2 Rechnen mit Termen

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2 Rechnen mit Termen
2 Rechnen mit Termen
Die Einführung von Buchstaben als Variable1 und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen
führt zu dem Begriff des Terms (von lat. terminare = bestimmen).
2.1 Grundrechenarten mit Termen
2.1 Grundrechenarten mit Termen
Addition und Subtraktion
Addiert man Zahlen, so kann man dies in beliebiger Reihenfolge tun und bei mehreren
Summanden noch beliebige Teilsummen
bilden.
2+3=3+2
Multiplikation und Division
Vertauscht man bei der Multiplikation die
Faktoren, so sieht man aus der Summenschreibweise, dass man zum gleichen Ergebnis kommt.
3 + 3 + 3 + 3 = 4 · 3 = 12
4 Summanden
2 + 3 + 7 = (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12
4 + 4 + 4 = 3 · 4 = 12
3 Summanden
Diese Rechengesetze gelten auch für Terme.
Diese Rechengesetze gelten auch für Terme.
1. Vertauschungsgesetz
1. Vertauschungsgesetz
(Kommutativgesetz)
(Kommutativgesetz)
a+b=b+a
2. Zusammenfassungsgesetz
(Assoziativgesetz)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
3. Die Null ist das neutrale Element der Addition und Subtraktion
a+0=a
a·b=b·a
2. Zusammenfassungsgesetz
(Assoziativgesetz)
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
3. Die Eins ist das neutrale Element der
Multiplikation und Division
a·1=a
Da beim Addieren rationaler Zahlen stets
wieder eine rationale Zahl entsteht, die Addition und Subtraktion nicht über diese Zahlenmenge hinausführt, sagt man:
Da beim Multiplizieren rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl entsteht, sagt man:
Die Zahlenmenge Q ist bezüglich der
Addition abgeschlossen.
Die Zahlenmenge Q ist bezüglich der
Multiplikation abgeschlossen.
Die Division kann als Multiplikation mit einem Bruch aufgefasst werden, so dass wir die Rechengesetze der Multiplikation auch auf die Division übertragen können. Das Rechnen mit Bruchtermen soll jedoch nochmals gesondert behandelt werden.
Die Subtraktion a – b kann als Addition der Gegenzahl von b (= inverses Element von b), d. h.
als Addition der negativen Zahl (– b) aufgefasst werden, so dass wir bei der Addition und Subtraktion nur noch von „algebraischen Summen“ sprechen.
a – b = a + (–b)
1 Die folgerichtige Einführung der Buchstaben als „Variable“ geht auf den Franzosen Francois Viète (Vieta)
(1540 – 1603) zurück. Der Engländer Harriot (1560 – 1621) führte die Verwendung von Kleinbuchstaben ein.
Auf René Descartes (1596 – 1650) geht die Gewohnheit zurück, für Variable die letzten Buchstaben, für gegebene Größen (Formvariablen) die Anfangsbuchstaben des Alphabets zu wählen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
H. Rapp, Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-658-05985-9_2
10
2 Rechnen mit Termen
2.1.1 Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen)2
2.1.1.1 Negative Zahlen
Wenn wir zur Zahl b die Gegenzahl (– b) bilden, hat das Minuszeichen die Bedeutung eines
Vorzeichens. Umgekehrt sind die positiven Zahlen die Gegenzahlen der negativen, so dass wir
auch positiven Zahlen ein Vorzeichen geben können: (+ b). Beim Rechnen mit diesen Klammertermen erhalten wir folgende Klammerregeln:
Addition und Subtraktion
+ (+ a) =
a
+ (– a) = – a
– (+ a) = – a
– (– a) =
a
Die Gegenzahl von (+ 2) ist – (+ 2),
die Gegenzahl von (– 2) ist – (– 2),
die Gegenzahl von – (– 2) ist + (– 2).
Damit ist – (– 2) = + 2 und + (– 2) = – 2.
Eine negative Zahl wird subtrahiert, indem
man die Gegenzahl addiert. Eine negative
Zahl wird addiert, indem man die Gegenzahl
subtrahiert. Vorzeichen und Rechenzeichen
können also vertauscht werden.
Beim Auflösen einer Plusklammer + (...)
bleibt das Vorzeichen in der Klammer unverändert. Beim Auflösen einer Minusklammer –
(...) ändert sich das Vorzeichen in der Klammer.
2.1.2 Klammern in Klammern
Bei verschachtelten Klammern ist es zweckmäßig, die innerste Klammer zuerst aufzulösen, daraufhin die nächst äußeren.
Beim Auflösen oder Setzen einer Minusklammer ändern sich bei allen Gliedern innerhalb der Klammer die Vorzeichen. Aus
(+ ...) wird (– ...) und umgekehrt. Beim Auflösen oder Setzen einer Plusklammer bleiben
die Vorzeichen unverändert.
a – [– (b – (c + d))]
=
a – [– (b – c – d)]
=
a – [– b + c + d]
=
a+b −c − d
Beispiele
Durch Anwendung der Klammerregeln erhält
man:
7 + (– 3) – (– 2) + (4 – (– 4)) – ((– 11) – 3)
= 7 – 3 + 2 + 4 + 4 + 11 + 3 = 28
Nach Auflösen der Klammern werden die
gleichartigen Terme zusammengefasst.
