Neues über die Pell`sche Gleichung - E

Neues über die Pell'sche Gleichung
Autor(en):
Bucher, J.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft Luzern
Band (Jahr): 14 (1943)
PDF erstellt am:
03.11.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-523525
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Neues über die Pell'sche Qleichung
VON
J.BUCHER
LUZERN
I.
Den folgenden Betrachtungen ist der quadratische Zahlenkörper & p g) zugrundegelegt, wo entweder p und g Primzahlen
2 ist. Unsere Entwicklungen beder Form 4w + 1 sind, oder g
ziehen sich zunächst auf den ersten Fall, in Ergänzungssätzen
werden wir jeweils den zweiten Fall berücksichtigen.
l
Ist
1, so existieren über die Norm der Grundeinheit
—
\S7
die Sätze von
(Werke 1. Bd., S. 219), die später mehrfach ergänzt wurden, so von mir (Dissertation, Zürich 1919), von
Herrn A. füedei (Journal für Mathematik Bd. 171), von Herrn /l.
(Mathematische Zeitschrift Bd. 39). Wir wissen folgendes:
Ist der gegenseitige biquadratische Restcharakter der Zahlen 7)
und bekannt, so läßt sich daraus schließen, ob die Klassenzahl
in Ä" Ppg) — stets Äquivalenz im engern Sinn vorausgesetzt —
durch 8 teilbar ist oder nicht ferner läßt sich im letzteren Fall
die Norm der Grundeinheit genau charakterisieren.
In der folgenden Arbeit wird gezeigt, daß, wenn der biquadratische Restcharakter gewisser irrationaler Primfaktoren in
quadratischen Zahlenkörpern bekannt ist, ferner die Anzahl der
quadratischen Reste in bestimmten Intervallen, wir daraus
schließen können, ob die Klassenzahl in & V'/jr/) durch 16 teilbar
ist oder nicht; im letztern Falle läßt sich die Norm der Grundeinheit genau charakterisieren. Die Resultate von DmcAZei werden also wesentlich erweitert.
<7
;
II.
Mit
den bisher bekannten Resultaten stehen gewisse Kon-
gruenzen in Zusammenhang. Es sei
ç
—— wobei £ und
^
3
it die kleinsten positiven ganzen Zahlen sind, für welche die
Gleichung
ç
1
—
±
ist positiv und -~
1
erfüllt ist. Aus der Definition folgt:
(modp) und (modg). ç ist das Quadrat
einer Einheit und zwar der Grundeinheit e' (e >1) in /,: I'p7
— 1 ist oder einer Einheit im erweiterten Körper
wenn A (e)
&(Fp rg von der Form
it/ r 'iö
7/ r (7
p
Grundeinheit in
&
1.Fall. jy(,)
''~Pgy'=-li
wenn die Norm der
1 ist. Der besondern Form von A(e),
Kpg
bzw. A (îj) entsprechend, können drei Fälle unterschieden werden:
2.
Fall.
3.
Fall.
jy(,)=P*'-gy' —
jy(,)=P»'~gP'=i
1 ;
Diesen drei Normen sind, wie man sofort sieht, folgende drei
Kongruenzen umkehrbar eindeutig zugeordnet :
i- ^
1.
Fall,
2.
Fall. 4"
3.
^ 4^
^ 4^
Z
j
(mod p)
—
1
(mod g)
;
1
(mod p)
—
1
(mod g)
;
1
(mod p)
1
(mod g)
T
Fall. 4"
—
Ist g 2 betrachten wir entsprechend die Einheit:
— iiF2p und unterscheiden, wie oben die drei Fälle:
1.
Fall. A (e)
—1 ;
£
-f- 2pp^
Fall. A(g)=pa:-— 2p^=—1;
<
px^-f2î/^=
£
pa:®
— 2p j/®
—1 (mod 4)
ç
i—
—1 (modp)
;
2.
—1 (mod 4)
3.
Fall. A(p)=pa;-—
1
1;
-j- 2g^ =—1 (modp)
(mod 4)
Betrachten wir statt ç allgemein die Einheit ç"
wo
7'
2
/i
1
—
\
1
l(modp)
;
(mod pg).
