Matura- Übungen

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Matura - Übungsbeispiele zur Wiederholung und zum Training
1) Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A, B, C gegeben:
A( -1 | -3 ),
B( 5 | -3),
C( 5 | 5)
Berechne : a) die Richtungsvektoren der Seiten ( a, b, c) und ihre Längen
b) den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius
c) den Flächeninhalt des Dreieckes
(Anmerkung: Für die jeweiligen Berechnungen gibt es mehrere Methoden. Wähle eine davon.)
(Kontroll-Tip: Die Ergebnisse sind ganzzahlig).
2) Von einem Kreis und einer Geraden kennt man folgende Gleichungen:
g: 2x + y = 4
k:
x² + y² + 4x - 6y + 3 = 0
Berechne : a) die vektorielle Form des Kreises
b) die Schnittpunkte ( S1 , S2 ) der Geraden mit dem Kreis
c) den Schnittwinkel des Kreises mit der Geraden
d) die Gleichung der Tangenten in den Schnittpunkten
3) Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A, B, C gegeben:
A( -3 | -5 ),
B( 9 | 4),
C( -3 | 9)
Berechne : a) die Richtungsvektoren der Seiten ( a, b, c) und ihre Längen
b) Die Richtungsvektoren und vektoriellen Gleichungen von mindestens
zwei Winkelsymmetralen
c) den Inkreismittelpunkt und und den Inkreisradius
(mit HNF! Eventuell Kontrolle mit Heron’scher Formel
d) den Flächeninhalt des Dreieckes (mit HNF)
(Kontroll-Tip: Die Ergebnisse sind ganzzahlig).
4) Von einem Kreis und einer Geraden kennt man folgende Gleichungen:
 3
2
g: X     t   
k:
x² + y² - 10x - 16y - 36 = 0
 1
 1
Berechne : a) die vektorielle Form des Kreises
b) die Schnittpunkte ( S1 , S2 ) der Geraden mit dem Kreis
c) die Gleichung der Tangenten in den Schnittpunkten
d) den Schnittwinkel des Kreises mit der Geraden
3. Ein Kreis ist durch die drei Punkte A,B,C festgelegt. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes
und den Radius auf zwei Arten (Gleichungssystem, Umkreis).
A(-5 | 2 ); B(11 | -6);
C(13 | 8 );
(Hinweis: zumindest eine Lösung ausführlich, die zweite im Ansatz (Rechengang))
4. Ein Kreis k [ M(x | y<10); r=5] berührt die y-Achse und schneidet die Gerade g im Punkt S1(8 | 8).
Der Anstieg der Geraden ist k= /4 .
Bestimme die Gleichung des Kreises und der Geraden sowie die Gleichungen der beiden zur Geraden
parallelen Tangenten t1 und t2, sowie die Koordinaten der Berührpunkte.
5. Ein Kreis ist durch die 3 Eckpunkte A,B,C festgelegt.
Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes auf zwei verschiedene Arten (Gleichungssystem bzw.
Umkreis).
Wie lautet die Kreisgleichung ?
A( -8 | -10)
B( 9 | -3)
C( -3 | 15 )
(Hinweis: Zumindest eine Art ausführlich berechnen, die zweite im Ansatz (Rechengang))
4
6. Ein Kreis mit dem Radius r = 5 berührt die x-Achse und schneidet eine Gerade g mit dem Anstieg k = /3 im
Punkt
S(3 | 10).
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes, die Kreisgleichung und die Gleichung der Geraden im
Punkt S .
Bestimme die Berührpunkte und die Gleichung der Tangenten an den Kreis, die zur Geraden g
parallel sind.
7) Bilde die 1. Ableitung folgender Funktionen:
(Verwende die Kettenregel! Vereinfache die Resultate so weit wie möglich.)
a) f(x)= y = ( 3x  5x )
(rechne mit Bruch-Exponenten)
2
8) a) f(x) = y =
3
5x 3  15x 2
x 2  3x
3
y = 1/3 cos( x )
b)
c)
y=
4
Bestimme die Definitionsmenge Df (Unstetigkeiten)
(x 2  4
G:= R
Bestimme durch Vereinfachung (Herausheben und Kürzen) die
Êrsatzfunktion y* und bilde davon die 1.Ableitung
Wie lautet die Definitionsmenge der Ersatzfunktion? (Hebung?)
b) Bilde die 1. Ableitung der Funktion mittels Produktregel (und Kettenregel):
f(x) = y = (x - 4) cos2(x)(6P)
c) Berechne die 1.Ableitung mittels Quotientenregel (und Kettenregel)
( 4x  2) 2
f(x) = y =
2x  1
G:= R
(Definitionsmenge?!)
9. f(x) = y = 8 x  4 x  4
a) Berechne die Funktionswerte für x:={-2; +2; +8}
und die 1. Ableitungsfunktion.
b) Berechne für die Stelle x=2 den Funktionswert und den Anstieg (1.Ableitung) mittels HORNER-Schema.
c) Wie lautet die Gleichung der Tangente t: y=kx + d an der Stelle x=2 ?
