R = ρ * l / A - HTWK Leipzig
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1. Grundgrößen im elektrischen Stromkreis 1.1. Elektrische Ladung Aufbau des Atoms: Elektron Proton Kern Neutron Atomhülle 1. Zustand der Atombausteine: Elektron – negativ Proton – positiv Neutron – ungeladen 2. Zustand der Ionen: Formelzeichen: Q...für zeitlich konstante Ladungen q...für zeitlich veränderliche Ladungen Einheit der elektrischen Ladung Q heißt: 1 Coulomb = 1C = 1A + 1s Kleinste Ladung ist die eines Atombausteins ( Elementarladung e = 0,1602* 10^-18 C ) Eigenschaften von Ladungen: - Kraftwirkung ( gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an ) - Bewegung von Ladungsträgern Freie Elektronen ( Cu, Ag, Al )- Kristallgitterstruktur 1.2. Elektrische Spannung a) Zustand zwischen getrennten elektrischen Ladungen: - entweder unterschiedlichen Betrages - oder unterschiedlicher Polarität Q2 Q1 U12 ++ + ++ + + + U23 -- U13 Q3 - Pfeilrichtung: von Plus (+) nach Minus (-) bzw. von positiv zu weniger positiver Zone 1 b) als Ursache für das Zustandekommen eines elektrischen Stroms. - eine elektrische Spannung kann nur zwischen zwei elektrischen Polen bestehen - Geräte die die Ladungstrennung verursachen, nennt man Spannungserzeuger oder Generatoren Formelzeichen: U...für zeitlich konstante Spannung u... für zeitlich veränderliche Spannung (z.B. Wechselspannung) Definition: U = W Q u = dw dq Spannung = Arbeit Ladung W (bzw. w) ist die Energie, die zur Trennung der Ladung Q (bzw., q) erforderlich ist. Spannungsarten ( Richtungssinn): Gleichspannung DC: u t Akku, Batterien Wechselspannung AC: u t Mischspannung: Netze der Energieversorger u Netzteile nach Gleichrichter Periodendauer und Frequenz: f=1/T Einheit der Frequenz: 1 Hertz = 1 Hz = 1s^-1 Beispiel: Europa – Frequenz der öffentlichen Netzversorgung: F = 50 Hz => T = 20 ms Nennspannung ( DIN IEC 38 ) - UN ist diejenige Spannung, nach der ein Betriebsmittel benannt ist und auf die bestimmte Betriebseigenschaften bezogen werden. - Überschreitung bedeutet Überlastungsgefahr durch Übererwärmung sowie Isolationszerstörung. - Nach DIN IEC 38 ( Mai 1987 ) werden die Nennspannungsbeträge von 220 / 380 V durch 230 / 400 V ersetzt. 2 Schaltung von Spannungsquellen Symbol Generator Batterie Reihenschaltung - .... U1 U2 Parallelschaltung U2 + Un W U1 - + U = U1 + U2 + ... + Un U = U1 = U2 Messen einer Spannung: Spannungsmesser ( Voltmeter ) V 1.3. Elektrischer Strom Elektrischer Strom ist Bewegung elektrischer Ladungsträger. Ursache für solche Bewegung z.B.: - Wirkung elektrischer Spannung auf elektrische Ladungen - rein mechanischer Ladungstransport z.B. in Flüssigkeiten oder Gasen Formelzeichen: I für zeitlich konstanten Strom i für zeitlich veränderlichen Strom Einheit des elektrischen Stroms: 1 Ampere = 1A Definition: I = Q i = dq t dt Die Stromstärke I (i) ist damit die Anzahl der Ladungsträger Q (q) die durch einen bestimmten Querschnitt im Zeitintervall t (dt) fließen. Definition Stromdichte S: S=I A I [A] .... Strom im Leiter A [mm²].... Leiterquerschnitt Je größer die Stromdichte in einem Leiter ist, desto stärker wird der Leiter erwärmt. Stromrichtung: Ist entgegengesetzt der Bewegungsrichtung der Elektronen definiert. 3 Eigenschaften des elektrischen Stroms: - Thermische Wirkung (z.B. Absicherung, elektrische Öfen ) Die bewegten freien Ladungsträger treten bei der Durchströmung des Materials mit anderen Ladungen in Wechselwirkung ( Wärme – Joulsche Wärme ). - Magnetische Wirkung ( z.B. Trafo, Motor, Generator ) Strom und Magnetfeld; I I Magnetischer Fluß - Chemische Wirkung ( z.B. Akku ) Physiologische Wirkung 50 mA bei 1s Einwirkdauer tödliche Wirkung Nennstrom ( DIN 40 0003 ): Der Nennstrom ist derjenige Strom, den eine elektrische Anlage im Dauerbetrieb aushält. 1.4. Elektrische Leistung und Arbeit Leistung: Allgemein; p = dw dt mit u = dw => dw = u * dq (2) dq und i = dq => dq = i * dt (3) dt (3) => (2) => (1) p=u*i P=U*I Einheit der Leistung: Watt = 1W = 1V * 1A Arbeit / Energie: Einheit der Arbeit: 1 Joule = 1J = 1Ws = 1 Nm W=p*t W=u*i*t W=U*I*t Beispiel: Eine Batterie kann bei einer Spannung von 1,5V während 100 Stunden einen Strom von 0,1A abgeben. Die Batterie kostet 0,90 DM. Was kostet 1 kWh elektrische Energie aus derartigen Batterien? W = U * I * t = 1,5V * 0,1A * 100h = 15 Wh Energiepreis pro Wattstunde: = 0,90 DM = 0,06 DM 15 kWh Wh 4 Energiepreis pro Kilowattstunde: = 0,90 DM = 60 DM 0,015 kWh kWh Vergleich: 0,25 DM => 240 x teurer kWh 1.5. Elektrischer Widerstand und Leitwert Elektrischer Widerstand kann bedeuten: - elektrisches Bauelement, symbolisiert mit Buchstabe R - Verhältnis von Spannung U zu Strom R Definition des elektrischen Widerstandes R: - statischer elektrischer Widerstand: R = U I - dynamischer (differentieller) Widerstand: r = du di Einheit des elektrischen Widerstandes: 1 Ohm = 1Ω = 1V 1A Reziprokwerte des elektrischen Widerstandes – elektrischen Leitwert G: G = 1/R = 1/U Einheit des elektrischen Leitwertes G: 1 Siemens = 1S = 1A / 1V 1.5.1. Dimensionierung des elektrischen Widerstandes R=ρ*l/A R ... elektrischer Widerstand [Ω] ρ ... spezifischer Widerstand [Ω * mm²/m] l ... Leiterlänge [m] A ... Leiterquerschnitt [mm²] γ = 1/ρ ... spezifische Leitwert [m/Ω * mm²] 1.5.2. Temperaturverhalten Temperaturverhalten von Widerständen: - ρ und γ werden bei einer Temperatur von 20°C ermittelt - Maß für Temperaturunabhängigkeit ist der spezifische Temperaturkoeffizient α [1/K] - Der Temperaturkoeffizient ( auch TK- Wert genannt DIN 5485 ) gibt die prozentuale Änderung eines Widerstandes je Grad Temperaturänderung an. - Der Widerstand von Kaltleitern nimmt bei Temperaturerhöhung zu (posit. TK). - Der Widerstand von Heißleitern nimmt bei Temperaturerhöhung ab (neg. TK). Widerstand Ro bei Temperatur νo ( Bezugswert: νo = 20°C ). Widerstand ändert sich bei Δν um ΔR zu Wert Rν, Rν = Ro + ΔR ΔR = dR * Δν, also wird dν Rν = Ro + dR * Δν = Ro(1 + dR / Ro * Δν) dν dν 5 α = dR / Ro dν Rν = Ro ( 1 + αΔν ) ============== Beispiel: Um wieviel % ändert sich ein Widerstand aus Kupferdraht bei einer Temperaturänderung Δν = 20 K? αcu = 0,00393 1/K = α * Δν = 0,00393 1 * 20 K = 0,08 = 8 % R K === ΔR 1.5.3. Kennwerte und Ausführung elektrischer Widerstände Werkstoff ρo in Ω * mm²/m TK αo in 1/K Kupfer Aluminium CuNi44 (Konstantan) 0,01786 0,02857 0,49 + 3,93 * 10^-3 + 3,77 * 10^-3 - 0,04 * 10^-3 Ausführungsformen: - Lineare Widerstände Beispiel: Drahtwiderstand I - Nichtlineare Widerstände Beispiel: Heißleiter I - Einstellbare Widerstände Beispiel: Potentiometer Schiebewiderstände U b R1 c R2 U Rges = R1 + R2 = Rab Rac = R2 Rbc = R1 a 1.6. Das Ohmsche Gesetz Rab = Uab = const. I a I a Uab x c b l b Rac = Rab * (x/l) R = ρ * l/A 6 Gültigkeitsbereich des Ohmschen Gesetzes: - reihe Widerstandsbauelemente, Kabel, Spulen.... - glatter Gleichstrom lineare Elektrotechnik R = 5Ω Experiment: 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 I U... 0...10 V A VV Amperemeter R=5 Ω R = 10 Ω R = 20 Ω 0 R R = 10Ω R = 20Ω R 2 4 6 8 10 U/V R = ∞ Stromkreisunterbrechung R=U I=U I R Erkenntnisse: - unterschiedliche Widerstandswerte bedeuten unterschiedliche Steigungen. - gerade für R = ∞ ist die U- Achse ( Stromkreisunterbrechung ) - gerade für R = 0 ist die I- Achse ( Kurzschluß ) Verknüpfung mit der Leistung: Mit R = U wird R = U * I = I² * R = U² I R Beispiel: Ein aus Widerstandsdraht gewickelten Widerstand R = 5Ω ist für eine Leistung von 20W gebaut. Welchen Wert darf der durch den Widerstand fließende Strom höchstens haben? P = I² * P I = √P/R = √ 20V * A = √ 4A² = 2A = 5V/A == 2. Grundlagen der elektrischen Meßtechnik 2.1. Elektrische Meßgeräte Mit elektrischen Meßinstrumenten können gemessen werden: - direkt sämtliche elektrische Größen ( Spannung, Strom, Widerstand, Frequenz, Leistung,...) - indirekt die meisten nicht elektrischen Größen ( Weg, Druck, Temperatur, Lichtstärke,...) => Umformung in elektrische Spannungen Arbeitsprinzip: Spannungen lassen in Meßwerken Ströme fließen. 