Ist
w
7'
gerade, dann ist —
T— AFpg
=1
(mod pg),
ist
ra
T
t
ungerade, dann ist —
für den Körper
1. Satz.
/:
l'2p),
ç
/st
— (mod pg). Entsprechendes gilt
so daß
folgender Satz gilt:
T—f/D/p
fetr.
—
(V
T
die afcsoirat Heirastera Reste rora —
T
7>zw.
rarad sirad
raacA dera if/odraZra
p wrad
g, 6zw. raacÄ dera A/odraZra p rtrad 7 : (—7; —7), (7; —7) oder
(—7; 7), so Ziegt m öezrag ara/ A D? der erste, zweite oder dritte
FaZZ
so
ist
vor
ra
rarad ra
gerade.
Auf Grund
so
ist raragerade; sirad «her diese Reste gieicA (7; 7),
dieses Satzes können nun die Sätze von 7>iric//7e<
formuliert werden
/st die R/asseraza7iZ
:
j
j
^
7j
drarcA 7 teiZöar, so
j
j
(mod p) ;
*
—
1,
j
(mod p) ;
Dabei bedeutet
p\
^-1
(1)
rarad
(mod g)
2
/rär g
Ä
/&
t
*
ist:
^
1,
'
(mod 7).
<
daß p von der Form:
daß p von der Form : 16ra
16ra
+ 1 und
+ 9 ist.
III.
(—|
A. Wir setzen im folgenden stets voraus, daß( —I
/p\
/ 2 \|
I
bzw. 17^
— =1 ist, daß also die Klassenzahl durch
\2/4
teilbar ist.
\P/4
Nehmen wir zuerst p und
als x-Zahlen jene
^
^
g
für welche
<
*
Zahlen g < -|-, für welche
^
ist. Ferner betrachte ich die Funktionen:
(3/
ra
(2)
— 4 snF
JT
/
\
1
/
y)(ra)=77^ra — 4 sin^^A^-j
8
ungerade an. Ich definiere dann
Zahlen x
und als «/-Zahlen jene ^
1,
y
rt
4
ra
4
i
y
-)-)-
und ihre Resultante, das Doppelprodukt:
=1 ist
j
1
5
«j
ra
4
+
-fa>-i
4
6j
ra
4
+
+6
g
—i
=77^4 sin®-^—4 sin®
(3)
A„
(4)
\
g
£>
Ich definiere ferner die Zahlen
(5)
Ap, ç
Ist
~
#
I
I
bzw.
4 sin^-^-
(é sin®
77
j,
^-)
A
^<z,
>
folgendermaßen:
~
p -^5,
I
-^(?, p
I
die Anzahl der negativen Faktoren in A,,
?i
Weil A,,
p
hervorgeht, wenn alle Faktoren das Zeichen
aus ß,,
ändern, so folgt:
— 1) (g —
«
(-1)
A,.p
(7)
Beispiel Wir berechnen
l)
Ap,„
Aioi,s, indem
wir die Anzahl der ne-
(£1/IUI
TT
4 sin®
4 sin®
len. Die Anzahl ist gleich der Anzahl der x-Zahlen
die Zahl beträgt 11. Es ist also nach (6) : Aioi.s
:
ist
so
^,,= (-1)».
(6)
(7)
•
TT
\
abzäh—
O /
1
<
^
o
und
—1 und nach
1
A5,101
Ich bezeichne die Grundeinheit e > 1 in 7 Fp mit e.„ und
die entsprechende Einheit in &( Fg mit e,,, bilde die Produkte
total positive
ßp
— Fp £p und e, — Fg £j, wobei und
/:
Zahlen sind. Ferner zerlege ich p in
Ff/ in pp' und g in
&( Fp) in qq' und betrachte die biquadratischen Restsymbole:
:
und
•
Ersteres ist z. B. so definiert:
ßp
*
(mod q). Wie sich später zeigen wird, können sie nur die Werte
'e„
®
;
-f-1 und —1 annehmen, und es ist
j
j
Nach diesen Vorbereitungen können wir folgenden Satz für ungerade p und g aussprechen:
Hauptsatz. /si die Atasse7i,za./d in &(Fpg) dnrc/ 5 ieiièar, dann
ist
Aj,
p
I
—
1
(4")
*
(°d p) ;
Zusammen mit dem
1.