1
10.
3
3
2
Ermittle das Näherungspolynom für den Umsatz U(x) über der Produktion x von der
folgende Zuordnung bekannt ist:
x
0
10
20
30
40
U(x)
0
275
500
675
800
Bei welcher Produktion x gibt es ein Maximum? (1.Ableitung des Polynoms)
11. Gegeben ist die Funktion
f : R\{2}  R
x  y=
x ²  3x  10
x2
Bilde die 1.Ableitung der Funktion gemäß der Quotienten-Regel.
Was geschieht an der Stelle x=2 ?
(Gibt es eine "Ersatzfunktion", die das Problem an dieser Stelle "behebt"?)
12. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion. Verwende für die erste Nullstelle das Newton'sche
Näherungsverfahren (Anschlußstelle x0) und ermittle die anderen Nullstellen über das Restpolynom
(Polynomdivision).
f(x) = x3 - 2,1x2 - 4,2x + 8 xR
Anschlußwert x0 = 1,5
(Hinweise: Runde die weiteren Anschlußwerte x1, x2 auf 2 bzw. 3 Dezimalstellen):
13. Analysiere und diskutiere die folgende Funktion:
f(x) = -¼ x3 + 3 x + 4
Berechne: a) Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
b) Nullstellen
c) Wendepunkt und Gleichung der Wendetangente.
d) Zeichne den Graph der Funktion im Bereich [ -3  x  5 ]
xR
14) Eine Polynomfunktion 3.Grades f:(x)=ax³ + bx² + cx + d hat drei Nullstellen in x 1 = -3, x2 = 1, x3 = 4
Außerdem geht der Graph durch den Punkt P( 2 | 5 ).
Diskutiere die Funktion (Ableitungen, Extrema, Wendepunkt, Wendetangente)
Berechne den Flächenhalt des Gebietes zwischen dem Graph und der x-Achse im Intervall [1 ; 4 ]
Zeichne den Graph im Intervall [ -3.5 ; 4 ]
15) Die Funktion 3. Grades f:(x)=ax³ + bx² + cx + d hat bei x =1 eine Nullstelle, bei x= 1/2 einen Wendepunkt
mit dem Anstieg der Wendetangente kw = -49/12 und bei x =1/12 ein Extremum.
Diskutiere die Funktion und zeichne den Graph der Funktion. Berechne die Fläche im Intervall
16) Die Funktion 3. Grades f:(x)=ax³ + bx² + cx + d hat in W( 0 | -4 ) einen Wendepunkt , geht bei N( 8 | 0) durch
die x-Achse und hat dort den Anstieg kN = 9/2 .
Berechne und diskutiere die Funktion und zeichne den Graph
Die Funktion wird von einer Parabel g(x) = 1/6 x² -5/6 x - 4 geschnitten
Berechne die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen im Bereich des 4. Quadranten x  [0 ; 8 ]
17) Die von den beiden Parabeln p1 und p2 eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse
p1: y² = 4x
p2: y² = 5 - x
Berechne die von den erzeugenden Parabeln eingeschlossene Querschnittsfläche (Schnittpunkte beachten !)
Berechne das Volumen des Körpers
Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes der Querschnittfläche.
18) Zeige das die beiden Funktionsgraphen f und g einander berühren (Punkte mit gleichern Tangenten)
f: y² = 12x
g: y² = 1/9(x + 4 )³
Berechne die Koordinaten der Berührpunkte
Berechne das Volumen des von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Raumes bei der Drehung um die
gemeinsame Achse.
19) Die Funktionsgraphen f: y² = 1/32 (x+6)³ und g: x² - 10x + y² = 0 begrenzen ein Flächenstück
Berechne das Volumen, das ensteht, wenn dieses Flächenstück um die x-Achse rotiert.
Berechne die Schwerpunktskoordinaten
20) Durch den Punkt P(4 | y ) gehen die Funktionsgraphen k1: 4y² = x³ und
Berechne den Flächeninhalt des gemeinsamen Flächenstückes.
Berechne das Volumen, wenn dieses Flächenstück um die x-Achse rotiert.
k2: y² + 4x - 32 =0
21.
Zu einem Lager A soll Material von der Basisstation B transportiert werden.
Zum Teil geht das mit der Bahn, zum anderen Teil muß ein Hubschrauber
eingesetzt werden.
Die Transportkosten bestehen aus den Kosten für den Bahntransport und den
Kosten für den Hubschraubertransport (die 9mal so hoch sind).
(AH = 45 km; HB= 125km)
Der relative Kostenfaktor wird durch
kges = 9 a + b
wiedergegeben.
a) Wo soll die Verladestelle C (Entfernung b) liegen, damit die Kosten
minimiert werden ?
b) Wie lang ist die Transportstrecke ACB ?
22. Eine Dose von gegebenen Volumen V cm³ soll so bemessen werden, daß die Oberfläche ein Minimum wird
(Höhe h und Durchmesser d = 2r )
23 Einem Halbkreis (Radius R )wird ein Dreieck
eingeschrieben
Die Spitze befindet sich im Mittelpunkt.
