⇐⇒ a | b | a
“a assoziiert zu b”
d) a ∼ b ⇐⇒ Ra = Rb
e) Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.
f) Sei R nullteilerfrei. Dann gilt:
a ∼ b ⇐⇒ ∃ u ∈ R∗ : ua = b .
260 LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
c Rudolf Scharlau
Beispiel. In Z sind zwei Elemente a und b genau dann assoziiert, wenn a = ±b
ist. Zwei Polynome f und g über K sind zueinander assoziiert genau dann, wenn
g = cf für eine Konstante c ∈ K ∗ . Jede Äquivalenzklasse assoziierter Polynome
enthält genau ein normiertes Polynom X n + an−1 X n−1 + . . ..
Wir kommen nun wie angekündigt zum Begriff des größten gemeinsamen Teilers.
Definition 3.7.9 Es sei R ein nullteilerfreier Ring und a, b ∈ R. Ein Element
g ∈ R heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a und b, falls gilt
(1) g | a und g | b
(2) c ∈ R, c | a und c | b =⇒ c | g
Das Adjektiv “größter” ist hier also in einem spezfischen, auf die Teilbarkeitsrelation2 bezogenen Sinn zu verstehen. “Größter” gemeinsamer Teiler heißt: g ist
gemeinsamer Teiler von a und b, und jeder weitere gemeinsame Teiler c ist Teiler
von g.
Nach 1.2.6 stimmt der eben definierte allgemeine Begriff des ggT für den Ring Z
mit dem üblichen überein.
Ein ggT zweier Elemente muß nicht immer existieren, und wenn er existiert, ist
er in aller Regel nicht eindeutig. Deswegen sollte man auch nicht ohne weiteres
von dem ggT sprechen. Die Frage, in wie weit ein ggT bestimmt ist, und was die
verbleibende Mehrdeutigkeit ist, ist allerdings schnell geklärt.
Bemerkung 3.7.10 Es seien a, b ∈ R und g ein ggT von a und b.
(a) Wenn g ′ ein weiterer ggT von a und b ist, so ist g ′ assoziiert zu g.
(b) Wenn umgekehrt h ein beliebiges zu g assoziiertes Element von R ist, so ist
auch h ein ggT von a und b.
Um in gewissen Ringen (insbesondere euklidischen Ringen) die Existenz von
größten gemeinsamen Teilern zu beweisen, ist das folgende Lemma hilfreich.
Lemma 3.7.11 Es sei R ein nullteilerfreier Ring und a, b, q, r Elemente aus R
mit a = qb + r. Für ein Element g ∈ R gilt dann: g ist ein ggT von a und b genau
dann, wenn g ein ggT von b und r ist.
Beweis: zu “=⇒”: seien die Bedingungen (1) und (2) der Definition 3.7.9 für
g, a, b erfüllt. Wir müssen die entsprechenden Bedingungen (1′ ) und (2′ ) für g, b, r
zeigen. Wegen r = a − qb folgt aus (1), d.h. g | a ∧ g | b offenbar auch g | r,
womit (1′ ) bereits bewiesen ist. Zum Beweis von (2′ ) nehmen wir uns ein c mit
2
und nicht auf eine im allgemeinen ja gar nicht erklärte Ordnungsrelation
LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
c Rudolf Scharlau
261
c | b ∧ c | r her. Wegen a = qb + r folgt auch c | a, d.h. die Voraussetzung von
(1) ist erfüllt, und es folgt c | g, wie gewünscht.
Die umgekehrte Implikation “⇐=” sieht man auf völlig analoge Weise.
Nicht ganz exakt, aber einprägsam können wir die Aussage des letzten Lemmas
auch als
ggT(a, b) = ggT(b, r)
schreiben. Dabei ist zu beachten, daß ggT(...) nicht wirklich eine Funktion auf
R × R ist, denn sie ist im allgemeinen nicht für alle Paare (a, b) definiert, und
wenn doch, ist das Ergebnis nicht eindeutig. Die Gleichung ist so zu verstehen,
daß die rechte Seite existiert genau dann, wenn die linke Seite existiert.
Der folgende Satz zeigt, daß abgesehen von der bereits diskutierten Frage der
Nicht-Eindeutigkeit beim ggT in beliebigen euklidischen Ringen alles so läuft wie
in Z. Der Schlüssel ist und bleibt die Division mit Rest.
Satz 3.7.12 (Euklidischer Algorithmus)
a) In einem euklidischen Ring R existiert für zwei beliebige Elemente a und b
ein größter gemeinsamer Teiler.
b) Für a, b ∈ R, a 6= 0 6= b kann der ggT durch fortgesetzte Division mit Rest
bestimmt werden: Definiere eine endliche Folge a0 , a1 , . . . , am von Elementen in R durch a0 = a, a1 = b
ai−1 = qi ai + ai+1 ,
γ(ai+1 ) < γ(ai ),
solange ai 6= 0 .
Es ist also m = max{i | ai 6= 0}. Dann ist am ein ggT von a und b.
c) Der ggT von a und b kann in der Form xa + yb mit x, y ∈ R dargestellt
werden. Die Koeffizienten x, y kann man mit dem erweiterten euklidischen
Algorithmus wie im Ring Z berechnen.
Wie im Ring Z können wir auch im Polynomring die Nicht-Eindeutigkeit des
ggT’s dadurch eliminieren, daß wir in der Klasse bezüglich Assoziiertheit aller
ggT’s (siehe 3.7.10) gemäß dem Beispiel nach 3.7.8 einen normierten Vertreter
auszeichnen.