*
Ap,,,
'
_
g).
Kf)
Satz läßt sich aus I —
P
(Tnod
1
I
— | und
A
bestimmen, ob die Klassenzahl in &(Fpg) durch 16 teilbar ist
oder nicht, und im letzteren Fall, welche Form 2V( Fç hat..
Bemerfomgr. Da nach dem Ideal p die irrationale Zahl e,,
einer rationalen Zahl kongruent ist, so kommt es bei der Be-
darauf an, ob eine rationale Zahl biquadra-
Stimmung von
tischer Rest nach dem Modul p ist oder nicht.
ZaABpheispieB. Die folgende Tabelle ist aufgestellt für die
5 kleinsten Primzahlen p, für welche die Klassenzahl in h( Pöp)
durch 8 teilbar ist. Ferner ist w, und daraus Ap, 5 und Ag, p berech1
+ Fö ferner ist
net. Bei der Berechnung von p ist co
4- Fp
1
Modul
p
n
5
Die Zahlen e„ sind teilweise nur nach dem
angegeben. Ferner ist
—F5_
eg
n
-Fö
1/5
67?
^7?, 5 ^•5,
p
2?
101 11
—1
1
181 18
1
—1
ßp
q
/
4
o
P/4
iv(F«
/4
q
(101, 22+w) 101—10 pïôï
1 (mod 5)
(181, 13 + co)
II. Fall
III. „
II. „
401 43 —1 —1 (401,111 +ro) 401—20 F401
1 —1
461 48
(461, 21 + co) EE 1 (mod 5)
1
1
521 56
(521, 99+co) HE— 1 (mod 5)
B. Für
(8) Bp,
2
g
Faktoren
%
4
Der Formel
-|-sind.
8
Ap,
(—
2
:
Die Anzahl der negativen
shP
ist gleich der Anzahl der «-Zahlen, die kleiner als
79
(9)
I. Fall
betrachten wir an Stelle von (3)
17 ^4 shP
2
16/h
!)"
entspricht:
(6)
Da in Bp,,
Faktoren vorkommen und
p die Form 1671+1 hat, so ist:
(10)
Ap,
2
A2,
„
A
Ferner ist
eg
—P2(l — F2)
in besonderer Weise zu definieren,
2-—P2 •
hat
—Fp
ßp
die Form a — &Fp, wobei, wie später bewiesen wird, a die Form
8w -j- 1, è die
u
-f
6
1
Form
8%
hat. Wir definieren nun
(mod 16) und
— F wenn
œ
| "F j
-f- 6
1,
9
wenn
(mod 16).
7
Wir erhalten dann folgenden :
Ergänzungssatz zum Hauptsatz :
ieiftar dwrc/ <5, daran ist :
<* (mod
/si die PZasseraza/Z ira &( VEp)
^
p);
(mod 4)
Unter den Primzahlen p, für welche in /( P2p)
die Klassenzahl durch 8 teilbar ist, haben wir die ersten 3 gewählt und dazu noch p
1217, weil dieses die kleinste Primzahl
ist, für welche die Klassenzahl in /( V2p) durch 16 teilbar ist.
e^, ist mit einer Ausnahme nach dem Modul 16 angegeben.
Za/dera&eispieie.
n
À
P
9
—1
(113, 51 + ]/2)
257 20
1
p
113
337 25 —1
1217 84
1
EE
(ft »(ft »(ft
(i).
Bp
9+8J/TÏ3 (mod
i
i
i
16)
60+p2) 257—16p257
(337, 26+p2)
9+8p337 (mod 16)
(1217, 591 + p2) EE 1 (mod 16)
(257,
—
1
—
—
i
1
—
1
1
1
—
1
I. Fal.
1
—
1
III. Fal.
1
1
II. Fal.
1
1
IV.
Wir gehen zu den Beweisen über und beweisen zunächst folgenden
2. Satz,
/si
die B/asserazaAi ira
/.;
'
(11)
|
Beweis.
