Inhaltsverzeichnis - TU Bergakademie Freiberg

VORKURS MATHEMATIK FÜR INGENIEURE
PD DR. SWANHILD BERNSTEIN,
TU BERGAKADEMIE FREIBERG,
WINTERSEMESTER 2007/08
Inhaltsverzeichnis
1.
Mengen
2
1.1.
Mengenrelationen und -operationen
2
1.2.
Zahlenbereiche
4
1.3.
Intervalle
4
1.4.
Rechenregeln in
1.5.
Betr
age
2.
4
R
5
Polynomdivision
5
2.1.
Umformen von Br
uchen
5
2.2.
Polynomdivision
7
3.
L
osen von Gleichungen
7
3.1.
Einfache Umformungen
3.2.
Was man nicht tun sollte
8
3.3.
Quadratische Gleichungen
9
4.
8
Ungleichungen
15
4.1.
Einfache Ungleichungen
15
4.2.
Ungleichungen mit dem Absolutbetrag
16
4.3.
Systeme von Ungleichungen mit einer Unbekannten
19
5.
5.1.
5.2.
6.
6.1.
6.2.
7.
Ungleichungen in 2 Ver
anderlichen
20
Gleichungen
20
Ungleichungen
21
Funktionen
22
Potenzen und Wurzeln
24
Exponential- und Logarithmusfunktion
27
Goniometrie
30
7.1.
Sinusfunktion
30
7.2.
N
utzliche Formeln
32
7.3.
Weitere trigonometrische Funktionen
32
7.4.
Zusammenfassung: trigonometrische Funktionen
33
7.5.
Erg
anzung, Additionstheoreme f
ur Sinus und Cosinus
34
1
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2
1. Mengen
Was sind Mengen? Wir alle haben eine gewisse Vorstellung was Mengen sind.
Eine mathematische Denition lautet wie folgt:
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung
bestimmter, wohl unterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens mit gemeinsamen Eigenschaften zu einer Gesamtheit.
Definition 1.
Mengen werden gern grasch als Kleckse\ (Venn-Diagramme) veranschaulicht.
"
Man kann Mengen durch das Aufzahlen bzw. die Angabe ihrer Elemente
M = {1, 2, ◦}
oder auch durch die Angabe der Eigenschaft(en) ihrer Elemente
B = {r ∈ R : r < 0},
B ist die Menge aller reellen Zahlen r, die kleiner als Null sind.\
"
beschreiben.
Falls m eine Element der Menge M ist, so schreibt man m ∈ M, ist dagegen n kein
Element von M, so schreibt man n 6∈ M.
Die leere Menge, ist die Menge, die keine Elemente enthalt. Sie wird mit ∅ bezeichnet.
1.1. Mengenrelationen und -operationen.
Die wichtigsten Relationen (Beziehungen) zwischen Mengen sind die Gleichheit
und das Enthaltensein.
Zwei Mengen A und B heien gleich (A = B ), wenn jedes
Element der Menge A auch Element der Menge B ist und umgekehrt.
Die Menge A heit Teilmenge (Untermenge) einer Menge B bzw. A ist
in der Menge B enthalten (A ⊆ B ), wenn jedes Element von A auch
Element von B ist.
Eine Menge A heit echte Teilmenge der Menge B (A ⊂ B ) wenn es
wenigstens ein Element von B gibt, das nicht zu A gehort.
Definition 2.
Die wichtigsten Operationen mit Mengen sind die Vereinigung, der Durchschnitt und die Dierenz :
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Definition 3. Unter der Vereinigung M zweier Mengen A und B (A
vereinigt mit B ) versteht man die Menge aller Elemente, die wenigstens
einer der beiden Mengen A und B angehoren:
oder x ∈ B}.
Unter dem Durchschnitt M zweier Mengen A und B (A geschnitten mit
B ) versteht man die Menge aller Elemente, die zugleich beiden Mengen
A und B angeh
oren:
M = A ∩ B := {x : x ∈ A und x ∈ B}.
Unter der Dierenz M zweier Mengen A und B (Dierenz(menge) von
A und B ) versteht man die Menge aller Elemente, die zu A, aber nicht
zu B gehoren:
M = A\B := {x : x ∈ A und x 6∈ B}.
Unter dem kartesischen Produkt M zweier Mengen A und B versteht
man die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B :
M = A × B = {(a, b) : a ∈ A und b ∈ B}.
M = A ∪ B := {x : x ∈ A
A\B
A∩B
B\A
3
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4
1.2. Zahlenbereiche.
Wir bezeichnen die Zahlenbereiche wie folgt
N = {1, 2, 3, . . .}
Menge der naturlichen Zahlen,
Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
= {z : z ∈ N oder − z ∈ N oder z = 0} Menge der ganzen Zahlen,
z
Q = {q : q = , z ∈ Z, n ∈ N}
n
= {q : q ist eine endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl}
Menge der rationalen Zahlen,
R = {r : r ist eine endliche oder unendliche Dezimalzahl
Menge der reellen Zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen Q und den irrationalen Zahlen R\Q. Von Bedeutung sind auerdem die folgenden Spezialfalle:
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} = {0} ∪ N,
R+ = {r ∈ R : r > 0},
R+
0 = {r ∈ R : r ≥ 0}.
1.3. Intervalle.
Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen R :
(a, b)
[a, b)
(a, b]
[a, b]
= ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} oenes Intervall,
= [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} halboenes Intervall,
= ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} halboenes Intervall,
=
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall.
1.4. Rechenregeln in R.
Fur beliebige reellen Zahlen a, b, c ∈ R gilt
(a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativitat der Addition
a+0=a
a + (−a) = 0
a+b=b+a
(a · b) · c = a · (b · c)
a·b=b·a
a · (b + c) = a · b + a · c
a · 1 = a.
Kommutativitat der Addition
Assoziativitat der Multiplikation
Kommutativitat der Multiplikation
Distributivgesetz
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5
Fur alle reellen Zahlen a ∈ R mit a 6= 0 gilt:
a · a−1 = a ·
1
= 1.
a
1.5. Beträge.
Definition 4.
Zu a ∈ R heit
(
a,
−a,
|a| :=
falls a ≥ 0,
falls a < 0,
der Betrag von a.
Geometrisch bedeutet |a − b| den (nichtnegativen) Abstand der reellen Zahlen
a, b auf der Zahlengeraden.
Eigenschaften:
(1)
(2)
(3)
(4)
|a| ≥ 0, f
ur alle a ∈ R,
|a| = 0 genau dann, wenn a = 0 ist,
|ab| = |a| |b|, f
ur alle reellen Zahlen a, b
|a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung).
2. Polynomdivision
2.1. Umformen von Brüchen.
Bruche sind Ausdrucke der Gestalt ab mit i. Allg. reellen Zahlen a, b ∈ R und b 6= 0.
