Kursarbeit

FM-25.11.2005 - 00:54 - C:\Dokumente und Einstellungen\Fritz\Eigene Dateien\Officeprivat\SCHULE\ARBEITEN\M\13LK\KA13_05\Analysis\AnalysisI_Aufg.DOC
MONS-TABOR-GYMNASIUM MONTABAUR
Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Leistungsfachanforderungen
Aufgabe I
Analysis
Durch
1

fk : x → k 2  x +  ⋅ e − kx ; k > 0
k

ist in R eine Funktionenschar gegeben. Der Graph von fk sei Gk.
1.1
Bestimme die Nullstellen von Gk.
Untersuche das Verhalten der Scharfunktionen für x → +∞ und x → − ∞ .
1.2
Bestätige:
fk ' (x ) = −k 3 x ⋅ e −kx
und fk ' ' (x ) = k 3 (k ⋅ x − 1) ⋅ e −kx
Bestimme Lage und Art des Extrempunktes von Gk.
Zeige, dass Gk einen Wendepunkt hat und gib dessen Koordinaten an.
Zeichne mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen von f1 für –1,5 ≤ x ≤ 4
(LE 2 cm).
Die Wendetangente wk von Gk bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Zeige, dass der Inhalt dieses Dreiecks von k unabhängig ist.
1.3
1.4
Zur Kontrolle:
1.5
wk : x → −
k2
3k
x+
e
e
1
den Inhalt Ak(u) der Fläche, die von Gk, der x-Achse und der
k
Geraden mit der Gleichung x = u begrenzt wird.
Bestimme lim Ak(u)
Berechne für u ≥ −
u→∞
1.6
Gegeben ist eine Integral-Funktion Fk von fk durch
Fk (x ) =
x
∫ f (z ) dz
k
für x ∈ R.
1
−
k
Untersuche ohne Berechnung einer Stammfunktion den Graphen von Fk auf Monotonie, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.
2.
Die Funktionenschar gk ist gegeben durch
1

 fk (x ) für x ≤ k
gk (x ) = 
c
1
 + d für x >
k
x
2.1
Bestimme c und d so, dass gk an der Stelle x =
2.2
Ist gk an der Stelle x =
1
stetig und differenzierbar ist.
k
1
zweimal differenzierbar?
k
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MONS-TABOR-GYMNASIUM MONTABAUR
Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Grundfachanforderungen
Aufgabe I
Analysis
Die Funktion f ist durch
Der Graph von f sei G.
f : x → (x + 1) ⋅ e − x
gegeben
1.1
Bestimme die Nullstellen von G.
Untersuche das Verhalten von f für x → +∞ und x → − ∞ .
1.2
Bestätige:
f ' (x ) = − x ⋅ e − x
und
f ' ' (x ) = (x − 1) ⋅ e − x
Bestimme Lage und Art des Extrempunktes von G.
Zeige, dass G einen Wendepunkt hat und gib dessen Koordinaten an.
Zeichne mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen von f für –1,5 ≤ x ≤ 4 (LE
2 cm).
Die Wendetangente w von G bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne den Inhalt dieses Dreiecks.
1.3
1.4
Zur Kontrolle:
1.5
3
1
w:x→− x+
e
e
Berechne für u > -1 den Inhalt A(u) der Fläche, die von G, der x-Achse und der
Geraden mit der Gleichung x = u begrenzt wird.
Bestimme lim A(u)
u→∞
1.6
Gegeben ist eine Integral-Funktion F von f durch
x
F(x ) = ∫ f (z ) dz
für x ∈ R.
−1
Untersuche ohne Berechnung einer Stammfunktion den Graphen von Fk auf Monotonie, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen.
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Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Aufgabe II
Leistungsfachanforderungen
Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Geradenscharen
 − 2
 0   1
 1
 
   
 
und
gu : x =  2  + s  u  ; u, s ∈ R
hv : x =  2  + t  v  ; v, t ∈ R
 0 
 2  0 
 2
 