Wir teilen die zu p und
in
4
1.
die «-Zahlen, für welche
|
g
Vpg) :
Ap,
A —
S'
ift,
Aj,
„
p
so
P„,
isi :
p
teilerfremden Zahlen <
Klassen ein:
gilt:
1
2. die /1-Zahlen,
für welche gilt:
3. die y-Zahlen,
für welche gilt:
1
4. die <5-Zahlen,
für welche gilt :
—1.
—1
Die «- und //Zahlen zusammengefaßt bezeichnen wir als AZahlen, die y- und d-Zahlen als B-Zahlen und schließlich die
A- und B-Zahlen zusammengefaßt als C-Zahlen.
8
N(Ps(
16/h
Die allgemeine Klassenzahlformel (27.77ecAe, Theorie der algebraischen Zahlen, S.209) ergibt für A — Äquivalenz im engern
Sinn vorausgesetzt — mit unsern Bezeichnungen :
-A-log
S
(12)
log°
"
77 sin
Ç
77
73
sin
71
72
oder, wenn wir von den Logarithmen zu den Grundzahlen übergehen, A
8/q setzen und radizieren:
TJsin^-^
(13)
77sin -
pg
Für das Folgende brauchen wir verschiedene Formeln der
Winkelteilung, und entnehmen sie Webers Algebra, I. Bd.,
2. Aufl. Nach Formel 20, S. 478, gilt für jede ungerade Zahl n:
r
77sin—-—
2
2
(14)
/(r
/—
Fw
TT
n—
„
1, 2,
1
Die Wurzel hat das positive Vorzeichen, weil alle Faktoren
links positiv sind. Setzen wir %
pg und beachten, daß die
^
'
2
aus den
Zahlen,' die kleiner als
-^
^
Zahlen), aus den
^
aus den
P(?
O
2
^
^
—1
O
3—^
•2
^
7TT
77
•
sm
— zu p und
g
^0,~„,^
JV
2
M
teilerfremden Zahlen (C-
/A
1
79
—-— Zahlen Ag
1, 2,
(P —1) (9 — 1)
n
^
TT O
^Ott/"»
•
\
j Es gilt daher
•
^
7-777
sm
1
79
——-—I und
1, 2,
I
^
Zahlen p p ^p
2
77 sin—ÄÄ
sind, sich zusammensetzen
2
2
n
2
1
1
•
77 gm
O TT
»,
/l
2
g?
Die linke Seite ist wegen (14)
_
Fpg, der
zweite und dritte Faktor rechts sind aus gleichem Grunde Fp
und Fg Daraus folgt:
(P —1)
(15)
2
(8—1)
2
77 sin
pi
9
pg
welche Gleichung sich auch schreiben läßt
(p—i) (g—1)
(16)
2
2
77 sin
pi
pg
=1,
:
=1
Diejenigen D-Zahlen in der Formel (15) nämlich, für welche
2D< —,
ergeben in der Formel (16) die geraden D-Zahlen,
diejenigen D-Zahlen in der Formel (15), für welche 2D >
ist, ersetzen wir durch die D-Zahlen : pg— 2D und diese ergeben
in der Formel (16) die ungeraden D-Zahlen. Multiplizieren wir
(16) und (13) und radizieren, so folgt:
(?'
(17)
ç2/i,
_
—1) (« — 1)
77 sin
4
2
TT
^4
W
Wir betrachten nun folgende vier positiven Produkte:
(p —1) (g—1)
(P —1) (g — 1)
Pi
/7sin
s
2
M
;
Pj
2
2
(18)
Pi
77 sin -TP:
8
o
77 sin
;
P,
——;
P?
l(P— 1) (g —1)
(P —1) (g — 1)
Pa
®
2
s
s
77
sin—.
77
Vergleichen wir die «-Zahlen mit den Zahlen der Linearform: P:gx + pp, die entstehen, wenn x die früher definierten x- und ?/ die positiven und negativen y-Zahlen durchläuft.