2.2. Technische Daten elektrischer Meßgeräte Klassengenauigkeit: Anzeigefehler bezogen auf den Endwert - Feinmeßgeräte: 0,1; 0,2; 0,5 - Betriebsmeßgeräte: 1; 1,5; 2,5; 5 7 Beispiel: Voltmeter Zeiger: 22 Skalenteile Meßgenauigkeit 1% Ges.: Meßwert 1% von 30V = 0,3V U = 22V + 0,3V 21,7 < U < 22,3V ============ Innenwiderstand: Jedes Meßinstrument hat einen Innenwiderstand Ri - bei Amperemetern kleinstmöglich - bei Voltmetern größtmöglich Andernfalls wird die Anzeige verfälscht. Meßbereichswahl: Meßbereich klein wählen Richtwert: Anzeige im letzten Drittel der Skala Achtung: Messung immer mit höchstem Meßbereich beginnen, dann Stufenweise verkleinern! Umrechnung für Instrumente mit nur einer Skala: I=M A S I = M/S * A = a * A I... gemessener Strom S...Skalenwert A... Anzeige (Skt.) a = M/S ... Meßbereichsfaktor M ... Meßbereich Beispiel: Geg.: S = s0 Skt. M = 6 mA A = 26,7 Skt. Lösg.: I = M * A = 6 mA * 26,7 Skt. S 30 Skt. I = 5,34 mA ======== 8 2.3. Meßschaltungen Strom: Spannung: Strom: Gerät liegt im Stromweg Spannung: Gerät liegt am Meßobjekt Leistung: Gerät Liegt gleichzeitig im Stromweg und am Meßobjekt Leistung: - Wattmeter V und A- Meter: Meßstrom muß von Quellenplus kommend in die Geräte Plusklemme Fließen. W- Meter: Klemmen müssen in alphabetischer Reihenfolge durchflossen werden. K- J: Strompfad U- V: Spannungspfad 2.4 Das Oszilloskop Masse- und damit trägheitslos ist die Anzeige durch Elektronenstrahl auf dem Leuchtschirm Meßmöglichkeiten: - direkt: Spannungen und Zeiten - indirekt: Ströme, Frequenzen und Kennlinien, nichtelektronische physikalische Vorgänge, wenn sie sich elektronisch abbilden lassen. Meßergebnisse: - vertikal Richtung: Spannung - horizontal Richtung: Zeit, speziell die Periodendauer 9 Meßbereichsfaktoren: - Spannung: - Zeit bzw. Frequenz: u = au * lu t = at * lt Beispiel: 1.) au = 20 V/cm U=? U = au* ln = 20 V/cm * 4 cm = 80 V 2.) at = ? ; für 50 Hz at = t = 20 ms = 2 ms lt 10 cm cm ;t=T=1 f 3. Der Elektrische Stromkreis Von einem geschlossenen Stromkreis spricht man, wenn eine Quelle mit irgendwelchen Verbrauchern so zusammen geschaltet ist, daß ein elektrischer Strom fließen kann. Für die Berechnung von Strom und Spannung erfolgt eine zweckmäßige Zusammenfassung der Komponenten zu Ersatzkomponenten. Ersatzschaltbild: a) Gleichspannungsgenerator, Batterie ; b) Reihenschaltung von Widerständen Pq idealer Spannungsquelle Uq 10 Systematik: - links stehen nur Quellen - rechts Verbraucher ( Ohmsche Widerstände, Kap., Ind. ) Vereinbarung: - Strom von (+) nach (-) – Vereinbarung ! ( international einheitlich ) bei einer Quelle sind Spannungs- und Strompfeil gegensinnig bei einem Verbraucher gleichsinnig 3.1. Der Gleichstromkreis mit linearen Komponenten 3.1.1. Reihenschaltung Reihenschaltung von R1 und R2 Ersatzwiderstand: Rers = R1 + R2 Widerstände sind immer dann in Reihe geschaltet, wenn sie von dem selben Strom durchflossen werden. => I = U = U Rers R1 + R2 Teilspannungen und Spannungsabfälle: U = I * (R1 + R2) = I * R1 + I * R2 Man kann dafür schreiben: U = U1 + U2 Allgemein: 2. Kirschhoffsche Satz – Maschensatz In einer Masche ist die Summe der Quellenspannungen ( Urspannungen ) gleich der Summe der Spannungsabfälle. n m ∑ Uqν = ∑ Uμ ν=1 μ=1 11 Spannungsteiler: Wenn U1 = I * Rers und U1 = I * R1 U1 = R1 U2 R2 Dann Mit Wird U = I * Rers und U1 = I * R1 U1 = R1 U Rers Und damit U1 = U * R1 R1 + R2 U2 = I * R2 Wird entsprechend U2 = U * Für R2 R 1 + R2 Zusammenfassung: Legt man Spannung an eine Reihenschaltung von n Widerständen, - so teilt sich die Spannung auf die n Widerstände in n Teilspannungen auf, - dabei verhalten sich die Teilspannungen wie die Widerstände. 3.1.2. Parallelschaltung Parallelschaltung: - Widerstände ( Verbraucher ) sind immer dann zueinander parallel geschaltet, wenn sie an derselben Spannung liegen. - In einer Parallelschaltung ist die Spannung U an allen Komponenten gleich groß. Untersuchung des Knotenpunktes bei Parallelschaltung von R1 und R2. I = I1 + I2 Allgemein: 1. Kirschhoffsche Satz – Knotenpunktsatz: In einem Stromverzweigungspunkt ( Knotenpunkt ) ist die Summe der zu fließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. ∑Ihin = ∑Iweg Werden alle zum Knotenpunkt fließenden Ströme positiv und die abfließenden Ströme negativ bewertet, gilt: 12 n ∑ Iν = 0 ν=1 Stromteilerregel bei Parallelschaltungen von R1 und R2. I1 = U ; I2 = U ; I = U R1 R2 Rers I1 = U/R1 = R2 I2 U/R2 R1 Es verhalten sich zwei Ströme in zwei zueinander parallel liegenden Verbrauchern umgekehrt wie deren Widerstände. Weiterhin gilt: I1 = Rers bzw. I2 = Rers I R1 I R2 Ersatzwiderstandsberechnung: I = I1 + I2 / :U I = I1 + I2 = 1 + 1 = 1 U U U R1 R2 Rers I = Gers = G1 + G2 U Erkenntnis Verallgemeinert: Bei einer Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtleitwert gleich der Summe der Einzelleitwerte. Gers = G1 + G2 +...+ Gn Drückt man den Leitwert durch die entsprechenden Widerstände aus: 1 = 1 + 1 + ... + 1 Rers R1 R2 Rn Beispiel: Geg: R1 // R2 Ges: Rers = ? 1 = 1 + 1 + ... + 1 Rers R1 R2 Rn 1 = R2 + R1 Rers R1 * R2 R1 * R2 1 = R2 + R1 Rers R1 * R2 13 Rers = R1 * R2 R1 + R2 3.1.3. Gemischte Schaltungen mit einer Spannungsquelle - Zerlegung in einzelne Reihen- bzw. Parallelschaltungen Bildung neuer Ersatzwiderstände Berechnung Beispiel: Geg:R1 = 390 Ω; R2 = 470 Ω; R3 = 220 Ω; Uq = 6 V Ges: a); b); c) Lösung: a) Rers = R1 + ( R2 // R3 ) Rers = R1 + R2 * R3 R2 + R3 Rers = 390 Ω + 470 Ω * 220 Ω = 390 Ω + 103400 Ω 470 Ω + 220 Ω 690 Ω Rers = 539,9 Ω b) I1 = U = 6 V = 11,11 mA Rers 539,9 Ω c) U1 = I1 * R1 = 11,11 mA * 390 Ω = 4,33 V oder U1 = R1 Uq Rers ; U1 = 6 V * 390 Ω = 4,33 V 539,9 Ω U2 = Uq – U1 Maschensatz U2 = 6V – 4,33V = 1,67V Oder U2 = (R2 * R3)/(R2 + R3) = 149,9 Ω => U2 = 1,67 V U Rers 539,9 Ω U2 = R2 // R3 = 149,9 Ω => U2 = 1,67 V U R1 390 Ω I2 = U2 = 1,67 V = 3,547 mA R2 470 Ω I3 = U2 = 7,577 mA R3 14 3.1.4. Brückenschaltung Betrachtung von zwei Spannungsteilern: Für 1. Spannungsteiler gilt: R1 = U1 R2 U2 Für 2. Spannungsteiler gilt: R3 = U3 R4 U4 Verbinden der Spannungsteiler: Die Spannung U1 und U3 sowie U2 und U4 sind gleich groß: U1 = U3 ; U2 = U4 Man kann schreiben: R1 = U1 = U3 = R3 R2 U2 U4 R4 Ergebnis – Brückenschaltung: Satz: Zwischen Punkten gleichen Potenzials herrscht keine Spannung, damit kann kein Strom fließen. Abgleichbedingung: R1 = R3 R2 R4 Widerstandsmeßbrücke – Wheatstone – Brücke Sind von einer abgeglichenen Widerstandsbrücke drei Widerstände bekannt, so kann der vierte ermittelt werden. Beispiel: R1 = 34 Ω R2 = 94 Ω RN1 = 14 Ω RN2 = 289 Ω Ges: RX Lösung: RX = ( RN1 + RN2 ) * R2 / R1 RX = ( 1KΩ + 0,289 KΩ ) * 9 KΩ / 3 KΩ RX = 3,867 KΩ 15 3.1.5. Schaltungen mit mehreren Spannungsquellen Helmholtzscher – Überlagerungssatz Wirken im einem linearen physikalischen System mehrere Ursachen, so ergibt sich die Gesamtwirkung aus der Übertragung der Einzelwirkungen, die von den einzelnen Teilursachen herrühren. Nur bei linearen Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung anwendbar, z.B. durch die Gleichung U = I * R, wenn R = const. Vorgehensweise: 1.) Ersetzen aller Quellen außer einer ( z.B. Uq1 ) durch Kurzschlüsse, und berechnen des Stromes ( Izq1 ) im Zweig z, der von dieser einen Quelle ( Uq1 ) herrührt. 2.) Mit allen anderen Quellen Uqν wird genau so verfahren. Man erhält die Ströme Izq2, Izq3, ..., Izqν im gleichen Zweig z. 3.) Überlagerung aller Teilströme zum Gesamtstrom Iz, wobei die Vorzeichen zu beachten sind. Gegeben: Quelle 1 – Generator: Uq1 = 42 V ; Rq1 = 1Ω Quelle 2 – Akku: Uq2 = 11 V ; Rq2 = 1/6 Ω Lastwiderstand Rl: Rl = ½ Ω Gesucht: Teilströme I1, I2, I3 Lösung: 1.) Uq1 = aktiv Uq2 = 0 ( Kurzschluß ) Dazugehörige Ströme berechnen ( Index 1 ) I11 = Uq = 42 V = 37 1/3 A Rq1 + ( Rq2 // Rl ) 1Ω + ( 1/6 Ω * ½ Ω ) ( 1/6 Ω + ½ Ω ) I21 = I11 * Rl Rq2 + Rl I21 = 37 1/3 A * ½Ω 1/6 Ω + ½ Ω I21 = 28 A I31 = I11 * Rq2 = 9 1/3 A Rq2 * Rl 16 2.) Uq1 = 0 ( Kurzschluß ) Uq2 = aktiv Dazugehörige Ströme berechnen ( Index 2 ) I22 = Uq2 = Uq2 Rq2 + ( Rq1 // Rl ) Rq2 + ( Rq1 * Rl ) ( Rq1 + Rl ) I22 = 11 V = 22 A 1/6 Ω + ( 1 Ω * ½ Ω ) (1 Ω + ½ Ω ) I12 = I22 * Rl Rq1 + Rl = 22 A * ½ Ω 1Ω + ½ Ω I12 = 7,33 A I32 = I22 * Rq1 = 22 A * 1 Ω = 14 2/3 A 3.) I1 = 37 1/3 A – 7 1/3 A = 30 A I2 = 28 A – 22 A = 6 A I3 = 9 1/3 A + 14 2/3 A = 24 A 3.1.6. Der Grundstromkreis Wobei: - Quelle = aktiver Zweipol - Last = passiver Zweipol Maschengleichung: Uq = URq + U Uq ... Quellenspannung URq ... Spannungsabfall Rq U ... Klemmenspannung U = Uq – URq; => U = Uq – I * Rq / Umformen U = -Rq * I + Uq U = I * Rl bzw. Rl * I 17 Typ: y = -mx + b y=c*x U Uq aktiver Zweipol ½ passiver Zweipol Arbeitspunkt ( Anpassung ) IK = Uq/Rq ½ I Diskussion: Betriebsfall Leerlauf Kurzschluß Anpassung Rl ∞ 0Ω Rq = Rl U Uq 0V 0,5 * Uq Beispiel: Uq = 12 V Rq = 1Ω Rl = 10 Ω ges: IK = ? I U I 0A IK = Uq/Rq 0,5 * IK Lösung: IK = Uq = 12 V = 12 A Rq 1Ω I= Uq = 12 V = 1,09 A Rq + Rl 1Ω + 10 Ω U = I * Rl = 1,09 A * 10Ω = 10,9 V Oder U = Uq * Rl = 10,9 V oder: U – Uq – I * Rq = 10,9 V Rq + Rl Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols: U/V 12 10 8 6 4 2 Uq 1,09A 2 passiver Zweipol ( 10 Ω ) AP ( 10,9V ; 1,09A ) AP ( 6V ; 6A ) Anpassung Rl = Rq = 1Ω aktiver Zweipol 4 6 8 10 12 14 IK = 12 A 18 I/A P 0W 0W 0,25 * Uq * IK 4. 4.1. - Felder Allgemeines Felder kennzeichnen einen Raumzustand, im Feld ist Energie gespeichert Felder haben eine Struktur Beschreibung durch Linien und Richtungssinn Feldlinien geben Kraftrichtung an 4.2. 