lautet für q = 1 ∑ qi =1 − q 1 − q .

1 Die geometrische Summenformel
lautet für q 6= 1
n
X
i=0
1 − q n+1
q =
.
1−q
Die geometrische
Summenformel
i
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
1 Die geometrische Summenformel
lautet für q 6= 1
n
X
i=0
Die geometrische
Summenformel
1 − q n+1
q =
.
1−q
i
Grenzwerte von
Funktionen
Man beweist sie, in dem man den „Teleskopeffekt“ beachtet,
n
X
i=0
i
q (1 − q) =
n
X
i=0
i
q −
n
X
i=0
q
i+1
=1−q
n+1
.
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
1 Die geometrische Summenformel
lautet für q 6= 1
n
X
i=0
Die geometrische
Summenformel
1 − q n+1
q =
.
1−q
i
Grenzwerte von
Funktionen
Man beweist sie, in dem man den „Teleskopeffekt“ beachtet,
n
X
i=0
i
q (1 − q) =
n
X
i=0
i
q −
n
X
q
i+1
i=0
Für |q| < 1 gilt daher
=1−q
n+1
.
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
∞
X
i=0
1
.
q =
1−q
i
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
p
Lösung n | − 1| = 1. Konvergenz auf jeden Fall für |x| < 1.
Für x = ±1 keine Nullfolge, also divergent.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
p
Lösung n | − 1| = 1. Konvergenz auf jeden Fall für |x| < 1.
Für x = ±1 keine Nullfolge, also divergent.
Dies ist eine geometrische Reihe für −x, bei der das erste
Glied fehlt, also für |x| < 1
∞
X
n=1
(−1)n x n =
1 − (1 + x)
x
1
−1=
=
1 − (−x)
1+x
1+x
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
n(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
n(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
p
Lösung n | − n| → 1. Konvergenz auf jeden Fall für
|x| < 1. Für x = ±1 keine Nullfolge, also divergent.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
n(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
p
Lösung n | − n| → 1. Konvergenz auf jeden Fall für
|x| < 1. Für x = ±1 keine Nullfolge, also divergent.
Für |x| < 1
∞
X
n=1
n(−1)n x n = x
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
∞
d x
d X
(−1)n x n = x
dx
dx 1 + x
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
n=1
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Potenzreihe
∞
X
n(−1)n x n
n=1
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Wert.
p
Lösung n | − n| → 1. Konvergenz auf jeden Fall für
|x| < 1. Für x = ±1 keine Nullfolge, also divergent.
Für |x| < 1
∞
X
n=1
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
n(−1)n x n = x
∞
d x
d X
(−1)n x n = x
dx
dx 1 + x
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
n=1
x
1 · (1 + x) − x · 1
=
=x
(1 + x)2
(1 + x)2
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
2 Grenzwerte von Funktionen
Sei ξ Häufungspunkt des Definitionsbereichs D der Funktion
f.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
2 Grenzwerte von Funktionen
Sei ξ Häufungspunkt des Definitionsbereichs D der Funktion
f.
f konvergiert gegen a für x → ξ, geschrieben
lim f (x) = a
x→ξ
oder
f (x) → a für x → ξ,
wenn für alle Folgen (xn ) mit xn → ξ und xn 6= ξ gilt
f (xn ) → a.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
2 Grenzwerte von Funktionen
Sei ξ Häufungspunkt des Definitionsbereichs D der Funktion
f.
f konvergiert gegen a für x → ξ, geschrieben
lim f (x) = a
x→ξ
oder
f (x) → a für x → ξ,
wenn für alle Folgen (xn ) mit xn → ξ und xn 6= ξ gilt
f (xn ) → a.
In dieser Definition sind ξ ∈ D oder ξ ∈
/ D erlaubt.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
2 Grenzwerte von Funktionen
Sei ξ Häufungspunkt des Definitionsbereichs D der Funktion
f.
f konvergiert gegen a für x → ξ, geschrieben
lim f (x) = a
x→ξ
oder
f (x) → a für x → ξ,
wenn für alle Folgen (xn ) mit xn → ξ und xn 6= ξ gilt
f (xn ) → a.
In dieser Definition sind ξ ∈ D oder ξ ∈
/ D erlaubt.
Schreibe limx→∞ f (x) = a, wenn für jede Folge (xn ), die
bestimmt gegen ∞ divergiert, gilt lim f (xn ) = a.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
x ln x
lim
= 0.
x→∞ e x
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
x ln x
lim
= 0.
x→∞ e x
Lösung Es gilt
2
e | ln x|
x ln x
2
=
= e | ln x| −x
x
e
ex
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
x ln x
lim
= 0.
x→∞ e x
Lösung Es gilt
2
e | ln x|
x ln x
2
=
= e | ln x| −x → 0
x
e
ex
weil | ln x|2 − x → −∞.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
1 x
lim 1 + a
= 1,
x→∞
x
Die geometrische
Summenformel
a > 1.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
1 x
lim 1 + a
= 1,
x→∞
x
Die geometrische
Summenformel
a > 1.
Verwenden Sie für x > 0, dass ln x ≤ x − 1.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
1 x
lim 1 + a
= 1,
x→∞
x
Die geometrische
Summenformel
a > 1.
Verwenden Sie für x > 0, dass ln x ≤ x − 1.
Lösung Es gilt
1
1 x
= x ln 1 + a
ln 1 + a
x
x
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
1 x
lim 1 + a
= 1,
x→∞
x
Die geometrische
Summenformel
a > 1.
Verwenden Sie für x > 0, dass ln x ≤ x − 1.
Lösung Es gilt
1
1
1 x
= x ln 1 + a ≤ x a → 0.
ln 1 + a
x
x
x
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Beweisen Sie:
1 x
lim 1 + a
= 1,
x→∞
x
Die geometrische
Summenformel
a > 1.