Wir bemerken, daß die Zahlen der Linearform eindeutig den
«-Zahlen zugeordnet sind, in dem Sinne, daß jede Zahl der
Linearform einer und nur einer «-Zahl, mit positivem oder negativem Vorzeichen^ nach dem Modul pg kongruent ist. Es
folgt daraus:
P?
^
2^^77sin-^ +pg
(Doppelprodukt.
Wegen der trigonometrischen Identität: sin (« + /?)sin(«—ß)
sin- « — sin*/? folgt, wenn wir noch die Potenzen von 2 in
das Produkt hineinnehmen:
(19)
Pi=
77 ^4
sin-
4
sin*
Vergleichen wir in gleicher Weise die y-Zahlen mit den
Zahlen der Linearform gx + pz, wo z die positiven und negativen quadratischen Nichtreste mod g durchläuft, deren ab:
soluter Betrag
10
<
(7
ist. Die Zahlen sind quadratische Reste
und quadratische Nichtreste mod
wir entsprechend:
mod
y;
^3
(20)
Multiplizieren wir
Pg
P
P -*3,—
-*1
77
(21)
£ TT
77 4 sin-
4 sin'
p
Wie oben erhalten
g.
Z
TT
g
und Pg, so ergibt sich
4
sin'
X
TT
war
4 sin-
p
wo die '«-Zahlen sämtliche Zahlen von
1
bis
:
1
(7
—-— durchlaufen.
Wir multiplizieren nun zuerst über die «.-Zahlen und dieses
Produkt gibt nach Weber, Formel 29, S. 480, für ein festes
sin
œ
ccg
TT
Multiplizieren wir noch über die x-Zahlen,
:
sin-
# TT
77 sin
dann ist : Pg Pg
77 sin
xg
p
1.
Weil nämlich
g
quadra-
p
tischer Rest mod p ist, durchläuft gx mit x die halben Reste
mod p. Weil gx nicht kongruent einer Zahl —gx nach dem
Modul p sein kann, so sind die Faktoren des Zählers und
Nenners, vom Vorzeichen und der Reihenfolge abgesehen, gleich.
1 ;
Es ist also Pg Pg
vertauschen wir p und g so folgt :
1 und schließlich
1
1
Pg P4
Pg P3
wegen Pg Pg P3 P4
und Pg P4
1, woraus folgt: Pg
Pg; Pg
P4- Die rechte
Seite der Gleichung (17) gibt Pg Pg
PL und durch Radizieren ergibt sich, wenn wir für Pg Gleichung (19) setzen:
:
f.
—
(22)
F pg\ '
-
—
I
TL
— Ap,
£
-ßp,
(z
'
A<?,
2?
2?
5
was zu beweisen war.
Ergänzungssatz zum 2. Satz. 7si die TGassemza/d
A
(23)
50
r«.
7( P2p)
ist;
ç^i
(f —-M F2p)^
-ßp,
2
I
— A
TT
771 7 .s- 'i'«,-
X
- 7 s7?P
P
P, 2
— A -ß*"2,
p
11
Wir teilen
.Beweis.
< 4p in
fremden Zahlen
1.
die zur Diskriminante
die «-Zahlen, für welche
Klassen ein:
j
gilt:
—1 ;
j
y-Zahlen, für welche gilt:
—1
für welche gilt:
4. die d-Zahlen,
l
1;
für welche gilt: | ^ j
2. die /J-Zahlen,
3. die
4
8p teiler-
cZ
1
4I i^I=-I
1^1=1
;
—*
~
;
Die A-, 71-, D-Zahlen definieren wir entsprechend wie oben.
Die allgemeine Klassenzahlformel ergibt, Äquivalenz im engern
Sinne vorausgesetzt, wenn wir zu den Grundzahlen übergehen,
A
8/q setzen und radizieren, der Formel (13) entsprechend:
TT A
yy sin —-—
^
(* — ttÜ2p)""= —
(24)
7Î JB
yy sin 8p
Setzen wir in (14)
p, so ergibt sich:
^~*
2 -
(25)
r
77sin———=
2
TT
/— /
Üp|r=l,
p—
2,
1
und nach einer ähnlichen Überlegung wie bei der Ableitung
der Gleichung (16) aus (15) ergibt sich:
27
—1
2^
(26)
JT
77 sin
p
Dividieren wir (25) durch (26)
o sin
2
a
o
2
^
sm — 2o sin
*
2
—1
(27)
2
2
77sin
^
Dp
so
*
^
1, 2
g
ergibt sich wegen der Identität :
^
2
(p — 2r) jr
8p
—
1
Durch weitere zwei-
malige Anwendung der obigen Identität auf (27) folgt:
*(28)
'
22(f-»77sin—=
8p
1.
