17 Trigonometrie
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (17) Zum Themengebiet Trigonometrie (erstellt in Zusammenarbeit mit der Jacob-Grimm-Schule Rotenburg a.d.F.) Vorschlag 17.1: Flussbreite .................................................................................... 3 Mithilfe „mathematischer Ausrüstung“ und trigonometrischer Kenntnisse soll ein Verfahren zur Bestimmung der Breite eines realen Flusses entwickelt und getestet werden Vorschlag 17.2: Vermessungen .............................................................................. 4 „Wie kann man eigentlich die Höhe eines Berges bestimmen?“ Einführung in Vermessungen mit Theodoliten inkl. Bauanleitung Vorschlag 17.3: Dreieckswelle ................................................................................ 7 Empirische Entwicklung der Sinuskurve Vorschlag 17.4: Gruppenpuzzle Sinuskurve ........................................................ 9 Mithilfe von Expertengruppen werden die Einflüsse der verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion geklärt Vorschlag 17.5: Tageslänge .................................................................................. 11 Modellierung der Tageslänge im Verlauf eines Jahres mithilfe trigonometrischer Funktionen Vorschlag 17.6: Periodische Vorgänge ................................................................ 13 Einführende Behandlung periodischer Vorgänge anhand eines Kühlschrank-Temperaturreglers Vorschlag 17.7: Die aufgehängte Erdkugel ........................................................ 15 Variation der bekannten „Schnur um Erde“-Aufgabe mit erstaunlichem Ergebnis. Dabei muss mit Hilfe der Trigonometrie eine Gleichung aufgestellt werden, für die es keinen Lösungsalgorithmus gibt. Abhilfe schafft Probieren oder der Einsatz eines CAS Vorschlag 17.8: Basketball ................................................................................... 17 „Wie muss man den Basketball werfen, damit er im Korb landet?“ Einige einfache Modellierungen Vorschlag 17.9: Dreiecke im Quadrat ................................................................. 20 Innermathematische Aufgabe mit u.a. einem trigonometrischen Lösungsweg Vorschlag 17.10: Entfernungsberechnung ........................................................ 21 Mit Pappe, Gummiband und Trigonometrie werden Entfernungen zwischen verschiedenen Städten bestimmt Vorschlag 17.11: Stern .......................................................................................... 22 Abstandsberechnungen an einem symmetrischen fünfzackigen Stern mit Hilfe der Trigonometrie Vorschlag 17.12: Buchstaben-Geometrie ............................................................ 23 Untersuchung von Buchstaben mit Hilfe mathematischer Methoden Vorschlag 17.13: Über den Wolken ..................................................................... 25 Warum der Start eines Flugzeuges nur dank trigonometrischer Berechnungen für die Passagiere zumutbar ist, soll Gegenstand dieser Aufgabe sein Vorschlag 17.14: Wasserglas ................................................................................ 26 Trigonometrische Berechnungen an einem geneigten Wasserglas Vorschlag 17.15: Hofmathematik ........................................................................ 27 Als berühmte Mathematiker erhalten die Schüler einen Brief zur Winkeldreiteilung, in dem sie um Rat gefragt werden. Mit Hilfe des Kosinussatzes kann das Verfahren abgelehnt werden Vorschlag 17.16: Methan ...................................................................................... 29 Beim Methan-Molekül können Bindungswinkel und die -länge zwischen Wasserstoff und Kohlenstoff mithilfe einfacher trigonometrischer Berechnungen ermittelt werden Vorschlag 17.17: Segler im Watt in Seenot ......................................................... 30 Um einen Plan zur Bergung eines Leck geschlagenen Schiffes zu entwickeln, bedarf es in diesem Fall trigonometrischer Kenntnisse Vorschlag 17.18: Internetadressen und Programme zur Trigonometrie ........ 33 Verschiedene Internetadressen bzw. Programme zum Thema Trigonometrie Vorschlag 17.19: Aufgaben zur Anwendung ...................................................... 34 Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung von Kenntnissen über Trigonometrie Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Vorschlag 17.1: Flussbreite Bildet Gruppen aus 3-4 Personen und überlegt euch ein möglichst allgemeines Verfahren, um die Breite von Flüssen zu bestimmen. Folgende Materialien werden euch dafür zur Verfügung gestellt: 1 Maßband 3 Pflöcke 1 Seil 1 großes Geodreieck, wie es für die Tafel benutzt wird ? 1 langes Tafellineal Testet euer Verfahren an einem realen Fluss oder Bach und versucht es eventuell zu verbessern. Dokumentiert die Aktion mithilfe von Skizzen, Fotos und Text auf einem Wandplakat. Flussbreite: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Aktive Anwendung trigonometrischer Kenntnisse Variationen der Aufgabe: Sollte kein Fluss in der Nähe sein, kann man entweder einen mit Kreide auf dem Schulhof simulieren oder besser versuchen, die Höhe eines Gebäudes zu bestimmen. Lösungen: Zuerst steckt man mit zwei Pflöcken (A und B) an einem Uferrand eine Strecke parallel zum Fluss ab (Länge AB ). Danach steckt man den dritten Pfosten auf der anderen Uferseite so in den Boden, dass die Strecke AB und die Strecke BC orthogonal zueinander stehen. Alternativ wird ein besonders gut sichtbarer Punkt am anderen Ufer (z.B. ein Baum) angepeilt. Nun bestimmt man mithilfe des Winkelmessers und des Tafellineals als „Markierstab“ den Winkel (Winkelmesser an die Strecke AB anlegen und den Punkt C BC mithilfe des Tafellineals anpeilen). Nun ergibt sich aus tan die Lösung. Alternativ AB kann man auch ein normales Geodreieck und einen Strohhalm verwenden. Eignung, (mögliche) Methoden: Gruppenarbeit Vielfältige Präsentationsmöglichkeiten (z.B. Markt der Möglichkeiten) 3 Vorschlag 17.2: Vermessungen Auf einem Hügel namens Ffynnon Garw in Wales; um die Jahrhundertwende; zwei Vermessungstechniker bei der Arbeit, zahlreiche Dorfbewohner warten gespannt auf das Ergebnis. Pfarrer: Nun, wie hoch ist er? 1.Vermessungstechniker: Bitte, bitte vor uns liegen noch stundenlange Berechnungen. 2.Vermessungstechniker: Ich fürchte, Sie werden noch etwas Geduld aufbringen müssen, doch heute Abend wissen wir’s. […] Dorftrottel: Später wissen Sie’s dann. Wie denn? 2.Vermessungstechniker: Nun, wir haben Messungen vorgenommen in Bezug auf die beiden Hügel da, die Höhe […] kennen wir schon. Dorftrottel: Wie wurden die denn gemessen? 