Die Division durch Null ist nicht erklärt!
Oensichtlich ist a : b = ab . Man kann Bruche bilden, deren Zahler oder Nenner
wiederum Bruche sind:
a
b
c
a
b
(b, c 6= 0),
c
(b, c 6= 0),
Rechenregel fur Doppelbruche:
a
b
c
d
=
a
b
c
d
, (b, c, d 6= 0).
a·d
.
b·c
Beweis: Anwenden von Potenzgesetzen:
a
b
c
d
=
a · 1b
a b−1
ad
=
= a b−1 (c d−1 )−1 = a b−1 c−1 d = ad(bc)−1 =
.
1
−1
cd
bc
c· d
•
Bei Mehrfachbruchen muss der Hauptbruchstrich klar erkennbar sein, denn es ist i.
Allg.
a
a
b
c
6=
b
c
(b, c 6= 0),
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6
zum Beispiel ist
2
1 = 2·4 =
4
a
, b 6= 0,
b
8
aber
2
1
4
=
2
= 0, 5
4
!!
Man kann jeden Bruch
mit einer reellen Zahl c 6= 0 erweitern, d.h. Zahler
und Nenner werden mit c multipliziert, bzw. kurzen, d.h. Zahler und Nenner werden
durch c dividiert, ohne seinen Wert zu verandern:
ac
a
= ,
b
bc
b, c 6= 0.
Man beachte, dass man nur Faktoren aber keine Summanden kurzen kann.
Denn: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!
Das Erweitern wendet man an, um mehrere Bruche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Denn man kann nur Bruche mit gleichem Nenner addieren oder
subtrahieren:
a c
ad cb
ad + cb
+ =
+
=
,
b d
bd db
db
b, d 6= 0.
Beispiele:
2 3
2·2 3·3
4+9
13
+ =
+
=
= ,
3 2
6√ √
6
6
6
√
1
1
2+1
3
2· 2
2+ √ = √
+√ = √ =√ ,
2
2
2
2
2
Fur a, b 6= 0 ist:
25ab − 40b2 27a2 b − 63ab2
(25ab − 40b2 )9a −5(27a2 b − 63ab2 )
+
=
+
−5b
9ab
−5b · 9a
−5 · 9ab
2
2
2
(25ab − 40b )9a + (−5(27a b − 63ab ))
=
−45ab
2
25 · 9a b − 9 · 40ab2 − 5 · 27a2 b + 5 · 63ab2
=
−45ab
2
(25 · 9 − 5 · 27)a b + (5 · 63 − 9 · 40)ab2
5 · 9(5 − 3)a2 b + 5 · 9(7 − 8)ab2
=
=
−45ab
−45ab
2
2
90a b − 45ab
45ab(2a − b)
2a − b
=
=
=
= b − 2a.
−45ab
−45ab
(−1)
Man konnte aber auch anders vorgehen:
25ab − 40b2
5b(5a − 8b)
27a2 b − 63ab2
9ab(3a − 7b)
=
= −5a + 8b und
=
= 3a − 7b
−5b
−5b
9ab
9ab
25ab − 40b2 27a2 b − 63ab2
und damit
+
= −5a + 8b + 3a − 7b = b − 2a.
−5b
9ab
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7
2.2. Polynomdivision.
Manchmal ist aber gar nicht klar, ob man den Nenner ausklammern kann oder
nicht. Hier hilft die Polynomdivision. Die Polynomdivision wird wie schriftliches
Dividieren durchgefuhrt:
Beispiele: Ist a3 − b3 durch a − b fur a − b 6= 0 teilbar?
(a3 − b3 ) : (a − b) = a2 + ab + b2
a3 − a2 b
a2 b − b 3
a2 b − ab2
ab2 − b3
ab2 − b3
0
Ja, es ist (a3 − b3 ) : (a − b) = a2 + ab + b2 .
Ist 35a2 + 24ab − 15ac + 4b2 − 6bc durch 5a + 2b fur 5a + 2b 6= 0 teilbar?
(35a2 + 24ab −15ac +4b2 −6bc)
: (5a +2b) = 7a + 2b − 3c.
2
35a + 14ab
10ab − 15ac
10ab + 4b2
2
2
|−4b − 15ac
{z+ 4b − 6bc}
= −15ac − 6bc
−15ac − 6bc
0
Ja, es ist (35a2 + 24ab − 15ac + 4b2 − 6bc) : (5a + 2b) = 7a + 2b − 3c.
Ist 2x2 + 8xy + 6y 2 durch x2 + 4xy + 4y 2 teilbar?
(2x2 + 8xy + 6y 2 ) : (x2 + 4xy + 4y 2 ) = 2
2x2 + 8xy + 8y 2
−2y 2
Nein, da bei der Division der Rest −2y 2 ubrigbleibt, es gilt:
(2x2 + 8xy + 6y 2 ) : (x2 + 4xy + 4y 2 ) =
2x2 + 8xy + 6y 2
2y 2
=
2
−
.
x2 + 4xy + 4y 2
x2 + 4xy + 4y 2
3. L
osen von Gleichungen
Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.“
”
8
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3.1. Einfache Umformungen.
Beispiel:
1
x
3
x
+ 1 = 23
+3 =2
3
= −1
x
3 = −x
−3 = x.
| ·3
| −3
| ·x (x 6= 0)
| ·(−1)
Man beachte, dass die erste Gleichung nur fur x 6= 0 deniert ist. Alle angegeben
Umformungen sind aquivalent, d.h. die Losungsmenge wird durch die Umformung
nicht verandert.
Achtung! Durch das Ausf
uhren nicht denierter Operationen (Division durch Null,
Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen, Logarithmieren negativer Zahlen) entstehen
unsinnige Ergebnisse, obwohl das nicht unbedingt sichtbar sein muss!
3.2. Was man nicht tun sollte.
Beispiel:
a
a2
a2 − b 2
(a + b)(a − b)
a+b
a
=
=
=
=
=
=
b
ab
ab − b2
b(a − b)
b
0
| ·a
| −b2
|: (a − b)
| −b
Das Ergebnis ist unsinnig! Der Fehler wird in der 4. Zeile begangen, wo durch Null
dividiert wird, da a − b = 0 fur a = b (Ausgangssituation) gilt!
Beispiel:
√
x = −3 | Quadrieren
x = 9
√
Oensichtlich ist das Ergebnis falsch, da 9 = 3 6= −3 ist. Der Fehler entsteht
√
√
dadurch, dass die Ausgangsgleichung x = −3 gar keine Losung besitzt, da x
immer eine nichtnegative Zahl sein muss.