4.2.1. - Das elektrische Feld Grundgrößen Feldzustand geht von elektrischer Ladung aus und endet wieder auf Ladungen Repräsentant des elektrischen Feldes ist die elektrische Ladung Q Polarität - Plus – und Minus – Klemme oder auch Plus – und Minus – Pol ( entsprechende Ladungszonen ) Elektrische Felddichte - Vergleichsgröße als Maß für die Materialausnutzung - Vektorrielle Größe ( nur Betrag interessiert ) D=Q A D ... Feld – oder Verschiebungsdichte Q ... elektrische Ladung A ... Fläche quer zum Feld Feldstärke Vektorrielle Größe ( nur Betrag interessiert ) E=U l E ... Feldstärke U ... Spannung l .... Abstand zwischen den Polen Einheit: 1 V * m-1 Elektrische Feldkonstante ( Materialkonstante ( Material: Dielektrikum )) = o r o = 8,859 10-12 As/Vm 19 o … absolute elektrische Feldkonstante r … relative elektrische Feldkonstante Material Wert für r Vakuum Luft Wasser Glimmer Papier Bariumtitanat 1,0 1,0006 80 5 ... 10 1,8 ... 2,6 1000 ... 2000 Materialgleichung Feldkonstante verknüpft die elektrische Feldstärke E mit der Felddichte D D=E Kapazität Verhältnis von elektrischer Ladung zur elektrischen Spannung wird als Kapazität bezeichnet. C=Q U ; C = dq du Die gespeicherte Ladungsmenge ist : Q = C U - Kapazität ist demnach ein Maß für das Speichervermögen elektrischer Ladung - Technisches Bauelement – Kondensator - Speichervermögen ist vom geometrischen Abmessungen und der Materialbeschaffenheit abhängig Beispiel: Plattenkondensator C = o r A l Einheit der Kapazität 1 Farad = 1F = 1C V-1 = 1 As/V Ladestrom Definition für den elektrischen Strom allgemein: i = dq du durch Substitution von dq erhält man aus: C = dq du => C du = i dt => i = C du dt 20 Merke : - liegt eine veränderliche Spannung du/dt an einem Kondensator, so fließt ein Ladestrom. - Ist die Spannungsänderung du/dt = 0, so kann kein Strom fließen. - Für Gleichstrom wirkt ein Kondensator wie ein unendlich großer Widerstand bzw. wie eine Stromkreisunterbrechung. Beispiel: A= 0,1 m² l = 0,01 mm r = 2,5 ( ÖL ) Lösung: C = o r A/l C = 8,859 10-12 As/Vm 2,5 10-1 m² 10-5 m -6 C = 0,22 10 As/V = 0,22 F i = ? bei: du/dt = 100 V/s i = C du/dt = 0,22 10-6 As/V 100V/s i = 0,022 mA U 100 t 1s i/mA 0,022 t 4.2.2. Der Kondensator Elektrotechnisches Bauelement, dass eine bestimmte erwünschte Kapazität hat. Aufbau: Kondensator besteht aus zwei Platten oder sonstigen leitfähigen Schichten, die durch ein Isoliermittel voneinander getrennt sind. Technische Ausführungsformen - Plattenkondensator, Drehkondensator ( Luft als Dielektrikum ) - Keramikkondensator - Wickelkondensator ( Al – Folie und Isolierpapier ) - Elektrolytkondensator ( Al und Elektrolyt, nicht für Wechselspannung geeignet, Polung beachten ) 4.2.3. Schaltung von Kondensatoren Reihenschaltung: 21 U = U1 + U2 + ... + Un C=Q U Q = Q1 + Q2 + … + Qn Cers C1 C2 Cn Analog zum Strom I bei Reihenschaltung ohmscher Widerstand ist Q = Q1 = Q2 = ... = Qn. 1 Cers = 1 + 1 + ... + 1 C1 C2 Cn Parallelschaltung: Q = Q1 + Q2 + .. + Qn Cers U = C1 U + C2 U + … + Cn U Cers = C1 + C2 + … + Cn 4.2.4. Energie im elektrischen Feld Aufgeladener Kondensator speichert Energie, die bei Entladung wieder entnommen wird. uC = dwC dq i = dq dt uC ... Spannung am Kondensator i ... Strom wC ... Gespeicherte Energie q ... Ladung dwC = uC dq = uC i dt wC = uC i dt mit i = C duC dt wC = C uC duC dt dt wC = ½ C U² oder mit C = Q U wC = ½ Q U oder mit U = Q C wC = Q² 2C 22 4.2.5. Schaltvorgang am Kondensator t = 0 ; S schließt Masche : U = MR + MC (1) MR = i R (2) i = C duC dt (3)=>(2)=>(1) U = R C du + MC dt Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung Lösung : uC = U + ke –1/RC t Einschalten: t = 0 => U = U0; uC = 0 Damit wird uC = 0 => U0= + ke-0/RC => U = -U0 uC = U= ( 1 – e –t/RC ) i = C duC = U0 e –t/RC dt R t = 0; UC = 0; i = U0 R t = : UC = U0; i = 0 RC= … Zeitkonstante U UC U0 i R U0 0,63U0 1 2 3 4 5 (t-t0)/ 23 Entladen: t = 0 ; Schalter S wird geöffnet t = 0 => U = 0; UC = U0 Damit wird UC = U0 = 0 + ke-0/RC => k = U0 UC = U0 e-t/RC i = C duC = - U0 e-t/RC dt R t = 0: UC = U0; i = - U0 R t = : UC = 0; i = 0 Produkt : R C = - Zeitkonstante Maßeinheitenprobe: V As = s A V U UC U0 0,37U0 i t0 1 2 3 4 5 t-t0 -U0 R Erkenntnisse: - Im Einschaltaugenblick verhält sich ein entladener Kondensator wie ein Kurzschluß - Gefahr des Schalterkontaktverschleißens ! - Schäden am Messinstrument ! - Eventuell Einschaltstrom durch Vorwiderstand begrenzen Beispiel: Ges: wC = ? wC = ½ C U² = ½ 10 10-6 As/V 24² V² wC = 2,88 mWs auf = ? auf = ( Ri + R1 ) C = 2005 V 10-5 As A V auf = 20,05 ms ab = ? ab = R2 C = 5ms 24 4.3. Das magnetische Feld 4.3.1. Grundgrößen des magnetischen Feldes - Magnetische Feldlinien sind in sich geschlossen ohne Anfang und Ende Magnetfelder werden von Permanentmagneten oder von stromdurchflossenen Leitern aufgebaut N S Magnetischer Fluß : Anzahl aller Feldlinien eines magnetischen Feldes Einheit: 1 Weber = 1Wb = 1Vs Regel: Umschließt man einen stromdurchflossenen Leiter so mit der rechten Hand, dass der abgespreizte Daumen in Stromflussrichtung zeigt, dann zeigen die gekrümmten Finger in Feldrichtung. Spulenfluß: = N N ... Windungszahl Magnetische Polarität: - Die Zone, aus der das magnetische Feld austritt heißt Nordpol, die andere Südpol Magnetische Felddichte: ( magnetische Flussdichte ) Anzahl der magnetischen Feldlinien je Flächeninhalt auch als Induktion bezeichnet. B= A .. magnetischer Fluß A ... Fläche quer zum Feld Einheit der Felddichte: 1 Tielsa = 1T = 1V s m-2 Magnetische Durchflutung: ( magnetische Urspannung ) Summe aller Ströme, die ein magnetisches Feld antreiben. n = I =1 Spule mit N Windungen: = I N Magnetische Feldstärke: Allgemein: H = d ds Für eine Spule gilt: HSP = /l = I N / l 25 Einheit der magnetischen Feldstärke: 1 A m-1 Magnetische Feldkonstante Die magnetische Feldkonstante ( auch Permeabilität genannt ) kennzeichnet die Eigenschaft des Materials hinsichtlich der Ausbildung des magnetischen Feldes. = 0 r 0 = absolute magnetische Feldkonstante 0 = 1,256 10-6 Vs/Am r = relative Feldkonstante ( materialabhängig ) Man unterscheidet: - diamagnetische Stoffe 0 < r < 1 ; ( z.B. Cu ) - unmagnetische Stoffe r = 1 ; ( z.B. Luft ) - paramagnetische Stoffe r > 1 ; ( z.B. Al ) - ferromagnetische Stoffe r >> 1, Stahl r ~ 40 Dynamoblech r ~ 500 Speziallegierung r ~ 10000 Magnetische Felddichte B Allgemein: B = d dA Materialgleichung: B = H Gilt jedoch nicht für ferromagnetische Materialien ( Fe, Co, Ni ), technisch bedeutsame Materialien. Magnetisierungskurve: B Brem Remanenz Sättigung Neukurve Koerzitive Feldstärke HC H Hysteresisschleife Analogie: R = U ; Rm = I 26 Ohmsches Gesetz für Magnetismus: = = I N ( analog : I = U ) Rm Rm R Rm = l A … magnetischer Fluß: in Vs ... magnetische Urspannung oder Durchflutung: in A Rm ... magnetischer Widerstand: in A / Vs l ... mittlere Feldlinienlänge 4.3.2. Die Spule - Spule besteht aus mehreren oder weniger vielen Drahtwindungen Ohmscher Widerstand im Gleichstromkreis maßgebliche Größe Bei sich zeitlich veränderlichen Betriebssituationen kommt bei Spulen noch eine andere Größe, die Induktivität, zum Tragen Für das Magnetfeld in einer Spule gilt: = N = N = N I N = N² 0 r A I Rm Rm l L = N² 0 r A ( gilt für schlanke Spulen ) l =LI L = oder L = d I di Die Induktivität L gibt Auskunft darüber, wie groß die Speicherfähigkeit einer stromdurchflossenen Spule für elektromagnetische Energie ist. Einheit: 1 Henry = 1 Vs = 1H 1A -3 1 mH = 10 H 1 H = 10-6 H 4.3.3. Induktionsgesetz ( Michael Faraday 1831 ) Ändert sich die Anzahl der magnetischen Feldlinien, die eine Leiterschleife ( Spule ) durchsetzen, so entsteht eine elektrische Quellenspannung ( Urspannung ). Die Spannungsrichtung hängt vom Vorzeichen der Flussänderung ab. u = d = N d dt dt Lenzsches Gesetz: Eine durch Induktion hervorgerufene Spannung treibt stets einen so gerichteten Induktionsstrom an, dass dessen Magnetfeld der Entstehungsursache entgegenwirkt. Es ist dabei gleichgültig, ob sich der Fluß zeitlich ändert ( Ruheinduktion ) oder ob eine Längeänderung des elektrischen Leiters in einem stationären Elektromagnetfeld erfolgt ( Bewegungsinduktion ). 27 4.3.4. Gegeninduktion Wird in einer Leiterschleife (Spule) N1 ein veränderlicher Magnetfluß erzeugt, der eine zweite magnetisch gekoppelte Leiterschleife (Spule) N2 durchsetzt, so wird in dieser eine Spannung induziert. Koppelfluß U: Er ist der beide Spulen durchsetzende Magnetfluß. Streufluß : Er ist der außerhalb der Spule vorhandene, aber von den Spulen erzeugte Magnetfluß. 