2.Vermessungstechniker: Auf dieselbe Art, im Vergleich zu anderen Hügeln. Dorftrottel: Und wer hat die gemessen? Pfarrer: Gott, mein Junge, Gott!!! … Zitiert aus dem Film: „Der Engländer, der auf einen Hügel stieg und von einem Berg herunterkam“: In diesem Film spielt Hugh Grant einen freundlichen Kartographen, der bei einer Landvermessung im Sommer 1917 ungewollt eine ganze walisische Kleinstadt gegen sich aufbringt. Er erklärt den Berg, auf den die Bürger so stolz sind, kurzerhand zum Hügel. Der Wirt des Ortes reagiert prompt: Der übergenaue Engländer wird gefangen gesetzt, bis der Hügel von den Bürgern um die fehlenden fünf Meter, und somit amtlich, zum 'Berg' erhöht wurde ... Wie könnten die beiden Vermessungstechniker die Höhe des Berges gemessen haben? Quelle: Katja Maaß: Moderne Vermessungstechnik. In: Mathematische Unterrichtspraxis 21 /2000/ 4, S. 6-17. Historisches zum Theodolit: Seit dem 16. Jahrhundert ermöglicht die Erfindung des Theodoliten, größere Distanzen und Flächen in der Vermessungstechnik auf völlig neue Art zu bestimmen. In seiner einfachen Form besteht der Theodolit aus einem Fernrohr, das man um zwei Achsen (vertikal und horizontal) drehen kann. Teilkreise mit Skalen gestatten, die Horizontalwinkel und Vertikalwinkel (Höhenwinkel) zu messen. Zwischen Theodolit und dem Gegenstand, dessen Höhe gemessen werden soll, besteht Sichtverbindung. Mit Hilfe des Visierrohrs wird die Spitze des Objekts angepeilt. Wenn das Fadenkreuz genau auf die Spitze zeigt, kann der richtige Winkel am Höhenmesser abgelesen werden. In den letzten Jahren wirkte sich die rasche Entwicklung der Mikroelektronik revolutionierend auf die Entwicklung der Vermessungsverfahren und Instrumente aus. Moderne Theodoliten können nicht nur vertikale und horizontale Winkel, sondern mit Hilfe von Infrarotstrahlen auch Entfernungen bis 3 km auf 2 mm genau messen. Die Messdaten werden dann per Computer ausgewertet. 4 Vermessungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Bearbeitung einer offenen Fragestellung Bedeutung der Mathematik in technischen Instrumenten verdeutlichen Variationen der Aufgabe: Die Informationen über den Theodolit können den Schülern erst später ausgehändigt werden, um sie vorher nicht schon beim Bearbeiten der offenen Fragestellung zu beeinflussen. Bau eines Theodoliten (Arbeitsaufträge und Anleitung auf der nächsten Seite): Ziel: Praktische Anwendung trigonometrischer Kenntnisse kennen lernen Herstellen eines „mathematischen“ Instruments Variationen der Aufgabe: Statt den Theodolit selbst zu bauen, kann man z.B. bei einer Universität oder der Stadt einen Theodoliten ausleihen und/oder einen Experten bitten, die Funktionsweise zu demonstrieren Besuch eines Technikmuseums (in Kassel z.B. Astronomiemuseum in der Orangerie) Eignung, (mögliche) Methoden: Gruppenarbeit Besuch eines Technikmuseums: Expertenbefragung (siehe Variationen) Der Bau eines Theodolits kann z.B. innerhalb einer AG oder Projektwoche erfolgen. Fächerübergreifende Behandlung möglich (Physik, Geschichte, Erdkunde) Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit mit anschließender Diskussion im Plenum Fächerübergreifende Behandlung möglich (Physik, Geschichte) 5 a) Fertige zunächst eine Zeichnung an, die die Höhenmessung mithilfe eines Theodolits darstellt. Schreibe im Anschluss daran eine Gebrauchsanleitung, die einem Laien die (mathematische) Funktionsweise des Theodolits erklärt. b) Baut mithilfe der nebenstehenden Skizze und der folgenden Materialliste den unten abgebildeten einfachen Theodoliten und messt die Höhe des Schulgebäudes Quelle: Joachim Becherer: Einblicke Mathematik 10, Klett Verlag, Stuttgart 2001, S. 102f. Materialliste zum Bau eines Theodoliten: Stativ Stativbeine aus Holzlatten (5 cm x 2 cm x 110 cm) [Ersatzweise kann man auch ein Fotostativ verwenden] Horizontalskala Keksdose ( ca. 20 cm) zum Anbringen der Horizontalwinkel Horizontalskala an der Keksdose mit selbstklebendem Gewebeband versehen Visierrohr Halterung für das Visierrohr aus Holzlatten (5 cm x 1 cm x 30 cm) Haltegriff aus Rundholz ( 2 cm) Visierrohr aus Pappe ( 4-5 cm, Länge ca. 40-50 mm) Visierrohr vorn: eine kleine Öffnung ( 2 mm) Visierrohr hinten: ein Fadenkreuz aus Bindfaden Höhenwinkelmesser Ein großes Geodreieck (25 cm lang) Senklot Lot für den Höhenmesser: ein kleiner Stein an einem Nähfaden oder ein Senkblei 6 Vorschlag 17.3: Dreieckswelle 7 Die vorherige Seite kopiert man am besten für jeden Schüler und zieht sie einmal auf Overheadfolie. Nun gibt man den Schülern den Arbeitsauftrag jeweils ein Dreieck mit einem Punkt auf dem Einheitskreis und einem „Winkelstrahl“ (insgesamt gibt es in der obigen Zeichnung 24 solcher „Winkelstrahlen“) als Hypotenuse zu zeichnen. Nun bestimmt jeder Schüler für sein Dreieck die Länge der Gegenkathete, und trägt diese in das Koordinatensystem als f(x) ein. Wenn alle fertig sind, kann man die Ergebnisse auf der Overheadfolie sammeln und erhält so die Sinuskurve. Quelle: Wir basteln geometrische Körper, Verlag an der Ruhr. Dreieckswelle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung der Sinuskurve Variationen der Aufgabe: Enaktivierung und Dynamisierung durch „Kaugummi auf der Schallplatte“. Dabei kann der qualitative Verlauf der Funktion bereits ermittelt werden. Statt die Sinuskurve kann man ebenso gut die Kosinusfunktion zeichnen lassen Parallele Entwicklung von Sinus- und Kosinusfunktion in verschiedenen Gruppen. Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- und Gruppenarbeit 8 Vorschlag 17.4: Gruppenpuzzle Sinuskurve Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x) = a sin (b (x – c)) + d. Um herauszufinden, welchen Einfluss die Parameter a, b, c und d haben, bildet vier Gruppen a, b, c und d (so genannte Expertengruppen) und bearbeitet die Aufgaben für eure Gruppe. Im Anschluss daran werden die Gruppen untereinander so gemischt, dass in jeder Gruppe mindestens ein Experte für jeden Parameter ist. Diese so genannten Stammgruppen bearbeiten alle dieselben Aufgaben. Zeichnet zunächst die Funktionen 1-5 und versucht herauszufinden, wie sich eine Veränderung des Parameters auswirkt, um letztendlich eine für alle verständliche Beschreibung seines Einflusses auf den Funktionsverlauf zu erhalten. Gruppe a Gruppe b 1. f(x) = sin (x) 1. f(x) = sin (x) 2. f(x) = 2 sin (x) 2. f(x) = sin (2 x) 3. f(x) = -½ sin (x) 3. f(x) = sin (¾ x) 4. f(x) = -4 sin (x) 4. f(x) = sin (-4 x) 5. f(x) = ¾ sin (x) 5. f(x) = sin (-½ x) Formuliert einen kurzen Text, der den Einfluss des Parameters a erläutert. Formuliert einen kurzen Text, der den Einfluss des Parameters b erläutert. Gruppe c Gruppe d 1. f(x) = sin (x) 1. f(x) = sin (x) 2. f(x) = sin (x - ) 2. f(x) = sin (x) - ½ 3. f(x) = sin (x + /2) 3. f(x) = sin (x) + ¾ 4. f(x) = sin (x + 2) 4. f(x) = sin (x) - 3 5. f(x) = sin (x - /2) 5. f(x) = sin (x) + Formuliert einen kurzen Text, der den Einfluss des Parameters c erläutert. Formuliert einen kurzen Text, der den Einfluss des Parameters d erläutert. Versucht die folgenden vier Funktionen ohne Wertetabelle zu zeichnen. Stammgruppen 1. f(x) = 2 sin (2 (x - )) - ½ 3. f(x) = ½ sin (-1 (x + 2) - 1 2. f(x) = -3 sin (½ (x + /2) + 2 4. f(x) = 0 sin ( (x - 2)) + 4 9 Gruppenpuzzle Sinuskurve: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Übertragung der Verantwortung für den Lernprozess auf die Schüler Förderung der mathematikbezogenen Kommunikation zwischen Schülern innerhalb der Experten- bzw. Stammgruppen Erkennen der geometrischen Bedeutung der verschiedenen Parameter Variationen der Aufgabe: Einsatz des PCs! Hier kann man natürlich auch statt der Sinusfunktion die Kosinusfunktion betrachten Eignung, (mögliche) Methoden: Gute Binnendifferenzierung über die verschieden „schwierigen“ Parameter möglich Gruppenarbeit 10 Vorschlag 17.5: Tageslänge Im Verlauf eines Jahres ändert sich aufgrund der geneigten Erdachse die astronomische Sonnenscheindauer, d.h. die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und -untergang. In unseren Breiten ist die Sonne am 21.6. mit ca. 16,5 Stunden am längsten und am 21.12. mit ca. 8 Stunden am kürzesten zu sehen. a) Wähle aus den folgenden drei allgemeinen trigonometrischen Funktionen eine aus und stelle mit ihr eine Funktionsgleichung auf, die die Tageslänge im Verlauf eines Jahres angibt (x-Achse: Anzahl der Tage / y-Achse: Tageslänge). 