Stochastik

Stochastik
Skript/Übungsaufgaben
A. Darre
Mathematik – Leistungskurs
Zufallsgrößen und ihre Charakteristiken
1.
Diskrete Zufallsgrößen
1.1
Diskrete Gleichverteilung
a) Definition
Eine diskrete Zufallsgröße X, die die Werte x1, x2, ..., xn annehmen kann,
heißt gleichmäßig verteilt, wenn
pk = P(X = xk) = 1
gilt.
n
b) Graphische Darstellung
P(x = k)
1
n
x1
x2
x3
c) Kenngrößen
 Erwartungswert:
x4
...
xn-1
x
xn
E(X) = 1 (x1 + x2 + ... + xn) = 1 Σn xk
n

Varianz:
n
V(X) = E(X ) – [E(X)] =
2
2
1
n
k+1
n
Σ xk2 - 1 Σ xk
n
k+1
n
2
k+1
d) Beispiel
Das einmalige Werfen einer Münze. Betrachtet werde die Zufallsgröße X:
1, wird Zahl geworfen
X=
0, wird Wappen geworfen.
Die Münze sei eine Ideale LAPLACE-Münze, so ist X auf den Werten 1 und 0
gleichmäßig verteilt. D.h. es gilt P(X = 1) = P(X = 0) = 0,5.
1.2
Binomialverteilung
A. Darre
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a) Definition
Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0, 1, 2, ..., n annehmen kann,
heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn gilt:
n
pk = P(X = xk) = k pk (1 – p)n-k
k = 0, 1, 2, ..., n
p sei Teilwahrscheinlichkeit: 0< p < 1
b) Kenngrößen
 Erwartungswert:
 Varianz:
E(X) = n  p
V(X) = n  p  (1 – p)
c) Beispiel
Eine LAPLACE-Münze wird 9-mal geworfen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = k) und die Kenngrößen
(Erwartungswert und Varianz).
geg.:
n=9
p = 0,5
Verteilungsfunktion:
Graphische Darstellung
k
P(X = k)
0
0,0020
1
0,0176
2
0,0703
3
0,1641
4
0,2461
5
0,2461
6
0,1641
7
0,0703
8
9
0,0176
0,0020
0,3
0,25
0,2
P(X = k)
Wertetabelle:
 0,5k  (1 – 0,5)n – k
P(X = k) =
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
Kenngrößen: E(X) = 9  0,5 = 4,5
V(X) = 9  0,5  (1 – 0,5) = 2,25
1.3
Hypergeometrische Verteilung
a) Definition
Es seien N, M und n natürliche Zahlen mit M < N und n < N.
Zufallsgroßen und ihre Charakteristiken
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Eine Zufallsgröße X, deren Werte die natürlichen Zahlen k sind,
für die k ≤ n, k ≤ M, n – k ≤ N – M gilt,
heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt:
P(X = k) =
M
k
N–M
n–k
N
n
Typische Situation: Ein Warenposten umfasst N Teile, unter denen sich M
Ausschussteile befinden. Dem Warenposten werden nacheinander und ohne
Zurücklegen n (n < N) Teile entnommen.
b) Beispiel
Es sei N = 100, M = 5, n = 10.
Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer ohne
Zurücklegen gewonnenen Stichprobe vom Umfang 10 genau ein Ausschussteil
enthalten ist, d.h. für P(X = 1).
Es gilt
5
100 – 5
P(X = 1) =
1
10 – 1
100
10
= 0,34
c) Kenngrößen
 Erwartungswert: E(X) = n  M

N
Varianz:
=np
N–n
V(X) = n  p  (1 – p)
N–1
d) Bemerkung
Für n << N kann man die Einzelwahrscheinlichkeiten der hypergeometrischen
Verteilung durch die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten einer
Binomialverteilung ersetzen, ohne damit einen allzu großen Fehler zu begehen.
Es gilt:
lim
N
M
M
p=
= const.
N
M
k
N–M
n–k
N
n
2.
Stetige Zufallsgrößen
2.1
Definitionen und Kenngrößen
(aus: Maibaum, Gert, 1989: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin (Ost). 160f.)
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 Erwartungswert:
Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f.
Dann heißt die mit E(X) bezeichnete und durch
E(X) = -∫ x f(x) dx
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definierte Zahl Erwartungswert der Zufallsgröße X.
 Varianz und Standardabweichung:
Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f.
Dann heißt die mit V(X) bezeichnete und durch
V(X) = -∫ (x – E(X))dx
definierte Zahl Varianz der Zufallsgröße X.
Es gelte ferner: V(X) = σ2.
σ bezeichne die Standardabweichung der Zufallsgröße X.
2.2
Stetige Gleichverteilung
a) Definition
Eine stetige Zufallsgröße heißt gleichmäßig verteilt über dem Intervall [a, b],
a < b, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte f dieser Zufallsgröße die folgende
Form hat:
0
1
b–a
f(x) =
0
für x < a
für a ≤ x ≤ b
für x > b
Für die Verteilungsfunktion F einer stetigen Gleichverteilung gilt:
0
x-a
b–a
F(x) =
1
für x < a
für a ≤ x ≤ b
für x > b
b) Kenngrößen
 Erwartungswert: E(X) = a + b