Verwenden Sie für x > 0, dass ln x ≤ x − 1.
Lösung Es gilt
1
1
1 x
= x ln 1 + a ≤ x a → 0.
ln 1 + a
x
x
x
Damit (1 +
1 x
xa )
→ 1.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
3 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
Sei f : D →
R eine Funktion. f
heißt stetig in ξ ∈ D, wenn:
Für jede Folge (xn ) mit xn → ξ gilt f (xn ) → f (ξ).
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
3 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
Sei f : D →
R eine Funktion. f
heißt stetig in ξ ∈ D, wenn:
Für jede Folge (xn ) mit xn → ξ gilt f (xn ) → f (ξ).
f heißt stetig in D, wenn f in jedem Punkt von D stetig ist.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
ε − δ-Kriterium für die Stetigkeit
[ f ( ξ - δ ), f ( ξ + δ ) ]
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
f( ξ)
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
ξ−δ
ξ
ξ+δ
x
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Satz Die Funktion f ist genau dann stetig in ξ ∈ D, wenn es
zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D mit
|x − ξ| < δ folgt
|f (x) − f (ξ)| < ε.
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gleichmäßige Stetigkeit
R
Eine Funktion f : D → heißt gleichmäßig stetig in D,
wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit
|f (x) − f (y )| < ε für alle x, y ∈ D mit |x − y | < δ.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gleichmäßige Stetigkeit
R
Eine Funktion f : D → heißt gleichmäßig stetig in D,
wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit
|f (x) − f (y )| < ε für alle x, y ∈ D mit |x − y | < δ.
Für festes x liefert diese Definition genau die Stetigkeit von f
in x. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit folgt also die
Stetigkeit von f in D.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
f (x) = cos x1 ist auf (0, 1) stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
f (x) = cos x1 ist auf (0, 1) stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig.
Stetigkeit: x1 ist stetig, weil x stetig ist. Die Komposition
stetiger Funktionen ist stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
f (x) = cos x1 ist auf (0, 1) stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig.
Stetigkeit: x1 ist stetig, weil x stetig ist. Die Komposition
stetiger Funktionen ist stetig.
1
Sei xk = kπ
. Dann für gerades k cos xk = 1 und für
ungerades k cos xk = −1.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
f (x) = cos x1 ist auf (0, 1) stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig.
Stetigkeit: x1 ist stetig, weil x stetig ist. Die Komposition
stetiger Funktionen ist stetig.
1
Sei xk = kπ
. Dann für gerades k cos xk = 1 und für
ungerades k cos xk = −1.
Ferner xk − xk+1 = O(k −2 ) und |f (xk ) − f (xk+1 )| = 2.
Daher ist f nicht gleichmäßig stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
Es ist keine Zufall, dass im vorigen Beispiel das
Definitionsintervall nach links offen war:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit
Es ist keine Zufall, dass im vorigen Beispiel das
Definitionsintervall nach links offen war:
Satz Eine auf einem beschränkten und abgeschlossenen
Intervall definierte stetige Funktion ist dort gleichmäßig
stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Mittelwertsatzes
Ist f auf dem Intervall I differenzierbar und existiert
K = sup |f ′ (x)| < ∞, so ist f lipschitzstetig mit Konstante
K,
|f (x) − f (y )| ≤ K |x − y | für alle x, y , ∈ I .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Mittelwertsatzes
Ist f auf dem Intervall I differenzierbar und existiert
K = sup |f ′ (x)| < ∞, so ist f lipschitzstetig mit Konstante
K,
|f (x) − f (y )| ≤ K |x − y | für alle x, y , ∈ I .
Das folgt aus
′
|f (x) − f (y )| = |f (ξ)| |x − y | ≤ K |x − y |.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Mittelwertsatzes
Ist f auf dem Intervall I differenzierbar und existiert
K = sup |f ′ (x)| < ∞, so ist f lipschitzstetig mit Konstante
K,
|f (x) − f (y )| ≤ K |x − y | für alle x, y , ∈ I .
Das folgt aus
′
|f (x) − f (y )| = |f (ξ)| |x − y | ≤ K |x − y |.
Eine solche Funktion ist auch gleichmäßig stetig, wir wählen
δ = ε/K .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
4 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
R
Seien fn : D → . Wir sagen, die Folge (fn ) konvergiert
punktweise gegen f : D → , wenn:
R
Für alle x ∈ D gilt fn (x) → f (x).
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
4 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
R
Seien fn : D → . Wir sagen, die Folge (fn ) konvergiert
punktweise gegen f : D → , wenn:
R
Für alle x ∈ D gilt fn (x) → f (x).
Die Folge (fn ) konvergiert gleichmäßig gegen f , wenn: Zu
jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ mit
N
|fn (x) − f (x)| < ε für alle n ≥ N und für alle x ∈ D.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
f
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
x
In der gleichmäßigen Konvergenz darf das zu findende N
nicht von x abhängen. Wir können uns die gleichmäßige
Konvergenz daher so vorstellen, dass wir um f einen
ε-Schlauch legen, in dem alle bis auf endlich viele fn liegen
müssen.
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Sei D = [0, 1] und fn (x) = 1 −
√
n
x.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Sei D = [0, 1] und fn (x) = 1 −
√
n
x.
Bestimmen Sie die Grenzfunktion. Liegt gleichmäßige
Konvergenz vor?
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Sei D = [0, 1] und fn (x) = 1 −
√
n
x.
Bestimmen Sie die Grenzfunktion. Liegt gleichmäßige
Konvergenz vor?
Für 0 < x ≤ 1 gilt x n → 0. Der punktweise Limes der Folge
ist daher die Funktion f mit f (x) = 1 für 0 < x ≤ 1 und
f (0) = 0.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Sei D = [0, 1] und fn (x) = 1 −
√
n
x.