   
 
sowie die Ebene E1 : x1 − x 2 + 4 = 0 gegeben.
1.1
1.2
1.3
Beschreibe exakt die Lage von E1 im Raum.
Für welchen Wert von u liegt gu ganz in E1?
Für welche Werte von u und v schneiden sich gu und hv orthogonal?
Im Folgenden sei stets u = 1 und v = -1.
2.1
Stelle eine Koordinatengleichung der durch g1 und h-1 bestimmten Ebene E2 auf.
Zur Kontrolle:
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
E2: x1 + x2 – x3 = 0
Welchen Winkel schließt E2 mit der x1-x2-Ebene ein?
Stelle die Ebene E3 parallel zu E2 durch den Punkt Q(1|5|3) in Koordinatenform
dar.
Berechne den Abstand der Ebenen E2 und E3.
Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden f von E1 und E3. Wie liegen g1 und f
zueinander?
Gegeben ist die dreiseitige Pyramide mit den Eckpunkten
A(1|1|0) ; B(3|2|0) ; C(2|3|2) ; D(2|2|2).
Berechne das Volumen der Pyramide.
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MONS-TABOR-GYMNASIUM MONTABAUR
Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Aufgabe II
Grundfachanforderungen
Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Geradenscharen
 1
 − 2
0  1 
 
 
   
und
gu : x =  2  + s  u  ; u, s ∈ R
h : x =  2  + t  − 1 ; t ∈ R
 2
 0 
 2  0 
 
 
   