Beispiel:
x+1
(x + 1)2
x2 + 2x + 1
x2 + 2x − 2
√
=
3 | Quadrieren
= 3
= 3
| −3
= 0
Die entstandene quadratische Gleichung wird nun gelost, man erhalt:
√
√
x1,2 = −1 ± 1 + 2 = −1 ± 3.
√
√
Oensichtlich
erf
u
llt
x1 = −1 + 3 die Ausganggleichung, x2 = −1 − 3 aber nicht,
√
√
√
da −1 − 3 + 1 = − 3 6= 3 ist.
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9
Die √
Ursache liegt
darin, dass beim Quadrieren die Losungsmenge verapndert wird,
√ 2
2
da ( 3) =
(− 3) = 3 ist. Die Gleichung (x + 1)2 = 3 ist namlich zu (x + 1)2 =
√
|x + 1| = 3 aquivalent.
Bemerkung: Obwohl es den Anschein hat, dass das Quadrieren zur Bestimmung
von Losungen ungeeignet ist, kommt man doch in vielen Fallen nicht umhin zu
quadrieren, um die Losung zu erhalten. Man muss sich aber in so einem Fall ganz
besonders uberlegen, was passieren kann und sollte auf alle Falle eine Probe machen.
3.3. Quadratische Gleichungen.
Hier benotigt man die binomischen Formeln :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
a2 − b2 = (a + b)(a − b).
3.3.1. Wurzelziehen.
√
2
b ist und erhalt die beiden
Man benutzt, dass
a
=
b
≥
0
a
quivalent
zu
|a|
=

√
√
Losungen a1 = b und a2 = − b.
Beispiel:
(x + 3)2 = 25
| Wurzelziehen
|x + 3| = 5
Es sind jetzt 2 Falle zu unterscheiden:
1. Fall x + 3 ≥ 0, dann ist |x + 3| = x + 3 = 5 erfullt fur x = 2.
2. Fall x + 3 < 0, dann ist |x + 3| = −x − 3 = 5 ⇐⇒ −x = 8 erfullt fur x = −8.
Die beiden Losungen der quadratischen Gleichung sind folglich x1 = 2 und x2 = −8.
3.3.2. Die quadratische Erganzung.
Idee: Man wende die binomischen Formeln an und erhalte einen Ausdruck aus dem
die Losung durch Wurzelziehen erhalten kann, d.h.
2
A
A2
x + Ax + B = x +
−
+B
2
4
2
bzw.
2
C
C2
x − Cx + D = x −
−
+ D.
2
4
2
Beispiel: Man lose die Gleichung x2 + 6x + 1 = −4. Wir formen den Ausdruck
x2 +6x+1 zunachst mit Hilfe der binomischen Formel so um, dass ein quadratischer
Ausdruck entsteht:
x2 + 6x + 1 = (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8,
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10
dies setzen wir nun in die Gleichung ein:
x2 + 6x + 1
(x + 3)2 − 8
(x + 3)2
|x + 3|
= −4
= −4 | +8
=4
| Wurzelziehen
=2
Wir losen nun den Betrag auf und erhalten zwei Losungen:
x + 3 = 2 oder
−x−3=2
und damit x1 = −1 und x2 = −5.
3.3.3. Losungsformel.
Mit Hilfe der quadratischen Erganzung kann man die folgende Losungsformel fur
quadratische Gleichungen beweisen.
Satz 1.
Die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0
mit
p, q ∈ R
hat fur
p 2
2
p 2
2
p 2
2
− q < 0,
− q = 0,
− q > 0,
keine reellwertige Losung,
genau eine reellwertige Losung x = − p2 , q
zwei reellwertige Losungen x1/2 = − p2 ±
p 2
2
− q.
Beweis: Wir formen zunachst x2 + px + q mittels der quadratischen Erganzung
um:
p 2 p 2
x + px + q = x +
−
+ q.
2
2
2
Damit ergibt sich
x2 + px + q = 0
p 2 p 2
−
+q =0
x+
2
2
p 2 p 2
x+
=
−q
2
2
|+
p 2
2
−q
| Wurzelziehen
Ist p2 − q < 0, so gibt es keine Losung, da man die Wurzel aus einer negativen
2
reellen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht ziehen kann. Ist p2 − q ≥ 0, so
2
betrachten wir zunachst den Fall p2 − q = 0, d.h. |x + p2 | = 0 ⇐⇒ x + p2 =
2
0 ⇐⇒ x = − p2 . Ist dagegen p2 − q > 0, so ergibt sich beim Wurzelziehen
q
2
|x + p2 | =
p 2
2
− q. Gema der Auosung des Betrags erhalten wir nun zwei
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q
q
11
p
p
Losungen, namlich x1 = − p2 +
− q und x2 = − p2 −
− q. •
2
2
Geometrische Interpretation: Dazu sind hier die Funktionen dargestellt worden:
2
2
y = x2 + 2x + 1, die eine (doppelte) reelle Nullstelle bei x = 1 besitzt,
√
√
y = x2 + 2x − 2, die zwei reelle Nullstellen bei x1 = −1 − 3 und x2 = −1 + 3 besitzt,
y = x2 + 2x + 3, die keine reelle Nullstelle besitzt.
3.3.4. Der Satz von Vieta.
Mit Hilfe des Satzes von Vieta lassen sich Losungen raten.
Satz 2.
Sind x1 , x2 die beiden Losungen der quadratischen Gleichung
x2 + px + q = 0,
so gilt
x1 + x2 = −p
und
x1 x2 = q.
Beweis: Nach der Losungformel gibt es reellwertige Losungen x1/2 nur, wenn
− q ≥ 0 ist (der Fall nur einer reellwertigen Losung dabei f
ur x1 = x2 mit
enthalten). In diesem Fall gilt
p 2
2
x1/2
p
=− ±
2
r p 2
2
− q.
Oensichtlich ist dann
p
x1 + x2 = − +
2
r p 2
2
p
−q− −
2
r p 2
2
− q = −p
12
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und
!
!
r r p
p 2
p 2
p
x1 x2 = − +
−q
− −
−q
2
2
2
2
p 2 p 2
−
−q =q
•
= −
2
2
3.3.5. Kubische Gleichungen. Die Gleichung 3. Grades bzw. kubische Gleichung
lautet
x3 + ax2 + bx + c = 0, mit a, b, c ∈ R.
Mit einem trickreichen Verfahren, dass auf Cardano zuruckgeht, kann man auch fur
diese Gleichung explizite Losungsformeln angeben. Eine schone Darstellung dieser
Formeln ndet man hier:
http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=483
Die kubische Gleichung hat immer mindestens eine reelle Losung, es konnen aber
auch zwei (in diesem Fall ist eine der beiden reellen Losungen eine doppelte) oder
maximal drei reelle Losungen sein.