4a + (5b – 6a) – (– 2b – (2a + b))
= 4a + 5b – 6a + 2b + 2a + b = 8b
Eine Klammer ohne Vorzeichen ist immer
eine Plusklammer. Das Pluszeichen wird in
diesem Fall nicht geschrieben.
(3a – 2c) – (7a – 6c + 4b)
= 3a – 2c – 7a + 6c – 4b
= – 4a – 4b + 4c
2 Die Klammer wurde von Michael Stifel (1544) eingeführt, um zum Ausdruck zu bringen, dass in Abweichung von
der Rechenreihenfolge die Klammerausdrücke bei der Berechnung Vorrang haben, z. B. 5 – (3 – 1) = 5 – 2.
2.2 Multiplikation und Division
11
2.2 Multiplikation und Division
2.2 Multiplikation und Division
2.2.1 Multiplikation mit negativen Zahlen
1. Das Produkt 3 · (– 2) kann als Summe
dreier negativer Zahlen geschrieben werden. Dabei zeigt sich, dass das Produkt
einer positiven mit einer negativen Zahl
negativ wird.
3 · (– 2) = – 2 – 2 – 2 = – 6
2. Entsprechend lässt sich auch das Produkt (– 2) · 3 erklären, indem man die
Faktoren vertauscht:
(– 2) · 3 = 3 · (– 2) = – 6
3. Das Produkt (– 3) · (– 2) lässt sich schreiben:
(– 3) · (– 2) = – [(– 3) · 2] = – [– (3 · 2)]
=2·3=+6
Daraus ergeben sich die
Rechenregeln:
(+ a) · (+ b) =
a·b
Das Produkt zweier Faktoren mit gleichen
Vorzeichen ist positiv.
(+ a) · (– b) = – a · b
Das Produkt zweier Faktoren mit ungleichen Vorzeichen ist negativ.
(– a) · (– b) =
(– a) · (+ b) = – a · b
a·b
Beispiele
1. (– 4) · (– 2) = + (4 · 2) = 8
(minus mal minus = plus)
2. (– 2ab) · (3x) = – (2ab · 3x) = −6abx
(minus mal plus = minus)
3. (– 3a) · (– 2x) · (– 2b) · (– 3) = + (3a · 2x) · (2b · 3) = + (3a · 2x · 2b · 3) = 36abx
2.2.2 Multiplikation mit Null (Nullprodukt)
Das Produkt 6 ⋅ 0 lässt sich aus der Summenschreibweise erklären:
6·0=0+0+0+0+0+0=0
Daraus ergibt sich:
Enthält ein Produkt den Faktor Null, so ist
das Produkt Null.
a·0=0·a=0
0·0=0
(Satz vom Nullprodukt)
(Nullprodukt)
Beispiel
Mit dem Satz vom Nullprodukt lassen sich
kubische Gleichungen auf nebenstehende
Weise lösen, wenn die Gleichungen in Linearfaktoren aufgespalten sind.
(x – 1) · (x + 2) · (x – 5) = 0
(x – 1) = 0 › (x + 2) = 0 › (x – 5) = 0
x1 = 1 ∨ x 2 = − 2 ∨ x 3 = 5
12
2 Rechnen mit Termen
2.2.3 Multiplikation mit Summentermen
Einen Zusammenhang zwischen den Rechenoperationen der Addition und der Multiplikation
stellt das Distributivgesetz3 dar.
Das Produkt 3 ˜ (a + b) führt in additiver
Schreibweise zu dem Ergebnis 3a + 3b.
3 ˜ (a + b)
= (a+b) + (a+b) + (a+b)
= a+b+a+b+a+b
Daraus erhält man das
= 3a + 3b
Distributivgesetz (= Verteilungsgesetz)
Ein Faktor wird mit einer Summe multipliziert, indem man den Faktor mit jedem
Summanden multipliziert und die Produkte
addiert.
a · (b + c) = a · b + a · c
Distributivgesetz
Produkte zweier Summenterme
7 ˜ (a + b)
= 7a + 7b
(3 + 4) ˜ (a + b)
= 3a + 3b + 4a + 4b
= 7a + 7b
Zu diesem Ergebnis kommen wir also, wenn
wir die Multiplikation nach folgender Regel
durchführen:
ad
bd
d
Geometrisch lässt sich das Produkt der algebraischen Summen an einem Rechteck veranschaulichen. Die Gesamtfläche setzt sich
aus den vier Einzelflächen zusammen:
(a + b) ˜ (c + d) = ac + ad + bc + bd
Sinngemäß kann dieses Ergebnis auch auf
das Produkt (a – b) ˜ (c – d) übertragen werden, da sich jede Differenz als Summe
schreiben lässt:
(a – b) ˜ (c – d) = (a + (–b)) ˜ (c + (–d))
= ac − ad − bc + bd
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
ac
bc
c+d
Algebraische Summen werden multipliziert, indem man jedes Glied der einen
Summe mit jedem Glied der anderen
Summe multipliziert und die Produkte
addiert.
c
Das Produkt 7 ˜ (a + b) kann als Produkt
zweier Summenterme geschrieben werden,
wenn wir für 7 = (3 + 4) schreiben.