Bestimmen Sie die Grenzfunktion. Liegt gleichmäßige
Konvergenz vor?
Für 0 < x ≤ 1 gilt x n → 0. Der punktweise Limes der Folge
ist daher die Funktion f mit f (x) = 1 für 0 < x ≤ 1 und
f (0) = 0.
Diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig, denn wenn
um die Grenzfunktion ein ε-Schlauch mit ε ≤ 21 gelegt wird,
so liegt kein fn komplett in diesem Schlauch.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig
Satz Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Konvergiert
fk (x) = sin
gleichmäßig?
x
k
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beispiel
Konvergiert
fk (x) = sin
x
k
gleichmäßig?
Klar, fk (x) → 0 punktweise. Die Konvergenz ist gleichmäßig,
wenn das Definitionsintervall beschränkt ist.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
5 Der Zwischenwertsatz
Die geometrische
Summenformel
f (b)
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
f (a)
a
R
b
x
Satz Ist f : [a, b] → stetig, so gibt es zu jedem y im
Intervall zwischen f (a) und f (b) mindestens ein ξ ∈ [a, b]
mit f (ξ) = y .
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine
Nullstelle.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine
Nullstelle.
Wir können den führenden Koeffizienten des Polynoms zu 1
normieren und haben
p(x) = x n + q(x),
q(x) = an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine
Nullstelle.
Wir können den führenden Koeffizienten des Polynoms zu 1
normieren und haben
p(x) = x n + q(x),
q(x) = an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 .
Mit r = 1 + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | folgt dann
|q(±r )| ≤ |an−1 |r
n−1
+ . . . + |a1 |r + |a0 |
≤ (|an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 |)r n−1
= (r − 1)r n−1 < r n .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es folgt
p(r ) ≥ r n − |q(r )| > 0.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es folgt
p(r ) ≥ r n − |q(r )| > 0.
Da n als ungerade vorausgesetzt wurde,
n
p(−r ) ≤ −r + |q(−r )| < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt p daher eine Nullstelle in
[−r , r ].
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es folgt
p(r ) ≥ r n − |q(r )| > 0.
Da n als ungerade vorausgesetzt wurde,
n
p(−r ) ≤ −r + |q(−r )| < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt p daher eine Nullstelle in
[−r , r ].
In dieser Argumentation sagen wir auch „x n dominiert q(x)“.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es folgt
Die geometrische
Summenformel
p(r ) ≥ r n − |q(r )| > 0.
Grenzwerte von
Funktionen
Da n als ungerade vorausgesetzt wurde,
n
p(−r ) ≤ −r + |q(−r )| < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt p daher eine Nullstelle in
[−r , r ].
In dieser Argumentation sagen wir auch „x n dominiert q(x)“.
Statt der Null lässt sich dies für jedes a ∈
R durchführen:
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Eine Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es folgt
p(r ) ≥ r n − |q(r )| > 0.
Da n als ungerade vorausgesetzt wurde,
n
p(−r ) ≤ −r + |q(−r )| < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt p daher eine Nullstelle in
[−r , r ].
In dieser Argumentation sagen wir auch „x n dominiert q(x)“.
R durchführen:
Zu jedem a ∈ R gibt es ein x mit p(x) = a, also p(R) = R.
Statt der Null lässt sich dies für jedes a ∈
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
6 Potenzreihen
Eine Potenzreihe ist von der Form
p(x) =
∞
X
Die geometrische
Summenformel
an x n = a0 + a1 x + a 2 x 2 + . . . ,
n=0
R
an ∈
Da eine Potenzreihe für jedes x ∈ eine Reihe ist,
übertragen sich die Begriffe Konvergenz und absolute
Konvergenz.
R.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
6 Potenzreihen
Eine Potenzreihe ist von der Form
p(x) =
∞
X
Die geometrische
Summenformel
an x n = a0 + a1 x + a 2 x 2 + . . . ,
n=0
an ∈
R.
R
Da eine Potenzreihe für jedes x ∈ eine Reihe ist,
übertragen sich die Begriffe Konvergenz und absolute
Konvergenz.
Da die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz der
Partialsummen zurückgeführt wird, übernehmen wir auch den
Begriff der gleichmäßigen Konvergenz aus dem letzten
Abschnitt.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bezeichnungen
Wir erinnern daran, dass wir mit lim sup an den größten
Häufungspunkt der Folge (an ) bezeichnet haben.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bezeichnungen
Wir erinnern daran, dass wir mit lim sup an den größten
Häufungspunkt der Folge (an ) bezeichnet haben.
Ist die Folge nach oben beschränkt, so existiert der Limes
Superior nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß. Ist die Folge
nach oben unbeschränkt, so schreiben wir lim sup an = ∞.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Der Konvergenzsatz
Satz Sei
L = lim sup
n→∞
1
L,
p
n
|an |
wobei 1/0 als R = ∞ und 1/∞ als R = 0
und R =
interpretiert wird.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Der Konvergenzsatz
Satz Sei
L = lim sup
n→∞
1
L,
p
n
|an |
wobei 1/0 als R = ∞ und 1/∞ als R = 0
und R =
interpretiert wird.
P
Dann ist die Reihe n an x n für |x| < R absolut konvergent
und für |x| > R divergent.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Der Konvergenzsatz
Satz Sei
L = lim sup
n→∞
p
n
|an |
1
L,
wobei 1/0 als R = ∞ und 1/∞ als R = 0
und R =
interpretiert wird.
P
Dann ist die Reihe n an x n für |x| < R absolut konvergent
und für |x| > R divergent.
Die Reihe konvergiert gleichmäßig in jedem Intervall |x| ≤ r
mit r < R. Über die Konvergenz für |x| = R lässt sich keine
allgemeine Ausage machen.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Der Konvergenzsatz
Satz Sei
L = lim sup
n→∞
p
n
|an |
1
L,
wobei 1/0 als R = ∞ und 1/∞ als R = 0
und R =
interpretiert wird.