Geometrische Interpretation: Dazu sind hier die Funktionen dargestellt worden:
y = x3 − 2x2 − 2x + 5, die nur eine reelle Nullstellen besitzt,
y = x3 − 2x2 − 2x + 2, die 3 reelle Nullstellen besitzt,
y =
x3 − 3x − 2, die zwei reelle Nullstellen bei x = −1 (diese ist doppelt)
und bei x = 2 besitzt,
3
2
y = x − 2x − 2x − 5, die nur eine reelle Nullstelle besitzt.
Wir wollen uns mit der Losungsformel nicht weiter beschaftigen, was uns interessiert, ist wie man Losungen erraten kann. Dazu gehen wir davon aus, dass
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13
c1 , c2 , c3 ∈ R beliebige reelle Zahlen sind. Dann ist
(x − c1 )(x − c2 )(x − c3 ) = (x2 − (c1 + c2 )x + c1 c2 )(x − c3 ) =
= x3 − (c1 + c2 + c3 )x2 + (c1 c3 + c2 c3 + c1 c2 )x − c1 c2 c3 ,
d.h. eine Losung der kubischen Gleichung kann als Teiler des Absolutglied c der
kubischen Gleichung erraten werden.
Bemerkung: Es gibt nur fur Gleichungen bis maximal 4. Grades explizite Losungsformeln. Fur Gleichungen 5. oder hoheren Grades hat bereits Galois nachgewiesen,
dass es keine Losungsformeln geben kann.
Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x3 −26x2 +167x−238. Oensichtlich ist 2 Teiler von 238, aber ist x = 2 eine Losung von x3 − 26x2 + 167x − 238 = 0?
Wir uberprufen dies durch einsetzen:
23 − 26 · 22 + 167 · 2 − 238 = 8 − 104 + 334 − 238 = 0.
Folglich ist x = 2 eine Nullstelle von x3 − 26x2 + 167x − 238. Die ubrigen Nullstellen
werden nun durch abdividieren (Polynomdivision) des Terms x − 2 bestimmt:
(x3 − 26x2 +167x −238) : (x − 2) = x2 − 24x + 119
x3 − 2x2
−24x2 + 167x
−24x2 + 48x
119x − 238
119x − 238
0
Wir haben folglich
x3 − 26x2 + 167x − 238 = (x − 2)(x2 − 24x + 119)
Die anderen Nullstellen bestimmen wir nun aus der Losungformel fur die quadratische Gleichung bzw. durch quadratisches Erganzen:
x2 − 24x + 119
(x − 12)2 − 144 + 119
(x − 12)2 − 25
(x − 12)2
|x − 12|
=
=
=
=
=
0
0
0 | +25
25 | Wurzelziehen
5
und wir erhalten die beiden Losungen x = 17 und x = 7. Wie man leicht nachrechnet
ist
(x − 7)(x − 17) = x2 − 24x + 119.
Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x3 − 12x2 + 47x − 60. Oensichtlich ist 2 Teiler von 60, aber ist x = 2 eine Nullstelle von x3 − 12x2 + 47x − 60?
14
SWANHILD BERNSTEIN
Wir uberprufen dies durch einsetzen:
23 − 12 · 22 + 47 · 2 − 60 = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 6= 0!
Also ist x = 2 keine Nullstelle. Versuchen wir es mit x = 3, durch einsetzen ergibt
sich
33 − 12 · 32 + 47 · 3 − 60 = 27 − 108 + 141 − 60 = 0.
Wir haben also eine reelle Nullstelle, namlich x = 3 gefunden. Die ubrigen Nullstellen wollen wir nun ebenfalls wieder durch Abdividieren ermitteln:
(x3 − 12x2 +47x −60) : (x − 3) = x2 − 9x + 20
x3 − 3x2
−9x2 + 47x
−9x2 + 27x
20x − 60
20x − 60
0
Folglich ist
x3 − 12x2 + 47x − 60 = (x − 3)(x2 − 9x + 20)
und wir bestimmen die beiden anderen Nullstellen durch quadratisches Erganzen:
x2 − 9x + 20
2
2
x − 29 − 29 + 20
2
x − 29 − 14
2
x − 92
|x − 92 |
= 0
= 0
= 0 | + 14
= 41 | Wurzelziehen
= 21
Die beiden anderen Nullstellen sind damit x = 92 + 12 = 5 und x = 92 − 21 = 4. Wie
man leicht nachrechnet ist
x3 − 12x2 + 47x − 60 = (x − 3)(x − 4)(x − 5).
Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x3 −5x2 +9x−45. Oensichtlich
teilt 5 die 45. Ist x = 5 eine Nullstelle? Einsetzen ergibt:
53 − 5 · 52 + 9 · 5 − 45 = 0.
Die erste Nullstelle ist also x = 5. Durch Abdividieren ergibt sich
(x3 − 5x2 +9x − 45) : (x − 5) = x2 + 9
x3 − 5x2
9x − 45
9x − 45
0
D.h. x3 − 5x2 + 9x − 45 = (x − 5)(x2 + 9), da nun aber x2 + 9 = 0 keine reellwertigen
Losungen besitzt, ist x = 5 die einzige reellwertige Nullstelle.
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15
4. Ungleichungen
4.1. Einfache Ungleichungen.
Beispiel:
−x + 5 < 9
| +x
5 < x + 9 | −9
−4 < x
Man muss aber beim Umformen von Ungleichungen beachten, dass sich das Relationszeichen umkehren kann, z.B. ist
−3 < −1 ⇐⇒ 1 < 3.
Wird also auf beiden Seiten mit einer negativen reellen Zahl multipliziert, so dreht
sich das Relationszeichen um, auerdem ist
1
1
1
1
<
und a < b < 0 ⇐⇒ < .
b
a
b
a
1
1
Andererseits ist −2 < 5 ⇐⇒ − 2 < 5 .
0 < a < b ⇐⇒
Die Ursache fur diesen Sachverhalt liegt darin, dass sich das Relationszeichen bei
der Anwendung einer monoton fallenden Funktion umkehrt, bei der Anwendung
einer monoton steigenden Funktion jedoch nicht.
Hieraus ergeben sich die folgenden Regeln,
• wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder
subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht,
• wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen
Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das Relationszeichen nicht,
• wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen
Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das Relationszeichen um,
• die Kehrwertbildung kann auf den Fall einer zweimaligen Multipli-
kation zuruckgefuhrt werden, wobei eine Fallunterscheidung durchzufuhren ist, ob der Ausdruck mit dem multipliziert wird positiv oder
negativ ist.
Die letzte Fall soll noch einmal erlautert werden:
Beispiel: Man bestimme alle reellen x, die die Ungleichung −8 < x1 + 6 erfullen. Wir
subtrahieren zunachst auf beiden Seiten der Ungleichung 6 und erhalten −14 < x1 .
