Automaten und Formale Sprachen WS 06/07

K
TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Priv.-Doz. Dr.rer.nat.habil. K.-H. Niggl, Dipl.-Inf. U. Schellbach
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/afs.html
Automaten und Formale Sprachen WS 06/07
Übungsblatt 4
Abgabetermin: Donnerstag, den 9.11.2006, in der Vorlesung
Aufgabe 1 (NFA aus graphischer Darstellung und Potenzmengenkonstruktion)
Betrachten Sie für eine beliebige, aber fest gewählte natürliche Zahl n den nachfolgenden NFA
in graphischer Darstellung GM für die Sprache L := {waw′ | w, w′ ∈ {a, b}∗ , |w′ | = n}.
a,b
start
GF
ECD
WVUT
/ PQRS
0
a
PQRS
/ WVUT
1
a,b
WVUT
/ PQRS
2
a,b
/ ···
a,b
WVUT
/ PQRS
n
a,b
XYZ[
PQRS
WVUT
/ _^]\
n+1
(a) Bestimmen Sie aus GM die fünf Komponenten des NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) mit L = LM .
(b) Bezeichne M ′ = (P(Q), {a, b}, {0}, F ′ , δ′ ) den zu M äquivalenten DFA, d.h. LM ′ = LM , der
mittels Potenzmengenkonstruktion gemäß Vorlesung aus M hervorgeht. Zeigen Sie durch
vollständige Induktion nach der Länge l von Wörtern über {a, b} die folgende Aussage:
Für alle w ∈ {a, b}∗ gilt: 0 ∈ δb′ ({0}, w)
(∗)
Hinweis: Nach (∗) gilt 0 ∈ B für alle in M ′ erreichbaren Zustände (vgl. Übungsblatt 3)
B ⊆ Q. Also kann man aus P(Q) alle Zustände B mit 0 ∈
/ B streichen, ohne dabei die von
M ′ akzeptierte Sprache zu verändern. Wie viele gibt es davon?
Aufgabe 2 (Potenzmengenkonstruktion für erreichbare Zustände)
Betrachten Sie den nachfolgenden NFA in graphischer Darstellung GM :
start
PQRS
/ WVUT
0
I@ABCD
a,b
a
PQRS
/ WVUT
1
b
PQRS
/ WVUT
2
O
b
PQRS
WVUT
3
b
b
a
PQRS
HIJK
ONML
/ WVUT
5
I@ABCD
a,b
WVUT
/ PQRS
4
(a) Erzeugen Sie mittels Potenzmengenkonstruktion für erreichbare Zustände gemäß
Vorlesung einen zu M äquivalenten DFA M ′ .
(b) Erstellen Sie die graphische Darstellung GM ′ von M ′ .
(c) Vereinfachen Sie GM ′ (und somit M ′ ) durch Studieren der akzeptierenden Zustände.
Aufgabe 3 (Nachweis der Nichtregularität von Sprachen: ohne Pumpinglemma“)
”
l
m
n
Betrachten Sie die Sprache L := {a b c | l, m, n ∈ mit (l+m+n mod 3 = 0 =⇒ m = n)}
N
Zeigen Sie: L ist nicht regulär.
Hinweis: Argumentieren Sie indirekt, indem Sie annehmen, es gelte L = LM für einen DFA
M = (Q, Σ, q0 , F, δ). Folgern Sie daraus zunächst, daß es dann für l ≥ 3|Q| Zahlen m < n ≤ |Q|
mit δ(q0 , al bl cl−3m ) = δ(q0 , al bl cl−3n ) gibt. Leiten Sie daraus einen Widerspruch ab.
2
Automaten und Formale Sprachen WS 06/07
Aufgabe 4 (NFA für eingeschränktes Rucksackproblem)
Übungsblatt 4
N
In der Vorlesung wurde für ein beliebiges, aber fest gewähltes c ∈ mit c ≥ 1 der NFA
{q, q+a} falls q+a ≤ c
M = ({0, 1, . . . , c}, {1, . . . , c}, 0, {c}, δ) mit δ(q, a) :=
{q}
sonst
für die nachfolgende Sprache (zum eingeschränkten Rucksackproblem) betrachtet:
(
)
X
∗
rucksack[c] := a1 . . . al ∈ {1, . . . , c} | ∃I ⊆ {1, . . . , l} :
ai = c
i∈I
Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach der Länge l von Wörtern a1 . . . al ∈ {1, . . . , c}∗ :
)
(
X
X
ai | I ⊆ {1, . . . , l} :
ai ≤ c
(∗∗)
δ̂(0, a1 . . . al ) =
i∈I
Hinweis: Aus (∗∗) folgt wie gewünscht LM = rucksack[c].
i∈I