P
Dann ist die Reihe n an x n für |x| < R absolut konvergent
und für |x| > R divergent.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Die Reihe konvergiert gleichmäßig in jedem Intervall |x| ≤ r
mit r < R. Über die Konvergenz für |x| = R lässt sich keine
allgemeine Ausage machen.
Der Zwischenwertsatz
Existiert der Grenzwert
Gliedweise
Differentiation
|an+1 |
,
n→∞ |an |
Q = lim
so gilt L = Q.
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bemerkung zum Konvergenzsatz
Da die Konvergenz gleichmäßig ist für |x| ≤ r < R, so ist die
Grenzfunktion p(x) in diesem Bereich stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bemerkung zum Konvergenzsatz
Da die Konvergenz gleichmäßig ist für |x| ≤ r < R, so ist die
Grenzfunktion p(x) in diesem Bereich stetig.
Da r < R beliebig gewählt werden kann, ist p(x) für alle
|x| < R stetig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gliedweise Differentiation
Im Inneren des Konvergenzbereichs ist p(x) unendlich oft
differenzierbar und darf gliedweise differenziert werden, also
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gliedweise Differentiation
Im Inneren des Konvergenzbereichs ist p(x) unendlich oft
differenzierbar und darf gliedweise differenziert werden, also
p ′ (x) =
∞
X
n=1
nan x n−1 ,
p ′′ (x) =
∞
X
n=2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
n(n − 1)an x n−2 .
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Gliedweise Differentiation
Im Inneren des Konvergenzbereichs ist p(x) unendlich oft
differenzierbar und darf gliedweise differenziert werden, also
p ′ (x) =
∞
X
nan x n−1 ,
p ′′ (x) =
n=1
Insbesondere gilt
∞
X
n=2
p (n) (0)
= n!an .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
n(n − 1)an x n−2 .
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
7 Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 läßt sich eindeutig
in der Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
schreiben.
r = |z| > 0,
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
7 Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 läßt sich eindeutig
in der Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0,
schreiben.
r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und
φ = arg z heißt Argument von z. φ ist der im
Gegenuhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen der positiven
reellen Achse und dem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt
(x, y ).
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Multiplikation in Polardarstellung
Für das Produkt der beiden Zahlen z = r (cos φ + i sin φ) und
z ′ = s(cos ψ + i sin ψ) ergibt sich wegen der
Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
z · z ′ = rs(cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ))
= rs cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) .
zz’
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
z’
Potenzreihen
.
ψ
ϕ
ϕ+ψ
0
Komplexe Zahlen
z
Gliedweise
Differentiation
Re z
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Multiplikation in Polardarstellung
Der Ortsvektor zz ′ besitzt demnach die Länge |zz ′ | und zeigt
in Richtung φ + ψ. Beim Produkt zweier komplexer Zahlen
werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme alle Lösungen von
iz 2 + (1 − i)z − 3 = 0
Lösung Wir teilen durch i
z 2 + (−i − 1)z + 3i = 0
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme alle Lösungen von
iz 2 + (1 − i)z − 3 = 0
Lösung Wir teilen durch i
z 2 + (−i − 1)z + 3i = 0
und erhalten mit quadratischer Ergänzung
i +1 2
(1 + i)2
5
z−
= −3i +
= − i.
2
4
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
i +1 2
(1 + i)2
5
z−
= −3i +
= − i.
2
4
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
i +1 2
(1 + i)2
5
z−
= −3i +
= − i.
2
4
2
Die Gleichung w 2 = − 52 i hat die Lösungen
w =±
daher
√
5
(1 − i),
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
i +1 2
(1 + i)2
5
z−
= −3i +
= − i.
2
4
2
Die Gleichung w 2 = − 52 i hat die Lösungen
w =±
daher
√
5
(1 − i),
2
√
i +1
5
z± =
±
(1 − i).
2
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Reihe
∞
X
n=1
Die geometrische
Summenformel
2n + 1
n2 (n + 1)2
auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Wert.
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche die Reihe
∞
X
n=1
Die geometrische
Summenformel
2n + 1
n2 (n + 1)2
auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Wert.
Lösung Es gilt
2n + 1
3n
3
≤ 4 = 3.
2
+ 1)
n
n
n2 (n
Damit ist 3n−3 eine konvergente Majorante (siehe
Integralvergleichskriterium).
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz
2x + 1
a0
a1
b0
b1
=
+ 2+
+
.
x 2 (x + 1)2
x
x
x + 1 (x + 1)2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz
2x + 1
a0
a1
b0
b1
=
+ 2+
+
.
x 2 (x + 1)2
x
x
x + 1 (x + 1)2
Man kann dies auf den Hauptnenner bringen und einen
Koeffizientenvergleich durchführen. Wir berechnen
stattdessen a1 und b1 zuerst:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
2x + 1
= 1,
x→0 (x + 1)2
Der Zwischenwertsatz
2x + 1
= −1
x→−1
x2
Komplexe Zahlen
a1 = lim
b1 = lim
Potenzreihen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz
2x + 1
a0
a1
b0
b1
=
+ 2+
+
.
x 2 (x + 1)2
x
x
x + 1 (x + 1)2
Man kann dies auf den Hauptnenner bringen und einen
Koeffizientenvergleich durchführen. Wir berechnen
stattdessen a1 und b1 zuerst:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
2x + 1
= 1,
x→0 (x + 1)2
Der Zwischenwertsatz
2x + 1
= −1
x→−1
x2
Komplexe Zahlen
a1 = lim
b1 = lim
Potenzreihen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Für a0 und b0 erhält man ein lineares Gleichungssystem,
wenn man zwei Werte (z.B z = 1 und z = 2) einsetzt. In
diesem Fall sieht man mit bloßem Auge, dass a0 = b0 = 0.