Multiplizieren wir (24) und (28) und radizieren,
(29)
12
ç2A,
77sin-4^8;p
so
erhalten wir:
Es sei wieder, wie oben, P,
(%
7t
77sin——
usw. Ver8p
gleichen wir die Zahlen der Linearform : 8 x + p y, wo diesmal î/ die Werte -j- 1 und — 1 annehmen kann, mit den «Zahlen, so bemerken wir, daß die Zahlen der Linearform, vom
Vorzeichen abgesehen, den «-Zahlen nach dem Modul 8 p kongruent sind. Es folgt daraus ähnlich wie früher:
2
77 ^4 sin'
si
(30)
7t
—
2
£
4
sin- —
Die y-Zahlen entsprechen den Zahlen der Linearform:
8 a; -j- pz, wo z die Werte +3 und —3 annehmen kann. Es
ist deshalb:
77
(31)
geht : Pj P3
772sin
77
2sin
177 (16
8
TT
TT
sin'
X
TT
X 7t
4 sin-„
3
TT
-lüshpÄ-^- -f-
'
woraus hervor-
4jtx
772cos-
2)1
P
X
7
4
/ 4 sin-
1, weil
«
2
quadratischer Rest mod
ist.
p
Ähnlich wie vorhin, ergibt sich schließlich: PjP»
(29) folgt durch Radizieren:
(32)
7»
(f— iiP2p)'"
A77^4sin
Pj und aus
a; 7t
-
p
4 sin-
8
womit der Ergänzungssatz bewiesen ist.
V.
In
wir die Funktion 99 (it) aufgestellt. Für die
Koeffizienten dieser Funktion beweisen wir folgenden
(1) haben
3. Satz. ZH'e Koe//£zie?de?!. a„ der
Za/dew m &(Vp) tmd dwrcÄ Vp feiZ&ar.
Petm's. Die Zahlen 4 sin-
TT
99
(it) sind
grawze
sind ganze algebraische Zah-
1
1
P
P
len vom Grade —-—.
Die irreduzible Gleichung vom -—-—
Z
Z
Grade, denen sie genügen, mit ganzzahligen rationalen Ko1,
effizienten, und dem Koeffizienten der höchsten Potenz
13
ist in Webers Algebra (S. 480, Formel
28) aufgestellt. Es sind
deshalb auch die Zahlen, die aus den Zahlen
TT
4 sin®
durch
P
Addition und Multiplikation entstehen, ganze Zahlen.
I+
Nach
ferner
ist A 2cos
^^
272 cos
die
<
2
2
21
tu
7?
Z
wo z die Nichtreste modp bedeuten,
2
p
2
p
]/
X
sind. Aus der trigonometrischen Identität :
— 2 cos (X folgt
(33)
27
(34)
^
'
27
4
sin- «
:
4 sin®
4 sin®
xjt
p—1
p
2
z jr
—
p
p
/—1
+ Fp\
P — Fp
+ Fp
2
2cosw<p existiert nach
2cosp und M„(x)
IFe&er (S. 475) das System von Gleichungen:
Zwischen x
I. Mi (x)
II.
x
;
x®— 2 usw.,
M-2(x)
^*+i (z)
mit der Rekursionsformel:
(x) — M„_i (x).