Da stets x1 6= 0 gilt, mussen wir eine Fallunterscheidung vornehmen:
1. Fall −14 < x1 < 0, d.h. x < 0 und die Multiplikation auf beiden Seiten mit x
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16
ergibt nun −14x > 1, nun wird auf beiden Seiten durch −14 < 0 dividiert, d.h. wir
erhalten x < − 141 .
2. Fall 0 < x1 , auch in diesem Fall ist −14 < 0 < x1 ! Hier folgt aus der Multiplikation mit x > 0 auf beiden Seiten der Ungleichung x > 0.
Ergebnis: Fur alle x ∈ R mit x < − 141 oder 0 < x ist −8 < x1 + 6. Die Losungsmenge
ist
L=
−∞, −
1
14
∪ (0, ∞).
Beispiel: Man bestimme alle reellwertigen x, die die Ungleichung
(3x − 8)(x − 3) ≤ 7(x − 3)
erfullen. Wir mochten auf beiden Seiten durch x − 3 dividieren, dazu mussen wir
aber eine Fallunterscheidung vornehmen je nachdem welches Vorzeichen x − 3 hat.
1. Fall: x − 3 > 0 ⇐⇒ x > 3 ergibt die Division durch x − 3 auf beiden Seiten
der Unlgeichung 3x − 8 ≤ 7 ⇐⇒ 3x ≤ 15 ⇐⇒ x ≤ 5. D.h. wir haben eine
Teillosungsmenge erhalten, namlich alle reellen x mit 3 < x ≤ 5. Nachster Fall ist
2. Fall: x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 3, da in der Ungleichung das Gleichheitszeichen
zugelassen ist, ist x = 3 ebenfalls Losung. Der letzte Fall ist
3. Fall: x − 3 < 0 ⇐⇒ x < 3, bei der Division durch x − 3 dreht sich jetzt das
Relationszeichen um und wir erhalten 3x − 8 ≥ 7 ⇐⇒ 3x ≥ 15 ⇐⇒ x ≥ 5. Da
x ≥ 5 der Voraussetzung x < 3 widerspricht, erhalten wir keine Losung.
Folglich erfullen alle reellen x mit 3 ≤ x ≤ 5 die Ungleichung. Die Losungsmenge
ist
L = [3, 5].
4.2. Ungleichungen mit dem Absolutbetrag.
Ungleichungen mit Betragen fuhren zu einer Fallunterscheidung:
{x ∈ R : |x| < a} = {x ∈ R : x < a und − x < a}
= {x ∈ R : x < a} ∩ {x ∈ R : −x < a},
= {x ∈ R : 0 ≤ x < a} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ −x < a}.
(1)
(2)
bzw.
{x ∈ R : |x| > a} = {x ∈ R : x > a oder − x > a}
= {x ∈ R : x > a} ∪ {x ∈ R : −x > a}
(3)
Die entsprechenden Mengen sind hier noch einmal graphisch veranschaulicht. Als
erstes der Fall |x| < a, wobei selbstverstandlich a > 0 sein muss, damit die Losungsmenge nicht leer ist.
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17
f(x)=|x|
f(x)=a
{ x∈IR: |x| < a }
f(x) = -x
f(x) = x
f(x)=a
f(x)=a
{ x∈IR: -x < a }
{ x∈IR: x < a }
{ x∈IR: 0 < -x < a }
{ x∈IR: 0< x < a }
und zum anderen der Fall |x| > a, wobei hier, falls a ≤ 0 ist, alle reellen Zahlen
Losung sind.
f(x)=|x|
f(x)=a
{x∈IR: |x| > a}
f(x) = -x
f(x) = x
f(x)=a
{ x∈IR: -x > a }
f(x)=a
{ x∈IR: x > a }
Beispiel: Man lose die Betragsungleichung
|x − 1| < 2x.
(4)
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18
1. Variante gema (1) und der Veranschaulichung mittels der roten Linien im Bild
zum Fall |x| < a.
Die Losungsmenge L setzt sich folglich aus zwei Teillosungsmengen L1 und L2
zusammen, wobei L1 die Losungsmenge von x − 1 < 2x ist, d.h.
x − 1 < 2x | (−x)
−1 < x
und damit ist L1 = {x ∈ R : −1 < x}. Weiterhin ist L2 die Losungsmenge von
−(x − 1) < 2x ist, d.h.
−(x − 1) = −x + 1 < 2x | (+x)
1 < 3x |: 3
1
<x
3
und somit L2 = {x ∈ R : 13 < x}. Wir erhalten deshalb fur die Losungsmenge L der
Ungleichung (4):
L = L1 ∩ L2 = {x ∈ R : −1 < x} ∩ {x ∈ R :
1
3
< x} = {x ∈ R :
1
< x}.
3
2. Variante gema (2) und der Veranschaulichung mittels der gelben Linien im
Bild zum Fall |x| < a.
Hierfur ist zusatzlich eine Fallunterscheidung x − 1 ≥ 0 bzw. x − 1 < 0 erforderlich:
Fallunterscheidung: 1. Fall: x − 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1 : |x − 1| = x − 1,
x − 1 < 2x | (−x)
−1 < x
Damit erhalt man als Teillosungsmenge L1 = {x ∈ R : x ≥ 1 und − 1 < x} = {x ∈
R : x ≥ 1}.
Der 2. Fall ist: x − 1 < 0 ⇐⇒ x < 1 : |x − 1| = −x + 1,
−x + 1 < 2x | (+x)
1 < 3x |: 3
1
<x
3
Damit erhalt man als Teillosungsmenge L2 = {x ∈ R : x < 1 und
R:
1
3
1
3
< x} = {x ∈
< x < 1}.
Die Losungsmenge ist folglich: L = L1 ∪ L2 = {x ∈ R : x > 13 }.
Beispiel: Man lose die Betragsungleichung 2x < |x − 1|.
Dies geschieht gema (3). Die Losungsmenge L = L1 ∪ L2 mit L1 ist die Losungsmenge von
2x < x − 1 | (−x)
x < −1.
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19
Damit erhalt man als Teillosungsmenge L1 = {x ∈ R : x < −1}.
und der Losungsmenge L2 von
2x < −(x − 1) = −x + 1 | (+x)
3x
<1
|: 3
1
x
<3
Damit erhalt man als Teillosungsmenge L2 = {x ∈ R : x < 31 }.
Die Losungsmenge ist folglich: L = L1 ∪ L2 = L2 = {x ∈ R : x < 13 }.
4.3. Systeme von Ungleichungen mit einer Unbekannten.
Die Losungsmenge L eines Systems von Ungleichungen ist der Durchschnitt der
Losungsmenge der einzelnen Ungleichungen.
Beispiel: Man bestimme alle reellen x, die das folgende Ungleichungssystem erfullen.
5 − 2x ≥ 3 − x,
x2 − 5x − 6 < 0.