Die Reihe ist daher eine Teleskopreihe mit Reihenwert 1.
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
8 Gliedweise Differentiation
Satz Die Funktionen fn seien in [a, b] stetig differenzierbar
mit fn → f punktweise und fn′ → g gleichmäßig.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
8 Gliedweise Differentiation
Satz Die Funktionen fn seien in [a, b] stetig differenzierbar
mit fn → f punktweise und fn′ → g gleichmäßig.
Dann ist auch f differenzierbar mit f ′ = g , oder
′
(lim fn ) =
lim fn′ .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis
Die gleichmäßige Konvergenz fn′ → g bedeutet
kfn′ − g k = sup |fn′ (x) − g (x)| → 0.
x∈[a,b]
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis
Die gleichmäßige Konvergenz fn′ → g bedeutet
kfn′ − g k = sup |fn′ (x) − g (x)| → 0.
x∈[a,b]
Wir können daher den Satz über die Vertauschung von
Integration und gleichmäßiger Konvergenz anwenden und
erhalten
Z x
Z x
fn′ (t) dt.
g (t) dt = lim
a
n→∞ a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis
Die gleichmäßige Konvergenz fn′ → g bedeutet
kfn′ − g k = sup |fn′ (x) − g (x)| → 0.
x∈[a,b]
Wir können daher den Satz über die Vertauschung von
Integration und gleichmäßiger Konvergenz anwenden und
erhalten
Z x
Z x
fn′ (t) dt.
g (t) dt = lim
a
n→∞ a
Auf der rechten Seite liefert der Hauptsatz
Z x
fn′ (t) dt = lim fn (x) − lim fn (a) = f (x) − f (a).
lim
n→∞ a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis
Die gleichmäßige Konvergenz fn′ → g bedeutet
kfn′ − g k = sup |fn′ (x) − g (x)| → 0.
x∈[a,b]
Wir können daher den Satz über die Vertauschung von
Integration und gleichmäßiger Konvergenz anwenden und
erhalten
Z x
Z x
fn′ (t) dt.
g (t) dt = lim
a
n→∞ a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Auf der rechten Seite liefert der Hauptsatz
Z x
fn′ (t) dt = lim fn (x) − lim fn (a) = f (x) − f (a).
lim
Potenzreihen
Damit ist f eine Stammfunktion von g und nach dem
Hauptsatz folgt f ′ = g .
Integrationstechnik
n→∞ a
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge fn (x) = (x 2 + n1 )1/2 im
Intervall [−1, 1] gleichmäßig gegen die Grenzfunktion
f (x) = |x| konvergiert. Zeigen Sie ferner, daß die fn einmal
stetig differenzierbar sind, die Grenzfunktion aber nicht.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Es gilt fn′ (x) = (x 2 + n1 )−1/2 x ∈ C 0 .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Es gilt fn′ (x) = (x 2 + n1 )−1/2 x ∈ C 0 .
Ferner
1 1/2
2
x +
≥ (x 2 )1/2 = |x|,
n
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Es gilt fn′ (x) = (x 2 + n1 )−1/2 x ∈ C 0 .
Ferner
1 1/2
2
x +
≥ (x 2 )1/2 = |x|,
n
die andere Richtung erhält man aus
|x| +
1
n1/2
1
1 1/2
1
2|x|
2
≥ x +
⇔ x 2 + 1/2 + ≥ x 2 + ,
n
n
n
n
also fn → f gleichmäßig in [−1, 1].
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
9 Mittelwertsätze
Satz [Mittelwertsatz der Integralrechnung] Sei f stetig auf
[a, b] und p ≥ 0 eine Regelfunktion auf [a, b]. Dann gibt es
ein ξ ∈ (a, b) mit
Z
b
f (x)p(x) dx = f (ξ)
a
Z
b
p(x) dx.
a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bemerkung
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
a
ξ
b
Für p = 1 erhalten wir den Spezialfall
Z
b
a
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Bemerkung
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
a
ξ
b
Für p = 1 erhalten wir den Spezialfall
Z
b
a
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
Man beachte, dass der Satz nur richtig ist, wenn eine
Vorzeichenbedingung an p erfüllt ist.
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
a
ξ
b
x
Satz f sei im Intervall [a, b] stetig und in (a, b)
differenzierbar. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
= f ′ (ξ).
b−a
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
In
Z
b
f (x) dx = f (ξ)
a
Z
b
a
1 dx = f (ξ)(b − a)
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
In
Z
b
f (x) dx = f (ξ)
a
Z
b
a
1 dx = f (ξ)(b − a)
setze f ′ statt f und erhalte
f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a).
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Beweis mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
In
Z
b
f (x) dx = f (ξ)
a
Z
b
a
1 dx = f (ξ)(b − a)
setze f ′ statt f und erhalte
f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a).
f ′ muss hier auf [a, b] stetig sein. Die Voraussetzungen für
diesen Beweis sind also etwas stärker als für den
Mittelwertsatz.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Monotonie
Aus dem Mittelwertsatz folgt für eine Funktion, deren
Ableitung ein Vorzeichen auf einem Intervall hat:
′
f (x) ≥ 0 ⇔ f ist monoton wachsend,
f ′ (x) ≤ 0 ⇔ f ist monoton fallend,
′
f (x) > 0 ⇒ f ist streng monoton wachsend,
f ′ (x) < 0 ⇒ f ist streng monoton fallend.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Monotonie
Aus dem Mittelwertsatz folgt für eine Funktion, deren
Ableitung ein Vorzeichen auf einem Intervall hat:
′
f (x) ≥ 0 ⇔ f ist monoton wachsend,
f ′ (x) ≤ 0 ⇔ f ist monoton fallend,
′
f (x) > 0 ⇒ f ist streng monoton wachsend,
f ′ (x) < 0 ⇒ f ist streng monoton fallend.
x3
Beispiel f (x) =
ist streng monoton wachsend, erfüllt
aber nicht f ′ (x) > 0 für alle x.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
f ′ = 0 => f konstant
Die geometrische
Summenformel
f ′ (x) = 0 in (a, b) ⇔ f ′ ≥ 0 und f ′ ≤ 0
⇔ f monoton wachsend und f monoton fallend
⇔ f ist konstant in (a, b).