4.3.5. Selbstinduktion Fließt Strom einer Spule, baut er ein magnetisches Feld auf. Ändert sich der Strom, ändert sich das magnetische Feld; Spannung wird in der Spule induziert. Man spricht von Selbstinduktion. In den Windungen der Spule werden Spannungen induziert, die nach den Lenzschen Gesetz der erzeugenden Ursache entgegenwirken. u = N d = N d = N di N dt Rm dt Rm dt u = N² di Rm dt Mit L = N² 0 r A = N² l Rm u = L di dt 4.3.6. Induktionsvorgänge Experiment: Ergebnis: Instrument zeigt Spannung Grund: u = (-) N d dt Generatorprinzip: In der Spule wird Wechselspannung nach folgender Gleichung induziert. Uq = c nD D c … Generatorkonstante 28 Experiment: Spule mit Fe – Kern u = „N“ d = d dt dt Ergebnis: Kern erwärmt sich. Grund: Durch Induktion entstehen Spannungen im Metall Anwendung: - Wirbelstrombremse - Induktionsherd Induktionsherd: Vermeidung von Wrbelstromverlusten - Wirbelströme bewirken größe Erwärmung ( Trafokerne, magnetische Kreise in Motoren und Generatoren ) - In der technischen Praxis oft unerwünscht - Können vermindert werden durch: Blechung und Isolation, durch Papierzwischenlagen, Lackierungen, Oxidschichten; Verminderung der elektrischen Leitfähigkeit unter Beibehaltung der magnetischen Eigenschaften. 4.3.7. Schaltung von Spulen Vorraussetzung für weitere Betrachtungen: Völlige räumliche Trennung der Felder von den betrachteten Spulen, andernfalls gelten andere Beziehungen ( siehe Punkt Gegeninduktion ) Reihenschaltung: L di = L1 di + L2 di + … + Lv di dt dt dt dt Lers = L1 + L2 + ... + Lv Parallelschaltung: i = i1 + i2 + ... + iv di = di1 + di2 + … + div dt dt dt dt 29 u = u + u + ... + u L L1 L2 Lv /:u 1 = 1 + 1 + ... + 1 L L1 L2 Lv 4.3.8. Energie und Kräfte im magnetischen Feld Für Energie im elektrischen Stromkreis gilt: dW = u i dt Da u = L di ; gilt dW = L i di Dt i2 W = Li di und mit i1 = 0 und i2 = I i1 W = L I² 2 Analogie: WC = ½ C U² Wkin = ½ m v² Wkinrot = ½ J ² Kräfte zwischen magnetischen Polen mit Eisenkern Sehr angenähert und für einen kleinen Luftspalt gilt für Kraftwirkungen zwischen den beiden magnetischen Polen die Gleichung. F = A B² 2 0 A … Eisenquerschnitt B … Felddichte 0 … absolute magnetische Feldkonstante Stromkräfte im Magnetfeld Daumen I I Mittelfinger X F F Zeigefinger B Feldschwächung B Feldverstärkung Der stromdurchflossene Leiter erfährt im magnetischen Feld eine Kraftwirkung, da sich ein Magnetfeld mit dem der Umgebung überlagert. 30 Wenn der Strom senkrecht zum Magnetfeld fließt, entsteht eine Kraft F, die senkrecht auf Strom und Feld steht. Kraft ist bestimmt durch: F = B I l ( Lorenzkaft ) B … magnetische Felddichte I ... Strom im Leiter l ... Leiterlänge im magnetischen Feld 4.3.9. Schaltvorgang einer Induktivität UR 1 O O R + O2 U = U0 - i L uL Masche: t0 ; S2 => 1 U = UR + UL (1) uR = i R (2) (3) => (2) uL = L di (3) dt =>(1) U = i R + L di dt vi Pumpe U L Turbine mit Trägheitsmoment J v Lösung: i = U + ke-(R/Lt) R Einsetzen der Anfangswerte: a) Beim Einschalten ist für t = 0: U = U0 und i = 0 i = 0 = U0 + ke-(R/L0) => k = - U0 R R i = U0 ( 1 – e-(R/Lt) ) R ============== uL = L di = U0 e-(R/Lt) dt =================== 31 t = 0: i = 0, uL = U0 t = : i = U0 ; ul = 0 R Ein U UL i iU0 R U0 UL Aus to 1 2 3 4 5 t-t0 4 5 b) Beim Kurzschließen ist für t = 0 U = 0; i = U0 R i = U0 = 0 + ke-(R/Lt) => k = U0 R R R -(R/Lt) i = U0 e R =========== uL = L di = - U0e-(R/Lt) dt ================= t = 0; i = U0 , uL = - U0 R Aus U U0 R i U0 t0 1 2 3 t-t0 -U0 Zeitkonstante: = L R Maßeinheitenprobe: Vs A = s AV Beispiel: u(t) an ideale Spule ( R = 0 ) u u i U0 U0 u = U0 t u i U0 i t U = U0 t T T t 32 u = U0 cos t Allgemein gilt : u = L di dt i = 1/L u dt Lösung: 1. i = 1/L u0 dt i = U0/L t + I0 => I0 = 0 i = U0/L t 2. i = 1/L U0/ t dt i = U0t² + I0 => I0 = 0 2L i = U0t² 2L 3. i = 1/L U0 cos (t) dt i = U0 sin t + I0 => I0 = 0 L i = U0 sin t L 5. 5.1. Wechselstromlehre Einleitung Entstehung von Wechselspannung: Wechselspannung kann z.B. durch Rotation einer Rechteckspule im homogenen Magnetfeld erzeugt werden. U ... Amplitudenwert T[s] ... Winkel f = 1/T [Hz] u = U sint u ... Momentanwert Benötigt ein Umlauf von 360° bzw. 2 die Zeit T, so ist die Umfangsgeschwindigkeit; = 2r / :r T 2r ... Umfang eines Kreises mit Radius r = 2 r T 33 Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit : = 2 = 2f T Einheit: 1/s = s-1 5.2. Mittelwert und Effektivwert Ein periodischer Strom heißt Wechselstrom, wenn der zeitliche ( arithmetische ) Mittelwert i der Stromstärke gleich Null ist. Arithmetischer Mittelwert: t0+T i = 1/T i dt = 0 t0 Beispiel: T i = 1/T i sin t dt für t0 = 0 0 Substitution = t 2 i = 1/T i sin d 0 i … Amplitudenwert ( lies: i – Dach ) 2 i = 1/T i (-cos ) = 1/T i ((-cos 2)-(-cos o)) 0 i=0 Effektivwert ( auch quadratischer Mittelwert ) Alle Angaben in der Energietechnik erfolgen in der Regel in Effektivwerten. Unter Effektivwerten eines Wechselstromes oder einer Wechselspannung versteht man den Wert, der die gleiche Leistung am gleichen Widerstand R erbringt, wie ein ebenso großer Gleichstrom oder eine ebenso große Gleichspannung. Wie ist nun diese Ersatzgröße zu bilden? Gleichstrom DC dW = RI²dt Integration im Bereich 0 < t < T Wechselstrom AC dW = Ri²dt T W = RI²T W = Ri²dt 0 Gleichsetzen, beide Energien voraussetzungsgemäß gleich. T R I² T = R i² dt 0 T I = Ieff = (1/T i² dt)1/2 0 34 Effektivwert eines Sinusstromes T I = (1/T ( i sin t)² dt )½ 0 I= i 2 0,707 i oder i = 2 I = 1,414 I Beispiel: U = 230 V ; u = ? ; f = 50 Hz ; T = 20 ms u = 2 239 V = 325 V 5.3. Darstellungsarten 1. Art: Liniendiagramm 2. Art: Mathematische Beschreibung i = i sin t 3. Art: Zeigerdiagramm - Liniendiagramme sind nicht einfach zu zeichnen und nicht einfach rechnerisch auszuwerten. Man kann ein Liniendiagramm mathematisch durch ein dazu äquivalentes Zeigerdiagramm ersetzen. Diese Zeiger denkt man sich um den Ursprung mit der Kreisfrequenz, entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn, drehend. Bei mehreren Zeigern ist die Gegensinnige Lage der Zeiger zueinander von Bedeutung. 35 Phasenlage: Von einem beliebigen Bezugszeiger wird ein dazu nacheilender Zeiger rechtssinnig angetragen, ein dazu voreilender linkssinnig. Vorteil des Zeigerdiagramms: Zeigt sich im Rechnen mit Zeigern. 5.4. Rechnen mit Zeigern Beispiel: 2 Spulen eines Generators in Reihe 5.5. Wechselstromverbraucher Zählpfeile: Bei Wechselstromanlagen wechselt im Gegensatz zu Gleichstromanlagen nach jeder halben Periode der Richtungssinn aller Pfeile. Vereinbarung: Stets wird nur ein Bild gezeichnet, und zwar mit Pfeilen für positive Betriebsdaten. Schreibweisen: - mit Unterstreichung z.B. U, I => Anwendung - mit Häkchen z.B. U<, I< - Fettdruck z.B. U, I 36 Ab jetzt werden Wechselstromzeiger durch große Buchstaben dargestellt und nur noch als Effektivwerte angegeben ( reine Maßstabsfrage ) Ohmscher Verbraucher ( Wirkwiderstand ) Gültigkeit des ohmschen Gesetzes bleibt bei Wechselstrom erhalten: R = U = const. I Für Stromzeiger gilt : I = î sin t Spannungsabfall: UR = î R sin t UR = û R sin t Wechselstromleitwert: G = 1 = I R U Die Wechselspannung u und der Wechselstrom i sind an einem Wirkwiderstand in Phase; d.h. der Phasenwinkel ist = 0 – es gibt keine Phasenverschiebung zwischen U und I. Kapazitiver Widerstand (kapazitiver Blindwiderstand, Reaktanz) u = û sin t i = C du = C d ( û sin t ) dt dt i = C û cos t = î cos t = î sin (t + /2 ) Strom eilt Spannung um 90° voraus. î = C û 2 î =C û 2 2 I=CU Kondensatorstrom (Struktur analog Ohmschen Gesetz) 37 R=U ; I=U ; I=CU ; I=U =U I R 1 XC C Kapazitiver Blindwiderstand XC (Reaktanz) XC = 1 = 1 C 2C Kapazitiver Blindwiderstand BC BC = 1 XC Folgerungen: - An einem Kondensator gilt der Strom der Spannung um /2 (90°) voraus. - Mit größer werdender Frequenz wird der kapazitive Blindwiderstand kleiner. Kondensator sperrt Gleichstrom ( = 0 Hz ) Beispiel: U = 230 V ; 50 Hz ; C = 7,5 F ; XC = ? ; I = ? XC = 1 = 1 = 1 = 424,6 C 2C 250s-17,510-6 As/V I = U = 230 V = 0,542 A XC 424,6 V/A Induktiver Widerstand ( induktiver Blindwiderstand, Reaktanz ) i = î sin t u = L di = L d(î sin t ) dt dt u = L î cos t = û cos t = û sin (t + /2 ) Spannung eilt Strom um 90° voraus. û=Lî Überführung des Amplitudenausdrucks in Effektivwertgestalt. û =L î 2 2 U=LI Spulenstrom 38 I= U=U L XL (Struktur analog Ohmschen Gesetz) Induktiver Blindwiderstand XL (Reaktanz) XL = L = 2 L Induktiver Blindleitwert BL BL = 1 XL Folgerungen: An einer Spule (induktiver Widerstand) eilt die Spannung dem Strom um /2 (90°) voraus. - Für Wechselstrom steigt der Widerstandswert mit der Frequenz . Für Gleichstrom ( = 0 Hz ) hat die ideale Spule den Widerstandswert Null. - Beispiel: L = 0,06 H ; U1 = 230 V, = 50 Hz ; U2 = 230 V, = 400 Hz ; I1 = ?; I2 = ? XL1 = 1 L = 18,84 => I1 = U/XL1 = 12,208 A XL2 = 2 L = 150,72 => I2 = U/XL2 = 1,526 A Zusammenfassung: R XL = L XL XC = 1 L XC 5.6. Stromkreisbrechung in der Wechselstromlehre 2 Lösungswege Weg 1: Zeichnen eines nicht maßstäblichen Zeigerdiagramms zur Übersicht und reelle Berechnung der Größen. A A2 α A1 39 A= A1² + A2² tan = A2/A1 = arctan A2/A1 Weg2: Komplexe Berechnung der Größen. +jXL A jAL R A1 -jXC Innerhalb eines Berechnungsverfahrens betrachtet man alle Wechselstromglieder als komplexe Zahlen, setzt