b
a
a+b
Beispiele
1. (3x – a)(c + 2b) = 3cx + 6bx − ac − 2ab
2. (x + 5)(b – a + 3) = bx − ax + 3x + 5b − 5a + 15
3. (x–1)(a+3)(2–c) = (x – 1)(2a – ac + 6 – 3c) = 2ax − acx + 6x − 3cx − 2a + ac − 6 + 3c
3 distribuere (lat.) = verteilen, aufteilen
2.2 Multiplikation und Division
13
2.2.4 Binomische Formeln
Berechnen Sie durch Ausmultiplizieren die Produkte
a) (a + b) (a + b)
b) (a – b) (a – b)
c) (a + b) (a – b)
Lösung
a
b
a
a2
ab
b
a) (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2
ab
b2
= a2 + 2ab + b2
a+b
b
= a2 – ab – ab + b2
a
= a2 − 2ab + b2
ab
b
b) (a – b) (a – b)
a
b
ab
(a – b)2
b
a–b
a
a
= a2 − b2
a2 – b2
a+b
b2
b
a
= a2 + ab – ab – b2
a–b
c) (a + b) (a – b)
a–b
Zweigliedrige Summen werden Binome genannt.
Binomische Formeln
Die Produkte gleichartiger Summenterme
können auch in Potenzschreibweise geschrieben werden.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Daraus ergeben sich die binomischen Formeln.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
14
2 Rechnen mit Termen
Beispiele
1. (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1
2. (n – 1)2 = n2 − 2n + 1
3. (x – 1) (x + 1) = x 2 − 1
4. 1022 = (100 + 2)2 = 10 000 + 400 + 4 = 10404
5. 972 = (100 – 3)2 = 10 000 – 600 + 9 = 9409
6. 97 · 103 = (100 – 3) (100 + 3) = 10 000 – 9 = 9991
7. (x2 – 2x)2 = (x2)2 – 2x2 · (2x) + (2x)2 = x4– 4x3 + 4x2
8. (n + 1) (n2 – 1) = n3 – n + n2 – 1 = n3 + n2 – n – 1
oder (n+1) (n+1) (n-1)=(n-1)( n2+2n+1)= n3 + n2 – n – 1
Aufgaben
zu 2.1.1 Addition und Subtraktion und 2.1.2 Klammern in Klammern
1. 216 + (– 45 + 17)
2. 216 – (– 45 + 17)
3. 216 – (– (45 – (17 – (5 + (2 – 4)))))
4. (– 2 567) – (225 – 13) – (– 8 – (– 5 + 3))
5. 555 – (– (57 – 78) – (78 – 57) + (– 56 + 17) – (– (– 13 – 11)))
Fassen Sie die Terme durch Auflösen der Klammern zusammen und setzen Sie die angegebenen Zahlenwerte in die Ergebnisse ein.
16. 17x – (– 21y – 4,3x) – (– 5,7x – 2,7y) – (– 2,5y – 2,1x) mit x = 1 und y = – 2.
17. 5a – 7b + 15b – 121 – (81 – 16b) – (7b – 5a) mit a = 12, b = – 11.
18. 7xy – (20x + 12y) – (3xy + x) + 5xy – (3,5xy – 5,8xy) mit x = 1 und y = – 1.
19. 3a – ((– 16x – 17,5a) – 6,5a – 13x – (4a + 0,3x)) mit x = 3 und a = 7.
⎡
⎤
1
x ⎛ 1
1 ⎞
10. 1,5a – ⎢−11 b − −⎜5 a + 1,6x − 13 b ⎟+ 6,1x ⎥ mit a = 2,5, b = 13,5 und x = – 2
⎣
⎦
⎝
⎠
6
2
2
6
zu 2.2.1 Multiplikation
01. 3a · 5c · 2b
07. 4,5ax · 2,3 + 3a · 3,5 · 2x
02. 3ab · 11 · 7c
08. 3 · 2,7abx – 1,5x · 9a · b
1
03. 4ab · 5m · n
3
09. (– 3x) · (– a) · (– 2)
04. 7,5ab · 2c
11. 14a · (– 71b) · (– c)
05. 3 · 2,5a + 7,5a
12. 2x · 5y · (– 7az) · (– 2)
10. (– 3,2a) · (– 1,7b)
06. 2,4a · 0,4x – 1,5x · 2a
13. (– a) (– 0,7b) (– 1,4) – (– 3,2a) (– 0,8) · 1,6b
14. (– 1,9p) (– 1,8q) · 2 – (2,7pq) (– 3) + 0,4 (– p) (– q)
2.2 Multiplikation und Division
15
15. 0,5 (– 0,7x) · 4 – (0,6x) (– 1,2) + 3x (– 1,4)
16. 5 (– 1,3m) (2,3n)x + (– 1,9mx) (3,2n) (– 4,3)
17. 0,5a · 2,5b (– c) + 7,5c · 2b (– 5) (– 3a) – 2a · 3bc
18. 13,5xy + (– 6,5x) (– 2y) + (– 13y) · 1,2x · 0,5
⎛ 1⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
19. −⎜−2 ⎟⋅ a ⋅⎜ ⎟⋅⎜3 ⎟− 1,3c(−4,2a)⎜− ⎟⋅ (1,2)
⎝ 3⎠ ⎝2⎠⎝ 4⎠
⎝ 2⎠
⎛2⎞
⎛ 3 ⎞⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞
2
20. 1 x(−4,5y)(−1,5)(−3)⎜ ⎟+ 7, 4xy⎜−3 ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟
⎝ 15 ⎠
⎝ 7 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 12 ⎠
3
zu 2.2.3 Multiplikation mit Summentermen
21. 5 (a – b)
33. (– 1,7) (2a – 4b + c) + (b – a – c) (– 2,5)
22. 7 (x – 2)
34. (x + 1 – y) (– 3,2z) – (– 1,8z) (y – 2x – 3)
23. (2x – 3y) 5
35. (– 1,2) (7,3c – 9,4a + 11b) – (b – 2,5a – c) (– 1,3)
24. – 3 (b – a)
36. (a + b) (c – 2)
25. 3a (x – y + z) (– 1)
37. (x – 4) (y – 2)
26. 6a (7c – 3b – 0,5)
38. (a – 2b) (2 – 2c)
1
27. 4 (3b − a)
3
39. (2a – 2b) (2x – y)
28. (– 2ab) (7y – 5x)
41. (a – b) (2x – 3y)
29. (– x) (4y + a – 3) (– 1)
42. (m + n) (a – b + 2c)
30. 4 (y – x) + 5x
43. (m – c + n) (2 – x) (– 2)
31. 3a (4a – 7b) – 5b (b – 4a)
44. (a – b + c) (x + y – 1)
32.
