¨Ubungen zur Analysis I WS 06/07 Prof. Dr. C. Deninger Dr. G. Quick

Übungen zur Analysis I
Prof. Dr. C. Deninger
Dr. G. Quick
Abgabe: in der ersten Übungsstunde des Sommersemesters 2007
WS 06/07
Aufgabe 1. Gibt es unendlich viele natürliche Zahlen n derart, dass für alle k mit
n!
ungerade sind?
0 ≤ k ≤ n die Binomialkoeffizienten nk = k! (n−k)!
Aufgabe 2.* Man definiert die Sägefunktion S : R → R als
S(x) := min{x − [x], 1 − x + [x]} .
Zur Konstanten 0 < q < 1, definieren wir die Folge von Funktionen
fn : [0, 1] → R , fn (x) :=
n
X
q k S(2k x) .
k=0
a) Zeigen Sie, dass f (x) := lim fn (x) für alle x existiert und dass f stetig ist.
n→∞
b) Zeigen Sie, dass für q < 41 bei x = 21 das einzige lokale Maximum von f liegt.
c) Zeigen Sie, dass f für q > 12 genau zwei lokale Maxima besitzt. Wo befinden sie sich?
d) Wie sieht die Menge der x ∈ [0, 1] aus, an denen f im Fall q = 12 ein lokales Maximum
besitzt?
e) Was passiert für 41 ≤ q < 12 ?
Aufgabe 3. Es sei f : R → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion, a ∈ R und
(an )n≥1 eine Folge mit an 6= a für alle n ≥ 1, die gegen a konvergiert. Weiterhin gelte
f (an ) = 0 für alle n ≥ 1. Zeigen Sie, dass dann gilt: f (n) (a) = 0 für alle n ≥ 1.
Aufgabe 4. Sei g : R → [0, 1] eine stetig differenzierbare Funktion mit g ′ (0) =
6 0 und
limx→−∞ g ′ (x) = 0, limx→+∞ g ′(x) = 0. Beweisen Sie für die Funktionenfolge fn (x) =
1
g(nx) die folgenden Aussagen:
n
a) fn konvergiert gleichmäßig.
b) fn′ konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig.
d
d
c) An der Stelle x = 0 gilt:
lim fn (x) 6= lim
fn (x).
n→∞ dx
dx n→∞
Aufgabe 5. Beweisen Sie den folgenden Satz über Doppelfolgen.
Satz: Für alle n, m ≥ 1 seien an,m ∈ C gegeben. Es gelte:
1) Für jedes m ≥ 1 existiert lim an,m =: a∞,m
n→∞
2) Für jedes n ≥ 1 existiert lim an,m := an,∞ und die Konvergenz ist gleichmäßig in
m→∞
n, d.h.: Für alle ε > 0 existiert ein m0 = m0 (ε), so dass für alle m ≥ m0 (ε) und
alle n ≥ 1 gilt:
|an,m − an,∞ | < ε .
Behauptung: Dann existieren auch limm→∞ a∞,m und limn→∞ an,∞ und diese Limiten stimmen überein, i.e.
lim lim an,m = lim lim an,m .
m→∞ n→∞
n→∞ m→∞
1
1
Bemerkung: Im allgemeinen kann man Limiten nicht vertauschen: Sei an,m = √
n m für
n, m ≥ 1. Dann ist limn→∞ an,m = 1, limm→∞ an,m = 0. Also existieren die DoppelLimiten, aber sie stimmen nicht überein:
lim lim an,m = 1 6= 0 = lim lim an,m .
m→∞ n→∞
n→∞ m→∞
Aufgabe 6. Zeigen Sie z.B. mit Hilfe von Aufgabe 5, dass Regelfunktionen f : [a, b] → R
in jedem Punkt von (a, b] einen linksseitigen Grenzwert besitzen und in jedem Punkt von
[a, b) einen rechtsseitigen Grenzwert.
[Dies ist die Richtung von Satz 13.12, die in der Vorlesung nicht gezeigt wurde.]
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