bisherige Gleichungen konsequent ein. Am Ende werden die Beträge der komplexen Ergebnisse und die Phasenlagen übernommen. Rechenregeln: A = A1 + jA2 A1 = Re A A2 = Im A Betrag: A = A1² + A2² tan = A2 = Im A A1 Re A Weiterhin gilt: -j = 1/j ; j j = j² = -1 ; also j = -1 5.7. Wechselstromverbraucher in Reihenschaltung Weg 1: Zeigerdiagramm zeichnen Vorgehensweise: 1. Zeiger für gemeinsame Größe zeichnen - Strom für Reihenschaltung - Spannung für Parallelschaltung 2. Andere Größen antragen UR I :I => R UC U XC Z UC 40 ges : Zeigerdiagramm Scheinwiderstand (Gesamtwiderstand) … Z Z = U/I (analog R = U/I) Aber auch: Z = R²+XC² XC = 1 = 1 -1 C 250s 6,810-6As/V XC = 468,1 Z = (270² + 468,1²) Z = 540,4 I=? I = U = 230 V = 0,4256 A Z 540,4 UR = ? UR = I R = 0,4256 A 270 = 114,9 V UC = ? UC = I XC = 0,4256 A 486,1 = 199,2 V = arctan UC = arctan 199,2 V = 60,02 ° UR 114,9 V arccos = R = 270 = 60 ° Z 540,4 Reihenschaltung von R, L und C ( Serienresonanzkreis ) Kapazitives Leuchtstofflampensystem ( aus Duoschaltung für Blindleistungskompensation ). U = 220 V; = 50 Hz; RL = 132,5 ; RV = 26,5 ; LV = 863 mH; C = 5,7 F Lösungsweg 1: Z = ?; I = ?; URL = ?; URV = ?; UC = ?; UL =? Phasenverschiebungswinkel zwischen UNetz und Strom I - Leistung der Lampe PL Beispiel: 41 Z = R² + (XL-XC)² XL = L = 2 50s-1 0,863 Vs/A = 271,1 XC = 1 = 1 = 558,4 -1 -6 C 250s 5,710 As/V Z = 159²²+(271,1-558,4)²² = 328,4 I = U = 220 V = 0,67 A Z 328,4 URL = I RL = 0,67 A 132,5 = 88,775 V URV = I RV = 0,67 A 26,5 = 17,775 V UR = URL + URV = 106,53 V UC = I XC = 0,67 A 558,4 = 374,12 V UL = I XL = 0,67 A 271,1 = 181,637 V UX = UC-UL = 192,49 V Zu beachten ist, daß der Einzelbetrag einer einzigen Teilspannung durchaus größer sein kann als die insgesamt angelegte Netzspannung. UL I UR UC - = arctan UX = arctan UC-UL UR URL+URV = arctan 374,128 V – 181,637 V 88,775 V + 17,755 V = arctan 192,491 V = arctan 1,807 106,530 V = 61° Leistung der Lampe PL PL = URL I = 88,775 V 0,67 A = 59,5 W 5.8. Wechselstromverbraucher in Parallelschaltungen R + C 42 I IC => y = I/U BC IC IR U U IC CT U R = 270 ; C = 6,8 F ges: Z = ?; I = ?; IR = ?; IC = ? y = CT² + BC² CT = 1 = 1 = 3,704 mS R 270 BC = 1 = 1 = 2,136 mS XC 486,1 XC = 1 = 1 -1 C 250s 6,810-6As/V XC = 486,1 y = 3,704² + 2,136² mS y = 4,276 mS Z=1 = 1 = 233,9 y 4,276 mS IR = U = 230 V = 0,8519 A R 270 IC = U = 230 V = 0,4913 A XC 468,1 I = U = 230 V = 0,9833 A Z 233,9 oder alternativ: I = IR² + IC² = 0,8519² + 0,4913² A = 0,9834 A = arctan IC = arctan 0,4913 A = 29,97° IR 0,8519 A 5.9. Wirk-, Blind-, Scheinleistung 5.9.1. Graphische Darstellung - Phasenverschiebung von Strom und Spannung führt zu einer anderen Form der Leistung. Analog den Blindwiderständen spricht man hier von Blindleistung Q bzw. q. Blindleistung – periodischer Auf- und Abbau von elektrischen oder magnetischen Feldern. Im Fall gemischter Leistung, z.B. ohmsch – induktiv, spricht man von der Scheinleistung S bzw. s. - Wirkleistung – Formelzeichen P Mittelwert der Leistung bei Blindwiderständen ( Kondensator bzw. Spule ) ist gleich Null. 43 - Leistungskurven pendeln rhythmisch und symmetrisch zwischen gleich großen positiven und negativen Maximalwerten hin und her. - Blindleistung wird ebenfalls vom Strom transportiert damit Verluste an ohmschen Widerständen PV = I² R - Blindleistung pendelt rhythmisch ( aber nicht verlustlos ) zwischen Quelle und Verbraucher hin und her. Scheinleistung => positiv w = s dt 5.9.2. Rechnerische Behandlung Leistungsbeziehungen Scheinleistung Wirkleistung Blindleistung S=UI P = U I cos Q = U I sin [ 1 VA ] [1W] [1 var ] 44 cos Bezeichnung Leistungsfaktor und Formelzeichen . = cos = P = Pauf = P1 S UI UI Nicht mit dem Wirkungsgrad verwechseln: = Pab = PN = P2 Pauf Pauf P1 P = Pauf = P1 Elektrisch aufgenommene Wirkleistung PN = Pab = P2 Abgegebene Wirkleistung, z.B. am Motorwellenende als Nennleistung (z.B. mechanisch ). Typenschildangaben - Angabe auf Typenschild eines Motors – Nennleistung (W) Angabe auf Typenschild Wechselstromgenerator und Transformator- Scheinleistung (VA) Dimensionierung von Wechselstromanlagen Wechselstromanlage muß auf Grund der Anteile von Q und S stärker dimensioniert werden. cos = P = P1 S UI I = P1 = PN/ Ucos Ucos IN = PN UNcosNN 45 Beispiel: DC – Anlage: 220V; 379A; 185mm²; PN = 75 KW; M = 0,9 Ges: I = ?; A = ? AC – Anlage: 220V; 440A; PN = 75KW; M = 0,9; cos = 0,86 Ges: I = ?; A = ? Lösung: 1. Leiterquerschnitt ( zweiadrig ) a) für Gleichspannung DC Da P und S hier identisch sind gibt es keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung = 0; cos = = 1,0. I= PN UNetzcosM IDC = 75000 V A = 379 A 220V1,00,9 ADC = 185mm² ( aus DIN VDE 298 Teil 2 ) b) für Wechselspannung AC IAC = 75000 V A = 440 A 220V0,860,9 AAC = 240 mm² ( aus DIN VDE 298 Teil 2 ) Vergleich: ADC = 185 mm² = 0,77 AAC 240 mm² 5.10. Blindleistungskompensation - - Induktive Betriebsmittel ( Motoren, Transformatoren, Drosseln ) und kapazitive Betriebsmittel belasten mit ihrem Blindstrom die Netze, ohne daß nach außen wirksame Energie umgesetzt wird. Notwendigkeit zur Verbesserung des Leistungsfaktors. Bestimmung der Kompensationskapazität QL = QC QC = U² = XC U² 1 2C Analog: P = U² R C= QC 2U² - Kompensationskapazität C läßt Blindleistung der R – L – Anlage aus dem Netzstrom verschwinden. Der Netzstrom INetz ist mit der Wirkstromkomponente des Stroms identisch geworden. - Vorteil: Netzstrom ist jetzt erheblich kleiner als ohne Kondensator ( => kleinerer Leitungsquerschnitt ) 46 Graphische Ermittlung der notwendigen Kompensationsleistung. P cos 1,0 coskomp. = 0,9 Skomp 0,3 = cosunkomp. P Sunkomp Q Qkomp QC Qunkomp Rechnerische Ermittlung der Kompensationsleistung Q aus der Scheinleistung S und Wirkleistung P S² = P² + Q² Q = S² - P² = (P/cos)² - P² In der Praxis werden soweit es geht alle Wechselstromanlagen Blindleistungskompensiert betrieben. ( Praxis: 0,85 < cos < 0,95 ) Nutzen: - vorhandenen Querschnitt besser ausnutzen bzw. Netzleitungen kleiner halten. Verringerung der Verluste Energieeinsparung Beispiel. Elektromotor soll Blindleistungskompensiert werden. Geg.: U = 220 V; = 50 Hz; cos = 0,86 ; = 0,9 ; PN = 75 KW Ges.: Bestelldaten für Kondensator, der den Leistungsfaktor = cos = 1,0; erreichen läßt. Lösung: C= QC 2U² Q = S² - P² P = P1 = PN = 75000 V A = 83,33 KV 0,9 S = P1 = 83,33 KV A = 96,90 KVA cos 0,86 47 Q = 96,90² - 83,33² K var = 49,454 K var C = 49,454 K var = 3250 F 250s-1220²V² Der Kondensator wird dem Motor parallelgeschaltet => muß Motorbetriebsspannung aushalten. Zeigerdiagramm: 10 KW; 10 K var; 10 KVA = 1cm S = 9,6cm QL = 4,9cm S = 8,3cm P = 8,3cm QC = QL = 4,9cm 5.11. Drosselspule - Spule mit Eisenkern Spule an Wechselspannung R<<XL => U UL u = uL = N d dt Magnetischer Fluß : = sin t u uL = N d( sin t) dt uL = N cos t = û cos t û=N Effektivwertverknüpfung mit Amplitude : û = U 2 = N mit = 2 Transformatorenhauptgleichung: U = 1 N 2 N 2 2 U = 4,44 N oder mit B = /A U = 4,44 N B A Die Transformatorenhauptgleichung verknüpft Elektrik ( U und ) mit Magnetismus ( bzw. B ) und Mechanik ( N und A ). N ... Spulenwindungszahl 48 A ... Spulenquerschnitt ... magnetischer Fluß B ... magnetische Felddichte ... Frequenz 6. Der Transformator 6.1. Aufbau und Wirkungsweise Übertragung elektrischer Energie aus elektrischen Systemen mit bestimmten Strom – Spannungswerten in elektrische Systeme mit meist anderen Strom – Spannungswerten bei gleicher Frequenz. Aufbau: Geblechter Eisenkern trägt mindestens zwei Spulen ( Primärspule und Sekundärspule ). Größe der Induktionsspannung: Uq2 = 4,44 N2 Selbstinduktionsspannung Uq1 in Primärwicklung: Uq1 = 4,44 N1 6.2. Übersetzung des Transformators Spannungsübersetzung: Uq1 = 4,44 N1 = N1 Uq2 4,44 N2 N2 Leerlauf : Uq1 = U1 = N1 Uq2 U2 N2 Uq1 ... Selbstinduktionsspannung Primärwicklung U1 ... Primärspannung Uq2 ... sekundäre Induktionsspannung U2 ... sekundäre Klemmspannung N1 = ü N2 ü ... Übersetzungsverhältnis Stromübersetzung Leistungsbilanz der Scheinleistung S1 = U1 I1 = S2 = U2 I2 U1 = I2 U2 I1 I1 = N2 = 1 49 I2 N1 ü Widerstandsübersetzung U1 = N1 U2 N2 (1) I1 = N2 I2 N1 (2) Division: Gleichung (1) Gleichung (2) Z1 = U1 I2 = N1 N1 = N1² = ü² Z2 U2 I1 N2 N2 N2² Beispiel: gegeben: S = 5 KVA; U1 = 500 V; U2 = 230 V; = 50 Hz; AFe = 56 cm²; B = 1,2 Vsm-2; S = 2,8 Amm-2 gesucht: N1; N2; A1; A2 Lösung: U2 = 4,44 N2 = B AFe N2 = U2 4,44 B AFe N2 = 230 V -1 4,44 50 s 1,2 Vs m-2 56 10-4 m² N2 = 154 N1 = U1 N2 = 500 V 154 = 355 U2 230 V S = U1 I1 I1 = S = 5000 V A = 10 A U1 500 V I1 = N2 I2 N1 I2 = N1 I1 = 355 10 A = 21,8 A N2 154 S = I/A A1 = I1 = 10 A = 3,57 mm² -2 S 2,8 Amm A2 = I2 = 21,8 A = 7,79 mm² S 2,8Amm-2 6.3. Betriebsverhalten Ersatzschaltung des realen Transformators 50 R1, R2 X1, X2 Xh N1, N2 ... ohmscher Widerstand der Primär- bzw. Sekundärwicklung ... Induzierter