1. f(x) = a sin (b (x – c)) + d 2. g(x) = a cos (b (x – c)) + d 3. h(x) = a tan (b (x – c)) + d b) Bestimme mithilfe der Gleichung aus Aufgabe a) die Tageslängen am 10. Juli. c) In der folgenden Tabelle siehst du exemplarisch für jeden Monat die astronomische Sonnenscheindauer für jeweils einen Tag angegeben. Überprüfe, in welchen Monaten deine Funktion besonders große bzw. besonders kleine Abweichungen von der tatsächlichen astronomischen Sonnenscheindauer hat, und versuche, deine Funktion zu optimieren. Datum Taglänge [h] d) 21.01 21.02 21.03 21.04 21.05 21.06 21.07 21.09 21.10 21.11 21.12 8,65 10,40 12,24 14,24 15,86 16,60 15,71 12,27 10,35 8,61 7,86 Wann ändert sich von einem auf den anderen Tag die Tageslänge am meisten? Versuche herauszufinden, ob sich dies astronomisch erklären lässt! Quelle: Griesel; Postel: Elemente der Mathematik 11, Schroedel: 2000, S. 76f. (verändert) 11 Tageslänge: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Mathematisches Modellieren eines Naturphänomens Aufstellen trigonometrischer Funktionsgleichungen Variationen der Aufgabe: Bestimmung einer Funktionsgleichung, die den Sonnenstand in der Mittsommersonne am Nordkap beschreibt. Wahl anderer Parameter, abschnittsweise definieren einer Funktion, Wahl einer anderen als einer trigonometrischen Funktion,… Lösungen: a) Modellierung durch Sinuskurve f(x) = a sin (b (x – c)) + d: 2 Periodenlänge beträgt ca. 365 Tage. Damit klar: b 365 Maximum wird am 21.6. (172. Tag) und. Minimum am 21.12. (355. Tag) angenommen. 16,5 8 4,25 festgesetzt werden. Der Mittelwert von Folglich muss die Amplitude a als 2 12,25 wird dabei ungefähr am 21.3. (dem 80. Tag) und 21.9. angenommen. Damit sind auch c 2 x 80 12,25 . und d klar. Insgesamt erhalten wir: f ( x) 4,25 sin 365 b) Der 10. Juli ist der 191 Kalendertag. Demnach 2 f (191) 4,25 sin 191 80 12,25 16,26 16 365 Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit Gut geeignet für den Einsatz von Computer Fächerübergreifende Zusammenarbeit mit dem Physiklehrer möglich 12 Vorschlag 17.6: Periodische Vorgänge Der Thermostat eines Kühlschranks schaltet das Kühlaggregat ein sobald die Temperatur auf 4°C steigt. Innerhalb von 5 Minuten wird der Kühlschrank auf 3°C abgekühlt. Nach 30 Minuten ist die Temperatur wieder auf 4°C gestiegen und das Kühlaggregat springt wieder an. a) Zeichne einen möglichen Graphen der Funktion, die diesen Vorgang für einen längeren Zeitraum beschreibt. b) Solch einen Vorgang nennt man einen periodischen Vorgang. Periodisch bedeutet dabei „in regelmäßigen Abständen wiederkehrend“. Erläutere, was damit gemeint sein kann, und entwickle eine Definition für „periodische Vorgänge“. c) Untersuche die folgenden Zuordnungen und drei möglichst unterschiedliche weitere reale Beispiele deiner Wahl darauf, ob es sich um periodische Funktionen handelt. Begründe deine Entscheidung. Gib ggf. einschränkende Bedingungen und die Periodenlänge an. i) Drehwinkel Höhe der Kabine eines Riesenrades über dem Boden ii) Zeit Wasserstand der Fulda iii) Weg Höhe des Ventils über der Straße am Hinterrad eines rollenden Fahrrads d) Finde jeweils einen weiteren periodischen Vorgang in der Natur und in technischen Geräten und beschreibe diese Vorgänge möglichst genau mit deinen eigenen Worten. Quelle: Jahnke et al: Analysis, Cornelsen: 2002, S. 101 (verändert). 13 Periodische Vorgänge: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung von periodischen Vorgängen Variationen der Aufgabe: Aufgabenteil d) kann um etliche Beispiele erweitert werden. Vielleicht interessant: Ein Punkt auf dem Inneren einer Tesafilmrolle wird markiert. Jetzt zieht man gleichmäßig am Tesafilm. Ist die Zuordnung Zeit Höhe des markierten Punktes auf der Tesafilmrolle periodisch? Lösungen: a) 4,5 4 3,5 3 2,5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Temperatur [°C] Temperaturverlauf Zeit [min] b) Beispiel: „In regelmäßigen Abständen wiederholen sich alle Funktionswerte.“ D.h. misst man zu einem bel. Zeitpunkt die Temperatur und dann alle 35min wieder, hat der Kühlschrank immer die gleiche Temperatur. c) Natur: Tageslänge (von Sonnenauf- bis Sonnenuntergang) über ein Jahr verteilt, Sonnenstand der Mittsommersonne am Nordkap (siehe Deckblatt), Tidenkurve,… Technik: Backofen, EKG,… d) i) periodisch: Jedem Winkel ist eindeutig eine Höhe der Kabine zugeordnet. Dabei Höhe( ) = Höhe( + 360). Winkel völlig unabhängig von Zeit, Geschwindigkeit etc. ii) nicht periodisch: wohl gewisse Regelmäßigkeiten innerhalb eines Jahres, die durch Wetterlage beeinflusst werden, aber keine Periodizität. iii) periodisch: Einschränkung: Hinterrad auf dem Boden ohne Durchrutschen, d.h. Weg führt zu Höhenveränderung und Veränderung nur durch Zurücklegen von Weg. iv) ... Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit Präsentation im Plenum (z.B. Wandzeitung, Demonstration, Folienvortrag) oder als Marktplatz oder als Gruppenpuzzle 14 Vorschlag 17.7: Die aufgehängte Erdkugel Bekannt ist die folgende Aufgabe: Stell dir vor, du hättest eine Schnur, die genau 1 m länger als der Erdumfang ist. Die Schnur werde dann so gespannt, dass sie überall den gleichen Abstand von der Erdkugel hat. Könnte eine Maus unter der Schnur hindurchkriechen? Eine schöne Variation ist die folgende Fragestellung: Die um 1 m längere Schnur wird wieder um die Erde herumgelegt, diesmal aber an einer Stelle soweit wie möglich von der Erdoberfläche abgezogen. Wie weit kann man die Schnur abheben? In der Literatur finden sich verschiedene Lösungen. Vergleiche und bewerte! Gegeben u = 40.000.000 m somit r = 6.366.197,7 m. Gesucht: h. Lösung: r r h r (1) h r cos cos Ermitteln von a (2) tan r (3) a r 0,5m Aus (2) und (3) folgt: r 0,5m 0,5m tan (4) tan r r Mit Hilfe des Befehls SOLVE liefert der TI92 mehrere Lösungen dieser Gleichung (Periodizität der Tangensfunktion!). Es kommt aber nur der Wert = 0,006167 in Frage, da weder negative Lösungen noch solche, die größer als sind, für die Aufgabe relevant werden. (5) Aus (1) und (4) folgt: h = 121,4144 m. [...] Diese Ergebnis dürfte den Schülerinnen und Schülern ziemlich unglaubwürdig erscheinen. (Auch ich selbst war zunächst sehr im Zweifel.) [...] U 2R 1 U 2 R 2 R tan Eliminiert man hieraus U, dann ergibt sich die Gleichung: 1 2R tan Für die Bestimmung einer Näherungslösung dieser Gleichung kann man in der 10. Klasse dann das Computeralgebrasystem verwenden. Aus lässt sich anschließend leicht die Höhe h bestimmen: R R cos h R Rh cos Es ergibt sich als Lösung übrigens eine Höhe von ca. 12m. Die in Schüleraugen verblüffend große Höhe muss nun im Nachhinein begründet werden [...]. Quelle: Werner Walsch: Die aufgehängte Erdkugel und andere praxisferne Anwendungsaufgaben. In: Math. Unterrichtspraxis (2000) H. 1, S. 31-35. Quelle: Eberhard Endres: Computeralgebrasysteme als Bindeglied zwischen Modellierung und Problemlösung. In: Istron Band 6 (2000), S. 14-24. 15 Die aufgehängte Erdkugel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Anwendung der Trigonometrie Lösen einer Gleichung ohne Algorithmus Vergleich / Bewertung der gegebenen Lösungen (Mögliche) Lösungen: Die Rechnung in der linken Spalte ist korrekt, die in der rechten Spalte ein schönes Beispiel für den unreflektierten Einsatz eines Computeralgebrasystems: tan 1 2R ist viel zu klein, um daraus einigermaßen genau zu bestimmen. Eignung, (mögliche) Methoden: Für leistungsstarke Gruppen Gruppenarbeit Bemerkungen: Schüler zunächst schätzen lassen! Auf die Ursache des Fehlers hat uns erst Arnold Kirsch aufmerksam gemacht. Er war von dieser Aufgabe so fasziniert, dass er nach einer verständlichen Lösung gesucht hat. Diese ist inzwischen erschienen: Kirsch, Arnold: „Die aufgehängte Erdkugel“ – mehr Durchblick mit Näherungsrechnung. In: Praxis der Mathematik H. 2 (2002), S. 82-83. 