Führen wir in das System dieser Gleichungen die Werte:
y
4 sin®
Z
und M„(x)
und C'„ (y)
2
i- Ci (2/)
4 sin®
ein, so folgt wegen x
Z
2 —y
— C'„(y) das neue System von Gleichungen:
?/ ;
=F„+i(y)
—
II. ^(y)
4y usw. mit der Rekursionsformel:
(2
y) C„ (y) + 2y —G„_i(y)
Die Rekursionsformel zeigt, daß auf der rechten Seite der
Reihe nach Funktionen vom 1., 2., usw. Grade vorkommen,
wobei — was wesentlich ist — kein von y unabhängiger Summand vorkommt. Wir setzen nun in der ersten Gleichung für y :
y® -|-
— 4sin® ÜilZL usw. und addieren über alle
p
p
1
79
Dasselbe machen wir bei der zweiten
Werte von y.
—
^
4
Gleichung, bei der dritten usw. Die linken Seiten haben nach
y,
•>i
14
4sin®
•
auf der rechten Seite
(33) und (34) die Werte
kommen der Reihe nach die Potenzsummen:
27i/„; .52
das
System von Gleichunûî/v usw. vor. Wir erhalten dann
gen:
T
P— ^7
g
~
II.
III.
—«2
+
;
P—
S3
-y—
—
6
+
S2
9«i
;
usw.
Aus der ersten Gleichung folgt, daß Sj durch Vp teilbar ist,
aus der zweiten Gleichung das nämliche für «3, usw. Die Rekursionsformel zeigt, daß alle Potenzsummen durch !''/> teilbar sind.
Die Potenzsummen hängen mit den Koeffizienten durch die
Aeiüfon'schen Gleichungen zusammen.
0
Sj -f- Uj
0
Ǥ2
H~
^1 ^1 ~f" 2(^2
0
S3
+
«1^2
+ «2<Si +
3 «3 USW.,
woraus wir erkennen, daß alle Koeffizienten a„ durch Kp teilbar sind.
Gleicherweise läßt sich natürlich auch beweisen, daß in (2)
die Koeffizienten
durch l'V/ teilbar sind.
VI.
Es seien 99(14), y (14) [vergl. (1), (2)] gegeben und ihre Resultante (3). Dann ist bekanntlich it',, eine Summe von Produkund
ten der Koeffizienten
Wie aus der Darstellung der
Resultante (3) hervorgeht, gibt es nur einen Summanden, der
5— 1
nicht von den
abhängt, nämlich A
_
*
wo
A
££
774 sin--—
15
und einen Summanden, der nicht von den a„ abhängt, näm-
lieh (—1)
(p-D(g-i)
F
P-i
*
wo F
Alle übrigen
774 snV
Summanden sind Multipla, sowohl der Zahlen a„ als auch der
Zahlen 6„, und mit Rücksicht auf den 3. Satz können wir ihre
Summe schreiben : Z Fpg. Multiplizieren wir die Resultante mit
Ap, g, so folgt wegen Satz 2 und Formel (7) :
^ -ttFpgy» ^ ^ ^ X^±Z Fpg + A,,„ F^~
(35)
Vermittels der Klassenzahlformel und wegen (14) ergibt sich
für X —Fp £,/'/' wo A j, die ungerade Klassenzahl in &(Fp)
—Fg£,/''< wo A, die ungerade Klassenist und ebenso für F
zahl in A(Fg) ist. Wir können (35) in zwei Kongruenzen nach
den Moduln Fp und Ff/ zerlegen und erhalten:
(36)
/ ; \fti
(v) =^,fF
FzX
*
/
\7M
;
(mod Fp) ; / —j
=VgX
«rd
*
(mod Fg)
Bei der ersten Kongruenz steht links eine rationale Zahl,
rechts eine ganze Zahl aus A( Fg), folglich muß die Kongruenz
p—i
auch nach dem Moditl p gelten. Die irrationale Zahl F *
kann aber nur dann einer rationalen Zahl nach dem Modul p
kongruent sein, wenn die Différente der Zahl durch p teilbar
p—1
ist,
d. h. wenn
F
*
die Form hat: a -)- Apeo
•
1—Fg
I a>
2~
Dann gilt die Kongruenz sowohl nach dem Modul p, als auch
nach dem Modul p', wo p
p p' eine Zerlegung von p in
A( Fg ist. Gehören nun die Zahl « und das Ideal p dem gleichen Zahlenkörper an, und ist
j'-Fj
1,
ferner
X (p)
definieren wir das biquadratische Restsymbol —
P
2?