4a2
40. (3a – b) (2x – y)
45. 3ax (1 – c) (4 – 3d)
+ 3b (b – a) + 6b (b – 9a)
zu 2.2.4 Binomische Formeln
46. (m + n)2
47. (n –
1)2
48. (a +
4)2
49. (r +
1)2
58. (a – b – c)2
51. (1 –
71. (1,3 – x) (x + 1,3)
60. (p + 2 –
q)2
72. (– 2 – x) (x + 2) (– 1)
0,7y)2
62. (1,3a + 2,6b)2
4x)2
52. (4s –
59. (a – b –
61. (2,5x –
50. (a – c)2
63. (0,2a –
3r)2
53. (5x – 1)2
54. (3x + 0,5y)2
70. (5x – 2y) (5x + 2y)
1)2
0,1b)2
73. (a – 2b) (2b + a)
74. (3x – 2y) (– 2y + 3x)
75. (1 – a + b) (1 + a + b)
64. (a – 3) (a + 3)
76. (a – b)2 – (a + 2b)2
65. (1 + y) (1 – y)
77. (x – 1) (x + 1) – (x + 1)2
66. (3x + 2y) (3x – 2y)
78. (p – 5q)2 – 10pq + (p + 5q)2
55. (0,25u –
2v)2
67. (4m – 5) (4m + 5)
79. (x – 1) (y + 1) – xy + 2x – 5 (y – 1)
56. (a – b +
c)2
68. 2 (a – b) (2a + 2b)
80. (0,9x – 0,3) (0,3 – 0,9x)+ 9 (0,3x + 0,1)2
57. (a + b + c)2
69. (x – 2) (2 + x)
16
2 Rechnen mit Termen
2.2.5 Quotienten aus positiven und negativen Zahlen
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Dividiert man die Zahl a durch die Zahl b und
ist a nicht ein Vielfaches von b, so stellt der Quotient eine neue Zahl dar, die man Bruchzahl
oder kurz Bruch nennt.
a:b=
a
b
= c (= Quotientenwert)
Brüche, deren Zähler und Nenner durch zwei ganze Zahlen dargestellt werden können, nennt man
rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Vorzeichenregeln
Negative Brüche entstehen, wenn negative
Zahlen durch natürliche (positive) Zahlen
geteilt werden.
(−4)
5
(−a)
b
Die Division einer positiven Zahl durch eine
negative Zahl führt ebenfalls zu einem negativen Bruch.
a
(−b)
Die Division einer negativen Zahl durch
eine negative Zahl führt durch Erweitern
mit (– 1) zur Division zweier positiver
Zahlen und damit zu einem positiven
Bruch.
=
=−
=−
a (−1)
(−b) (−1)
(−a)
(−b)
=
4
5
a
b
=
−a
(−a)(−1)
(−b)(−1)
b
=
=−
a
b
a
b
Die Beispiele zeigen, dass das Vorzeichen vor einem Bruchstrich in den Zähler oder in den
Nenner übernommen werden kann.
Zusammenfassung
Der Quotient aus Termen mit gleichem Vorzeichen ist positiv.
Der Quotient aus Termen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ.
bz0
(+ a) : (+ b) = + (a : b)
(– a) : (– b) = + (a : b)
(– a) : (+ b) = – (a : b)
(+ a) : (– b) = – (a : b)
2.2 Multiplikation und Division
17
Die Null in Divisionsaufgaben
Für die Null gelten nicht alle Rechenregeln des Bruchrechnens.
Ein Bruch mit dem Zähler Null hat den Wert
Null, denn a · 0 = 0.
Dies gilt jedoch nur mit der Einschränkung,
dass a nicht auch Null ist.
0
a
0
0
=0
= undefiniert
Beweis:
Die Null ist das neutrale Element der Addition: 0 = 0 + 0 + 0 + ...
0
a
Damit könnte der Bruch, wenn
= 1 entsprechend
= 1 definiert werden könnte, in folgender
0
a
Form
0 0 + 0 + 0... 0 0 0
=
= + + +... = 1+1+...
0
0
0 0 0
geschrieben werden. Damit wäre jede Zahl möglich, der Bruch ist somit nicht definierbar.
Auch
a
ist ein undefinierter Term, der zu
0
Widersprüchen führen würde.
a
0
= undefiniert
Beweis:
a
· 0 = a. Andererseits ist jedes
0
a
Produkt mit dem Faktor Null gleich Null (Satz vom Nullprodukt): · 0 = 0.