Blindwiderstände der Primär- bzw. Sekundärwicklung (magnetischer Streufluß ) ... Hauptreaktanz: Magnetisierungsstrom I ... Windungszahlen der Primär- bzw. Sekundärwicklung Übersetzungsverhältnis ü, idealen Trafo Umrechnung der Sekundärseite auf Primärseite ü = N1/N2; U2´= ü U2; I2´= 1/ü I2 R2´= ü² R2; X2 = ü² X2; Z2´= ü² Z2 Leerlaufversuch Primär: U1 = U1N ( Nennspannung ) I1 = I10 ( Leerlaufstrom ) 51 Sekundär: Z2 = I2 = 0 U2 = U20 = U2q Vereinfachte Ersatzschaltung R1 << RFe ; X1 << XH P10 = PFe ( Eisenverluste = Wirbelstromverluste + Hysteresenverluste ) Gegeben: Gesucht: U1M, P10, I10, U20 U, RFe, Xh, cos 0, IFe, I, PFe Lösung: ü = U1M ; PFe = ? RFe = U1²M U20 P10 P = U² Xh = U1M R Q10 cos 0 = P10 S10 S10 = U1M I10 Q10 = S²10 – P²10 IFe = I10 cos 0 I = I10 sin 0 PFe = P10 6.3.2. Kurzschluß Kurzschlußversuch: 52 - Trafo sekundärseitig Kurzschließen Primär angelegte Spannung so wählen, dass Transformatorstrom fließt Vereinfachte Ersatzschaltung R = R1 + R´2 << RFe X = X1 + X2 << XH z = R² + Z² ü = N1; U´2 = ü U2; I´2 = 1 I2 N2 ü R´2 = ü² R2; X´2 = ü² X2; Z´2 = ü² Z2 Gegeben: Gesucht: U1K; I1N; PNK uK ( relative Kurzschlussspannung ) R = ?; X = ?; ZK = ?; cos K = ?; UR = ?; UK = ?; PCu = ?; IKd = ? ( Dauerkurzschlussstrom ) relative Kurzschlussspannung: uK = U1K ( 100 % ) U1N R = P1U; X = Q1K; Q1K = S1K² - P1K² I1N² I1N² P = I² R S1K = U1K I1N ZK = U1K ; cos K = P1K I1N S1K R = ZK cos K UR = I1K R = U1K cos K X = ZK sin K UX = I1K X = U1K sin K PCu = P1K ( Kupferverluste ) IKd = U1N = U1N I1N = I1N ZK U1K UK Beispiel: Trafo 230V / 24V; 1° / 9 A muß bei kurzgeschlossener 24 V – Wicklung an 23 V gelegt werden, damit er 1 A aufnimmt. Gesucht ist die Kurzschlussspannung UK in V und in %. 53 Lösung: UK [V] = 23 V UK [%] = 23 V = 0,1 = 10 % 230 V 6.3.3. Belastung Primärkreis: U1 liegt an I1 > I0 Sekundärkreis: Za < I2 > 0 U2 U2q In Annäherung Trafo als Quelle: - Spannungsabfall hängt mit Kurzschlussspannung zusammen. - Beispiel: UK = 10% entspricht bei Belastung mit Nennstrom LN einem Spannungsabfall von 10%. Ersatzschaltung: ohmsche Last induktive Last kapazitive Last 54 U´= U20´- U´2 UR cos 2 + U sin 2 + UX sin 2 Wirkungsgrad: = P2 = Pab = P2 = S2 cos 2 P1 Pauf P2 + PV S2 cos 2 + PFe + PCu PV = PFe + PCu PFe ~ U² = const. P ~ I² Besondere Transformatoren Spartransformatoren - Spartrafo wesentlich kleiner als Zweiwicklungstrafo gleicher Leistung Einsparung von Kern- und Wicklungswerkstoff Es gilt auch: U1 = N1 U2 N2 Vorteile: - kleinere Verluste als chemische Spannungsteiler Ausgangsspannung weniger belastungsabhängig Nachteil: - Eingangswicklung leitend mit Ausgangswicklung verbunden, Lebensgefahr bei Schäden am Trafo!!!!!! Anwendung: - Anlasstransformator für Drehstrommotoren Regeltrafo in Hochspannungsnetzen 6.4.2. Messwandler Arten: Spannungs- und Stromwandler Aufgabe: Messung von größeren Spannungen und Strömen ohne Gefährdung ermöglichen. Funktionsprinzip: 55 Durchsteckwandler Zangenwandler 6.4.3. Trenntrafo ü=1:1 Trennung eines Netzes der öffentlichen Energieversorgung ( galvanische Trennung ), damit erd- und potentialfreie Verhältnisse auf der Ausgangsseite bestehen. Schutzmaßnahmen gegen Berührungsspannungen nach Erde. Weitere Einsatzgebiete spezieller Transformatoren - Regeltransformator Über Anzapfungen kann die Ausgangspannung verstellt oder geregelt werden. - Schweißtransformator Nennbetriebsfall ist der Kurzschluß - Verteilungstransformator Aus Hochspannungsnetz wird Leistung auf niedrigeres Spannungsniveau heruntertransformiert. 7. Dreiphasenwechselstrom 7.1. Entstehung 3 Spulen um 120° versetzt Verläufe der 3 einzelnen Spannungen auch um 120° versetzt. Drehstromgenerator mit den drei Wicklungen ( Spulensträngen ), des Scheinwiderstands Z und den Klemmbezeichnungen. Früher hießen die Anfänge U, V und W, die Enden X, Y und Z. Linien- und Zeigerdiagramme zu den drei Phasenspannungen aus Dreiphasen- oder Drehstrom. 56 7.2. Sternschaltung ( Y – Schaltung ) 1 Spannungen: U12 = U2 sin 60° 2 U12 = U2 3 2 2 U12 = U2 3 2 Spannungssysteme: 1. Sternschaltung ( auch: Strang- oder Phasenspannung ) UY = UL–N => U1, U2, U3 2. Dreieckspannung ( auch: Leiter- oder verkettete Spannung ) U = UL–L => U12, U23, U31 U = 3 UY = UL-L = 3 UL-N Beispiel: Spannungen bei Drehstrom U = UL-L in [V] UY = UL-N in [V] 230 400 690 133 230 400 57 Ströme: 7.3. Dreieckschaltung ( - Schaltung ) Merke: Bei Stromangaben auf Leistungsschildern sind die Netzströme angegeben. - Spannungen: Mittelpunkt ( N ) fehlt – nur ein Spannungssystem U12, U23 und U31 - Ströme: 2 Stromsysteme Netzströme: I1, I2, I3 Strangströme: I12, I23, I31 INetz = 3 IStrang 58 7.4. Leistungsberechnung im Dreiphasensystem Typisch für - Schaltung Typisch für Y – Schaltung U = U = 3 UY IY = IStrang I = INetz = IY Leistung je Strang: SZY = UY IY SZY = U INetz 3 Leistung gesamt: Sges = 3 SZ SgesY = 3 U INetz 3 SgesY = 3 U INetz U = U I = IStrang I = INetz = 3 I SZ = U I SZ = U INetz 3 Sges = 3 U INetz 3 Sges = 3 U INetz Leitungsarten Scheinleistung: Wirkleistung: Blindleistung: S = 3 UI P = 3 UI cos Q = 3 UI sin [S] = 1 VA [P] = 1 W [Q] = 1 var 7.5. Leistungsmessung L1 L2 L3 W - Symmetrisch belastetes Drehstromnetz Pges = 3PStrang W - Unsymmetrisch belastetes Drehstromnetz N L1 L2 L3 W mit N - Leitern W Pges = PStrang N 59 L1 W - Unsymmetrisch belastetes Drehstromnetz ohne N – Leiter ( Avon – Schaltung oder Zweiwattmetermethode Pges = P1 + P2 L2 W L3 W … Wattmeter 7.6. Netzstromvergleich zwischen Y – und - Schaltung Y – Schaltung IY = IStrangY = INetzY = UY/Z Mit U = 3 UY wird INetzY = U 3 Z - Schaltung INetz = 3 IStrang IStrang = U/Z Verhältnis: U INetzY = 3Z = 1 = 1 INetz 3U 33 3 Z INetzY = 1/3 INetz Beispiel: Ein DSM 400V/15A wird an 400 – V – Netz versehentlich in Y – Schaltung betrieben und mit seinem Nennmoment belastet. a) Strangstrom in - Schaltung ? b) Strangstrom in Y – Schaltung ? => IStrang = 8,67 A und IStrangY = 15 A unzulässig a) IStrang = INetz = 15 A = 8,67 A 3 3 b) IStrangY = INetz = 15 A Achtung: Bei Drehstrom in jedem Fall vorgesehene Schaltung anwenden – ansonsten kann Stromaufnahme unzulässig hoch werden. 60 7.7. Gleichstrom-, Wechselstrom-, Drehstromleistung Vergleich von Wechselstromleistung gegenüber Gleichstromleistung: DC – Leistung AC – Leistung S=UI U – groß; I – niedrig kleine Spannungsabfälle U = I RLeitg. kleine Leistungsverluste PV = I² RLeitg. Vorteil – Transformierbarkeit Nachteil – pulsierende Leistung Vergleich von Drehstromleistung gegenüber Wechselstromleistung Drehstromleistung zu jedem Augenblick konstant p = 1,5 p = const. Drehstromleistung: 7.8. Zulässige Schaltungen Beispiel: Leistungsschilder auf drei Heizungen 61 Fall A 220V / 380V / Y Fall B 380V Fall C 380V / 660V / Y Drei unterschiedliche Netze : 1.: 3 x 220 / 127 V , 50 Hz 2.: 3 x 380 / 220 V , 50 Hz 3.: 3 x 660 / 380 V , 50 Hz An welchem der drei Netze dürfen die Anlagen zulässig betrieben werden? Überlegung: An den Klemmen liegt immer die Dreiecksspannung an. Beispiel: ( Dimensionierungsproblem ) Eine Heizung entnimmt einem Drehstromnetz U = 400 / 230 V eine Wirkleistung P = 6 KW. 1. Wie groß sind die drei Widerstände, wenn sie in Sternschaltung angeschlossen werden ? 2. Wie groß sind die drei Widerstände, wenn sie in Dreiecksschaltung angeschlossen werden ? 3. Wie groß sind im Fall 1 bzw. 2 die Ströme durch die Widerstände ? Lösung: PStrang = 1/3 P 1. RY = U²Y = U²Y = 230²V² = 26,45 PStrang 1/3P 2000W 2. R = U² = U² = 400²V² = 80 PStrang 1/3P 2000W 3. (1) IY = UY = 230 V = 8,696 A = INetz = IY RY 26,45 (2) I = U = 400 V = 5A R 80 62 INetz = 3 I = 3 5A = 8,660 A Die Netzströme INetz sind bei gegebener Verbraucherleistung unabhängig von der Schaltungsart. Probe mit schaltungsunabhängiger Formel: P = 3 U = INetz INetz = P = 6000W = 8,660 A 3U 3 400V 7.9. Blindleistungskompensation bei Drehstromanlagen P, Q und S zu je einem Drittel in jedem der drei Wicklungsstränge. C= QC 2U² Beispiel : C/Y = 1 3 QC 2U²/Y Drehstromanlagen in - Schaltung PN = 7,5KW; nN = 1450 min-1; IN = 15 A; cos = 0,86; U = 400/230 V; = 50 Hz 1. MN = ? PN = M = 2 nN MN MN = PN = 7500 60s 2nN 21450 MN = 49,39 Nm 2. S = ?; P = ?; Q = ? S = 3 U I S = 3 400 V 15 A S= 10,39 KVA P = S cos P = 10,39 KVA 0,86 P = 8,935 KW 63 Q = S sin Q = 10,39 KVA 0,51 Q = 5,302 Kvar 3. = Pab = PN Pzu P = 7500 KW = 0,8394 8935 KW 4. IStrang = 15 A = 8,67 A = 1 IN 3 3 IStrang = S = 10,39 KVA = 8,658 A 3U 3400V IStrang = IN = 15A = 8,660 A 3 3 5. C = ? CY = ? Q = 3 U² = 3 U² 2C XC C = Q = 5303 V A = 35,17 F 3U²2 3400²V²250s-1 UC = 2 U = 2 400V UC = 565,7 V Q = 3 U²Y XC = 3 U²Y 2CY CY = Q = 5303 V A = 106,4 F -1 3U²Y2 3230²V²250s UCY = 2 UY = 2 230 V UCY = 325,3 V Aus Lösung 5 : C = C = 35,17 F Über- bzw. Unterkompensation C = 35,17 F => Industrieliste: C1 = 33 F C2 = 47 F 64 Kleinere Kapazität als erforderlich bedeutet Unterkompensation! Unterkompensation Unkomp. Überkompensation Komp. – Kompensiert tan = GU = Q AU P C = QC = Qunkomp. – Qkomp. 