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Für k ∈
N seien fk : R → R gegeben durch
fk (x) = e x sin x + x 2k .
Beweisen Sie: Die Funktionen fk und ihre Ableitungen fk′
besitzen unendlich viele Nullstellen in .
R
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Aus der Reihe der Exponentialfunktion folgt für x > 0 und
alle n ∈
xn
ex ≥
.
n!
N
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Aus der Reihe der Exponentialfunktion folgt für x > 0 und
alle n ∈
xn
ex ≥
.
n!
Wir wählen hier speziell n = 2k + 1. Damit gilt für x > x0
N
ex ≥
x
1
x 2k ≥ x 2k .
(2k + 1)!
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Aus der Reihe der Exponentialfunktion folgt für x > 0 und
alle n ∈
xn
ex ≥
.
n!
Wir wählen hier speziell n = 2k + 1. Damit gilt für x > x0
N
ex ≥
x
1
x 2k ≥ x 2k .
(2k + 1)!
2
Für x+ = (2l + 21 )π > x0 und x− = (2l + 23 )π > x0 folgt
fk (x+ ) > 0 und fk (x− ) < 0.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Aus der Reihe der Exponentialfunktion folgt für x > 0 und
alle n ∈
xn
ex ≥
.
n!
Wir wählen hier speziell n = 2k + 1. Damit gilt für x > x0
N
ex ≥
x
1
x 2k ≥ x 2k .
(2k + 1)!
2
Für x+ = (2l + 21 )π > x0 und x− = (2l + 23 )π > x0 folgt
fk (x+ ) > 0 und fk (x− ) < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt fk unendlich viele
Nullstellen für x > x0 .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Lösung
Aus der Reihe der Exponentialfunktion folgt für x > 0 und
alle n ∈
xn
ex ≥
.
n!
Wir wählen hier speziell n = 2k + 1. Damit gilt für x > x0
N
ex ≥
x
1
x 2k ≥ x 2k .
(2k + 1)!
2
Für x+ = (2l + 21 )π > x0 und x− = (2l + 23 )π > x0 folgt
fk (x+ ) > 0 und fk (x− ) < 0.
Nach dem Zwischenwertsatz besitzt fk unendlich viele
Nullstellen für x > x0 .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Nach dem Satz von Rolle liegt zwischen zwei Nullstellen von
fk mindestens eine Nullstelle von fk′ .
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
10 Integrationstechniken
◮
Partielle Integration
◮
Integration durch Substituion
◮
Partialbrichzerlegung
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
ln(1 + x)
f (x) =
x 3/2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
ln(1 + x)
f (x) =
x 3/2
Wir verwenden die Substitution
1
dy
= x −1/2 ⇒ dx = 2y dy .
y = x 1/2 ⇒
dx
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
ln(1 + x)
f (x) =
x 3/2
Wir verwenden die Substitution
1
dy
= x −1/2 ⇒ dx = 2y dy .
y = x 1/2 ⇒
dx
2
Dann folgt mit partieller Integration
Z
Z
ln(1 + y 2 )
ln(1 + x)
y dy
dx
=
2
y3
x 3/2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
ln(1 + x)
f (x) =
x 3/2
Wir verwenden die Substitution
1
dy
= x −1/2 ⇒ dx = 2y dy .
y = x 1/2 ⇒
dx
2
Dann folgt mit partieller Integration
Z
Z
ln(1 + y 2 )
ln(1 + x)
y dy
dx
=
2
y3
x 3/2
Z
d
= 2 ln(1 + y 2 ) (−y −1 ) dy
dy
Z
2y
ln(1 + y 2 )
−1
=2
y
dy
−
2
1 + y2
y
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Z
ln(1 + x)
ln(1 + y 2 )
dx
=
4
arctan
y
−
2
y
x 3/2
= 4 arctan x 1/2 − 2
ln(1 + x)
x 1/2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Z
ln(1 + x)
ln(1 + y 2 )
dx
=
4
arctan
y
−
2
y
x 3/2
= 4 arctan x 1/2 − 2
Probe:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
ln(1 + x)
x 1/2
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
d ln(1 + x) 4 arctan x 1/2 − 2
dx
x 1/2
=4
1
1
· x −1/2 − 2
1+x 2
− 12 x −1/2 ln(1
x
+ x) +
x 1/2
1+x
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Z
ln(1 + x)
ln(1 + y 2 )
dx
=
4
arctan
y
−
2
y
x 3/2
= 4 arctan x 1/2 − 2
Probe:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
ln(1 + x)
x 1/2
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
d ln(1 + x) 4 arctan x 1/2 − 2
dx
x 1/2
=4
1
1
· x −1/2 − 2
1+x 2
− 12 x −1/2 ln(1
+ x) +
x 1/2
1+x
x
2
1
ln(1 + x)
ln(1 + x)
=√
− 2√
+
=
3/2
x(1 + x)
x(1 + x)
x
x 3/2
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = tan2 x,
π
|x| <
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = tan2 x,
π
|x| <
2
Aus der Vorlesung ist bekannt
sin x ′
′
(tan x) =
= tan2 x + 1,
cos x
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = tan2 x,
π
|x| <
2
Aus der Vorlesung ist bekannt
sin x ′
′
(tan x) =
= tan2 x + 1,
cos x
also
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Z
tan2 x dx = tan x − x
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = x 2 sin 4x
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = x 2 sin 4x
Wir verwenden zweimalige partielle Integration
Z
Z
1
2
2 d
x sin 4x dx = x
− cos 4x dx
dx
4
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man bestimme eine Stammfunktion von
f (x) = x 2 sin 4x
Wir verwenden zweimalige partielle Integration
Z
Z
1
2
2 d
x sin 4x dx = x
− cos 4x dx
dx
4
Z
1
1
=
x cos 4x dx − x 2 cos 4x
2
4
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Z
1
2
1
x cos 4x dx − x 2 cos 4x
4
Z
1
d 1
1
=
x
sin 4x dx − x 2 cos 4x
2
dx 4
4
x 2 sin 4x dx =
Z
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Z
1
2
1
x cos 4x dx − x 2 cos 4x
4
Z
1
d 1
1
=
x
sin 4x dx − x 2 cos 4x
2
dx 4
4
Z
1
1
1
sin 4x dx + x sin 4x − x 2 cos 4x
=−
8
8
4
x 2 sin 4x dx =
Z
1
1
1
=
cos 4x + x sin 4x − x 2 cos 4x.