0
Die Multiplikation ist die Umkehrung der Division, damit wäre
Fasst man die beiden letzten Ergebnisse, bei denen jedes Mal durch Null dividiert wurde zusammen, so gilt:
Durch Null darf man nicht dividieren.
18
2 Rechnen mit Termen
2.2.6 Rechnen mit Bruchtermen
2.2.6.1 Brüche als rationale Zahlen
Brüche werden mit Hilfe von Bruchstrichen oder in Dezimalschreibweise geschrieben. Dabei
sind nur solche Dezimalzahlen rationale Zahlen, deren Ziffernfolgen nach dem Komma abbrechen oder periodisch sind.
1. Umwandlung von Stammbrüchen 4 in Dezimalzahlen
1
= 1 : 2 = 0,5
2
1
3
1
4
1
6
1
7
1
9
_
= 1 : 3 = 0,33333... = 0, 3
(gelesen: 0 Komma Periode 3)
= 1 : 4 = 0,25
= 1 : 6 = 0,16666... = 0, 16
(gelesen: 0 Komma 1 Periode 6)
= 1 : 7 = 0,142857 142857 = 0,142857
= 1 : 9 = 0,1111... = 0, 1
1
11
1
12
= 1 : 11 = 0,0909... = 0,09
= 1 : 12 = 0,08333... = 0,083
1
erhält man durch Multiplizieren der Periode. Dabei treten immer
7
dieselben Periodenziffern in zyklischer Vertauschung auf.
Das Vielfache des Bruches
2
= 2 · 0,142857 = 0, 285714
7
3
= 3 · 0,142857 = 0, 428571
7
4
= 4 · 0,142857 = 0, 571428
7
usw.
2. Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche
0,125 =
125
1000
=
1
8
(Die Dekadenzahl im Nenner entspricht der Stellenzahl)
4 Stammbrüche sind Brüche mit dem Zähler 1.
Die übrigen Brüche lassen sich als Vielfaches von Stammbrüchen darstellen, z. B.
2
1
=2· .
7
7
2.2 Multiplikation und Division
19
Bei periodischen Dezimalzahlen ist die Umrechnung nicht mehr in gleicher Weise möglich, denn
0,111... ist nicht dasselbe wie 0,1. Wie erhalten wir diesen Wert?
Wir wandeln dazu den unendlichen Dezimalbruch in eine Summe von Dezimalbrüchen um und
führen folgende Berechnungen durch:
1. Beispiel
x = 0, 1 = 0,111...
= 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... =
10x = 1,111...
= 1+
10x = 0,111…
=
1
10
1
1
1
+
+
+...
10 100 1000
+
1
100
+
1
1000
+ ...
(von 10x wird 1 · x abgezogen)
1
1
1
+
+
+...
10 100 1000
9x = 1,000... = 1 daraus folgt, dass x = 0,1 =
1
9
2. Beispiel
x = 0,001
= 0,001001 ...
1000x
= 1,001001001 ...
1000x
= 0,001001001 ...
=?
(von 1000x wird 1 · x abgezogen)
999x = 1, daraus folgt, dass x = 0,001 =
1
999
3. Beispiel
x = 0,08 3 = 0,0833333... =
=
8 + 3 ⋅ 0,1111...
100
8 + 3⋅
=
100
8,3333...
100
1
9
8
=
daraus folgt, dass x = 0,083 =
=
8 + 0,3333...
100
1
25
1
3
=
=
100 3 ⋅100 12
1
12
Bei der Bruchumwandlung eines periodischen Dezimalbruches müssen so viele 9-er Ziffern in
den Nenner geschrieben werden, wie Periodenziffern vorhanden sind.
20
2 Rechnen mit Termen
2.2.6.2 Multiplikation von Bruchtermen
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
b z 0, d z 0
Beispiele
Erscheinen beim Multiplizieren von Bruchtermen in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so lassen sie sich kürzen.
Bei negativen Termen sind die Vorzeichenregeln zu beachten.
Summen sind in Klammern zu schreiben.
1.
2x 3 2 ⋅ x ⋅ 3 2x
⋅ =
=
3 a
3⋅a
a
⎛ 12 ⎞ ⎛ a2 ⎞
2⋅ 6⋅a⋅a
2a
⎟
=−
=−
⎟⋅⎜
⎜
⎟
⎝ ax ⎠ ⎝ 6 ⎠
a⋅ x ⋅6
x
2. ⎜−
3.
x + y ⎛ 1,5x ⎞
(x + y) ⋅1,5x
⋅⎜−
⎟= −
x ⎝
6 ⎠
x ⋅ 4 ⋅1,5
=−
Bei mehrgliedrigen Summen kann die Multiplikation mit Hilfe des Distributivgesetzes
durchgeführt werden.
Man könnte aber auch den zweiten Summenterm mit Hilfe des Hauptnenners zu einem
einzigen Bruchterm zusammenfassen und
anschließend die Multiplikation durchführen.
Bei Summentermen ist das Distributivgesetz
anzuwenden.
x+y
4
⎛ 2a ⎞⎛ x
2⎞
⎟⎜ − 5x + ⎟
⎝ x ⎠⎝ a
x⎠
4. ⎜−
⎛ 2a ⋅ x ⎞ ⎛ 2a ⋅ 5x ⎞ ⎛ 2a ⋅ 2 ⎞
⎟+⎜
⎟−⎜
⎟
⎝ x ⋅a ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⋅ x ⎠
=⎜−
= −2 + 10a −
4a
x2
⎛ a 2a ⎞⎛ 10x 5x ⎞
− ⎟⎜
−
⎟
⎝ 2x 5x ⎠⎝ a
4a ⎠
5. ⎜
⎛ 10ax 5ax 20ax 10ax ⎞
−
−
+
⎟
⎝ 2ax 8ax 5ax 20ax ⎠
=⎜
= 5−
Auch in diesem Fall gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten. Wir wollen hier die
Klammern ausmultiplizieren.
