Mathematischer Vorkurs - Mathematik, TU Dortmund

Mathematischer Vorkurs
Dr. Agnes Lamacz
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund
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Organisatorisches
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Vorkurs Mathematik für Mathematik und Statistik
für die Studiengänge
Mathematik
Technomathematik
Wirtschaftsmathematik
Lehramt Mathematik für Gymnasien
Lehramt Mathematik für Berufskollegs
Statistik
Datenanalyse und Datenmanagement
Studiengang nicht dabei → allg. Vorkursseite
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/de/studieninteressierte/vorkurs.html
Vorlesung: 07.09.2015 25.09.2015, 10:15 11:45 Uhr, Audimax
Übungen: 08.09.2014 25.09.2015, 8:15 - 9:45, 12:15 - 13:45,
14:15 - 15:45 Uhr
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Informationen zur Vorlesung und Übung
Die Homepage zum Vorkurs MATH lautet:
https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/
vorkurs-mathematik-2015/vorkurs-2-math
Das Skript und die Übungszettel sind hier herunterzuladen:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/sites/
vorkurs-mathematik-2015/files
Jeder angemeldete Vorkursteilnehmer hat seine
Übungsgruppennummer per Email bekommen (Nachmeldungen zum
Vorkurs sind noch möglich).
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Allgemeine Informationen
keine Anwesenheitspicht für den Vorkurs.
Zum Vorkurs MATH gibt es eine Pinnwand, auf der sich Teilnehmer
Es besteht
austauschen können:
http://alien128.mathematik.tu-dortmund.de/pinn_v_5/list.php?
nr=_vk_15_2
(Benutzer und Passwort sind jeweils "hm".)
Weitere Hinweise sind am schwarzen Brett vor dem Hörsaal E29
sowie hier zu nden:
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/de/
studieninteressierte/vorkurs.html
Bei noch oenen Fragen bietet sich die Vorkurs-Email Adresse an:
[email protected]
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Weitere Informationen
Es gibt ein Vorkurs-Ticket vom Verkehrsverbund Rhein-Ruhr.
Weitere Informationen zum Vorkurs-Ticket gibt es auf der allgemeinen
Vorkursseite. Den VRR-Berechtigungsnachweis für den Erwerb des
Tickets können Sie beim AStA unterschreiben lassen.
Das Vorkurs-Ticket kann in der Mensa vorgelegt werden, um schon im
September zum Studierendentarif essen zu können.
Es wird eine Einweisung in die Nutzung der Universitätsbibliothek
angeboten. Näheres dazu in den Übungsgruppen.
Die Orientierungsphasen der einzelnen Fachschaften sind zu
empfehlen (s. allgemeine Vorkursseite).
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Themenübersicht
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Mengen
Zahlen
Ordnung und Betrag
Abbildungen und Funktionen
Trigonometrie
Dierenzierbarkeit
Anwendungen der Dierentialrechnung
Integralrechnung
Logarithmus- und Exponentialfunktion
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Aussagenlogik
Aussageformen
Beweisführung
Vollständige Induktion
Lineare Gleichungssysteme
Vektoren
Skalar- und Vektorprodukt
17.
Geraden und Ebenen
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Mengen
Kapitel 1 Mengen
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Mengen
1.1
Denition: Mengen
Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heiÿen dann Elemente der Menge.
Beschreibung von Mengen durch ...
... Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {. . .}.
... Angabe einer Eigenschaft E , die die Elemente beschreibt:
{x | x hat die Eigenschaft E}
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Mengen
Beispiele:
Die Menge der natürlichen Zahlen
:= {1, 2, 3, . . .}.
N
Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null
0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
N
Für alle natürlichen Zahlen k > 0 denieren wir
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
Die Menge der ganzen Zahlen:
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge
der Brüche:
n a der rationalen Zahlen als Menge
o
:=
a, b ganze Zahlen und b > 0 .
b
Die Menge der reellen Zahlen: .
Q
R
Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen:
Die Menge der komplexen Zahlen:
C.
R+ = {x ∈ R | x > 0}.
Die leere Menge ∅ (auch { }) ist die Menge, die kein Element enthält.
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Mengen
Schreibweisen:
Ist a ein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a ∈ M .
Ist a kein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a 6∈ M .
Beispiel: 1 ∈
N, 2 ∈ Z aber −3 6∈ N.
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Mengen
1.2
Denition: Mengenoperationen
Es seien M und N Mengen.
1. Die Vereinigungsmenge M ∪ N ist die Menge der Elemente, die in M
oder in N enthalten sind. Also M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N }.
2. Die Schnittmenge M ∩ N ist die Menge der Elemente, die in M und
in N enthalten sind. Also M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N }.
3. M heiÿt Teilmenge von N , wenn alle Elemente die in M enthalten sind
auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M ⊂ N oder N ⊃ M .
4. Die Dierenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N
enthalten sind, aber nicht in M , also
N \ M := {x | x ∈ N und x 6∈ M }.
5. Ist M ⊂ N so ist das Komplement von M (bezüglich N ) durch
M c := {x | x ∈ N und x 6∈ M } deniert.
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Mengen
1.3
Bemerkung
Es gilt in jedem Fall ∅ ⊂ M ⊂ M .
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Ist aber M ⊂ N so ist N \ M = M c und M \ N = ∅.
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine
Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M ⊂ N
und N ⊂ M .
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Mengen
Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von
Venn-Diagrammen darstellen:
M
N
N
M
N ⊂M
M ∪N
N
M
M ∩N
N
M
M \N
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Mengen
1.4
Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen
1. M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M .
2. (M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P ) und (M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
3. M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
4. M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P ).
5. (M c )c = M .
6. (M ∪ N )c = M c ∩ N c und (M ∩ N )c = M c ∪ N c .
