¨Ubung zur Mathematik für Physiker 1 Blatt 10 Aufgabe 1. (a) Sei α

Wend Werner
Thomas Timmermann
Übung zur Mathematik für Physiker 1
Blatt 10
Abgabe bis Do, 08.01., 13 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1. (a) Sei α ∈ R. Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f (x) =
(1 + x)α für einen beliebigen Entwicklungspunkt x0 > −1 sowie deren Konvergenzgebiet. Welche Identität erhält man im Fall α ∈ N?
(b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion
g(x) =
x
,
1 − (1 − x)2
in x0 = 1, indem Sie die geometrische Reihe für (1 − x)2 und das CauchyProdukt verwenden. Warum erhält man für g eine geometrische Reihe?
Aufgabe 2. Die Folge der Fibonacchi-Zahlen (fn ) ist rekursiv definiert durch
f0 = 0, f1 = 1 und fn+2 = fn+1 + fn für alle n ∈ N.
(a) Zeigen
dass der Konvergenzradius der erzeugenden Funktion Φ(x) =
P∞ Sie,
n
n=0 fn x größer oder gleich 1/2 ist.
1 1
,
(b) Zeigen Sie, dass x + xΦ(x) + x2 Φ(x) = Φ(x) für alle x ∈ −
2 2 , und finden
Sie reelle Zahlen x1 , x2 , α1 , α2 so, dass für alle x ∈ − 12 , 12 gilt:
Φ(x) =
α1
α2
x
=
+
.
2
1−x−x
x1 − x x2 − x
(c) (2 Zusatzpunkte) Schreiben Sie die rechte Seite als Potenzreihe in x und
folgern Sie mit einem Koeffizientenvergleich, dass
h √ n √ n i
fn = √15 1+2 5 − 1−2 5
für alle n ∈ N.
(Hinweis: Benutzen Sie u.a. x1 x2 = −1.)
Aufgabe 3. Wir betrachten die Folge (gn )n∈N der Funktionen
gn : [−1, 1] → R,
x 7→
x
.
1 + nx2
Zeigen Sie:
(a) Aus einer Extremwertbetrachtung folgt
x 1
= √
kgn k = sup 2
2 n
−1≤x≤1 1 + nx
und (gn )n konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
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Thomas Timmermann
(b) Für den punktweise gebildete Limes der Ableitungen gilt
(
1, x = 0,
lim gn0 (x) =
n→∞
0, sonst.
(c) Die Folge (gn0 )n∈N konvergiert nicht gleichmäßig.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für alle φ ∈ R \ 2πZ und n ∈ N gilt:
n
n
φ
X
X
sin
(n
+
1)
sin (n + 1) φ2
2
cos n φ2 ,
sin n φ2 .
sin(kφ) =
cos(kφ) =
φ
φ
sin 2
sin 2
k=0
k=0
2