Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
WS 2013/14
Blatt 1
21.10.2013
Tutorium zur Vorlesung
Differential– und Integralrechnung I“
”
— Bearbeitungsvorschlag —
1. a) Es ist
sowie
• a1 = 33 = 1, a2 = 45 , a3 = 75 , a4 = 96 = 32 und a5 = 11
7
1
1
7
• b1 = 1 − 1 + 1 = 1, b2 = 1 + 2 + 4 = 4 , b3 = 1 −
1
21
1
= 16
und b5 = 1 − 15 + 25
= 21
.
b4 = 1 + 14 + 16
25
1
3
+
1
9
=
7
,
9
b) Die Berechnung der ersten fünf Folgenglieder unter a) legt nahe, daß die
Folge (an )n∈N streng monoton wachsend ist; dies läßt sich auf verschiedene
Weise zeigen:
• Für alle n ∈ N gilt
an =
2 (n + 2) − 3
3
2n + 1
=
=2−
n+2
n+2
n+2
und damit auch
an+1 = 2 −
3
;
n+3
3
3
>
und damit
n+2
n+3
3
3
an = 2 −
<2−
= an+1 .
n+2
n+3
wegen n + 2 < n + 3 ist
• Für alle n ∈ N gilt
2n + 1
2n + 3
<
⇐⇒
n+2
n+3
⇐⇒ (2 n + 1) (n + 3) < (2 n + 3) (n + 2) ⇐⇒
⇐⇒ 2 n2 + 7 n + 3 < 2 n2 + 7 n + 6 ⇐⇒ 0 < 3
an < an+1 ⇐⇒
Da die Aussage 0 < 3 richtig ist, ist auch die gemäß den Äquivalenzumformungen ( ⇐⇒ “) gleichwertige Aussage an < an+1 richtig.
”
• Für alle n ∈ N gilt
2n + 3 2n + 1
(2 n + 3)(n + 2) − (2 n + 1)(n + 3)
−
=
=
n+3
n+2
(n + 3) (n + 2)
3
(2 n2 + 7 n + 6) − (2 n2 + 7 n + 3)
=
=
>0
(n + 3) (n + 2)
(n + 3) (n + 2)
an+1 −an =
und damit an < an+1 .
• Für alle n ∈ N gilt
an+1
2n + 3 n + 2
2 n2 + 7 n + 6
=
·
=
>1
an
n + 3 2n + 1
2 n2 + 7 n + 3
und damit an < an+1 ; hierbei geht an > 0 ein.
Die streng monoton wachsende Folge (an )n∈N ist insbesondere (etwa durch
a1 = 1) nach unten beschränkt; des weiteren ist (an )n∈N wegen
3
<2
n+2
für alle n ∈ N auch nach oben beschränkt.
Wegen b1 = 1 < 74 = b2 und b2 = 74 > 97 = b3 ist die Folge (bn )n∈N weder
monoton fallend noch monoton wachsend; genauer gilt für alle m ∈ N
an = 2 −
b2m = 1 +
1
1
1
(−1)2m
+
+
=
1
+
>1
2m
(2m)2
2m (2m)2
und
b2m+1
(−1)2m+1
1
=1+
+
=
2m + 1
(2m + 1)2
1
2m
1
+
=1−
< 1,
=1−
2
2m + 1 (2m + 1)
(2m + 1)2
folglich also b2m > 1 > b2m+1 und b2m+1 < 1 < b2m+2 .
Für alle n ∈ N gilt mit der Dreiecksungleichung
n
(−1)n 1 (−1)
1
+ =1+ 1 + 1 ,
|bn | = 1 +
+ 2 ≤ |1| + n
n
n n2 n n2
1
1
≤ 1 und 2 ≤ 1 folgt daraus |bn | ≤ 1 + 1 + 1 = 3; damit ist
n
n
die Folge (bn )n∈N beschränkt.
und wegen
c) Wir zeigen, daß die Folge (an )n∈N den Grenzwert a = 2 besitzt. Zu jedem
1
ε
< , und für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gilt
ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit
n0
3
(2 n + 1) − 2 (n + 2) 2 n + 1
=
|an − a| = − 2 = n+2
n+2
−3 = 3 ≤ 3 = 3 · 1 < 3 · ε = ε.