16 Vorschlag 17.8: Basketball „Wie muss man den Basketball beim Freiwurf werfen, damit er im Korb landet?“ Um sich darüber Klarheit zu verschaffen, ist es hilfreich, folgende Fragen zu beantworten: a) Wie groß muss der Einfallswinkel beim Korbwurf mindestens sein, damit der Ball ungestört (ohne Berührung des Korbringes) und auf direktem Wege (ohne Verwendung des Spielbretts) ins Netz fallen kann? b) Bei einem erfolgreichen Korbwurf geht idealerweise der Mittelpunkt des Balles durch den Mittelpunkt des Korbringes. Aber auch bei Abweichung von der Ideallinie ist ein erfolgreicher Wurf möglich. Wie groß darf die Abweichung sein? c) Wie groß darf die seitliche Winkelabweichung (d.h. nach links oder rechts) sein? Quelle: Bardy, P. / Bardy, T.: Basketball und Trigonometrie, in: mathematik lehren (1999), Heft 95, S. 21-49. 17 Basketball: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Mathematische Modellierung einer Sportart Lösungen: a) Das Maß des Einfallswinkels nennen wir . Den Durchmesser des Balles nennen wir DB. Wir lassen DB zunächst variabel. d . Nach der nebenstehenden Abbildung gilt dann: sin 45 cm DB Wegen d ≥ DB muss also gelten: sin . Nach den 45 cm offiziellen Basketballregeln gilt für den Umfang UB des Balles: 75 cm ≤ UB ≤ 78 cm. Daraus ergibt sich für DB: 75 cm 78 cm DB , also 23,8…cm ≤ DB ≤ 24,8…cm. Für einen Ball mit dem kleinstmöglichen Umfang erhalten wir demnach: ≥ 32,0° ( ≤ 90°). Für einen Ball mit dem größtmöglichen Umfang ergibt sich: ≥ 33,5° ( ≤ 90°). b) ΔL (siehe Skizze) ist vom Einfallswinkel abhängig. Es gilt (DK ist der innere Durchmesser des Korbringes: FG AE und sin DK 2 L AE FG 2rB . Daraus ergibt sich: AE FG 2rB 2 L = sin sin D K sin D B D DK B , sin sin D 1 also (1) L D K B . 2 sin Wir argumentieren: Je größer , desto größer sin , desto kleiner 1 , desto kleiner sin DB D , desto größer D K B , also auch desto größer ΔL. sin sin ΔL ist am größten, wenn am größten ist, nämlich wenn = 90° beträgt. Dann gilt: 1 L D K D B rK rB . (Fortsetzung nächste Seite) 2 18 Im Folgenden legen wir für UB das arithmetische Mittel von 75 cm und 78 cm zugrunde (also 76,5 cm) und verwenden DB = 24,4 cm. Unter dieser Annahme berechnen wir für ΔL die verschiedenen Werte von : 45° 60° 75° 90° ΔL 5,2 cm 8,4 cm 9,9 cm 10,3 cm Indem wir in der Gleichung (1) ΔL = 0 setzen und den zugehörigen Winkel geeignet interpretieren, erhalten wir natürlich auch eine Antwort auf die erste Problemstellung: D D DK B 0 führt zu sin B . sin DK c) Das Maß des Winkels der maximal möglichen seitlichen Abweichung bezeichnen wir mit . Es gilt: rK – rB = 22,5 cm – 12,2 cm = 10,3 cm. Gemäß der nebenstehenden Abbildung 10,3 cm . ergibt sich: tan h 2 L2 Lassen wir L konstant, so gilt: Je größer ein Basketballspieler ist, desto kleiner ist h, desto größer ist tan . Lassen wir h konstant, so gilt: Je weiter ein Basketballspieler vom Korb entfernt ist, das heißt je größer L ist, desto kleiner ist tan und damit auch . Wir berechnen einige Werte von : h 70 cm 90 cm 130 cm L 423 cm Freiwurf 423 cm 423 cm 1,38° 1,36° 1,33° 90 cm 90 cm 200 cm 600 cm 2,69° 0,97° Eignung, (mögliche) Methoden: Komplexe Aufgabe – eher für leistungsstarke Lerngruppen geeignet (vor allem Teil b) Partner- oder Kleingruppenarbeit Eventuell Ermittlung der Daten und Durchführung praktischer Tests in einer Turnhalle 19 Vorschlag 17.9: Dreiecke im Quadrat C a h A B Oben abgebildet siehst du ein Dreieck, dass in ein Quadrat „eingepasst“ wurde. a) Mache möglichst viele (mindestens 5) mathematische Aussagen über die Figuren (z.B. über Flächeninhalte, Winkel,...). b) Verschiebe den Punkt C auf der Höhenlinie h so, dass das entstehende Dreieck Δ ABC’ gleichseitig ist. Wie groß ist dann h’? Beantworte die Frage mit und ohne Trigonometrie! c) Wie viel Prozent der Gesamtfläche nimmt das neue Dreieck ein? Dreieck im Quadrat: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Anwendung geometrischer / trigonometrischer Kenntnisse Variationen der Aufgaben: Durch eine ebensolche Verschiebung von C ein Dreieck zu bestimmen, dass z.B. ein Viertel des Flächeninhalts des Quadrats aufweist (weitere Vernetzungen möglich, z.B. Prozent Flächeninhalt, halber Flächeninhalt, Höhe, Länge, …). (Mögliche) Lösungen: Das Dreieck ist gleichseitig, also sind alle Winkel 60° und es gilt tan 60 2h' . Wegen a tan 60 3 folgt: h' a2 3 Eine weitere Lösungsmöglichkeit: Die Kantenlänge des Quadrats ist a. Dann soll für das Dreieck laut Pythagoras gelten: (½a)2 + h’2 = a2. Daraus folgt dann die Lösung für h’ und somit kann das gleichseitige Dreieck gezeichnet werden. Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 20 Vorschlag 17.10: Entfernungsberechnung Klebe die folgende Karte auf ein Stück Pappe uns schneide die Kerben (auf der rechten Seite und bei Kassel) ein. Spanne dann ein Gummiband durch die Kerbe bei Kassel und einer Kerbe auf der rechten Seite 75° Quelle: Rübsam, Peter-M.: Trigonometrie. 10. Schuljahr, Cornelsen, Berlin 1999 Berechne die Luftlinienentfernung von der Stadt Kassel zu einigen anderen Städten! a) Bestimme die reale Entfernung von Kassel nach Erfurt. b) Bestimme die Entfernung zu 3 weiteren Städten, indem du das Gummi auf der rechten Seite in die Kerben einspannst. c) Beurteile das Verfahren. Entfernungsberechnung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: HANDlungsorientierte Anwendung trigonometrischer Kenntnisse Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 21 Vorschlag 17.11: Stern Ein fünfzackiger Stern, wie abgebildet, soll völlig symmetrisch sein (alle fünf Linien sind gleich lang und alle gleichartigen Innenwinkel gleich groß). Die Gesamtlänge der Linien sei 1000 mm, d.h. dass bei der Zeichnung des Sterns ein Bleistift ohne das Papier zu verlassen 1000 mm zurückgelegt hat. Wie groß ist der Abstand von einer Sternspitze bis zum Mittelpunkt des Sterns? Quelle: Fich, Ole: Mathelogik, Viborg (Dänemark) 2001, S. 99. Stern: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Verknüpfung trigonometrischer Sachverhalte mit anderen geometrischen Kenntnissen Lösungen: Von jeder Sternspitze gehen zwei Linien aus. Wenn man sich vorstellt, dass der Stern von einem Kreis umgeben ist, bei dem die fünf Sternspitzen genau auf dem Kreisrand liegen, wird deutlich, dass der Winkel zwischen den beiden Linien der Sternspitze 36 Grad betragen muss (Umfangswinkelsatz oder Winkelsumme). Zeichnet man eine Linie von einer Sternspitze zum Mittelpunkt des Sterns und eine Linie vom Zentrum des Sterns rechtwinklig zu einer der beiden Linien von der Sternspitze, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem man den Abstand von einer Sternspitze zum Mittelpunkt folgendermaßen berechnen kann: 100mm s 105mm cos 18 Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 22 Vorschlag 17.12: Buchstaben-Geometrie Einige Buchstaben sind hervorragende Repräsentanten für die Geometrie. Schauen wir uns z.B. den Buchstaben N an – er besteht aus zwei senkrechten Linien und einer schrägen Linie. Der Buchstabe ist ca. doppelt so hoch wie breit. Wir nehmen eine Breite von 5 cm an. Damit beträgt die Höhe 10 cm. a) Wenn wir uns vorstellen, dass die linke senkrechte Linie sich nicht bewegt, während sich die rechte senkrechte Linie von der feststehenden Linie fortbewegt – wie weit muss diese Linie verschoben werden, damit sich die Länge der schrägen Linie (siehe Abbildung) verdoppelt? 