Logik und Diskrete Strukturen
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Hertrampf/Camino/Wächter
Sommersemester 2017
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 5
Abgabe: A-Gruppen: 05. Juli, 13:15 Uhr; B-Gruppen: 12. Juli, 13:15 Uhr
Besprechung: 29.06. und 30.06. (A-Gruppen); 06.07. und 07.07. (B-Gruppen)
Auf diesem Blatt können Sie bis zu 10,5 Punkte erreichen. 0,5 Punkte davon zählen als Bonuspunkte.
Wichtig: Bitte melden
Scheinklausur an.
Sie sich bis spätestens
12. Juli um 13:15
Uhr über eClaus-Blatt 10
zur
0. Matrikelnummer (schriftlich)
Geben Sie Ihre Matrikelnummer
(0,5 Punkte )
M
an. Wenn Sie nicht allein abgeben, wählen Sie bitte die
Matrikelnummer eines Mitglieds Ihrer Abgabegruppe aus.
1. Erweiterter euklidischer Algorithmus
Bestimmen Sie für jedes der folgenden Paare
Teiler
a)
ggT(m, n)
und zwei
(m, n)
natürliche Zahlen a
von Zahlen den gröÿten gemeinsamen
und
b
mit
ggT(m, n) = am − bn.
(34, 60)
Schriftlich:
b)
(45, 123)
c)
(M, 21),
(2 Punkte )
wobei
M
Ihre Antwort zu Aufgabe 0 sei.
2. Restklassenringe
a) Bestimmen Sie das multiplikative Inverse von
42 + 47Z
in
Z/47Z.
Geben Sie Ihren
Rechenweg an.
Schriftlich:
b) Sei
M
(1 Punkt )
Ihre Matrikelnummer aus Aufgabe 0. Geben Sie den kleinsten nicht negativen
M +97Z an. Bestimmen Sie auÿerdem das multiplikative
Z/97Z. Geben Sie Ihren Rechenweg an.
Repräsentanten der Restklasse
Inverse von
M + 97Z
in
Hinweis: Sollte Ihre Matrikelnummer nicht teilerfremd zu 97 sein, wenden Sie sich bitte
an die Übungsleiter.
3. Simultane Kongruenzen
Geben Sie für folgende Systeme von Kongruenzen jeweils die Lösungsmenge an:
a)
x≡2
x≡1
x≡2
mod 3
mod 2
mod 5
b)
x ≡ −4
3x ≡ 2
x+4≡0
mod 6
mod 4
mod 9
c)
Schriftlich:
d)
7x ≡ 1
x−4≡5
3x ≡ 0
x≡2
x≡3
mod 4
mod 6
(3 Punkte )
mod 10
mod 6
mod 9
e)
5x ≡ 10
x−2≡0
x≡1
mod 42
mod 7
mod 3
f)
3x ≡ 2 mod 9
4. RSA-Verfahren
In dieser Aufgabe werden wir Textnachrichten bzw. Wörter mithilfe des RSA-Verfahrens
(n, e)
ver- und entschlüsseln. Dabei verwenden wir öentliche Schlüssel
Elemente des Restklassenrings
r + 33Z
schreiben wir einfach
in eine Folge
Σ = { 1 , A, B, . . . , Z, !, =, §, ©, ,
a1 , . . . , an ∈ Σ wird dann entsprechend folgender
([z1 ], . . . , [zn ]) von Restklassen aus Z/33Z codiert.
mit
[0]
Klasse
Zeichen
Klasse
Zeichen
Für die
2
}.
Ein Wort
Tabelle buchstabenweise
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
!
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
=
©
§
Zeichen
Klasse
n = 33.
führen wir eine abkürzende Schreibweise ein: Statt
Z/33Z
[r].
Als Alphabet für die Wörter wählen wir
w = a1 . . . an
mit
Beispiel: Das Wort IST SUPER
wird als Folge
([32], [0], [9], [19], [20], [0], [19], [21], [16], [5], [18], [31])
codiert.
Eine Folge
([z1 ], . . . , [zn ]) ∈ (Z/33Z)n
wird elementweise ver- bzw. entschlüsselt.
a) Verschlüsseln Sie mit dem öentlichen Schlüssel
Worts IST SUPER
(n, e) = (33, 3)
die Codierung des
.
b) Ihnen fällt zufällig die Nachricht
([13], [26], [17], [26], [3], [19])
in die Hände. Sie wissen,
dass diese mithilfe des RSA-Verfahrens mit dem öentlichen Schlüssel
(n, e) = (33, 3)
verschlüsselte wurde. Wie lautet die entschlüsselte und decodierte Nachricht?
Schriftlich:
Sei
M
(4 Punkte )
Ihre Antwort zu Aufgabe 0.
M als Wort d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 mit d1 , . . . , d7 ∈
{0, . . . , 9} auf. Verschlüsseln Sie die Folge ([d1 ], . . . , [d7 ]) mit dem öentlichen Schlüssel
(n, e) = (33, 13).
c) Fassen Sie die Dezimaldarstellung von
d) Wieder fallen Ihnen (natürlich rein zufällig) folgende vier verschlüsselte Nachrichten in
die Hände:
y0 = ([14], [17], [26], [9], [25])
y2 = ([12], [9], [13], [3], [11])
y1 = ([12], [21], [31], [28], [15])
y3 = ([8], [3], [8], [26], [24])
(n, e) = (33, 13) verschlüsSchlüssel (p, q, s). Geben Sie Ihren
(i) Die Nachrichten wurden mit dem öentlichen Schlüssel
selt. Bestimmen Sie den zugehörigen privaten
Rechenweg an oder beweisen Sie die Korrektheit Ihres Ergebnisses.
(ii) Bestimmen Sie zunächst das
i ∈ {0, 1, 2, 3}
(iii) Entschlüsseln und decodieren Sie die
1 Dieses
2 Dieses
Zeichen stellt ein Leerzeichen dar.
Zeichen ist Theo, der eiÿige FMI-Biber.
i ≡ M mod 4.
Nachricht yi .
mit