Der Flächeninhalt soll ein Maximum werden.
24 Ein ähnliches Problem, aber es soll das
flächengrößte Trapez eingeschrieben werden.
25. erechne die beiden obigen Beispiele unter der Annahme einer Ellipse mit dem Achsenverhältnis a : b = 4e : 3e
26. Bei den folgenden Aufgaben soll zuerst die Wahl der Lösungsform aus der Problemstellung erläutert werden
(Warum wählst Du eine bestimmte Form (Kombination, Variation, oder Permutation) ?)
a) Für 15 Teilnehmer an einer Konferenz dreier Länder A, B, C wird ein Diner organisiert.
Die Länderdelegationen haben folgende Zusammensetzungen: A(6), B(5), C(4).
Wieviele Sitzordnungen sind möglich, wenn jedes Delegationsmitglied eines Landes als gleichwertig
zählt ? (AAAAAABBBBBCCCC).
b) Bei einem Verein mit 50 Mitgliedern wird ein Vorstand (Obmann,Stellvertreter, Schriftführer,Kassier)
und eine fünfköpfige Prüfungskommission gewählt.
Wieviele Möglichkeiten der Zusammensetzung des Vorstandes gibt es?
Wieviele Zusammensetzungen der Kommission sind möglich?
c) Berechne das 4. und das 7. Element von (3a + 2b) 9 unter Verwendung der Binomial-Formel.
d) Eine Reisegruppe mit 16 Teilnehmern soll auf 3 Fahrzeuge aufgeteilt werden. Das erste Fahrzeug
kann 4 Personen aufnehmen, das zweite 5 Personen, das dritte 8 Personen.
Wieviele unterschiedliche Verteilungen sind möglich.
27. a) Eine Klasse besteht aus 10 Mädchen und 15 Knaben. Es sollen 2 Klassensprecher gewählt werden.
Da sich niemand direkt als Kandidat meldet soll das Los entscheiden.
Berechne folgende theoretische Wahrscheinlichkeiten:
)Es werden 2 Mädchen gewählt.
) 2 Knaben
) Zuerst ein Mädchen, dann ein Knabe
) Zuerst ein Knabe, dann ein Mädchen.
(Veranschauliche die beiden Ziehungen in einem Entscheidungsbaum).
b) Bei einer Werbeveranstaltung veranstaltet man ein Spiel: In einer Schachtel befinden sich 8 Zettel mit
den einzelnen Buchstaben des Wortes "COCACOLA". Die Teilnehmer dürfen 4 Zettel ziehen.
Den 1. Preis gewinnt, wer in der richtigen Reihenfolge die Buchstaben "C","O","L","A" zieht.
Einen weiteren Preis erhält, wer die Folge "C-O-C-A" zieht.
Berechne die Chancen, diese Preise zu gewinnen (die Zettel werden nicht zurückgelegt!)
28. Einer Sendung von 400 Antriebswellen werden 40 Stück entnommen. Aus Erfahrung weiß man, daß 2%
Ausschuß sind (nicht maßhaltig).
Berechne die Wahrscheinlichkeiten, daß unter den ausgewählten Wellen
a) keine Welle Ausschuß ist,
b) höchstens 2 Wellen Auschuß sind
c) mindestens eine Welle defekt ist.
Berechne dies unter der Annahme einer hypergeometrischen Verteilung
Berechne dies unter der Annahme einer binomialen Verteilung
29. Zwecks Werbung sind in einer Lieferung von 160 Stück einer Ware 20 Gutscheine verpackt.
Jemand kauft 20 Stück .
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, daß er dabei
keinen, einen Gutschein, zwei, höchstens drei Gutscheine bekommt?
30. Bei einer Elektrofirma werden Kabelstecker produziert. Aus Erfahrung weiß man, daß die Kabel zu 98% in
Ordnung sind.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten, daß bei einer Stichprobe von 150 Stück weniger als 3 Stück fehlerhaft sind,
bzw. mehr als 3 Stück fehlerhaft sind.
a) Annahme einer Poisson-Verteilung ,
b) Annahme einer binomialen Verteilung.
c) Wie groß ist der Erwartungswert bzw. die Streuung
31. Bei der Erzeugung von Pass-Bolzen mit einem Nenndurchmesser von  = 20 mm kommt es maschinenbedingt zu
Abweichungen (mittlere Abweichung  =  0,05 mm)
Entsprechend der Toleranzen werden die Abweichungen vom Nennmaß in Pass-Kategorien eingeteilt:
“Passgenau”
19,95 mm  d  20,05 mm
“Untermaß”
19,85 mm  d  19,95 mm
“Übermaß”
20,05 mm  d  20,10 mm
Der Rest ist “Ausschuß”
Berechne unter der Annahme einer Normalverteilung, mit welchen prozentualen Aufteilungen der Kategorien
bei der Produktion zu rechnen ist.
Zeichne die Anteile in einem Normdiagramm ein.
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