10 cm x 2x 5 cm 5 cm + ? b) Wenn wir die senkrechte Linie weiter parallel verschieben, so dass sich die Länge der schrägen Linie wiederum verdoppelt (d.h. eine Vervierfachung im Vergleich zur ursprünglichen Linie) – muss die Linie dann im Vergleich zur ersten Verschiebung um mehr oder um weniger verschoben werden? Schauen wir uns jetzt einmal den Buchstaben A an – er besteht aus zwei schrägen Linien und einem Querstrich. Wir nehmen an, dass der Winkel zwischen den beiden Schräglinien 30° beträgt. Wenn wir uns jetzt vorstellen, dass die beiden „losen“ Enden der beiden Schräglinien mit einer geraden Linie verbunden werden, so bilden diese ein Dreieck (siehe Abbildung). Der Querstrich des Buchstaben A teilt das Dreieck in zwei Bereiche. Wir zeichnen eine Hilfslinie in Form einer Senkrechten vom höchsten Punkt zur Grundlinie. c) Wenn wir den unteren Punkt der Hilfslinie mit 0% bezeichnen und den obersten Punkt mit 100%, bei welchem Prozentsatz muss dann der Querstrich die Hilfslinie schneiden, wenn die beiden Flächen (geteilt durch den Querstrich des A’s) gleich groß sein sollen? d) Wie lang ist der Querstrich in diesem Fall? Quelle: Fich, Ole: Mathelogik, Viborg (Dänemark) 2001, S. 56 (leicht verändert). 23 Buchstaben-Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Behandlung von Geometrie als Stilmittel Anwendung trigonometrischer Kenntnisse / Pythagoras Vernetzung mit Prozentrechnung Variationen der Aufgabe: Andere Buchstaben oder symmetrische Symbole können für ähnliche Aufgaben verwendet werden. Eventuell können die Schüler als Hausaufgabe sich selber eine ähnliche Aufgabe mit Lösung überlegen. Lösungen: a) Ausgehend vom Satz des Pythagoras muss die Länge der Diagonalen 125 cm betragen. Das Doppelte hiervon ist 500 cm. Die Länge der senkrechten Linie ist unverändert 10 cm und damit 100, wenn sie quadriert wird. Die Breite zum Quadrat muss daher 400 sein, wenn die Summe 500 betragen soll. Die Quadratwurzel aus 400 ist 20, d.h. die neue Breite ist also 15 cm größer als vorher. b) Die Verdopplung entspricht in diesem Fall einer schrägen Linie mit der Länge 2000 cm, und da die Länge der senkrechten Linie unverändert ist, muss die Breite des Buchstabens 1900 cm = 43,6 cm sein, was einer Vergrößerung um ca. 23,6 cm entspricht. c) Wenn wir die Länge der senkrechten Linie als 1 definieren, muss die Fläche des großen Dreiecks (das ganze A) sein: A (großes Dreieck) = ½ tan 15° 1 2 = tan 15°. Der Querstrich soll nun entsprechend der Hälfte der Fläche des As platziert werden. Wenn wir die Länge der Linie, die von der Spitze des As rechtwinklig zum Querstrich verläuft, b nennen, ist die Fläche des Dreiecks über dem Querstrich: A (kleines Dreieck) = ½ b b tan 15° 2 = b2 tan 15°. Dies soll gleich ½ tan 15° sein, weshalb b = 0,5 ≈ 0,707 entsprechend 70,7% ist, oder 29,3%, von unten nach oben gemessen. d) Die Länge der Querlinie beträgt: L = 2 0,5 tan 15° ≈ 0,379. Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit Erweiterte Hausaufgabe Vortrag der Ergebnisse (siehe Variationen) 24 Vorschlag 17.13: Über den Wolken … Doris Trump ist Pilotin eines Passagierflugzeuges. Sie ist dafür verantwortlich, dass sich ihre Gäste während des Fluges wohlfühlen. Vor allem beim Start hat sie darauf zu achten, dass nach dem Abheben vom Boden eine Steigung von 23 % nicht überschritten wird. Die Steigung von 23 % = 0,23 wird aus dem Quotienten von Höhen- und Horizontalunterschied ermittelt: Steigung Höhenunterschied . Horizontal unterschied Unsere Pilotin Doris Trump hat es da einfacher – ganz ohne Rechnerei. Sie schaut nur auf das Steigungsmessgerät im Cockpit ihres Flugzeuges. Dieses zeigt nämlich den Winkel an, den die Flugstrecke mit der Horizontalstrecke bilden soll. Man nennt diesen Winkel Anstellwinkel, d.h. dieser Winkel wird von der Pilotin eingestellt, der tatsächliche Ansteigwinkel ist aber ein anderer. Dabei ist die Differenz vom tatsächlichen Ansteig- und dem theoretischen Anstellwinkel u.a. von Richtung und Stärke des Windes sowie vom Luftdruck abhängig. Doris Trump hebt mit ihrer Maschine Richtung London ab. Vom Steigungsmessgerät liest sie einen Steigungswinkel von 16° ab. a) Wie groß ist die Steigung des Flugzeuges in Prozent? b) Gib die tatsächlich geflogene Steigung in Prozent an, wenn wir annehmen, dass der Ansteigwinkel der Boing 747-400 um 3° kleiner ist als der Anstellwinkel. Quelle: RAAbits Reihe 5 Material S 5 (leicht verändert). Über den Wolken …: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einführung des Steigungsbegriffs Darstellung trigonometrischer Anwendungen in der Realität Lösung: a) ≈ 28,67 %; b) tan 13 23,09 % 25 Vorschlag 17.14: Wasserglas Auf einem runden Tisch in einem Flugzeug steht ein zylindrisches Glas, das bis zum Rand mit Wasser gefüllt ist. Das Glas ist 12 cm hoch und hat einen Durchmesser von 8 cm. Wir nehmen an, dass das Glas so dünn ist, dass wir im Folgenden von der Dicke des Glases absehen können. Außerdem sehen wir von besonderen physikalischen Eigenschaften wie der Oberflächenspannung des Wassers ab. Wenn sich das Flugzeug beim Hochsteigen um 20 Grad im Verhältnis zur Erdoberfläche neigt, wie viel Wasser läuft aus dem Glas? Wie viel Prozent des ursprünglichen Inhalts sind dies? Wasserglas: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Aufstellen und Lösen einer trigonometrischen Problemstellung, die zunächst als solche nicht unmittelbar erkennbar ist Lösungen: Klar: Das verbliebene Wasser steht bis zu einer unbekannten Höhe h. Kippt man das Glas, ist der Flüssigkeitspegel an dieser Stelle höher als h, sagen wir h + x. Auf der anderen Seite des Glases ist dann der Pegel natürlich gerade h – x (Strahlensatz).. Also müssen wir den Abstand bis zum oberen Rand (2x) bestimmen, wenn es auf der gegenüberliegenden Seite gerade am Rand ist. Dazu denken wir uns ein rechtwinkliges Dreieck in das Glas gelegt, bei dem eine Kathete der (obere) Durchmesser des Glases ist, die Hypotenuse auf der Wasseroberfläche entlangläuft und die andere Kathete gleich der gesuchten Länge y 2 x ist. In diesem Dreieck gilt für die gesuchte Länge offenbar: y tan( 20) 8 cm 1 Also ist das verschüttete Volumen: V ( 4cm )2 8cm tan( 20) 73cm 3 und dies sind ca. 2 12% des ursprünglichen Inhalts. Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 26 Vorschlag 17.15: Hofmathematik Stell dir vor, du bist Hofmathematiker am Hofe König Rudolfs II, der in Prag residiert. Wir schreiben das Jahr 1610 nach Christi Geburt. In dieser Zeit ist es üblich, dass gelehrte Damen und Herren der Mathematik, Astronomie und Physik miteinander in Briefen kommunizieren, einander neue Entdeckungen mitteilen und Probleme miteinander diskutieren. Als berühmter Mathematiker erhältst du des Öfteren Post von dir unbekannten Leuten, die dir ihre (manchmal vermeintlichen) Entdeckungen mitteilen und dich um Stellungnahme bitten. Einen ebensolchen Brief hast du soeben von dem Sohn eines reichen Gutsbesitzers und Handelsherren, Bartholomäus Schobinger aus St. Gallen, erhalten, der ein antikes, weltberühmtes Problem gelöst haben will. Es geht um die konstruktive Dreiteilung eines Winkels allein mit Zirkel und Lineal. Dieses bis dahin ungelöste Problem wurde von dem Griechen einige Jahrhunderte vor Christus gestellt. Viele berühmte Mathematiker haben sich schon die Zähne an diesem Problem ausgebissen, und nun schreibt dieser Schobinger, er habe eine Lösung gefunden. St. Gallen, 3. Februar 1610 Hochgeehrter Mathematiker, Freund der Wissenschaften und der bildenden Künste, königlicher Würdenträger, Entdecker vieler Wahrheiten Gottes, ich getraue mich kaum, an einen Mann solchen Ruhmes und solcher Geisteskraft mein bescheidenes Wort zu richten. Doch die Resultate meiner Arbeiten sind so unfasslich, dass ich sie nicht mehr weiter nur für mich behalten kann. Ich glaube, mit Gottes Hilfe das alte Problem der Winkeldreiteilung gelöst zu haben, und bitte nun um Ihren werten Kommentar. Ich beschreibe im Folgenden das Verfahren, mit dem es mir gelungen ist, jeden beliebigen Winkel allein mit Zirkel und Lineal zu dritteln. Um den Scheitel des Winkels ziehe ich einen Kreisbogen beliebiger Größe. Dieser schneide die Schenkel des Winkels in den Punkten A und B. Im Punkt A errichte ich ein Lot zur Sehne AB und trage auf ihr die doppelte Länge des Radius des Kreisbogens ab und erhalte den Punkt C. Verbinde ich den Scheitel mit diesem Punkt C und über ihn hinaus, erhalte ich den Strahl, welcher den ursprünglichen Winkel drittelt. Ich habe diese Konstruktion an männiglich vielen Winkeln ausprobiert, speziell an den Winkeln 15°, 30°, 60° und 90° und beim Nachmessen die Drittelung des Winkels feststellen können. Ich wage es nicht, Sie zur Eile zu drängen, warte aber in höchster Ungeduld auf Ihre Antwort. Möge der allmächtige und barmherzige Gott Sie beschützen und leiten. Bartholomäus Schobinger Quelle: Heinz Boer: Ideenkiste. In. Mathematik lehren (1997) H. 83, S. 68f (verändert). 27 Hofmathematik: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Einblicke in die (historische) Arbeitsweise der Mathematik gewinnen Unvollständigkeit der Mathematik erkennen Ungenauigkeit eines mathematischen Verfahrens dank trigonometrischen Wissens erkennen Variationen der Aufgabe: Der damalige Hofmathematiker von Rudolf II. war Johannes Kepler. (Mögliche) Lösungen: Eignung, (mögliche) Methoden: Einzel- oder Partnerarbeit 28 Vorschlag 17.16: Methan Methan (Summenformel CH4) ist die einfachste Kohlenwasserstoffverbindung. Es bildet sich dort, wo organische Substanzen unter Luftabschluss verfaulen, was dazu führt, dass es die Hauptsubstanz von Erdgas, Grubengas, Sumpfgas, Faulgas und dem sogenannten "Biogas" bildet. Die Molekülformel CH4 und die Strukturformel (siehe links) sagen jedoch noch nichts über die räumliche Anordnung der Atome aus. Durch die gegenseitige Abstoßung der Elektronen bildet sich ein Tetraeder, in dessen Mittelpunkt sich das C-Atom befindet. Die „Orbitale“ um die Atome im unteren Bild sind die Bereiche, wo man die jeweiligen Atome mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit antreffen kann. Am wahrscheinlichsten ist, dass sich die Wasserstoffatome an den Eckpunkten des Tetraeders aufhalten. a) Berechne den Bindungswinkel Methanmolekül, d.h. den Winkel HCH. im b) Die Kantenlänge des Tetraeders beträgt 177 Pikometer. Wie groß ist die Bindungslänge zwischen Wasserstoff und Kohlenstoff, d.h. welchen Abstand haben diese beiden Atome? Methan: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Fächerübergreifende Behandlung Realitätsbezogene Anwendung trigonometrischer Berechnungen Variationen der Aufgabe: Betrachtung anderer Moleküle Lösungen: Bindungswinkel: 109,5; Bindungslänge: 109 Pikometer Eignung, (mögliche) Methoden: Partnerarbeit Evtl. Zusammenarbeit mit dem Chemielehrer 29 Vorschlag 17.17: Segler im Watt in Seenot Arbeitsblatt Trigonometrie Segler im Watt in Seenot Von Richard Maydorn (06.03.2002) Die häufigsten Ursachen für Seenotfälle sind mangelnde Erfahrung und Navigationsfehler von Hobbyskippern, die jährlich zu über tausend Einsätzen der Seenotrettungsflotte der DGzRS (Deutsche Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger) führen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen: Bei einer Überführungsfahrt von Wilhelmshaven nach Harlesiel fährt der Skipper des oben gestrandeten Segelschiffs „Mary III“ durch das schmale und flache Wattfahrwasser zwischen Festland und der ostfriesischen Insel Wangerooge. Dichter Nebel behindert die Sicht zunehmend und plötzlich ein lauter Krach: Das Schiff sitzt fest und ein Gurgeln kommt aus dem Schiffsrumpf: Das Schiff ist Leck geschlagen! Der Skipper notiert im Logbuch: „...1221 Uhr: Schiff ist leck; sitzt fest; Position 53°45’4’’N 7°52’6’’E.“ Der Wassereinbruch im Maschinenraum hat die elektrische Anlage außer Kraft gesetzt, so dass man sich nun nicht mal über UKW-Kanal 16 bei „Bremen Rescue“, dem MRCC (Maritime Rescue Coordination Center) Bremen melden kann; andere Seenotsignalmittel stehen nicht zur Verfügung. Halb so schlimm, denkt man sich an Bord, immerhin hat der Ebbstrom eingesetzt, so dass der Schaden bei Ebbe (Niedrigwasser: 1750 Uhr) begutachtet werden kann. Vor der nächsten Flut muss allerdings Hilfe eintreffen, damit das Schiff gelenzt, freigeschleppt und nach Harlesiel gebracht werden kann. [...] Entwickle mit Hilfe der Trigonometrie sinnvolle Lösungsmöglichkeiten, wie der Skipper sein Boot vor dem Totalschaden bewahren kann. Bestimme dabei auch mögliche Zeiten bis zu einer Rettung. Bewerte anschließend Deine Lösungen! Zusatzinformationen: Zur Orientierung: Der Wangerooger Fährhafen befindet sich auf 53°46’6’’N 7°51’2’’E. Entfernungsmessung auf Seekarten: Eine Seemeile entspricht dem Abstand einer Minute (0°1’) am linken oder rechten Kartenrand. [Merke: Miss nie die Entfernung am oberen oder unteren Kartenrand ab!!!] Wenn man sich zu Fuß im Watt bewegt, kommt man ungefähr mit einer Geschwindigkeit von 3,5 km/h voran Die Zeit bis zum Ausrücken des in Wangerooge stationierten Seenotrettungsbootes „Wilma Sikorski“ dauert vom Eingehen des Notrufes bei MRCC Bremen, über die Alarmierung per Pieper, die Anfahrt mit dem Geländejeep zum Fährhafen, ungefähr 13 Minuten. Die Höchstgeschwindigkeit des Seenotrettungsboots „Wilma Sikorski“ beträgt 18 Knoten. 1 Knoten (kn) entspricht einer Geschwindigkeit von 1,852 km/h. Der Priel zwischen dem Segelschiff und der Nordseeinsel Wangerooge ist nur im Zeitraum von 30 Minuten vor und nach dem Niedrigwasser gefahrlos passierbar. 30 Segler im Watt in Seenot: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Arbeitsblatt Trigonometrie Segler im Watt in Seenot (Kommentar und Lösungsansätze) Von Richard Maydorn (10.03.2002) Ziel: Diese Aufgabe dient u.a. dem Anwenden des gelernten Sinussatzes und anderer trigonometrischer Definitionen und Sätze. Zudem können anhand dieser Aufgabe allgemeinbildende Aspekte verdeutlicht werden. Allgemeinbildendes Ziel ist, dass die Schüler lernen sollen, wie man Seekarten (in der üblichen Merkatorprojektion) liest, Positionen bestimmt, Standorte einträgt, sie wieder abliest, Peilwinkel einträgt und ablies t und Fahrtrichtungen von Schiffen bestimmt. Man könnte diese Aufgabe sicherlich auch zum Auftakt einer Sportboot-Führerschein-AG anwenden. Die Schüler sollen zudem lernen sich mit einem Problem, das keine eindeutige Lösung hat, auseinanderzusetzen: Das Problem idealisieren und es in ein mathematisches Modell bringen, Lösungen bestimmen und diese rückblickend interpretieren und beurteilen. Da sich die Aufgabe sowohl mathematisch-rechnerisch, wie geometrisch oder durch seemännisches Messen (mit Geodreieck und Zirkel) lösen lässt, sollen die Schüler zudem die