Thema: Quadratische Funktionen 1. Einordnung in den Lehrplan M

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Thema: Quadratische Funktionen
1. Einordnung in den Lehrplan
M 9.3 Quadratische Funktionen [VSE]
(ca. 18 Std.)
Bei der Beschäftigung mit quadratischen Funktionen und ihren Graphen, die auch geometrisch als
Ortslinien erzeugt werden, erfahren die Schüler die enge Verflechtung von Algebra und Geometrie.
Sie erweitern und vertiefen ihre bisher erworbenen Kenntnisse über Funktionen und zugehörige
Umkehrrelationen. Dabei erleichtert der Einsatz eines elektronischen Rechenhilfsmittels das Auffinden
von Eigenschaften der Graphen. Sie lernen, funktionale Zusammenhänge zu erfassen und
Extremwertprobleme zu bearbeiten.
• Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax2 + bx + c: Graphen und Eigenschaften; Sonderformen;
Scheitelpunktsform der Funktionsgleichung für verschobene Parabeln (Ermittlung auch mit dem
Parameterverfahren)
• Gleichungen von Parabeln ermitteln, auch von geometrisch erzeugten Parabeln
• Untersuchen von Parabelscharen mit einem Parameter in der Schargleichung (u. a.
Scheitelpunktsform der Schargleichung; Gleichung des Trägergraphen der Scheitelpunkte der
Scharparabeln)
• Bearbeiten von Extremwertproblemen
• Umkehrung quadratischer Funktionen; die Wurzelfunktion mit y = x
M 10.1 Quadratische Funktionen [VSE]
(ca. 15 Std.)
Die Schüler beschäftigen sich mit quadratischen Funktionen und deren Graphen und erweitern und
vertiefen dabei ihre bisher erworbenen Kenntnisse über Funktionen. Sie lernen, wie man die
Eigenschaften von Graphen auffindet und wie man hierfür ein elektronisches Rechenhilfsmittel
einsetzen kann.
• Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax2+ bx + c: Graphen und Eigenschaften; Sonderformen;
Scheitelpunktsform der Funktionsgleichung für verschobene Parabeln
• Gleichungen von Parabeln ermitteln
• Bearbeiten von Extremwertproblemen (nur quadratische Terme)
2. Definition
Eine Funktion der Form x
ax 2  bx  c ,  a  0  heißt quadratische Funktion. Dabei heißt:
ax2: quadratisches Glied
bx : lineares Glied
c : konstantes Glied.
Die zur Funktion gehörigen Graphen heißen Parabeln.
3. Quadratische Grundfunktion
Die Funktion der Form x
x 2  oder : y  x 2  heißt quadratische Grundfunktion. Ihr Graph ist
die Grundparabel (oder Normalparabel) und der Punkt in dem die Funktion ihr Minimum
besitzt, heißt Scheitelpunkt. D  , W  0
3.1 Scheitelpunktsform
Scheitelpunktsform der verschobenen Normalparabel:
y   x  xs   ys mit dem Scheitelpunkt (xs, ys)
2
3.2 Bestimmung der Wertemenge
Aus der Scheitelpunktsform kann man die Wertemenge ablesen.
Scheitel = Minium:
W   y y  ys 
Scheitel = Maximum: W   y y  ys 
4. Funktionen der Form y = ax2
Bedeutung des Parameters a:
a  0 : nach oben geöffnet
a  0 : nach unten geöffnet
a  1: Streckung in Richtung der y-Achse
a  1: Stauchung in Richtung der y-Achse
a  1: Normalparabel
a  0 : keine quadratische Funktion
4.1 orthogonale Achsenaffinität
a ;k
Eine orthogonale Achsenaffinität P
und dem Affinitätsmaßstab k.
P ' ist festgelegt durch Angabe der Affinitätsachse a
Die x-Achse wird als Affinitätsachse festgelegt, so dass die Angabe von k genügt.
Abbildungsgleichung
Koordinatenform:
I x'  x
II y '  k * y
Matrixform:
 x' 1 0
 

 y '  0 k 
 x
 
 y
5. Normalform der quadratischen Funktion
Für a = 1 gilt: y  x 2  bx  c, D 
Schreibweise: y  x 2  px  q,
.
 p, q  
5.1 Sonderfälle
a)
y  x2  e
Scheitelpunkt: S (0,e)
e  0 : Verschiebung nach oben
e  0 : Verschiebung nach unten
b)
y  x d
2
Scheitelpunkt: S (-d,0)
d  0 : Verschiebung um d-Einheiten nach links
d  0 : Verschiebung um d-Einheiten nach rechts
5.2 Scheitelpunkt der Normalform
Mit Hilfe quadratischer Ergänzung bringt man die Normalform auf Scheitelpunktsform und
kann so den Scheitelpunkt ablesen.
2
p
p2

Scheitelpunktsform: y   x    q 
2
4

 p
p2 
S  ;q 

4 
 2
6. allgemeine quadratische Funktion
Form: y  ax 2  bx  c
6.1 Bedeutung der Parameter
a: siehe Punkt 4
c: siehe Punkt 5.1 a)
b: bewirkt eine Verschiebung nach links oder rechts, in einigen Fällen aber auch eine
Verschiebung nach unten.
6.2 Scheitelpunkt der allgemeinen Form
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wird die allgemeine Form auf die Scheitelpunktsform
gebracht.
2
b 
b2

Scheitelpunktsform: y  a  x    c 
2a 
4a

 b
b2 
S   ;c  
4a 
 2a
7. Schnitt von Parabeln mit…
7.1 der x-Achse: Nullstellen
2
p
 p
a) Lösungsformel für die Normalform: x1,2       q
2
2
b) Lösungsformel für die allgemeine Form: x1,2  
b
b 2  4ac

2a
4a 2
Über die Anzahl der Nullstellen gibt die Diskriminante Auskunft.
7.2 einer beliebigen Gerade
Es gibt drei Möglichkeiten:
1. kein Schnittpunkt (Passante)
2. ein Schnittpunkt (Tangente)
3. zwei Schnittpunkte (Sekante)
7.3 einer Parabel
Es gibt drei Möglichkeiten:
1. kein Schnittpunkt
2. ein Schnittpunkt
3. kein Schnittpunkt
Literatur
- Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen 2001
- Thema Mathe 10/II, Reich/Rothmeier
- Thema Mathe 10/I, Reich/Rothmeier
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