32
8
4
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche
Z
1
ln t dt
0
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Wert.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche
Z
1
ln t dt
0
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Wert.
Wegen | ln x| ≤ cx −α für jedes α > 0 ist das Integral absolut
konvergent.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche
Z
Die geometrische
Summenformel
1
ln t dt
Grenzwerte von
Funktionen
0
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Wert.
Wegen | ln x| ≤ cx −α für jedes α > 0 ist das Integral absolut
konvergent.
Es gilt
Z
ln x dx =
Z
d
x ln x dx = −
dx
Z
1
x · dx + x ln x.
x
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Aufgabe
Man untersuche
Z
Die geometrische
Summenformel
1
ln t dt
Grenzwerte von
Funktionen
0
auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Wert.
Wegen | ln x| ≤ cx −α für jedes α > 0 ist das Integral absolut
konvergent.
Es gilt
Z
daher
ln x dx =
Z
1
0
Z
d
x ln x dx = −
dx
Z
1
x · dx + x ln x.
x
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
1
ln x dx = lim (−x + x ln x) = −1.
ǫ→0
ǫ
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
11 Der Satz von Taylor
Satz Sei I ein Intervall und f ∈ C n+1 (I ) für ein n ∈
a, x ∈ I gilt die Taylorentwicklung
N0. Für
1
f (x) =f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)(x − a)2 + . . .
2
1
+ f (n) (a)(x − a)n + Rn (x; a)
n!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
11 Der Satz von Taylor
Satz Sei I ein Intervall und f ∈ C n+1 (I ) für ein n ∈
a, x ∈ I gilt die Taylorentwicklung
N0. Für
1
f (x) =f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)(x − a)2 + . . .
2
1
+ f (n) (a)(x − a)n + Rn (x; a)
n!
mit dem Restglied in Integraldarstellung
Z x
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
Rn (x; a) =
n!
a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Das Restglied nach Lagrange
Auf
Rn (x; a) =
Z
x
a
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
n!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Das Restglied nach Lagrange
Auf
Rn (x; a) =
Z
x
a
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
n!
können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung
anwenden
Z x
(x − t)n
dt
Rn (x; a) = f (n+1) (ξ)
n!
a
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Das Restglied nach Lagrange
Auf
Rn (x; a) =
Z
x
a
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
n!
können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung
anwenden
Z x
(x − t)n
dt
Rn (x; a) = f (n+1) (ξ)
n!
a
=
(x − a)n+1 (n+1)
f
(ξ).
(n + 1)!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Das Restglied nach Lagrange
Auf
Rn (x; a) =
Z
x
a
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
n!
können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung
anwenden
Z x
(x − t)n
dt
Rn (x; a) = f (n+1) (ξ)
n!
a
=
(x − a)n+1 (n+1)
f
(ξ).
(n + 1)!
Wir erhalten das Restglied nach Lagrange
Rn (x; a) =
(x − a)n+1 (n+1)
f
(ξ) für ein ξ ∈ (a, x).
(n + 1)!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Zur Approximation des Integrals
die Mittelpunktsformel
R1
0
f (x) dx verwenden wir
1
.
I (f ) = f
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Zur Approximation des Integrals
die Mittelpunktsformel
R1
0
f (x) dx verwenden wir
1
.
I (f ) = f
2
Für f ∈ C 2 ([0, 1] zeige man
Z
1
0
1
f (x) dx − I (f ) ≤
max |f ′′ (x|.
24 0≤x≤1
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Zur Approximation des Integrals
die Mittelpunktsformel
R1
0
f (x) dx verwenden wir
1
.
I (f ) = f
2
Für f ∈ C 2 ([0, 1] zeige man
Z
1
0
1
f (x) dx − I (f ) ≤
max |f ′′ (x|.
24 0≤x≤1
Wir entwickeln um den Punkt a =
1
2
1
1
1
1
+x =f
+f′
x + f ′′ (ξ(x))x 2 .
f
2
2
2
2
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Dann
Z 1
Die geometrische
Summenformel
f (x) dx =
0
=
Z
Z
1
2
− 21
1
2
− 21
1
f ( + x) dx
2
1
1
1
f ( ) + f ′ ( )x + f ′′ (ξ(x))x 2 dx
2
2
2
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Dann
Z 1
Die geometrische
Summenformel
f (x) dx =
0
=
Z
Z
1
2
− 21
1
2
− 21
1
f ( + x) dx
2
1
1
1
f ( ) + f ′ ( )x + f ′′ (ξ(x))x 2 dx
2
2
2
= I (f ) +
Z
1
2
− 21
1 ′′
f (ξ(x))x 2 dx.