2U² 2 U² C = P (tan unkomp. – tan komp.) 2 U² 7.10. Spannungsabfall bei Drehstrom Drehstromleitung ( sprunghafte Belastung ) I1 R X L1 ^^^^^ I2 R X I3 R ^^^^^ X ^^^^^ L2 L3 N l Außenleiter: I1; I2; I3 N – Leiter: stromlos R = l/A ... Wirkwiderstand X = l ... induzierter Blindwiderstand Ersatzschaltung eines Außenleiters: - mit Sternspannung U1N ( Anfang ) - mit Sternspannung U2N ( Ende ) - N – Leiter als Widerstandslos ( da stromlos ) 65 I R X ^^^^^ UX UR U1N U2N l Masche : UR + UX + U2N – U1N = 0 U1N = UR + UX + U2N Zeigerbild : U1N UX U2N UR I UVN Näherung für Spannungsabfall: UVN = UR cos 2 + UX sin 2 UVN = I R cos 2 + I X sin 2 Für UX << UR UVN = I R cos 2 = I l/A cos 2 Beispiel: Spannungsabfall beim Einschalten eines Drehstrommotors: P = 11 KW; IN = 22 A; IA = 146 A ( Anlaufstrom ); cos = 0,5 ( Anlaufleistungsfaktor ); A = 1,5 mm² ( Kabelquerschnitt ); l = 30 m; U = 380 V Ges: UVN = U UY = I l/A cos 2 Mit U = 3 UY U = 3 I l/A cos 2 U = ? U = 3 I l/( A) cos = 3 146 A 30 m 0,5 -2 56 S mm 1,5 mm² U = 45 V 7.11. Der Drehstromtrafo Schaltungen der Wicklungsstränge und Schaltgruppenbezeichnung - Oberspannungswicklung in Stern ( Y ) oder Dreieck ( ) geschalten. 66 - Unterspannungswicklung in Sternschaltung ( y ) oder Dreieckschaltung ( d ). Sternpunkt herausgeführt – Oberspannungsseite ( N ), Unterspannungsseite ( n ). Phasenverschiebungswinkel zwischen Oberspannung und Unterspannung wird durch Kennzahl ( z.B. 0,5,6,11 ) angegeben VDE 0532. Übersetzungsformel: U1 = N1 U2 N2 Nur gültig, wenn Oberspannungswicklung und Unterspannungswicklung in derselben Weise geschaltet sind. Beispiel: Trafo Dyn 5 20000/400V 4% hat auf der Unterspannungsseite 48 Windungen, die Oberspannungsseite hat Anzapfungen zum Verändern der Spannung um 4%. Ges: Windungszahl der Oberspannungsseite: a) ohne Einstellmöglichkeit 4% b) mit Einstellmöglichkeit 4% ^^^^^ 1U 2U ^^^^^ ^^^^^ 1V 2V ^^^^^ 1W 2W ^^^^^ ~ Lösung: D – Oberspannungsseite in Dreieck Y – Unterspannungsseite in Stern n – Sternpunktleiter unterspannungsseitig 5 – Phasenverschiebungswinkel 5 x 30° = 150° ( VDE 0532 ) U1 = N1 U2 3N2 a) N1 = U1 3 N2 = 20000 V 3 48 = 4157 U2 400 V b) 4157 0,04 = 166 N1 = 4157 166 , also 3991 für höhere Unterspannung 4323 für niedrige Unterspannung 67 8. Schutzmaßnahmen Gesamtheit der Maßnahmen zum Schutz von Menschen und Nutztieren gegen gefährliche elektrische Durchströmung. 8.1. Drehstromnetzformen TN – Netz - Niederspannungsnetz mit geerdetem Sternpunkt - Körper über Schutzleiter mit geerdetem Sternpunkt verbunden - T – terre, franz. Erde N – neutre, franz. Neutral TN – C – Netz ( klassische Nullung ) - PEN = kombinierter Schutz- und Neutralleiter TN – Netz, in dem Schutzleiter zugleich Funktion des Neutralleiters übernimmt. C – combine, franz. Kombiniert TN – S – Netz ( moderne Nullung ) - TN – Netz, in dem Schutzleiter nicht zugleich Funktion des Neutralleiters übernimmt. S – sépare, franz. Separat TN – C – S – Netz Kombination zwischen TN – C – und TN – S – Netz 68 TT – Netz Netz mit früher sogenannter Schutzerdung ( z.B. Landwirtschaft, Baustellenverteiler ). IT – Netz - Netz, in dem kein aktiver Leiter des Netzes unmittelbar geerdet ist, die Körper jedoch geerdet sind. ( z.B. Bergbau, Operationssäle, Ersatzstromversorgungen ) I – Insulation, engl. Isolierung 8.2. Berührungsschutz in Drehstromnetzen Direktes Berühren Jemand berührt ein unmittelbar unter Spannung stehendes Anlagenteil. Ersatzschaltung: I W ~ Rü1 Ri Rü2 R = Rü1 + Ri + Rü2 = 1000 Rü ... Übergangswiderstände Ri ... innerer Körperwiderstand Stromstärken bis 50 mA kann der menschliche Körper kurzzeitig ertragen: U = I R = 50 mA 1000 = 50 V Gefährlich: UAC > 50 V UDC > 120 V 69 Ungefährlich: UAC < 25 V UDC < 60 V Indirektes Berühren Jemand berührt das Gehäuse eines Gerätes, das normalerweise berührt werden darf, durch einen Fehler liegt am Gehäuse ( Metallteile ) jedoch lebensgefährliche Spannung an. Oben: Körperschluss. Der Person passiert jedoch nichts. Mitte: Das Gerät ist intakt, der Nulleiter ist jedoch unterbrochen: Lebensgefahr! Unten: genauso, zusätzliche Tragik, das berührte Gerät ist noch nicht einmal eingeschaltet. 70 IF IB UB UF RB RSt ... ... ... ... ... ... Fehlerstrom Berührungsstrom Berührungsspannung Fehlerspannung Betriebserdungswiderstand Standortwiderstand 8.3. Schutzmaßnahmen gegen direktes Berühren - Isolierung aktiver Teile Schutzabdeckung oder Umhüllung Schutzabsperrung Schutzkleinspannung: UAC < 50 V UDC < 120 V - Sicherheitskleinspannung: UAC < 25 V UDC < 60 V - Fehlerstromschutzeinrichtung; schaltet aus ehe Fehlerstrom IN bestimmten Wert ( IN:= 0,01 A; 0,03 A; 0,3 A; 0,5 A ) überschreitet. Prinzip des Summenstromwandlers: 1) 2) 1) ordnungsgemäße Anlage: Ihin = Irück Ihin = Irück => hin = rück = hin - rück = 0 => Uind = 0 => Fi löst nicht aus 2) Anlage Fehler Ihin + Irück => hin = rück 0 => Uind 0 => Fi – löst aus Magnetische Wirkungen haben sich im Eisenkern auf. - Direktes Berühren oder fehlerhafte Anlage Ihin > Izurück Magnetisches Wechselfeld im Eisenkern Spannungsinduktion => Auslösen 71 8.4. Maßnahmen bei indirektem Berühren 8.4.1. Netzformabhängige Schutzmaßnahmen im TN - Netz TN – Netz: 1. Körperschluss 2. Kurzschluß, weil Körper mit PEN – Leiter verbunden 3. Auslösen der Überstrom – Schutzeinrichtung (Sicherung), damit Trennung vom Netz. - Bedingung: Ausreichend kleine Impedanz der Fehlerschleife Zs Ia U0 Zs Ia U0 ... ... ... Schleifenimpedanz Abschaltstrom Nennspannung gegen Erde Beispiel: Geg: 16 A – Leitungsschutzschalter ( 80 A – Abschaltstrom ) im 230V – Netz. Ges: Schleifenimpedanz? Lösung: Zs Ia U0 Zs U0 = 230 V = 2,8 Ia 80 A Beispiel: TN – C – Netz ( „klassische“ Nullung ) Situation 1: Schluss nach 1/3 Höhe der Heizwendel Gehäuse wird von Peson berührt. Geg: UN = 220 V; = 50 Hz; PN = 2 KW; RP = 1K (Person) ; I = 16 A (Sicherung) Ges : RH = ?; UP = ?; IP = ?; I = ?; P = ? 72 Lösung: RH = UN² = 220²V² = 24 PN 2000VA UP = 0V IP = 0A => Person passiert nichts I = 220V = 27,5A 8 P = U I = 220 V 27,5 A = 6,05 KW Durchbrennender Heizwechsel, da 16 A Sicherung erst nach 1 h anspricht ( thermischer Überlastschutz ). Situation 2: Heizlüfter intakt, aber Bruch des Nulleiters. Geg: Werte wie Situation 1 Ges: UP = ?; IP = ?; I = ? UP = 220 V RP = 220 V 1000 = 215 V RP+RH 1024 IP = UP = 215 V = 214,8 mA => tödlich RP 1000 I = UP = 220 V = 214,8 mA RH+RP 1024 Situation 3: Unfall infolge Schutzmaßnahme - wieder Bruch des Leiters 73 - berührtes Gerät intakt und nicht in Betrieb aber anderes Gerät der gleichen Anlage in Betrieb 8.4.2. Netzformunabhängige Schutzmaßnahmen - Schutzisolierung Normale Isolierung ( Basisisolierung ) verstärkt, oder zusätzliche Isolierungen Schutzkleinspannung Schutztrennung Sichere galvanische Trennung des ungeerdeten Betriebsstromkreises vom Netz => Trenntransformator 8.5. Geräteschutzklassen Geräteschutzklassen nach DIN VDE 0720 1: 2: 3: - ideal aber teuer gut, isoliertes Gehäuse kann aber zerbrechen solange sicher, wie Schutzleiter nirgendwo eine Unterbrechung hat 74 9. Komponenten, Schaltpläne elektrischer Anlagen Überstrom – Schutzeinrichtungen Sicherungen: - Einmaliges Unterbrechen durch Abschmelzen eines definierten Leiterstücks Sicherungskennlinien – tS = f ( I ) t 60 40 4A S 1 tS I ... ... 0 5 10 Schmelzzeit Effektivstrom 20 50 I Schutzschalter ( Automaten ): Selbsttätig abschaltende Geräte Automaten: Arbeitsprinzipien: ( einzelne oder kombiniert ) - Bimetallbasis Thermischer Auslöser, gegen Überlast - Spulenbasis Elektromagnetischer Auslöser, gegen Kurzschluß Auslöse – Charakteristiken von Schutzschaltern für Leitungsschutz (links) und Geräteschutz (rechts) Schalter: Aufgaben: - Einschalten: einwandfreier widerstandsloser Stromweg. - Ausschalten: klare strom- und spannungslose Abtrennung einer Anlage. 