Wir bestimmen zunachst die Losungsmenge L1 der ersten Ungleichung.
5 − 2x ≥ 3 − x | +2x
5 ≥ 3 + x | −3
2 ≥x
und erhalten L1 = (−∞, 2]. Nun zur Losungsmenge L2 der zweiten Ungleichung.
Den quadratischen Ausdruck spalten wir mit Hilfe der Nullstellen in ein Produkt
zweier Terme um:
x2 − 5x − 6 = x −
5 2
2
−
5 2
2
−6 =0
2
2
= 52 + 6 =
x − 25
|x − 52 | =
|+
49
4
5 2
2
+6
| Wurzelziehen
7
2
und wir erhalten als Nullstellen x1 = 6 und x2 = −1, d.h.
x2 − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1).
Das setzen wir nun die Ungleichung ein und bestimmen L2 . D.h. wir betrachten
(x − 6)(x + 1) < 0.
Dazu dividieren wir durch x − 6 und fuhren dazu eine Fallunterscheidung durch:
1. Fall x − 6 > 0 ⇐⇒ x > 6 ergibt x + 1 < 0 ⇐⇒ x < −1 ergibt keine Losung,
da x > 6 und x < −1 nicht gleichzeitig erfullbar sind.
2. Fall x − 6 = 0 ⇐⇒ x = 6 da die Gleichheit nicht zugelassen ist, ist x = 6 keine
Losung.
3. Fall x − 6 < 0 ⇐⇒ x < 6 ergibt x + 1 > 0 ⇐⇒ x > −1 und wir erhalten die
(Teil)losungsmenge −1 < x < 6. Damit ist
L2 = (−1, 6)
20
SWANHILD BERNSTEIN
und die Losungsmenge des Ungleichungssystems ist
L = L1 ∩ L2 = (−∞, 2] ∩ (−1, 6) = (−1, 2].
f(x)=x2- 5x- 6
f(x)=2-x
5. Ungleichungen in 2 Veranderlichen
5.1. Gleichungen. Die allgemeine Gestalt einer Gleichung mit zwei Veranderlichen oder Unbekannten x und y lautet
ax + by = c
(5)
mit reellen Zahlen a, b c. Spezialfalle ergeben sich, wenn a oder b gleich Null sind.
Die Gleichung (5) beschreibt eine Gerade. Die Gleichung kann fur b 6= 0 umgeformt
werden zu
a
c
y =− x+ .
b
b
Fur x = 0 ist y = cb und die Gerade schneidet bei cb die y-Achse. Analog ist im Fall
y = 0 der zugehorige x-Wert f
ur a 6= 0 gleich x = ac . Folglich schneidet die Gerade

die x-Achse in ac und aus geometrischen Uberlegungen
folgt, dass der Anstieg der
a
Geraden tan α = b ist.
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.
21
α
α
C
a
C
b
5.2. Ungleichungen. Die Menge aller (x, y) mit ax + by > c liegt folglich oberhalb
der Geraden ax + by = c und die Menge aller (x, y) mit ax + by < c liegt folglich
unterhalb der Geraden ax + by = c.
„>“
.
C
b
α
α
C
a
„<“
Beispiel: Man bestimme alle (x, y) ∈ R2 fur die gilt | − 5x + 3y| ≥ 2. Um die
Losungsmenge zu bestimmen, mussen wir zunachst wie beim Losen von Betragsungleichungen zwei Falle betrachten. Die Losungsmenge L1 ist die Menge aller
(x, y) ∈ R2 f
ur die gilt:
5
2
−5x + 3y ≥ 2 ⇐⇒ y ≥ x +
3
3
und die Losungsmenge L2 ist die Menge aller (x, y) ∈ R2 fur die gilt:
2
5
−(−5x + 3y) = 5x − 3y ≥ 2 ⇐⇒ y ≤ x − .
3
3
Damit ist die Losungsmenge L aller (x, y) ∈ R2 fur die gilt | − 5x + 3y| ≥ 2 gegeben
durch
5
2
5
2
2
2
L = L1 ∪ L2 = (x, y) ∈ R : y ≥ x +
∪ (x, y) ∈ R : y ≤ x −
.
3
3
3
3
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22
e ng
e
y
Lös
ung
sm
„≥“
x
3y≤5x-2
eife
ng
e hö
rt n
ich
t
zu r
3y≥5x+2
Die
ser
S tr
„≤“
6. Funktionen
Definition 5. Seien M und N Mengen. Unter einer Funktion von M in
N versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ M genau ein
Element y ∈ N zuordnet. Man schreibt:
f : M → N, y = f (x).
heit Denitionsbereich, N heit Werte-, oder auch Bildbereich von f.
Die Menge
M
{(x, f (x)) : x ∈ M } ⊂ M × N
heit Graph der Funktion f .
Zu A ⊂ M heit
f (A) := {f (a) : a ∈ A}
das Bild von A unter der Funktion f ; zu B ⊂ N heit
f −1 (B) := {a ∈ M : f (a) ∈ B}
das Urbild von B unter der Funktion f.
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23
y
f(A)
y=f(x)
x
A
Graph der Funktion y=f(x),
A Teilmenge des Definitionsbereichs,
f(A) Bild von A unter f = Teilmenge des Wertebereichs.
Im Zusammenhang mit Funktionen tritt haug das Problem der Losung bzw.
Losbarkeit von Gleichungen auf, d.h., zu gegebenem y ∈ N wird eine Losung x ∈ M
der Gleichung y = f (x) gesucht. Oder anders ausgedruckt, das Urbild von y, d.h.
f −1 (y) = {x ∈ M : f (x) = y}.
y
B
y=f(x)
x
f-1(B)
Graph der Funktion y=f(x),
B = Teilmenge des Wertebereichs,
Urbild f-1(B) von B ist eineTeilmenge des Definitionsbereichs.
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24
6.1. Potenzen und Wurzeln. Fur beliebige reelle Zahlen a, b, c ∈ R und naturliche Zahlen n ∈ N gelten die folgenden Potenzgesetze :
(ab )c = a(bc)
ab+c = ab ac
(ab)c = ac bc
1
, falls a 6= 0
ab
ab
ab−c = c , falls a 6= 0
a
√
1
a n = n a, falls a ≥ 0.
a−b =
Der Verlauf der Potenzfunktion f (x) = xb hangt entscheidend vom Parameter
b ∈ R ab. Der typische Verlauf f
ur b ≥ 1 ist wie folgt:
Potenzfunktion y=f(x)=xb.
Exponent b=2, 4, 6.
Exponent b=1, 3, 5, 7.
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25
Der typische Verlauf fur b ≤ −1 ist wie folgt:
Potenzfunktion y=f(x)=xb.
Exponent b=-10, -8, -6, -4, -2.