= n + 2 n + 2
n0
n0
3
Wir zeigen, daß die Folge (bn )n∈N den Grenzwert b = 1 besitzt. Zu jedem
1
ε
ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit
< , und für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gilt
n0
2
(−1)n
(−1)n
1
1 + 2 − 1 = + 2 ≤
|bn − b| = 1 +
n
n
n
n
n
(−1) 1 1
+ ≤ + 1 ≤ 1 + 1 = 2 · 1 ≤ 2 · 1 < 2 · ε = ε.
≤ n n2 n n2
n n
n
n0
2
2. a)
n = 10“:
”
103 = 1000 < 1024 = 210
n → n + 1“:
”
(n + 1)3 = n3 + 3 n2 + 3 n + 1 ≤ n3 + 3 n2 + 3 n + n = n3 + 3 n2 + 4 n ≤
≤ n3 + 3 n2 + n · n ≤ n3 + 4 n2 ≤ n3 + n · n2 = 2 n3 < 2 · 2n = 2n+1
1
n2
1
= 0 gilt dann
b) Für alle n ∈ N mit n ≥ 10 gilt 0 ≤ n < ; wegen lim
n→∞ n
2
n
2
n
nach dem Schrankenlemma auch lim n = 0.
n→∞ 2
1
n2
1
1
c) Sei n0 = = 1000; für alle n ∈ N mit n ≥ n0 gilt dann n < ≤
= ε.
ε
2
n
n0
3. Für die beschränkte Folge (bn )n∈N reeller Zahlen existiert eine Schranke M > 0
mit |bn | ≤ M für alle n ∈ N.
a) Ist die Folge (an )n∈N beschränkt, so gibt es eine Schranke M ∗ > 0 mit
|an | ≤ M ∗ für alle n ∈ N. Damit gilt aber
|an bn | = |an | · |bn | ≤ M · M ∗
für alle n ∈ N; folglich ist auch die Folge (an bn )n∈N beschränkt.
b) Die konstante Folge (an )n∈N mit an = 1 für alle n ∈ N ist konvergent, und
die alternierende Folge (bn )n∈N mit bn = (−1)n für alle n ∈ N ist beschränkt;
für die Folge (an bn )n∈N gilt dann an bn = (−1)n für alle n ∈ N, und damit
ist (an bn )n∈N nicht konvergent.
c) Ist (an )n∈N eine Nullfolge, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N, so daß für
alle n ≥ n0 gilt
ε
|an | = |an − 0| <
M
und damit
ε
|an bn − 0| = |an | · |bn | <
· M = ε;
M
damit ist auch (an bn )n∈N eine Nullfolge.
4. a) Für alle n ∈ N ist
r−
1
1
<r−
n
n+1
und
r+
1
1
<r+ ;
n+1
n
damit gibt es, da Q dicht in R liegt, rationale Zahlen an und bn ∈ Q mit
r−
1
1
< an < r −
n
n+1
und
r+
1
1
< bn < r + .
n+1
n
b) Für alle n ∈ N ist
r−
1
1
< an < r −
n
n+1
und
r−
1
1
< an+1 < r −
n+1
n+2
und damit
1
< an+1 ;
n+1
damit ist die Folge (an )n∈N streng monoton wachsend. Wegen
1
1
=r
und
lim r −
=r
lim r −
n→∞
n→∞
n
n+1
an < r −
ist nach dem Schrankenlemma auch die Folge (an )n∈N konvergent, und es
gilt lim an = r.
n→∞
c) Für alle n ∈ N ist
r+
1
1
< bn < r +
n+1
n
und
r+
1
1
< bn+1 < r +
n+2
n+1
und damit
1
> bn+1 ;
n+1
damit ist die Folge (bn )n∈N streng monoton fallend. Wegen
1
1
lim r +
=r
und
lim r +
=r
n→∞
n→∞
n+1
n
bn > r +
ist nach dem Schrankenlemma auch die Folge (bn )n∈N konvergent, und es
gilt lim bn = r.
n→∞