Vielfältigkeit der Mathematik erfahren. Da sich diese Aufgabe ohne Messen und Abschätzen ohnehin nicht lösen lässt, sind die Schüler geradezu gezwungen Startwerte, die zu einer Rechnung benötigt werden, selbst zu ermitteln. Hintergrundinformationen: Die Geschichte mit dem hier in Seenot geratenen Segelschiff ist erfunden, wobei sie auf mehreren kombinierten Real-Seenotfällen basiert. Die Zusatzinformationen entsprechen in soweit der Wahrheit, als dass die Fußgeschwindigkeit im Watt (man kann im Schlickwatt tief einsinken) und die Anfahrtszeit des Geländejeeps zum Hafen (Eintreffen der Rettungsmannschaft und Abfahrt des Geländejeeps) als plausible Richtwerte angenommen werden können. (Mögliche) Lösungen: Die Schüler müssen erst mal die verwegene Lage, in die sich der Skipper buchstäblich hineinmanövriert hat, erschließen: Es gibt keine Möglichkeit auf herkömmliche Weise Hilfe zu holen. Weder Funk noch fernmündliche Notrufmöglichkeiten oder Sichtsignale führen zum Erfolg; es gibt nicht mal Seenotsignalbaken in diesem Wattbereich. Der Skipper muss also auf dem „Landweg“ Hilfe holen lassen. Nun besteht die Schwierigkeit allerdings darin zu entscheiden, wohin gelaufen werden soll. Betrachtet man die Karte, so fallen einem die gestrichelte Höhe oder einer der beiden Schenkel als Entfernung zur Insel ins Auge. Warum gerade der Schnittpunkt mit der Höhe mit der Verbindungslinie der beiden Leuchttürme? – Ein Insidertipp hilft vielleicht weiter: An diesem Punkt stehen Pensionen. Westlich des besagten Punkts befinden sich keine Häuser, zudem ist Schlickwatt und ein Naturschutzgebiet der Insel vorgelagert, östlich hingegen befindet sich ein sehr tiefer Priel und ein schlecht zu durchquerendes Naturschutzgebiet und eine Pferdekoppel, keine Telefonzelle und auch kein Haus. Hier kann man viel herumprobieren, Winkel messen, die Entfernung zwischen den Leuchttürmen bestimmen und mit Hilfe des Kosinussatzes die kürzeste Entfernung auf die Verbindungslinie der beiden Leuchttürme bestimmen oder den Abstand in den Zirkel nehmen und am linken Kartenrand abmessen. 31 Lösungen: Kurs Segelschiff – neuer Leuchtturm (westlich): 10° rwK Kurs Segelschiff – alter Leuchtturm (östlich): 329° rwK (rechtweisender Kurs = „Kartenkurs“) Entfernung zwischen den beiden Leuchttürmen (gemessen): 1,5’ = 1,5 sm = 2,778 km Kürzester Weg Segelschiff – Wangerooge (gemessen): 1,9’ = 1,9 sm = 3,5188 km Kürzester Weg Segelschiff – Wangerooge (erst Sinussatz, dann Sinusdefinition): Dargestellt ist hier der Lösungsbruch (Lösung über den rechten Schenkel). sin 59 h cos10 1,5 sin 1,856628 3,438 43 Haben wir erst mal diesen Lösungsweg eingeschlagen, kommen wir zum nächsten Problem: Ebbe und Flut, Hochwasser und Niedrigwasser. Der Priel der zwischen Wangerooge und den auf Grund gelaufenen Segelschiff liegt, ist nur zwischen 1720 und 1820 Uhr gefahrlos zu durchqueren. Den Abstand Priel - Segelschiff muss man ausmessen: 0,6 sm entsprechend 1,1112 km. Um nicht am Priel warten zu müssen, wird genau so losgelaufen, dass der Priel um Punkt 1720 Uhr durchquert werden kann; daraus ergibt sich folgende Rechnung: Irgendjemand muss also um 1701 Uhr loslaufen. Dieser Jemand ist 3,5km ˆ 60 Minuten dann, nach der gemachten Annahme, er oder sie laufe 3,5 km/h im 1km ˆ 17,1Minute Watt, eben um 1720 Uhr am Priel. Bis die Person schließlich die Insel 1,1112km ˆ 19 Minuten erreicht hat und einen Notruf absetzen kann, vergehen Minuten: Um 1801 Uhr kann also frühestens „Bremen Rescue“ über 1,9 sm 0,6 sm 1,3sm 2,4km die missliche Lage der „Mary III“ informiert werden. Nach weiteren 13 Minuten ist das Seenotrettungsboot „Wilma 2,4 17,1 min 41 min Sikorski“ einsatzbereit im Wangerooger Hafen. Nun muss man sich überlegen wie genau man die Strecke bestimmt: Mit einem Faden oder mit zwei einfache Geraden? – Egal wie man’s macht, man bekommt ungefähr eine Fahrstrecke von zwei Seemeilen Länge heraus, die vom Seenotrettungsboot mit der Höchstgeschwindigkeit von 18 Knoten zurückgelegt wird. Man muss allerdings aufpassen, und hier ist die Kartenkunde gefragt, dass der Kurs des Seenotrettungsboots nicht durch solche Gebiete führt, die bei Niedrigwasser trocken fallen. Für die Strecke von 2 sm benötigt „Wilma Sikorski“ ungefähr 7 Minuten. Hilfe trifft nach diesem Modell frühestens um 1821 Uhr ein, d.h. seit dem Festlaufen sind bis zum Eintreffen der Retter genau sechs Stunden vergangen. Eine Bewertung bleibt dem Leser überlassen! Variationen der Aufgaben: Gibt es evtl. noch andere kürzere „Rettungswege“? Gibt es andere Kommunikationsmittel, die besser hätten helfen können? Welchen Fehler haben Skipper und Crew gemacht? Welche Sicherheitsvorschriften gelten eigentlich auf See? Wie wird dieses Problem in Realität gelöst, etwa so kompliziert mathematisch? Was soll der Skipper tun, wenn keine fremde Hilfe eintrifft? ... 32 Vorschlag 17.18: Internetadressen und Programme zur Trigonometrie 1. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/j10/trigonom/trigonom.htm 2. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/1-Start.htm 3. http://www.mathe-material.de/startpage.html 4. http://www.zum.de/ma/fendt/md/sincostan.htm 5. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm#Trigonometrie 6. http://schulen.eduhi.at/mam/hubert/3hak/sin06.htm 7. http://www.mathe-material.de/main_pages/u-mat-10.html 8. http://home.a-city.de/walter.fendt/md/sincostan.htm 9. http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/kurz/seminar/www.stud.unibayreuth.de/kurz/mathesem_ss01/mdidsem_ss01_node3.html 10. http://www.blk.mat.uni-bayreuth.de/~thomas/geosem/trig/Trigonometrie0.htm 11. http://christo.mathematik.uni-bielefeld.de/trigonometrie 12. http://home.arcor.de/rkrell/m-fv10.htm 13. http://www.nw.schule.de/st/goethe-ibb/mathe/1a.htm 14. http://www.nw.schule.de/st/goethe-ibb/mathe/1c.htm 15. http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr.htm 16. TRIGONOMETRIE aus der HEMMING-Lernsoftware-Serie "LEICHT GELERNT" von Brigitte Draxler und Andrea Ferlin 17. Mathematik. Trigonometrie. TR-Verlags-Union, München 33 Vorschlag 17.19: Aufgaben zur Anwendung 1 Durch die Bewegungen des Herzmuskels entstehen elektrische Spannungen (in mV). Man misst diese und zeichnet den zeitlichen Verlauf auf. So entsteht, vereinfacht ausgedrückt, ein Elektrokardiogramm (EKG), wie unten abgebildet. Was deutet darauf hin, dass der Patient, bei dem dieses EKG gemacht wurde, keine Probleme mit dem Herzen hat? 2 Ein Punkt P bewegt sich mit gleich bleibender Geschwindigkeit um das Quadrat in Fig. 1 herum. Fig. 2 zeigt den Graphen der Funktion f: Zeit → Abstand des Punktes von der Geraden g. 3 a) Erläutere den Verlauf des Graphen in Fig. 2. b) Gib eine Verschiebung an, die den Graphen auf sich abbildet. c) Wie ändert sich die Periode, wenn sich der Punkt mit dreifacher Geschwindigkeit um das Quadrat herumbewegt? Schallschwingungen können durch Sinuskurven beschrieben werden. Bei der Überlagerung mehrerer solcher Sinuskurven entstehen teilweise sehr komplizierte Schwingungsbilder. Der Mensch hört dann keinen Zusammenhang von Tönen (linkes Ohr) mehr, sondern nur noch ein Geräusch (rechtes Ohr). Zeichne die „GeräuschKurven“ y = sin + sin(2) / y = 2sin + sin (2) / y = 3sin + sin (3) du dir vorstellst, auf der Sinuskurve f(x) = sin von links nach rechts zu 4 Wenn fahren, folgen abwechselnd Rechts- und Linkskurven aufeinander. a) Skizziere die Sinuskurve und die Kosinuskurve für 0° 720° und teile sie in Rechts- und Linkskurven ein. b) Gib die Teilintervalle Linkskurven sind. c) Gib die Teilintervalle an, in denen die Sinuskurve eine Linkskurve und die Kosinuskurve eine Rechtskurve ist. an, in denen beide Kurven 34 1 In Oberstdorf befindet sich eine der größten Skiflugschanzen der Welt. Sie wird auch „Himmelsguckloch“ genannt. a) Welchen Höhenunterschied hat die Anlaufbahn und wie lang ist sie? b) Welchen Höhenunterschied legt ein Springer auf der Anlaufbahn zurück, wenn diese wegen zu großer Weiten der Teilnehmer im ersten Durchgang im zweiten Durchgang um 5 m verkürzt worden ist? die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat 2 Um man unmittelbar an einer Uferseite eine Strecke AB = 80 m abgesteckt und den Visierwinkel = 38° gemessen. Wie breit ist der Fluss? 