5
8
− 4+
1
2
=
7
8
⎛ 1 1⎞ a a b b
6. (a + b)⎜ − ⎟= − + −
⎝a b⎠ a b a b
=
b
a
−
a
b
2.2 Multiplikation und Division
21
2.2.6.3 Division von Bruchtermen
Die Division ist die Multiplikation mit der Kehrzahl. Daraus folgt:
Ein Bruchterm wird durch einen zweiten dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms (= Kehrwert des Divisors)
multipliziert.
a
a⋅d
b
=
b ≠ 0, c ≠ 0
c
b⋅c
d
Beispiele
1.
Bei Doppelbrüchen ist der Hauptbruchstrich
zu kennzeichnen.
Das Quadrat der Summe (x + y)2 ist in ein
Produkt zu zerlegen.
16a
25y
:
4
5y
=
16a ⋅ 5y
25y ⋅ 4
=
4a
5
1
2.
1
x = x = 1⋅1 = 1
x
x
x⋅x
x2
1
x+y
3.
(x + y) ⋅ a
1
a
=
=
2
a ⋅ (x + y)(x + y) x + y
(x + y)
a
a−b
Die Terme a2 – b2 und c2 – d2 müssen
faktorisiert werden.
4.
(a − b)(c − d) (c + d)
c+d
=
2
(c + d)(a − b)(a + b)
a −b
2
c 2 − d2
=
Die mehrgliedrige Summe wird zunächst zu
einem Bruchterm zusammengefasst.
Der Zähler lässt sich nach einer binomischen
Formel umformen.
c−d
a+b
m
5.
n
+ 2+
m+n
=
=
n
m2 + 2mn + n2
m =
(m2 + 2mn + n2 )
mn (m + n)
mn
m+n
=
(m + n)2
mn (m + n)
m+n
mn
Wie wir gesehen haben, entstehen beim Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen neue
Terme, die sich durch Kürzen vereinfachen lassen. Es dürfen jedoch nur Faktoren gekürzt werden. Zähler und Nenner müssen deshalb in Faktoren zerlegt werden.
Dieses Zerlegen in Faktoren kann auf verschiedene Weise erfolgen. Wir wollen die Möglichkeiten des Faktorisierens im Folgenden noch einmal zusammenstellen.
22
2 Rechnen mit Termen
Kürzen von Bruchtermen
a) Faktorisieren von Zahlen und Potenzen
Zahlen und Potenzen sind in Faktoren zu
zerlegen.
1.
12a2 xyz 2
=
3axz
3⋅ 4⋅a⋅a⋅ x ⋅ y ⋅ z ⋅ z
3⋅a⋅ x ⋅ z
= 4 ayz
In manchen Fällen ist der neutrale Faktor 1
hinzuzufügen.
2.
3.
Brüche mit gleichem Zähler und Nenner
haben den Wert 1.
4.
6
18ab
=
a− b
(a − b)x
6 ⋅1
6 ⋅ 3 ⋅ a ⋅b
(a − b) ⋅ 1
=
3x − 4y
−4y + 3x
=
(a − b) ⋅ x
=
1
3ab
=
1
x
(3x − 4y) ⋅1
(3x − 4y)
=1
b) Faktorisieren durch Ausklammern
Durch Umkehrung des Distributivgesetzes
ab + ac = a (b + c) lässt sich eine Summe
in ein Produkt verwandeln.
1. am + bm – cm = m (a+b-c)
2.
π D2
4
−
π d2
4
=
π
4
(D2 − d2 )
Der Term bx – b wird umgeformt in
bx – b · 1. Damit lässt sich b als Faktor
ausklammern.
3. bx – b = bx – b · 1 = b (x − 1)
In den folgenden Beispielen lässt sich
zunächst kein gemeinsamer Faktor erkennen, deshalb wird nur teilweise ausgeklammert. Dadurch entsteht ein gemeinsamer Summenterm als Faktor, der
ausgeklammert werden kann.
5. x + ax + y + ay = x + y + a (x + y)
4. b – ab = 1 · b – ab = b (1− a)
= 1 · (x + y) + a(x + y)
= (x + y)(1+ a)
6. a – ax + x – x2 = a (1 – x) + x (1 – x)
= (1− x)(a + x)
7. 3ax – 6a – x + 2
= 3a (x – 2) – 1 · (x – 2)
= (x − 2)(3a − 1)
8. xz – x – yz + y – z + 1
= x (z – 1) – y (z – 1) – (z – 1) · 1
= (z − 1) (x − y − 1)
c) Faktorisieren mit Hilfe der Binomischen Formeln
Durch Umkehrung der Binomischen Formeln lassen sich algebraische Summen in Produkte
verwandeln.