Bezeichnung. Für zwei Elemente f, g ∈ K[X] eines Polynomringes über einem
Körper K sei mit ggT(f, g) derjenige ggT bezeichnet, der Null oder ein normiertes
Polynom (höchster Koeffizient 1) ist.
Im Ring Z, unserem Prototyp eines euklidischen Ringes, existieren nicht nur
größte gemeinsame Teiler, sondern es gilt sogar der Satz von der eindeutigen
Primfaktorzerlegung. Auch dieser Satz bleibt bei geeigneter Formulierung in beliebigen euklidischen Ringen richtig, gilt also insbsondere für Polynome. Wir
müssen zunächst das Analogon einer Primzahl in einem beliebigen (euklidischen)
Ring definieren.
262 LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
c Rudolf Scharlau
Definition 3.7.13 Es sei R ein nullteilerfreier Ring, R∗ seine Einheitengruppe.
Ein Element a ∈ R r R∗ heißt irreduzibel, falls gilt
a = xy, x, y ∈ R =⇒ x ∈ R∗ oder y ∈ R∗ .
Die in dieser Definition beschriebene Eigenschaft entspricht der üblichen Definition einer Primzahl: eine Primzahl ist eine (natürliche) Zahl, die außer 1 und
sich selbst keine (positiven) Teiler besitzt. D.h. aus p = xy, x, y ∈ Z folgt
x = ±1, y = ±p oder umgekehrt. Für allgemeine Ringe muß man natürlich
statt ±1 beliebige Einheiten zulassen.
Eine fundamentale Eigenschaft der gewöhnlichen Primzahlen ist die folgende:
wenn eine Primzahl ein Produkt ganzer Zahlen teilt, so teilt sie bereits einen
der Faktoren. Dieser Hilfssatz ist bekanntlich der Schlüssel zur Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Das folgende Lemma stellt fest, daß die
genannte Eigenschaft genauso für irreduzible Elemente in einem beliebigen euklidischen Ring gilt.
Lemma 3.7.14 Es sei R ein euklidischer Ring und p ∈ R r R∗ ein irreduzibles
Element. Dann gilt
p | ab, a, b ∈ R =⇒ p | a oder p | b .
Der Beweis beutzt den ggT und entspricht dem früher gegebenen Beweis des
analogen Resultates 1.2.5 für R = Z (siehe Seite 23).
Der folgende Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung ist das Hauptergebnis
des zweiten Teils dieses Abschnitts. Wir erinnern daran, daß dieses bereits für
den Ring der ganzen Zahlen eine zwar wohlbekannte, aber nicht auf der Hand
liegende Tatsache ist; siehe Satz 1.2.3.
Satz 3.7.15 (Eindeutige Primfaktorzerlegung) Es sei R ein euklidischer Ring.
Jedes Element a ∈ R r R∗ läßt sich als ein Produkt von irreduziblen Elementen
schreiben:
a = p1 · p2 · . . . · pr wobei p1 , p2 , . . . , pr irreduzibel sind.
Diese Zerlegung ist eindeutig bis auf Assoziiertheit und die Reihenfolge der Faktoren. D.h., wenn auch a = q1 · q2 · . . . · qs ist mit qj irreduzibel für j = 1, . . . , s,
so ist r = s, und bei geeigneter Numerierung der qi ist pi ∼ qi für i = 1, . . . , r.
Der Beweis der Existenz der Zerlegung ergibt sich für den Polynomring K[X]
analog zum Fall Z aus der Eigenschaft grad(f · g) = grad(f ) + grad(g) sowie
der Tatsache, daß Polynome von Grad 0 Einheiten sind. Der allgemeine Fall ist
subtiler und soll uns hier nicht interessieren.
Der Beweis der Eindeutigkeit der Zerlegung wird unter Verwendung des obigen
Lemmas 3.7.14 genauso geführt wie für den Ring Z am Ende von Abschnitt 1.2.
LinAlg II – Version 1 – 31. Mai 2006
c Rudolf Scharlau
263
Wir haben die Theorie des größten gemeinsamen Teilers und der eindeutigen Zerlegbarkeit in Unzerlegbare in euklidischen Ringen entwickelt. Für die Anwendung
auf die elementare Zahlentheorie oder die lineare Algebra ist das völlig ausreichend. Tatsächlich bleiben die Ergebnisse jedoch in beliebigen Hauptidealringen
richtig, was wir zum Abschluß jetzt noch festhalten wollen. Dabei wollen wir einen
zusätzlichen Sachverhalt (Teil b) des folgenden Satzes) formulieren, der schon im
Fall Z über die bisherigen Ergebnisse hinausgeht.
Hierzu betrachten wir für einen beliebigen Ring R und für zwei Elemente
a, b ∈ R die Menge
Ra + Rb := {xa + yb | x, y ∈ R} .
Von dieser Teilmenge von R überlegt man sich leicht, daß sie ein Ideal ist. Es
handelt sich um ein Ideal, das eventuell kein Hauptideal mehr ist (in Hauptidealringen natürlich doch), aber jedenfalls “von zwei Elementen erzeugt” ist.
Satz 3.7.16 Es R ein Hauptidealring.
a) Je zwei Elemente a und b aus R besitzen einen größten gemeinsamen Teiler.
b) Ein Element g ∈ R ist ein größten gemeinsamen Teiler von a und b genau
dann, wenn Ra + Rb = Rg ist.
c) Für jedes irreduzible Element p ∈ R gilt die Aussage von 3.7.14.
d) In R gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung in der in 3.7.15 beschriebenen
Form.