Exponent b=-9, -7, -5, -3, -1.
Die n-te Wurzel, n ∈ N, aus einer reellen Zahl a, a ≥ 0,
ist diejenige nichtnegative
reelle Zahl b (also b ≥ 0), fur die gilt bn = a.
√
Man schreibt b = a.
Definition 6.
n
Wurzeln können nur aus nichtnegativen reellen Zahlen gezogen werden!
Begrundung:
(1) Fur gerade n = 2, 4, 6, . . . existiert fur a < 0 keine Wurzel b mit bn = a.
(2) Fur gerade n und positives a hat die Gleichung bn = a, grundsatzlich
zwei reelle Losungen. Zum Beispiel hat die Gleichung b2 = 4 die Losungen
b1 = 2 und b2 = −2. Um die Rechenoperation des Wurzelziehens eindeutig
zu gestalten und damit eine Wurzelfunktion denieren zu konnen, muss
man sich fur eine Losung entscheiden, man gibt dabei der positiven Losung
den Vorzug.
(3) Fur ungerades n = 1, 3, 5, . . . und a ≥ 0 hat bn = a immer eine eindeutige
nichtnegative Losung.
(4) Fur ungerades n und a < 0 hat die Gleichung bn = a immer eine eindeutige
negative Losung, also z.B. b3 = −8 hat die eindeutige Losung b = −2.
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26
Man muss also fur gerades n = 2, 4, 6, . . . die Forderungen a ≥ 0, b ≥ 0 auf alle
Falle stellen, da sonst die Wurzel entweder uberhaupt nicht existiert oder mehrdeutig ware.
Fur ungerades n = 1, 3, 5, . . . konnte man die auf diese Forderungen verzichten.
Das hat aber den Nachteil, dass man fur alle moglichen Falle verschiedene Wurzelgesetze aufstellen musste. Daher trit man√auch bei ungeradem n die oben genannten
Festlegungen und schreibt z.B. −2 = − 3 8.
Zur Unterscheidung: Die dritte Wurzel aus −8 ist nicht definiert, trotzdem
hat die Gleichung x3 = −8 die Lösung x = −2.
Man beachte auerdem, dass gilt
√
(
a2 = |a| =
a f
ur a ≥ 0,
−a f
ur a < 0.
Der typische Verlauf der Wurzelfunktion fur −1 < b ≤ 1 ist wie folgt:
Wurzelfunktion y=f(x)=xb
Exponent b=0,1, 0,25, 0,4, 0,55, 0,7, 0,85, 1,0.
Exponent b=-0,9, -0,75, -0,6, -0,45, -0,3, -0,15.
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27
6.2. Exponential- und Logarithmusfunktion. Der typische Verlauf der Exponentialfunktion ist wie folgt:
Exponentialfunktion y=f(x)=aa.
Exponent a=1,1, 1,3, 1,5, 1,7, 1,9.
Exponent a=2,1, e, 3,1, 4,1, 5,1, 6,1, 7,1, 8,1, 9,1.
Logarithmieren ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren:
bx = y ⇐⇒ x = logb y,
fur alle x ∈ R, und b, y ∈ R+ .
Oder in Worten:
Definition 7. Unter dem Logarithmus einer positiven reellen Zahl a zu
einer positiven, von Eins verschiedenen reellen Basis b versteht man
diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu
erhalten. Man schreibt dafur:
c = logb a.
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28
Beispiele: log2 16 = 4, da 24 = 16 ist, log10 100 = 2, da 102 = 100 ist, loge e3 = 3,
da e3 = e3 ist.
Dabei bezeichnet e die Eulersche Zahl, e = 2, 71828182845904523 . . . und man
schreibt loge = ln . Folglich ist ln e = 1.
Logarithmengesetze: Es seien x, y > 0 positive reelle Zahlen und b > 0, b 6= 1 eine
reelle Zahl, dann gilt
logb (x · y) = logb x + logb y,
logb
x
= logb x − logb y,
y
logb xa = a logb x, f
ur alle a ∈ R,
logb
√
n
x=
1
logb x, n ∈ N.
n
Beweis: Diese Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Es sei y =
ax , dann gilt:
loga (y z ) = loga ((ax )z ) = loga (axz ) = xz = z loga y.
Es sei y1 = ax1 und y2 = ax2 dann gilt:
loga (y1 · y2 ) = loga (ax1 ax2 ) = loga (ax1 +x2 ) = x1 + x2 = loga y1 + loga y2
bzw.
loga
y1
y2
= loga
ax 1
ax 2
= loga (ax1 −x2 ) = x1 − x2 = loga y1 − loga y2 .•
Der Zusammenhang zwischen Logarithmen unterschiedlicher Basis ergibt sich wie
folgt: Es seien a, b, c ∈ R+ positive reelle Zahlen mit b, c 6= 1. Dann gilt
x = logb a
⇐⇒ bx = a
⇐⇒ logc bx = logc a
⇐⇒ x logc b = logc a
⇐⇒ x =
Also ist
logb a =
logc a
logc b
logc a
logc b
(b, c 6= 1).
und man braucht nur eine Logarithmusfunktion, da man alle anderen daraus berechnen kann. Im Allgemeinen nimmt man den naturlichen Logarithmus ln . Weiter ubliche Logarithmen sind lg der Logarithmus zur Basis 10 und ld der Logarithmus zur Basis 2.
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29
Beispiel: Man forme den folgenden Ausdruck um und gebe an welche Bedingungen
a, b erf
ullen mussen, damit die Ausdrucke wohl deniert sind.
1
ln
2
b
+
a
r
!
√
1
b2
1
√
− 1 − ln
+ ln a.
2
a
2 b − b 2 − a2
√
√
q
Damit ln a wohldeniert ist, muss a > 0 sein. Damit b2 − a2 sowie ab 2 − 1
wohldeniert sind, muss b2 > a2 sein, d.h. es muss gelten b2 > a2 > 0 und a > 0.
Dann ist auch b−√b12 −a2 fur b > 0 wohldeniert, da
b−
2
√
√
b 2 − a2 > 0
| + b 2 − a2
√
b > b2 − a2 hieraus ergibt sich die Forderung b > 0
√
b > b2 − a2 | Quadrieren und beachten, dass b2 > a2 ist
b2 > b2 − a2
| −b2
0 > −a2 ,
was erfullt ist, da a > 0 sein soll. Zusammengefasst ist der obige Ausdruck wohldeniert fur reelle Zahlen a, b mit b > a > 0. Nun zur Umformung:
!
r
√
b
1
1
b2
√
+
ln
+
−
1
−
ln
a=
a
a2
2 b − b 2 − a2
!
r
√
1
b2
b
1
1
= ln
+
−
1
+
ln(b
−
b2 − a2 ) + ln a =
2
2
a
a
2
2
#
"
!
r
√
1
b
b2
= ln
+
− 1 · a · (b − b2 − a2 ) =
2
a
a2
i
√
√
1 h
2
2
2
2
= ln (b + b − a )(b − b − a ) =
2
√
1
= ln[b2 − (b2 − a2 )] = ln a2 = ln |a| = ln a,
2
1
ln
2
da a > 0 ist.