Varianz:
V(X) =
2
(b – a)2
12
c) Beispiel
Eine Dame sagt, dass sie zwischen 8 und 9 Uhr an einem bestimmten Ort käme;
genauere Angaben hinsichtlich ihrer Ankunftszeit könne sie aber nicht machen.
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Wir bezeichnen mit X die Zeit (als stetige Zufallsgröße), die nach 8 Uhr bis zur
Ankunft der Dame vergeht.
Es sei X über dem Intervall [0; 1] gleichmäßig verteilt.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte f gilt:
0
für x < 0
f(x) =
1
für 0 ≤ x ≤ 1
0
für x > 1
Damit ergibt sich z.B. als Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Dame zwischen
8.03 Uhr und 8.23 Uhr eintrifft, d.h. dafür, dass X ≥ 3/60 und X ≤ 23/60 gilt,
P(3/60 ≤ X ≤ 23/60) = F(23/60) – F(3/60) = 23/60 – 3/60 = 20/60 = 1/3 .
2.3
Normalverteilung
a) Definition
Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ2
bzw.
N(µ, σ2)-verteilt
(µ, σ  R; σ > 0), wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte f von X folgende Form hat:
f(x) =
(aus: Maibaum, Gert, 1989:
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Berlin (Ost).)
b) Kenngrößen
 Erwartungswert: E(X) = µ
 Varianz:
V(X) = σ2
c) Verteilungsfunktion
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d) Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Es gilt:
(1) Φ(x; µ, σ2) = Φ( x – µ )
σ
(2) P( x – µ ) = Φ(x)
σ
(3) Φ(-x) = 1 – Φ(x)
(4)
speziell gilt:
e) Beispiel
3.
Gesetz der großen Zahlen ( Skript „Gesetz der großen Zahlen“)
4.
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Zufallsgroßen und ihre Charakteristiken
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Es sei A ein zufälliges Ereignis, das im Rahmen eines bestimmten zufälligen Versuches Die
Wahrscheinlichkeit P(A)=P hat. Wir wiederholen diesen Versuch n-mal unabhängig
voneinander und bezeichnen mit X bzw. Y die zugfällige Anzahl der Erfolge (Erfolg= Eintreten
des Ereignisses A) bzw. Misserfolge in diesen n Versuchen.
a) Welche Verteilungen besitzen die Zufallsgrößen X und Y?
b) Man zeige, dass E(X)+E(Y)=n und V(X)=V(Y) gilt
c) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A in
diesen n Versuchen
mindestens einmal eintritt.
Aufgabe 2
Es werden Familien mit vier Kindern betrachtet. Wir nehmen an, dass Jungen- und
Mädchengeburten unabhängig voneinander und gleichwahrscheinlich sind. Mit X bezeichnen
wir die zufällige Anzahl der Jungen in einer Familie mit vier Kindern. Man berechne die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) zwei Jungen und zwei Mädchen,
b) drei Jungen und ein Mädchen,
c) vier Jungen
geboren werden, indem man die entsprechenden Ereignisse mittels der Zufallsgröße X
formuliert und deren Verteilung verwendet.
Aufgabe 3
Unter zehn Losen befinden sich zwei Gewinnlose. Es werden auf einmal fünf Lose zufällig
gezogen.
Man berechne unter Verwendung der hypergeometrischen Verteilung die Wahrscheinlichkeiten
der folgenden Ereignisse:
A ... Unter den gezogenen Losen befindet sich genau ein Gewinnlos.
B ... Unter den gezogenen Losen befinden sich beide Gewinnlose.
C ... Unter den gezogenen Losen befindet sich mindestens ein Gewinnlos.
Aufgabe 4
Aufgabe 5 (Hausaufgabe)
Eine Maschine produziert 20% Ausschussbleistifte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
von vier der laufenden Produktion zufällig entnommenen Bleistiften
a) kein Bleistift,
b) ein Bleistift,
c) höchsten zwei Bleistifte
Ausschuss sind?
Aufgabe 6 (Hausaufgabe)
5.
Tafeln
5.1
Binomialverteilung
(aus: Maibaum, Gert, 1989: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin (Ost).)
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5.2
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Normalverteilung
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