sowie die Ebene E1 : x1 − x 2 + 4 = 0 gegeben.
1.1
1.2
1.3
Beschreibe exakt die Lage von E1 im Raum.
Für welchen Wert von u liegt gu ganz in E1?
Für welchen Werte von u schneiden sich gu und h orthogonal? Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Im Folgenden sei stets u = 1.
2.1
Stelle eine Koordinatengleichung der durch g1 und h bestimmten Ebene E2 auf.
Zur Kontrolle:
2.2
2.3
E2: x1 + x2 – x3 = 0
2.6
Welchen Winkel schließt E2 mit der x1-x2-Ebene ein?
Stelle die Ebene E3 parallel zu E2 durch den Punkt Q(1|5|3) in Koordinatenform
dar.
Berechne den Abstand der Ebenen E2 und E3.
Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden f von E1 und E3. Wie liegen g1 und f
zueinander?
Stelle die Gleichung der Lotgeraden l zu E3 auf, die durch den Ursprung verläuft.
2.7
Welche Punkte der Geraden l haben von P(0|2|2) den Abstand
2.4
2.5
35 ?
FM-25.11.2005 - 00:59 - C:\Dokumente und Einstellungen\Fritz\Eigene Dateien\Officeprivat\SCHULE\ARBEITEN\M\13LK\KA13_05\Stochastik\Stochastik_Aufg.DOC
MONS-TABOR-GYMNASIUM MONTABAUR
Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Leistungsfachanforderungen
Aufgabe III
Stochastik
1.
In Las Vegas spielt man Lotto „4 aus 20“. Es werden also aus 1 bis 20 zunächst 4
Zahlen und anschließend eine Zusatzzahl gezogen. Es gibt folgende Gewinnstufen:
A: 3 Richtige ohne Zusatzzahl
B: 3 Richtige und Zusatzzahl
C: 4 Richtige
Hinweis: „Richtige“ bezieht sich auf eine der 4 zuerst gezogenen Zahlen.
1.1
1.2
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man
die einzelnen Gewinnstufen,
keinen Gewinn?
2.
A und B seien Ereignisse eines Ereignisraumes mit P(A ) =
PA (B ) =
3.
3.1
3.2
3.3
4.
4.1
4.2
4.3
1
1
, PB (A ) = und
3
9
1
. Berechne P(B ) , P(A ∩ B ) und PB (A )
6
Dorothea wirft 10 Laplace-Münzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen lauter
Wappen oben, falls
die erste Münze Wappen zeigt,
mindestens eine Münze Wappen zeigt,
mindestens 8 Münzen Wappen zeigen?
Zum Schüleraustausch zwischen Schulen aus Montabaur und Burgund treffen sich
80 Deutsche und 120 Franzosen. Von den deutschen Schülern sind 60 % blond,
aber nur 20 % der Franzosen.
Wie viel Prozent aller Teilnehmer sind blond?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein blonder Teilnehmer ein Franzose?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein nicht-blonder Teilnehmer ein Deutscher?
BITTE WENDEN!
FM-25.11.2005 - 00:59 - C:\Dokumente und Einstellungen\Fritz\Eigene Dateien\Officeprivat\SCHULE\ARBEITEN\M\13LK\KA13_05\Stochastik\Stochastik_Aufg.DOC
5.
Es werde mit zwei Laplace-Würfeln gewürfelt. Bei 4 € Einsatz gelte folgender Auszahlungsplan:
Augensumme
Auszahlung in Euro
gerade Primzahl
ungerade Primzahl
gerade Nicht-Primzahl
ungerade Nicht-Primzahl
5.1
5.2
5.3
6.
9
5
3
0
Die Zufallsvariable G beschreibe den Reingewinn bei diesem Spiel.
Welche Werte kann G annehmen? Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von G.
Berechne den Erwartungswert von G.
Wie muss die Auszahlung für den Fall einer ungeraden Nicht-Primzahl gewählt
werden, damit das Spiel fair wird?
Bei CD-Laufwerken kommt es darauf an, dass die Umdrehungszahl möglichst konstant bleibt. Die Antriebsmotoren einer Firma weren getestet. Dabei werden die
Abweichungen vom Sollwert in 4 Stufen angegeben und durch die Zufallsvariable
Abweichungsgrad (X) mit den Werten 0, 1, 2 und 3 beschrieben. Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer solchen Abweichung gilt:
0
1
2
3
0,70
0,20
0,06
0,04
Abweichungsgrad xi
P(X = xi)
Berechne die Standardabweichung.
FM-25.11.2005 - 00:59 - C:\Dokumente und Einstellungen\Fritz\Eigene Dateien\Officeprivat\SCHULE\ARBEITEN\M\13LK\KA13_05\Stochastik\Stochastik_Aufg.DOC
MONS-TABOR-GYMNASIUM MONTABAUR
Kursarbeit 13 M L3
24.11.2005
Mathematik
Grundfachanforderungen
Aufgabe III
Stochastik
1.
In Las Vegas spielt man Lotto „4 aus 20“. Es werden also aus 1 bis 20 zunächst 4
Zahlen und anschließend eine Zusatzzahl gezogen. Es gibt folgende Gewinnstufen:
A: 3 Richtige ohne Zusatzzahl
B: 3 Richtige und Zusatzzahl
C: 4 Richtige
Hinweis: „Richtige“ bezieht sich auf eine der 4 zuerst gezogenen Zahlen.
1.1
1.2
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man
die einzelnen Gewinnstufen,
keinen Gewinn?
2.
A und B seien Ereignisse eines Ereignisraumes mit P(A ) =
P(A ∩ B ) =
3.
3.1
3.2
4.
4.1
4.2
(
)
()
7
1
, PB = ,
3
9
1
. Berechne P(A ∪ B ) , PA (B ) und P A ∩ B .
9
Dorothea wirft 10 Laplace-Münzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen lauter
Wappen oben, falls
die erste Münze Wappen zeigt,
mindestens eine Münze Wappen zeigt,
Zum Schüleraustausch zwischen Schulen aus Montabaur und Burgund treffen sich
80 Deutsche und 120 Franzosen. Von den deutschen Schülern sind 60 % blond,
aber nur 20 % der Franzosen.
Wie viel Prozent aller Teilnehmer sind blond?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein blonder Teilnehmer ein Franzose?
BITTE WENDEN!
FM-25.11.2005 - 00:59 - C:\Dokumente und Einstellungen\Fritz\Eigene Dateien\Officeprivat\SCHULE\ARBEITEN\M\13LK\KA13_05\Stochastik\Stochastik_Aufg.DOC
5.
Es werde mit zwei Laplace-Würfeln gewürfelt. Bei 4 € Einsatz gelte folgender Auszahlungsplan:
Augensumme
Auszahlung in Euro
gerade Primzahl
ungerade Primzahl
gerade Nicht-Primzahl
ungerade Nicht-Primzahl
5.1
5.2
6.
9
5
3
0
Die Zufallsvariable G beschreibe den Reingewinn bei diesem Spiel.
Welche Werte kann G annehmen? Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von G.
Berechne den Erwartungswert von G.
Bei CD-Laufwerken kommt es darauf an, dass die Umdrehungszahl möglichst konstant bleibt. Die Antriebsmotoren einer Firma weren getestet. Dabei werden die
Abweichungen vom Sollwert in 4 Stufen angegeben und durch die Zufallsvariable
Abweichungsgrad (X) mit den Werten 0, 1, 2 und 3 beschrieben. Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer solchen Abweichung gilt:
0
1
2
3
0,70
0,20
0,06
0,04
Abweichungsgrad xi
P(X = xi)
Berechne die Standardabweichung.