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Mengen
1.5 Denition: Kartesisches Produkt
1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M × N
bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit
m ∈ M und n ∈ N . Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N } .
Ist M ⊂ G1 und N ⊂ G2 so kann man das kartesische Produkt wie
folgt darstellen:
G2
N
MxN
M
G1
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Mengen
1.5
Denition: Kartesisches Produkt[cont.]
2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M1 , . . . , Mk wird analog
deniert.
Z.B. ist 3 = × × = {(x, y, z)|x, y, z ∈ }
R
R R R
R
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Mengen
1.6 Denition: Quantoren
Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so
schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle
x ∈ M gilt A(x) und
∃x ∈ M : A(x) ,
wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x ∈ M mit A(x).
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Zahlen
Kapitel 2 Zahlen
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Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
2.1 Denition: Rationale und irrationale Zahlen
1.
ist die Menge der Dezimalbrüche.
2.
R
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die
Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 bk identiziert
mit bk = ak + 1. Dabei ist n ∈ 0 , a1 , a2 , . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
N
R Q
3. Die Elemente der Menge \ , also die nicht-abbrechenden und
nicht-periodischen Dezimalbrüche, heiÿen irrationale Zahlen.
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Zahlen
Beispiele irrationaler Zahlen:
1. Die Länge der Diagonale eines
√ Quadrates der Seitenlänge 1 ist
irrational. Diese Länge ist 2 = 1, 414213562 . . .
2. Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese
Länge ist π = 3, 141592654 . . .
3. Die Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
2.2
Denition: Rechenoperationen
Sind x, y ∈
y 6= 0 auch
R so sind die Rechenoperationen x + y, x − y, xy und für
x
y
erklärt.
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Zahlen
2.3
Satz: Rechenregeln
1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze)
2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze)
3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz)
Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln
4. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 und
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
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Zahlen
2.4 Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte
Sind m, n ∈ 0 mit m ≤ n und am , am+1 , . . . , an ∈ so schreiben wir
N
1.
2.
n
X
k=m
n
Y
R
ak = am + am+1 + . . . + an und
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Dabei kann der Laundex eine beliebige Variable sein, etwa
n
n
X
X
ak =
aj .
k=m
j=m
Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist
n
X
k=m
ak = 0
und
n
Y
ak = 1
k=m
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Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
k=m
n
Y
n
X
(a · ak )
k=m
ak +
n
X
bk =
k=m
ak ·
k=m
n
Y
k=m
n
X
(ak + bk ) und
k=m
n
Y
bk =
(ak · bk ).
k=m
n
X
Indexverschiebung:
n+t
X
ak =
k=m
ak−t .
k=m+t
n
X
Arithmetische Summenformel:
k=
k=1
geometrische Summenformel:
q 6= 1.
n
X
k=0
qk =
n(n + 1)
.
2
1 − q n+1
für eine reelle Zahl
1−q
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Zahlen
2.5
Denition: Potenzen
Für a ∈
R und n ∈ N0 setzen wir an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also a0 = 1 und 00 = 1 aber 0n = 0 für n > 0.
1
Für a ∈ \ {0} und n ∈ 0 setzen wir a−n := n .
a
a ∈ heiÿt die Basis und n ∈ der Exponent der Potenz an .
R
2.6
R
N
Z
Satz: Potenzregeln
Für n, m ∈
Z gilt:
1. am an = an+m und an bn = (ab)n sowie
2. (am )n = amn
falls die Ausdrücke deniert sind.
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Zahlen
2.7
Denition: Quadratwurzel
Sind a, b ∈
R und b2 = a so denieren wir
√
(
b
falls b ≥ 0
a :=
−b falls b < 0
Die stets nicht-negative Zahl
2.8
√
a heiÿt Quadratwurzel von a.
Satz: Existenz der Quadratwurzel
Die Gleichung x2 = a besitzt ...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
√
... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x1 = a und x2 = − a.
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Zahlen
Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern:
2.9 Satz: Höhere Wurzeln
1. Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung xn = a
√
genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a.
2. Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 6= 0, dann hat die Gleichung
xn = a ...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und √
... für a √
> 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x1 = n a und
n
x2 = − a bezeichnen.
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2.10
Bemerkung
1
Wir setzen nun a n :=
m ∈ Z,
√
n
a für a ≥ 0 und n ∈ N, und denieren(!), für
m
1
a n := a n
m
.
Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig
bleiben.
Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten
erweitert.
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Zahlen
2.11
Satz: p-q -Formel
Es sei D := p2 − 4q . Dann besitzt die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0 ...
p
... die eindeutige (reelle) Lösung x = − falls D = 0,
2 √
√
p+ D
p− D
... die zwei (reellen) Lösungen x1 = −
und x2 = −
2
2
falls D > 0, und
... keine reelle Lösung falls D < 0.
Die Zahl D heiÿt Diskriminante der quadratischen Gleichung.
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Zahlen
2.12 Denition: Fakultät und Binominalkoezient
1. Für natürliche Zahlen n ∈ 0 ist die Fakultät deniert als
N
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! · (n + 1).
N
2. Für zwei natürliche Zahlen k, n ∈ 0 mit k ≤ n ist der
Binomialkoezient deniert als
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
:=
=
k
k!(n − k)!
k!
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Zahlen
2.13
Satz: Eigenschaften der Binomialkoezienten
n
n
n
n
=
= 1 und
=
.
0
n
k
n−k
n
n
n+1
+
=
(Additionstheorem).
k
k+1
k+1
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Zahlen
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
n
k
1
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
1
3
1
4
6
4
1 4
..
.
2.14 Binomischer Lehrsatz
Für x, y ∈ und n ∈ 0 gilt
R
N
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
n
k=0
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