4
+
p, so
1
oder
—1
—1 (mod p) ist. Wir
— 1, je nachdem a *
+1 oder
können also die erste Kongruenz schreiben:
<37)
16
({)*' s i,„ (X)
(-^ (mod p)
Nun ist noch nachzuweisen, daß
—J-Vj ist. Aus
e„
|j
ner folgt aus
1
|
|^
folgt
(37)
1
— | ist, wobei
—
\P/4
\P/4
1.
der Reihe nach:
und schließlich:
'
R
Ebenso folgt aus
j
der zweiten Kongruenz (36)
l,
Fer-
(mod g), womit
der Hauptsatz bewiesen ist.
2 zu beweisen, schreiben
Um den Ergänzungssatz für g
wir die Gleichung (32) als eine Kongruenz nach dem Modul
Up oder, was wir dürfen, nach dem Modul p an und wir er-
halten
:
\
4 sin- —
Nun ist 4shU-^8
2
p
—i
*
I
—U2
(mod p)
es,
und mit Benützung des bi-
quadratischen Restsymbols erhalten wir:
(mod p), womit die Hälfte des Ergän-
i'o
(39)
zungssatzes bewiesen ist.
Um den zweiten Teil zu beweisen, berechnen
tion 5. Grades mit den Nullstellen:
4snU-^-, 4sin^-^8
8
0,
Sie heißt: f (m)
wir die Funk-
4snU-^-,
4snU-^,
8
8
m®— 10«4
+
34 m^—
— 44 m^ -f- 16m. Wir dividieren die in (1) definierte Funktion
p (m) durch (it) und der Rest r (m) ist dann eine eindeutig bestimmte Funktion vom 4. Grade. Die Koeffizienten von r(w)
sind ganze Zahlen in &(Vp)- Der Algorithmus der Division
zeigt nämlich, daß die Koeffizienten von r (m) aus den Koeffizienten von p (m) und von f (m) nur durch die Operationen der
Addition, Subtraktion und Multiplikation hervorgehen. Aus
£ (m)
g (m) -f r (m) folgt für die Nullstellen m„ von £ (m) :
p (m)
r (m^) Man findet so
p (Mv)
£
•
:
2
17
r (0)
X
DAsin^-^i
A — _BFp(A undjBganz
—V'pe^p
und positiv)
r ^4sin^-^-j
A(i — m
r ^4siiA-^-j
A(<
r ^4
sin^j
1
lAp)^
A(T— J7V2y>)
+ % V2p)''i
wegen (32)
A(T-f- t/V2p), (statt F2,— F2)
und r ^4sin^-^-j
1
nach leichter Ausrech-
nung. Durch Interpolation läßt sich r(it) bestimmen und man fin—4/. T -|- 3
det als Koeffizienten von mA—
^
^eil die-
^
16
I
ser Ausdruck als ganze Zahl in
A (mod 2) ist, folgt ß
J4"
Dp) von der Form
A;
0
:
(mod 8), A
(mod 4) : A -f- 2?
ner folgt aus A T
gekehrt, aus AT
— 1 (mod 4) A + U
gekehrt. Setzen wir —Epe),
a— 6Vp
1
gerade ist A
soll nun
-f
a -)- 6
9
T
1
1
œ
(mod 16) ; A
sein, wenn a -f-
(mod 16).
j
6
1
9
so
jy
A-j
^
(mod 8). Fer(mod 16) und um(mod 16) und um1
folgt, weil
Aun-
(mod 16). Das Symbol
ö
Es ist dann:
(mod 16) und — 1, wenn
1
A
T
(mod 4) oder
(mod 4). Andererseits folgt aus der Gleichung
— m V2p)'" T — G k2p, weil m und 17 gerade Zahlen sind
t»i
T (mod 4). Aus den beiden
T (mod 2F2), bzw. A'h
Kongruenzen für T folgt:
(A
(40)
:
A''i
A
j
(mod 4), womit auch der zweite Teil
des Ergänzungssatzes bewiesen ist.
18