2
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Für den Fehler gilt daher
Z
Die geometrische
Summenformel
Z 1
1
2 1 ′′
2
f (ξ(x))x dx f (x) dx − I (f ) = 1 2
0
−
2
1
≤
max |f ′′ (x|
2 0≤x≤1
Z
1
2
− 21
x 2 dx
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Die Mittelpunktsformel
Für den Fehler gilt daher
Z
Die geometrische
Summenformel
Z 1
1
2 1 ′′
2
f (ξ(x))x dx f (x) dx − I (f ) = 1 2
0
−
2
1
≤
max |f ′′ (x|
2 0≤x≤1
=
Z
1
max |f ′′ (x|
24 0≤x≤1
1
2
− 21
x 2 dx
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
12 Taylorreihen
Wir nennen
f (x) =
∞
X
n=0
an (x − a)
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a.
n
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
12 Taylorreihen
Wir nennen
f (x) =
∞
X
n=0
an (x − a)
n
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a.
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Da es sich hier um nichts weiter als die bereits bekannte
Potenzreihe handelt, die lediglich um a verschoben ist, gilt
der Konvergenzsatz sinngemäß:
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
12 Taylorreihen
Wir nennen
f (x) =
∞
X
n=0
an (x − a)
n
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a.
Da es sich hier um nichts weiter als die bereits bekannte
Potenzreihe handelt, die lediglich um a verschoben ist, gilt
der Konvergenzsatz sinngemäß:
p
L = lim sup n |an |
n→∞
gibt den Konvergenzbereich
D = {x ∈
R : |x − a| < R = L1 }.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a
f kann in D unendlich oft gliedweise differenziert werden,
insbesondere gilt
f (n) (a) = n!an ,
also
f (x) =
∞
X
n=0
f (n) (a)
(x − a)n .
n!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a
f kann in D unendlich oft gliedweise differenziert werden,
insbesondere gilt
f (n) (a) = n!an ,
also
f (x) =
∞
X
n=0
f (n) (a)
(x − a)n .
n!
Die Koeffizienten der Potenzreihe sind exakt die Koeffizienten
aus der Taylor-Formel!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Taylor- und Potenzreihe
P
n
Satz Sei f (x) = ∞
n=0 an (x − a) in einer Umgebung von a
konvergent. Dann stimmt das Taylorpolynom Tn (x; a) mit
dem n-ten Abschnitt der Reihe überein,
Tn (x; a) =
n
X
k=0
ak (x − a)k .
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Taylor- und Potenzreihe
P
n
Satz Sei f (x) = ∞
n=0 an (x − a) in einer Umgebung von a
konvergent. Dann stimmt das Taylorpolynom Tn (x; a) mit
dem n-ten Abschnitt der Reihe überein,
Tn (x; a) =
n
X
k=0
ak (x − a)k .
Ist umgekehrt f unendlich oft differenzierbar mit
Rn (x; a) → 0 gleichmäßig in Umgebung von a, so lässt sich
in dieser Umgebung f als Potenzreihe darstellen:
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Taylor- und Potenzreihe
P
n
Satz Sei f (x) = ∞
n=0 an (x − a) in einer Umgebung von a
konvergent. Dann stimmt das Taylorpolynom Tn (x; a) mit
dem n-ten Abschnitt der Reihe überein,
Tn (x; a) =
n
X
k=0
ak (x − a)k .
Ist umgekehrt f unendlich oft differenzierbar mit
Rn (x; a) → 0 gleichmäßig in Umgebung von a, so lässt sich
in dieser Umgebung f als Potenzreihe darstellen:
f (x) =
∞
X
f (n) (a)
n=0
n!
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
n
(x − a) .
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Anwendung
Bei jeder Funktion kann man zumindest den Versuch
machen, sie in eine Taylorreihe zu entwickeln. Dazu muss
man sich alle Ableitungen in einem Punkt verschaffen.
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Anwendung
Bei jeder Funktion kann man zumindest den Versuch
machen, sie in eine Taylorreihe zu entwickeln. Dazu muss
man sich alle Ableitungen in einem Punkt verschaffen.
Für den Arcustangens gilt
arctan(x) =
∞
X
n=0
(−1)n
1
1
1
x 2n+1
= x − x3 + x5 − x7 + . . .
2n + 1
3
5
7
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Anwendung
Bei jeder Funktion kann man zumindest den Versuch
machen, sie in eine Taylorreihe zu entwickeln. Dazu muss
man sich alle Ableitungen in einem Punkt verschaffen.
Für den Arcustangens gilt
arctan(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
Wegen arctan 1 =
π
4
1
1
1
x 2n+1
= x − x3 + x5 − x7 + . . .
2n + 1
3
5
7
folgt die Formel von Leibniz
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
1 1 1
π
= 1 − + − + ....
4
3 5 7
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen
Anwendung
Bei jeder Funktion kann man zumindest den Versuch
machen, sie in eine Taylorreihe zu entwickeln. Dazu muss
man sich alle Ableitungen in einem Punkt verschaffen.
Für den Arcustangens gilt
arctan(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
Wegen arctan 1 =
π
4
1
1
1
x 2n+1
= x − x3 + x5 − x7 + . . .
2n + 1
3
5
7
folgt die Formel von Leibniz
Die geometrische
Summenformel
Grenzwerte von
Funktionen
Stetigkeit und
gleichmäßige
Stetigkeit
Punktweise und
gleichmäßige
Konvergenz von
Funktionenfolgen
Der Zwischenwertsatz
Potenzreihen
1 1 1
π
= 1 − + − + ....
4
3 5 7
Aber: Woher weiß man, dass die Reihe für x = 1 gegen
arctan(1) konvergiert?
Komplexe Zahlen
Gliedweise
Differentiation
Mittelwertsätze
Integrationstechnik
Der Satz von
Taylor
Taylorreihen