1. 25x2 – 9y2 = (5x)2 – (3y)2 = (5x − 3y)(5x + 3y))
2.2 Multiplikation und Division
23
2. 0,49x2 – 1 = (0,7x)2 – 12 = (0,7x − 1)(0,7x + 1)
3. x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · 5x + 52 = (x + 5)2
4. sin2 D + 4 sin D + 4 = (sin α + 2)2
5. 36 tan2 E – 12 tan D · tan E + tan2 D = 36 tan2 E – 2 · 6 · tan E · tan D + tan2 D
= (6 tan β − tan α)2
6.
sin2 α − 1
sin α − 1
=
(sin α − 1)(sin α+ 1)
sin Į − 1
= sin α + 1
Erweitern von Bruchtermen
1 2 4
Die Brüche , ,
, ... haben alle denselben Wert. Sie sind durch Erweitern entstanden.
2 4 8
Unter Erweitern versteht man die Formänderung eines Bruches durch Multiplizieren von
Zähler und Nenner mit dem gleichen Term
(z 0).
T1
=
T2
Das Erweitern wird hauptsächlich angewandt
beim Addieren und Subtrahieren, um ungleichnamige Brüche oder Bruchterme
gleichnamig zu machen.
1.
Um im Nenner keinen negativen Term zu
haben, wird der Bruch mit (– 1) erweitert.
2.
Der Zähler soll auf die Form (a – b) gebracht
werden.
3.
Der Nenner soll auf die Form x2 – y2 gebracht
werden. Dazu ist eine Erweiterung mit (x + y)
erforderlich.
4.
3
+
7
2
2a − b
x−y
−a
y−x
=
3⋅3
7⋅3
=
−a
T2 ≠ 0,T3 ≠ 0
T2 ⋅ T3
=
3
b−a
T1 ⋅ T3
=
=
+
2⋅7
3⋅7
=
23
21
(2a − b) ⋅ (−1)
−a ⋅ (−1)
(b − a) ⋅ (−1)
(x − y) ⋅ (−1)
=
=
b − 2a
a
a−b
y−x
(−1)(−a)(x + y)
(−1)(−x + y)(x + y)
ax + ay
x2 − y2
2.2.6.4 Addition und Subtraktion von Bruchtermen
Die Rechenregeln des Bruchrechnens gelten auch für die Bruchterme.
Bruchterme mit gleichen Nennern (gleichnamige Bruchterme) werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw.
subtrahiert und die Nenner beibehält.
1.
2.
a+c
a
+
2x − y
2x
=
b−c
−
a
3y
2x
=
+
a+c +b −c
=
3x
2x
2x − y − 3y + 3x
2x
a
=
5x − 4y
2x
a+b
a
24
2 Rechnen mit Termen
Ungleichnamige Bruchterme müssen durch
Erweitern auf den Hauptnenner zuerst gleichnamig gemacht werden.
3.
a −b
a
b
− +
2x
x 3y
=
Um den Bruchterm in der einfachsten Form zu
erhalten, sollte der Hauptnenner das kleinste
gemeinsame Vielfache (kgV) aller Einzelnenner sein.
=
=
(a − b) ⋅ 3y
2x ⋅ 3y
−
a ⋅ 2 ⋅ 3y
x ⋅ 2 ⋅ 3y
+
b ⋅ 2x
3y ⋅ 2x
3ay − 3by − 6ay + 2bx
6xy
2bx − 3by − 3ay
6xy
Wenn die Nenner aus verschiedenen algebraischen Summen bestehen, muss für die Brüche
ein gemeinsamer Hauptnenner als kleinstes gemeinsames Vielfaches gesucht werden, um die
Brüche gleichnamig zu machen. Nur so lassen sich die Brüche zusammenfassen. Der Hauptnenner ist im folgenden Beispiel 2 (x – 5) (x + 5).
4.
x+2
x−5
−
x +1
2x + 10
4x
−
2
x − 25
=
2 ( x + 5) ( x + 2)
−
2 ( x + 5) ( x − 5)
=
=
( x − 5) ( x + 1)
2 ⋅ 4x
−
( x − 5) (2x + 10 ) 2 ⋅ (x 2 − 25)
2x 2 + 4x + 10x + 20 − (x 2 + x − 5x − 5) − 8x
2 (x 2 − 25)
x 2 + 10x + 25
2
2 (x − 25)
=
(x + 5) (x + 5)
2 (x − 5) (x + 5)
=
x+5
2x − 10
Aufgaben
zu 2.2.6.1 Brüche als rationale Zahlen
Verwandeln Sie folgende aus unendlichen periodischen Dezimalzahlen bestehende Quotienten
und Produkte in Brüche mit ganzzahligen Zählern und Nennern.
1.
2.
0,3
3.
0,09
0,083
4.
0,25
0,09
0,083 ⋅ 0,1
0, 428571
0,142857
⋅ 0,1
5.
6.
0,09 ⋅ 0,027
7.
0,001
3,854 ⋅130,75
8.
28,527 ⋅ 0,3
0,25 ⋅ 0,25
0,125 ⋅ 0,2
2,083
4,083
zu 2.2.6.2 und 2.2.6.3 Multiplikation und Division von Bruchtermen
19.
10.
11.
12.
2ax 12mn
2
⋅
⋅
4n
3a (−x)
a −1
2
⋅
3
a −1
ax 2 − a
2a
⋅
12
x −1
n − x ⎛ −1⎞
⋅⎜ ⎟
x − n 2a − 2 ⎝ 2 ⎠
a −1
⋅
13.
m+n
⋅
ax
⋅
2
n − m n − m2
x + 1 x − 1 abx
⋅
⋅
14.
ab
x
(x − 1)2
15.
