Projekt 2 – Gruppe 9
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1 Gruppe 9 – Stückweise konstantes Potential - Streulösung Wir betrachten ein stückweise konstantes Potential V x in einem Energiebereich V0 < E. Dieses sei gegeben durch: V x 0 V0 für für für x 0 0 xL L x E Dieses Problem setzt sich aus drei einzelnen, stückweise konstanten Potentialen zusammen. Das erste Potential sei unendlich groß, das zweite Potential sei null, das dritte Potential sei konstant V0. Dies führt zu Rand- und Übergangsbedingungen, die wir in der Folge auch betrachten müssen: V0 0 0 L Im Bereich x 0 muss, da das Potential unendlich groß ist, die Wellenfunktion verschwinden. Somit gilt: 1 x 0 für x ,0 Im zweiten Bereich 0 x L ist das Potential gleich null, d.h. es gilt die stationäre Schrödingergleichung der Form: 2 d 2 2 x E 2 x 2m dx 2 Dies ist nichts anderes als eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine Schwingungsgleichung. Wir erhalten mit einer kleinen Substitution eine äquivalente Schwingungsgleichung, die wir lösen: q2 2mE 2 d2 2 x q 2 2 x 0 2 dx Wir erhalten somit für diesen zweiten Bereich ein Fundamentalsystem bestehend aus Sinus und Kosinus. Fundamentalsystem : sin qx , cosqx bzw. e iqx , e iqx mit q 2mE 2 Die Allgemeine Lösung ist somit eine Linearkombination dieser Funktionen mit zwei unbestimmten Koeffizienten A1, A2: 2 x A1 e iqx A2 e iqx für x 0, L 2 Analog dazu verfahren wir im auch im dritten Bereich L x . Wir erhalten wieder eine stationäre Schrödingergleichung der Form: 2 d 2 2 V0 3 x E 3 x 2m dx Wir führen auch hier wieder eine Substitution durch und erhalten abermals eine gewöhnliche Schwingungsgleichung: r2 2mE V0 2 d2 2 x r 2 2 x 0 2 dx Da in diesem Fall V0 < E gilt, liefert auch diese Differentialgleichung ein Fundamentalsystem bestehend aus Sinus und Kosinus. Würden wir den Energiebereich betrachten, für den E < V0 gilt, so würde das Fundamentalsystem aus Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus bestehen. Fundamentalsystem : sin rx , cosrx bzw. e irx , e irx mit r 2mE V0 2 Mit den zwei unbestimmten Koeffizienten B1, B2 lautet somit die allgemeine Lösung für den dritten Bereich: 3 x B1 e irx B2 e irx für x L, Unsere allgemeine Lösung für das ganze Problem besteht also aus drei einzelnen Lösungen für jeden Bereich: x 0 A1 e iqx A2 e iqx B1 e irx B2 e irx für x 0 für 0 xL für L x Nun muss aber noch beachtet werden, dass es für dieses Problem gewisse Rand- und Übergangsbedingungen gegeben gibt, aus denen die unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden können. Die einzige Randbedingung ist die, dass die Wellenfunktion an der Stelle x 0 verschwinden muss. Die Übergangsbedingungen für dieses Problem ist die, dass die Wellenfunktion und die Ableitung der Wellenfunktion am Übergang von Bereich 2 zu Bereich 3 stetig sein muss. Mithilfe dieser Bedingungen drücken wir die Konstanten A1, A2, B1 durch B2 aus. Dies entspricht einer aus dem Unendlichen einlaufenden Welle mit der Amplitude B2, die an der Potentialwand reflektiert wird und wieder ins Unendliche zurückläuft. 0 0 A1 A2 0 A2 A1 Dabei haben wir hier die Randbedingung verwendet. Im Weiteren verwenden wir nun die Übergangsbedingungen um zunächst B1 und dann A1 auszudrücken: 3 I: lim 2 L lim 3 L II : lim `2 L lim `3 L I: A1 e iqL e iqL B1 e irL B2 e irL II : iqA1 e iqL e iqL ir B1 e irL B2 e irL 0 0 0 0 Indem wir die erste Gleichung durch die zweite Gleichung dividieren und nach B1 auflösen, erhalten wir: B1 e irL B2 e irL e iqL e iqL q e iqL e iqL r B1 e irL B2 e irL r 2i sin qL B1 e B2 e q 2 cosqL B1 e irL B2 e irL irL irL B1 B2 c 1 2irL e c 1 mit r c i tan qL q Indem wir das eben berechnete Ergebnis in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir schließlich auch einen Ausdruck für A1: c 1 irL A1 e iqL e iqL B2 1 e c 1 2c irL 2iA1 sin qL B2 e c 1 A1 B2 ic e irL sin qL 1 c Mithilfe der Übergangsbedingungen war es uns nun also auch möglich, die Konstante A1 durch B2 auszudrücken. Wir erhalten nun schließlich die Wellenfunktion: x ic e irL e iqx e iqx sin qL 1 c c 1 2irL irx B2 e e e irx c 1 B2 mit: q 2mE , r 2 für x 0 für 0 xL für L x 2mE V0 q E , c i tan qL i tan qL 2 r E V0 Hierbei haben wir die Wellenfunktion so bestimmt, dass durch die Amplitude der einfallenden Welle die übrigen Koeffizienten ausgedrückt werden. Da es sich bei diesem Problem um ein Streuproblem handelt, kann man, wenn man nur eine ebene Welle (wie wir hier) betrachtet, diesen letzten Koeffizienten B2 nicht normieren. Der Einfachheit halber würde man deshalb bei der Betrachtung einer ebenen Welle diesen Faktor 1 setzen. Andererseits könnte man nun durch Superposition mehrerer ebener Wellen ein Gauß’sches Wellenpaket konstruieren, welches dann in der Folge normierbar würde.