3 4 Ritter Eisenkopf soll für die neue Zugbrücke unter anderem eine Kette kaufen, mit der man die 8 Meter lange Brücke im Notfall hochziehen kann. Bei seinen vielen Einkaufszetteln findet er jedoch nur die nebenstehende Zeichnung ohne Längenangabe der Kette. Kannst du ihn davor bewahren ohne Kette in die Burg heimzukehren? Berechne im Dreieck ABC jeweils die fehlenden Stücke und trage sie in die Tabelle ein (Längenangaben in cm). 35 Ein Autobahntunnel soll geradlinig durch einen Berg gebaut werden. Um die Tunnellänge AB zu bestimmen, misst man von einem Punkt C aus folgende Längen und Winkel: CB = 1,6 km, CA = 2,5 km, = 56°. Fertige eine Skizze an und bestimme dann die Tunnellänge. 1 hat sich für ihre Mathematik-Lernkartei 2 Sabine ein Kärtchen angelegt. Was hältst du davon? Beobachtungssatellit „sieht“ immer nur einen 3 Ein Ausschnitt der Erdoberfläche. Die Kugelkappe wird vom sogenannten Horizontkreis begrenzt, den Winkel λ nennt man Radiuswinkel. Bestimme für den Satelliten OGO-1 (Orbiting Geophysical Observatory One) den Radiuswinkel λ (SMEH) und den Radius des Horizontkreises, 4 5 a) wenn er seine weiteste Entfernung (Apogäum) 150 000 km von der Erde hat. b) wenn er seinen erdnächsten Punkt (Perigäum) 260 km von der Erde erreicht. c) Wie groß ist der Radiuswinkel λ für einen Beobachter auf einer 65 m hohen Bohrinsel? Wie weit ist für diesen Beobachter der Horizont entfernt? Die Bugwelle eines Schiffes hat immer einen Öffnungswinkel von etwa 40°. Das Schiff fährt in der Mitte eines 160 m breiten Flusses. Wie weit ist sein Bug vom Auftreffpunkt der Welle am Ufer entfernt? Die Steigung einer Straße mit dem Steigungswinkel ist der Wert von tan , umgerechnet in Prozent. a) Die steilste Straße der Welt soll im neuseeländischen Ort Duneddin sein. Sie hat den Steigungswinkel 31°. Ermittle die Steigung. b) Ein Spezialfahrzeug für Waldarbeit im Gebirge kann 50° geneigte Hänge hochfahren. Wieviel % Steigung sind das? 36 1 Auch Foto-Apparate haben einen „Sehwinkel“. Bei einem Normalobjektiv mit 55 mm Brennweite beträgt er 43°. ZoomObjektive haben variable Brennweiten und damit auch verschiedene Sehwinkel. Ein 30 m breites und 17 m hohes Gebäude soll frontal aufgenommen werden. In welcher Entfernung vom Objekt muss der Fotograf die Aufnahme mit einem Weitwinkel-, einem Normalund einem Teleobjektiv machen? Worin unterscheiden sich die Aufnahmen trotz des gleichen Ausschnitts? Bereits während des Baus im Mittelalter stellte sich der weltberühmte schiefe Turm von Pisa schräg. In einem Reiseführer steht, dass er mittlerweile um 5,47° geneigt ist. a) Um wie viel Meter ragt der Turm über seine ursprüngliche Standfläche hinaus? b) Der Turm war dann lange für Besucher geschlossen während sich die Experten bemühten ihn aufzurichten. In der HNA vom 05.03.2002 stand: „Neigung wurde um fast 40 cm verringert!“. Welcher Neigungswinkel ergibt sich jetzt nach den Rettungsversuchen? 2 Windstille bilden 3 Bei Fenster eines mit die Regentropfen am einer Geschwindigkeit vz = 140 km/h fahrenden Zuges einen Winkel = 20° mit der Waagerechten. Berechne die Fallgeschwindigkeit vR der Regentropfen. 4 Berechne das Volumen und die Oberfläche der unten abgebildeten Pyramiden. 37 1 Das nebenstehende Riesenrad hat einen Radius von 10 m und die Höhe des Drehpunktes beträgt 12 m. a) Durch welche Funktion wird die Höhe h der Gondel in Abhängigkeit vom Winkel beschrieben? b) Zeichne den Graphen dieser Funktion im Maßstab 1:500 (10 m entsprechen also 2 cm). Beachte die Verschiebung in positiver y-Richtung. c) Suche ein 30°-Intervall, in dem sich die Höhe besonders stark ändert. Wo ist also bei gleichmäßiger Drehgeschwindigkeit die Geschwindigkeit in senkrechter Richtung am größten? den nebenstehenden Parkettsteinen (helle und dunkle) kann 2 Mit man z.B. einen Fußboden lückenlos auslegen. Skizziere zunächst das Parkett mit freier Hand. Versuche nun eine Konstruktionsbeschreibung für das Parkett bzw. die Parkettsteine zu finden. Wodurch könnte man das Aussehen der Parkettsteine verändern? 3 Die Konstruktionsabteilung eines Automobilherstellers hat ein neues Modell entwickelt. Für dieses Fahrzeug lässt sich der Zusammenhang zwischen der Motorleistung P (in Watt) und der Fahrgeschwindigkeit v (in m/s) durch die Vorschrift 1 v P(v) = v3 + (50 cos + 2000 sin ) v 2 beschreiben, wobei den Steigungswinkel der Straße angibt. a) Wie viele Kilowatt (kW) leistet der Motor bei 100km/h auf ebener Fahrbahn? b) Bei einem Versuch auf ansteigender Fahrbahn wurden eine Geschwindigkeit von 10 m/s und eine Motorleistung von 6,2 kW gemessen. Berechne die Steigung der Fahrbahn. Hinweis: Ermittle zunächst sin . 4 Gib zu jedem Graphen einen Funktionsterm der Form x a sin (bx – e) an. 38 Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterricht Ziel: Übung / Anwendung Vertikale Vernetzung (u.a. Pythagoras, Strahlensätze) (Mögliche) Lösungen: Blatt (1) Aufgabe 1: Da es sich anscheinend um eine periodische Funktion handelt, deutet dies auf einen gleichmäßigen gesunden Herzschlag hin. 1 Aufgabe 2: b) 4 / c) Periode beträgt 1 . 3 Aufgabe 4: Blatt (2) Aufgabe 1: a) Höhenunterschied = 91,5m Länge der Anlaufbahn = 145,4m / b) Höhenunterschied = 88,4m Aufgabe 2: Breite des Flusses = 62,5m Aufgabe 3: Die Kette muss mindestens 11,7 m lang sein. Aufgabe 4: a) c = 5,43 = 36,5° β = 76° / b) a = 22,4 β = 46,0° γ = 88,9° / c) b = 10,6 = 50,5° γ = 33,8° / = 17,9° β = 100,3° γ = 61,8° Blatt (3) Aufgabe 1: Die Tunnellänge beträgt ca. 2082 m. Aufgabe 2: Da die Formel für den Flächeninhalt bekanntermaßen A = 1/2gh lautet und man die Höhe h durch z.B. asin β bestimmen kann, ist die Beschriftung von Sabines Kärtchen richtig. Aufgabe 3: Bei einem Erdradius von 6400 km ergibt sich a) λ = 87,65° Horizontkreis = 6394,64 km / b) λ = 16,06 Horizontkreis = 1770,78 km / c) λ = 0,2582 Horizontkreis = 28,84 km Aufgabe 4: Der Bug ist ca. 234 m vom Auftreffpunkt der Welle am Ufer entfernt. Aufgabe 5: a) 60% Steigung / b) 119% Steigung Blatt (4) Aufgabe 1: Weitwinkel-19,55m / Normal-38,08m / Tele-94,71m Aufgabe 2: Der Turm ragt 4,52 m über seine ursprüngliche Standfläche hinaus. Aufgabe 3: Die Regentropfen fallen mit einer Geschwindigkeit von 14,15 m/s oder 50,96 km/h. Aufgabe 4: a) Volumen = 645577,1m3 Oberfläche = 52456,1m2 / b) Volumen = 42157,8m3 Oberfläche = 9195,9m2 / c) Volumen = 2736217,5m3 Oberfläche = 129399,6m2 Blatt (5) Aufgabe 1: a) h() = 10sin + 12 / c) [-15°;15°] Aufgabe 2: Durch Streckung oder Stauchung der verwendeten Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Aufgabe 3: a) Der Motor leistet 12,1 kW bei 100 km/h auf ebener Fahrbahn. / b) Die Steigung betrug ca. 15,1°. Aufgabe 4: x→1,5sin(x) / x→0,5sin(6x+) / x→1,5sin(2x-/2) / x→2sin 1/2x+/2 39