16.
2a
x2 − y2
x+y
⋅
2a
x−y
⎛ 1 1⎞
⋅⎜ − ⎟
x+y ⎝ x y ⎠
xy
2
⋅ 0,1
2.2 Multiplikation und Division
⎛
2⎞
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
17. ⎜⎜ ⎟ −⎜ ⎟
⎜⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠
⎝
⎟⋅ 1
⎟ 1 1
⎠ +
x
2
⎛ 1 1 ⎞ xy
18. ⎜ + ⎟ ⋅
⎝ x y⎠ x+y
20.
⎛ x 2 − 1⎞ ⎛ 1− x ⎞
⎟
⎟
⎟:⎜−
⎝ a2 ⎠ ⎝ a ⎠
22. ⎜
⎜
y
⎛ sin α − cos α ⎞ ⎛ sin2 α − cos2 α ⎞
⎟
⎟:⎜
⎟
⎝ 1− sin α ⎠ ⎜
⎝ 1− sin2 α ⎠
23. ⎜
⎡ 2a⎛ x
4x ⎞⎤ ⎡ 3x⎛ 2a
a ⎞⎤
+
⎜
⎟⎥:⎢ ⎜ − ⎟⎥
⎣ n ⎝ 2m 3m ⎠⎦ ⎣ m ⎝ n 6n ⎠⎦
24. ⎢
1
19.
25
sin x tan x
⋅
2
3
3 sin x
⎡
1⎤ ⎡
1 ⎤ ⎡⎛ xy + 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤
25. ⎢ y − ⎥:⎢ y + ⎥⋅⎢⎜
⎟:⎜ ⎟⎥
⎣
x⎦⎣
x ⎦ ⎣⎝ x ⎠ ⎝ 2x ⎠⎦
1− sin2 x sin x
⋅
2
cos2 x
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ 1 ⎤
26. ⎢⎜− ⎟−⎜− ⎟⎥:⎢⎜− ⎟− ⎥
⎣⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠⎦ ⎣⎝ y ⎠ x ⎦
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞
21. ⎜ − ⎟:⎜ + ⎟
⎝a b⎠ ⎝a b⎠
27.
a+2
−x − 1
:
(x + 1)(4 + a2 + 4a)
(a + 2)(−x − 1)
Kürzen von Bruchtermen
Vereinfachen Sie folgende Bruchterme durch Kürzen.
28.
29.
30.
31.
32.
14ax
7ay
35.
36.
(3x − 1)(2a + 1)
a ⋅ (1+ 2a)(3x − 1)
48ax
−12x
38.
3a + 3b
(x 2 − 1)(a − 1)2
(x − 1)(a2 − 2a + 1)
n+
6
2a + 6b
39. −
3a + 9b
x−3
40.
2x − 6
33. −
34.
37.
a −1
41.
1− a
(−n − 1)
(2 − n)(n + 1)
42.
(ab − ax)(a − b)x
ax(2b − 2a)
43.
12b − 2a − 8
−2
44.
m
2
(−2n − m) ⋅ 4
(5x − 7y)(x − 1)
(25x 2 − 49y 2 )(x − 1)
4a2 + b2 − 4ab
−(2a − b)2 (a − 2b)
sin2 x + cos x − 1
cos x(cos x + 1)
1− sin2 α
sin α+ 1
sin2 α + cos2 α − tan2 α
tan2 α − 1
26
2 Rechnen mit Termen
Erweitern von Bruchtermen
Erweitern Sie folgende Bruchterme auf den neuen Nenner.
45.
46.
47.
48.
x
=
x−2
7x
13 − a
x +1
2x − 1
=
=
2x + 3
50.
a2 − 169
1− 4x + 4x 2
=
x−2
49.
x2 − 4
2x 2 − 8x + 8
51.
52.
2x
=
1− a
1− x
x − ax − 1+ a
=
2+ x
x −1
=
4a − x
a
=
x −1
2 + x + 2a + ax
4ax − x 2 − 4a + x
2x 2 − 2
zu 2.2.6.4 Addition und Subtraktion von Bruchtermen
Fassen Sie folgende Brüche durch Addieren bzw. Subtrahieren zusammen.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
x −1
a
3x − 2
2x
3a
a +1
x +1
+
a
−
x −1
4
2x + 3
a −x
8x
x−y
x −1
64.
5a − ax
+
+
2
+
1
66.
1− x
2
2x + 2
−
−
4
x + 1,5
a
2
x −a
y
x−y
−
65.
x − 4a
1− x
−
3x
2
2x
−a
3a
2
63.
a +1
x − 4a
−
4x + 2
2a − 3
−
ax − 3a
2a
62.
−
2x
1− x
2
68.
2
2x
2y − 2x
−
67.
5x
x −1
69.
70.
4x
2a
−
3a
x −1
2
2
x −1
5
2x
x−2
x +1
a
x+3
x
a +1
2x
5a − 3
2
a −1
x +1
10b
2
a − b2
3x
2
x − 4x + 4
1− x
2
3a
x
a −1
8a
x − 2x − 15
+2
5a + 3
a−2
2x − 3
2
2
4
3x
−
+
x−5
−
+
2
+
−
x
+
−
x −1
a −b
−
−
1
5
+
a+b
x
−
−
+
10a − 6
25a2 − 9
4a
2
2a − 6a + 4
http://www.springer.com/978-3-658-05984-2