Beispiel: Man berechne x. Wie bereits erwahnt bezeichnet lg den Logarithmus zur
Basis 10. Es ist
x =
p
3
1
10 2 (lg 2+lg 32)
| (.)3
1
x3 = 10 2 (lg 2+lg 32)
lg(x3 ) = 3 lg x = 12 (lg 2 + lg 32) = 21 lg(64) = lg
√
lg x = 13 lg 8 = lg 3 8 = lg 2
x = 2.
√
| lg
64 = lg 8 | · 13
| 10(.)
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30
Der typische Verlauf der Logarithmusfunktion ist wie folgt:
Logarithmusfunktion y=f(x)=loga x.
Exponent a=1,1, 1,3, 1,5, 1,7, 1,9.
Exponent a=2,1, e, 3,1, 4,1, 5,1, 6,1, 7,1, 8,1, 9,1.
7. Goniometrie
7.1. Sinusfunktion.
Die Sinusfunktion f (x) = sin x ergibt sich aus den Beziehungen im rechtwinkligen
Dreieck.
∙
a
b
β
α
c
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31
Wir haben:
a
sin α = .
c
Oft wird statt eines Winkels die Lange des zum Winkel α gehorigen Bogenstucks
= Bogenma x des Einheitskreises in die Sinusfunktion eingesetzt. Auf diese Weise
ist sin x fur alle x ∈ R erklart, sie ist eine periodische Funktion mit Periodenlange
T = 2π :, d.h.
k ∈ Z,
sin x = sin(x + 2kπ),
und alle x ∈ R.
Auerdem ist,
sin φ0 = sin(φ0 + 2π) = sin φ1 = sin(π − φ0 ) = sin ψ0 = sin(ψ0 + 2π) = sin ψ1 .
φ0
ψ0
φ1
ψ2
Die Cosinusfunktion, am rechtwinkligen Dreieck ist:
b
cos α = .
c
Wiederum nimmt an Stelle des Winkels α das Bogenma x und erhalten die Cosinusfunktion cos x fur alle x ∈ R. Die Cosinusfunktion ist auch ein 2π -periodische
Funktion, d.h. cos x = cos(x + 2kπ) fur alle k ∈ Z und alle x ∈ R.
cos(x).
SWANHILD BERNSTEIN
32
7.2. Nützliche Formeln.
Am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich die Beziehung:
sin2 α + cos2 α = 1 bzw. im Bogenma
sin2 x + cos2 x = 1,
x ∈ R.
Spezielle Werte:
φ
0
sin φ 0
cos φ 1
√
π
6
1
2
3·
π
1
2
√4
2·
√
2·
π
1
2
1
2
√3
3·
π
2
1
2
1
2
1
0
Weitere Werte im Gradma:
Winkel
0 45 90 135 180 225 270 315 360
5π
3π
7π
Bogenlange 0 π4 π2 3π4
π
2π
4
2
4
Zum Umformen von Gleichungen sind die folgenden Formeln nutzlich:
sin(−x) = − sin x
cos(−x) = cos x
sin x + π2 = cos x.
ungerade Funktion,
gerade Funktion,
7.3. Weitere trigonometrische Funktionen.
Weiterhin gibt es die Tangensfunktion
tan x =
sin x
.
cos x
Sie ist oensichtlich fur cos x = 0, also fur x = π2 + 2kπ, k ∈ Z nicht erklart,
auerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T = π.
tan (x).
Sowie die Cotangensfunktion
cot x =
cos x
.
sin x
 INGENIEURE
VORKURS MATHEMATIK FUR
33
Sie ist oensichtlich fur sin x = 0, also fur x = 2kπ, k ∈ Z nicht erklart, auerdem
ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T = π.
cot (x).
7.4. Zusammenfassung: trigonometrische Funktionen.
Funktion Denitionsbereich nicht deniert fur Wertebereich Periodenlange
sin x
R
|
[−1, 1]
2π
cos x
R
|
[−1, 1]
2π
tan x
R\{ π2 + kπ, k ∈ Z}
cot x
R\{kπ, k ∈ Z}
π
2
+ kπ, k ∈ Z
R
π
kπ, k ∈ Z
R
π
SWANHILD BERNSTEIN
34
7.5. Ergänzung, Additionstheoreme für Sinus und Cosinus.
Skizze zu Additionstheoremen
M
α
π/2-α
α
H
D
β
α
O
A
G
Diese Skizze und die Herleitung gilt fur spitze Winkel. Alle anderen Falle lassen
sich aber darauf zuruckrechnen.
In der Konstruktion gibt es 4 rechtwinklige Dreiecke, namlich 4(OAM ), 4(OGD),
4(ODM ) und 4(HDM ).
Dann ist
sin(α + β) =
AM
OM
im rechtwinkligen Dreieck 4(OAM ) und
sin α =
GD
OD
cos α =
HM
MD
im 4(OGD),
 INGENIEURE
VORKURS MATHEMATIK FUR
im 4(HDM ),
cos β =
im 4(ODM ). Dann gilt
sin(α + β) =
OD
OM
und sin β =
35
MD
OM
AH + HM
GD + HM
GD
HM
AM
=
=
=
+
OM
OM
OM
OM
OM
HM M D
GD OD
·
+
·
= sin α · cos β + cos α · sin β.
OD OM
M D OM
Der Spezialfall α = β ergibt
=
sin(2α) = 2 sin α cos α.
Analog erhalt man
cos(α + β) =
OA
OG − AG
OG − HD
OG
HD
=
=
=
−
OM
OM
OM
OM
OM
OG OD
HD M D
·
−
·
= cos α · cos β − sin α · sin β
OD OM
M D OM
Der Spezialfall α = β ergibt nun
=
cos(2α) = cos2 α − sin2 α.
Diese Formeln sind auch geeignet Quadrate von Sinus bzw. Cosinus durch den
Cosinus des Doppelwinkels auszudrucken. Es gilt
und
cos(2α) = cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2 cos2 α − 1
1
⇐⇒ cos2 α = (1 + cos(2α))
2
sin2 α = 1 − cos2 α = 1 −
1
1
(1 + cos(2α)) = (1 − cos(2α)) .
2
2
sin(2α) = 2 sin α cos α,
cos(2α) = cos2 α − sin2 α,
1
cos2 α =
(1 + cos(2α)) ,
2
1
sin2 α =
(1 − cos(2α)) .
2