75 Schalterarten: - Schließer: Kontaktbezeichnung ( 3,4 ) Unbetätigt: offen - Öffner: Kontaktbezeichnung ( 1,2 ) Unbetätigt: geschlossen - Wechsler Kontaktbezeichnung ( 5,6,8 ) Wirkungsweise von Schaltern: - mechanische Kontakte Elektronikausführung - Taster Befehls- und Steuergerät, handbetätigt Bindeglied zwischen Anlage und Personal - Relais: Elektromagnetisch betätigter Schalter - Zeitrelais: einstellbare Anzugs- und Abfallszeiten der Schalterkontakte einige ms ( 20ms ) bis viele Stunden ( 30 h ) 76 Leistungsschütze: Schütze: 2 Kontaktebenen - Hauptkontakte - Hilfskontakte - Energieseite schalten ( Ziffern 1 bis 6 ) ( u. U. vor- oder nachteile Kontaktgruppen ) – Steuerungsaufgaben Betätigungsspule Schaltpläne Komponenten Komponenten erhalten im Schaltsystem Kennbuchstaben und Nummern. Kennbuchstabe C F G H K L M P Q R S T V X Y Art des Betriebsmittels Kondensator Schutzeinrichtung Generatoren, Stromversorgungen Meldeeinrichtungen Schütze, Relais Induktivitäten Motoren Meßgeräte Starkstrom – Schaltgeräte Widerstände Steuerschalter Trafos Halbleiter Klemmen, Stecker Elektrische Bremsen, Kupplungen Arten von Schaltplänen: Übersichtsplan: Vereinfachte, meist einpolige Darstellung Wirtschaftsplan: Objekte und Leitungsverlauf, wie sie tatsächlich angeordnet sind ( Kfz – Industrie ) Stromlaufplan: Übersicht, kreuzungsfreie Darstellung 77 10. Einführung in die Leistungselektronik 10.1. Halbleiter 10.1.1. Leitungsmechanismen Spezifischer elektrischer Widerstand liegt zwischen dem der Leiter ( < 101 mm²/m ) und Nichtleiter ( > 1011 mm²/m ). Halbleitermaterialien in der Elektronik: - Silizium Germanium bei Raumtemperatur fast keine freien Elektronen geringe Eigenleitfähigkeit Vergrößerung der Leitfähigkeit 1. Energiezufuhr – größere Eigenleitfähigkeit 2. Dotierung ( gezielter Einbau ) von Fremdatomen in das Grundmaterial Leitungsmechanismus durch Dotierung Grundmaterial Dotierungsmaterial Ergebnis Silizium ( 4-wertig ) Silizium ( 4-wertig ) Arsen ( 5-wertig ) Indium ( 3-wertig ) n – Material p – Material - n (p) leitende Halbleiter sind Werkstoffe mit frei beweglichen negativen (positiven) Ladungsträgern – Elektronen ( Löcher ). Elektrisch neutral Spannung an n –Material – freie Elektronen zum positiven Pol. Spannung an p – Material – Löcher zum negativen pol. Grenzschicht zwischen p- und n- leitendem Material nennt man p- n- Übergang 78 10.1.2. Dioden ( Ventile ) 1. Diode in Durchlassrichtung; IF ( Index. Fließ-, fluß u.s.w. ). 2. Diode in Sperrichtung; IS ( Index: Sperr-, auch R = reverse ) USch DU IF US ... ... ... … Schleusenspannung Durchbruchsspannung Durchflussstrom Sperrstrom Gefährdung einer Diode: - Durchflussrichtung – zu starker Strom ( Joulsche Wärme ) - Sperrichtung – zu hohe Spannung 10.1.3. Transistor ( transient resistor ) Steuerbarer Widerstand, kontaktloser ( elektronischer Schalter ) Zwei Grundprinzipien: 1. Bipolarer- oder Injektions- Transistor Anschlüsse: C ... Kollektor B ... Basis E ... Emitter IC 30 ... 300 IB 1 , Verstärkung: 30 ... 300 79 2. Unipolar- oder Feldeffekt- Transistor Anschlüsse: D ... Drain G ... Gate S ... Source 10.1.4. Thyristoren Steuerbares Halbleiterbauelement – Vierschichtenfolge Anschlüsse: A ... Anode K ... Kathode G ... Gate Thyristor bei Wechselspannung - nur positive Halbwellen kann wirksam werden, negative wird gesperrt – wie Diode - aber: wählbarer Zündzeitpunkt für Strom IA innerhalb positiver Halbwelle. IA wird zu Null, wenn UAK kritischen Wert ( Haltespannung ) überschreitet. 80 Vergleichsobjekt Ohne Steuerstrom IG bzw. IB bleibt Mit Steuerstrom IG bzw. IB ist Nach dem Abschalten des Steuerstroms IG bzw. IB Bei Variation des Steuerstroms IG bzw. IB Bei Umkehr der Spannung zwischen A – K bzw. C – E Transistor IC = 0 Thyristor IA = 0 IC > 0 hört IC auf; IA > 0 bleibt IA voll erhalten. ändert sich IC gleichsinnig mit; fließt IC auch; reagiert IA nicht. fließt IA gar nicht. Anwendung: - Strom- und Spannungsverstellung ( Lampenhelligkeit, Drehzahl ) - Kontaktloser Schalter Triac Triac kann positive und negative Halbwellen eines Wechselstroms durchflossenen bzw. einen Zündzeitpunkt zum Fließen bringen. Stromrichter Aufgabe: Umformung eines elektrischen Netzes mit den Parametern f1; m1; U1 in ein anderes elektrisches Netz mit den Parametern f2; m2; U2 mittels leistungsfähiger Bauelemente. f1,2 m1,2 U1,2 ... ... ... Frequenz Phasenzahl Spannung Gleichrichter: Umformung von Wechselstrom in Gleichstromenergie. Wechselrichter: Umformung von Gleichstromenergie in Wechselstrom- / Drehstromenergie. 81 Wechselstromumrichter ( Frequenzumrichter ) Umformung von Wechselstrom einer bestimmten Phasenzahl und Frequenz in Wechselstrom einer anderen Phasenzahl und Frequenz. Beispiele: Ungesteuerte Einphasen – Brücken – Gleichrichter ( Gleichrichter ) Beispiel: Wechselrichter ( in Transformatortechnik für unterbrechungsfreie Stromversorgung ) Beispiel: Umrichter L1 L2 L3 Gleichrichter Zwischenkreis C Wechselrichter V1 V3 V2 V4 V5 V6 M Taktgeber V1 . . . . . . . . V6 11. Elektrische Antriebe 11.1. Grundstruktur 82 Aufbau: Netz Schutzeinrichtungen Stellglied Motor Getriebe Arbeitsmaschine Steuer- / Bedieneinrichtung 11.2. Leistungsbeziehung, Kennlinien und Arbeitspunkt Leistungsbeziehung: P = M = 2 n M P n M … … … Leistung Drehzahl Moment In den Arbeitskennlinien wird dargestellt, welches Drehmoment aufgebracht werden muß, damit sich die Maschine dreht. Stationäre Kennlinien von Arbeitsmaschinen 1 2 3 4 ... ... ... ... Kalander, Heißmangel, Generator ( incl. Wirbelstrombremse ) Hubwerke und andere schwerkraftüberwindende Anlagen, Zahnradpumpen Pumpen, Lüfter usw., Zentrifugen, Rührer Wickelmaschinen für Papier, Blech, usw., Schälmaschinen 1 2 ... ... ReihenschlußNebenschluß83 3 4 ... ... AsynchronSynchron – Charakteristik 11.3. Energiebetrachtungen Elektrische Maschine als Energieumwandler - elektrische Energie in mechanische Energie ( Motor ) mechanische Energie in elektrische Energie ( Generator ) 4 Betriebsquadranten: (2.) n Leistung: - PW + PW Energie: el. Masch. Arbeitsmaschine el. Masch. elektr. Maschine: Generator, Bremse Motor Drehrichtung rechts rechts (1.) Arbeitsmaschine M + PW el. Masch. Motor links Arbeitsmaschine - PW el. Masch. Arbeitsmaschine Generator, Bremse links (3.) (4.) Motorbetrieb ( 1. und 3. Quadranten ): M und haben gleiches Vorzeichen Generator- , Bremsbetrieb ( 2. und 4. Quadrant ): M und haben unterschiedliche Vorzeichen Ein – und Mehrquantenantriebe Einquantenantriebe: Kreissäge ( 1. Quadrant ) Zweiquantenantrieb: - Triebwagen elektrische Bremsung ( 1. und 2. Quadrant, da Drehrichtung beibehalten wird ) Kranhubwerk mit Bremsmoment beim Senken in Gegenrichtung ( 1. und 4. Quadrant ) Stationärer Betriebszustand – mechanisches Gleichgewicht Einstellen der Betriebsdrehzahl nB: Gleichgewicht für gleichförmige Bewegung ( = 0 ) 84 M M = ML n Arbeitsmaschine Last M ( n = nB; MM = ML ) nB Motor AP M n 12. Die Gleichstrommaschine 12.1. Aufbau und Wirkungsweise Wobei: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - Ständer / Joch Hauptpol mit Erzeugerwicklung Läufer / Anker mit Läufer- / Ankerwicklung Kommutator / Stromwendel Kohlebürste Kompensationswicklung Wendepole Klemmbrett Fuß Transportöse Wirkungsweise: ( motorisch ) 85 Kollektor, Kommutator, Stromwender Aufbau: einzelne leitfähige, Lamellen, die gegeneinander isoliert sind mit Leitern der Ankerwicklung elektrisch leitend verbunden Aufgabe: Umkehr der Stromrichtung in Ankerspule mittels Kohlebürsten Kohlebürsten Anordnung in neutraler Zone Neutrale Zone: - Zone, in der die Stromwendung stattfindet - Bürsten schließen Spule der Läuferwicklung, die sich gerade in neutraler Zone befindet kurzzeitig kurz - Stromwendung mit hohen Selbstinduktionsspannungen verbunden Wendepole: - Magnetfeld erzeugen, das Selbstinduktionsspannungen aufhebt - Elektrisch in Reihe mit Ankerwicklung - Wendepole in neutraler Zone Ankerrückwicklung: - Magnetfeld in Ankerwicklung – Ankerquerfeld - Ankerquerfeld steht trotz Rotation still - Größenänderung proportional zur Ankerstromstärke - Überlagerung mit Erregerfeld => Ankerrückwicklung - Verschiebung der neutralen Zone - Folge – Bürstenfeuer Kompensationswicklung: - Motoren mit starken Lastschwankungen - In Polschuhen der Hauptpole untergebracht - Elektrisch in Reihe mit Ankerwicklung - Aufheben des Ankerquerfeldes 12.2. Die Gleichstrom – Nebenschlussmaschine ( GNM ) - permanent erregter Gleichstrommotor - Nebenschlussschaltung ( Kennbuchstabe E ) 86 - Fremderregte Schaltung ( Kennbuchstabe F ) 12.2.1. Wirkungsweise GNM Generator - Wandlung von mechanischer in elektrische Energie - Spannungsinduktion nach Gleichung: Uqa = c1 ( n ) ( Erem + E ( IE )) Uqa = c1 n E ( allgemeine Gleichung ) Uqa = c E mit c = c1 /(2) c1 n E ... ... ... ... Maschinenkonstante Drehzahl magnetischer Fluß ( Erregerwicklung ) Winkelgeschwindigkeit ... ... ... Anzahl der Ankerteile Polpaarzahl Anzahl paralleler Ankerzweigpaare c1 = z p a z p a Motor Drehmoment M M = c2 E IA z2 E IA … … … Maschinenkonstante Erregerfluß Ankerstrom c2 = c1 = c 2 M = c E IA Ersatzschaltbild des Ankerkreises 87 Masche: UA = URq + Uqa UA = IA Rq + c1 n E IA = - c1 E n + UA Rq Rq Gleichungstyp; y = - mx + b Drehzahl n = f(M) oder = f(M) UA = URq + UqA = IA Rq + c1 n E URq UqA … ... (1) Spannung über Ankerwiderstand Rq innere Gegenspannung ( früher Gegen- ENK, ENK – elektromotorische Kraft ) IA = M (2) c2 E UA = M Rq + c1 n E c2 E n=- (2) in (1) Rq M+ UA c1 c2 E² c1 E mit c1 = c 2 und c2 = c n= - Rq M+ UA c 2 c E² c 2 E =- R q M + UA c² E² c E / 2 ( Typ: y = -mx +b ) = - + O O … ... belastungsabhängiger Drehzahlabfall Leerlaufdrehzahl bei M = 0 Ankerstrom I = f (M) M = c2 E IA = c E IA IA = M = M c2 E c E 88 I I =f (M) Hreib M Stillstandsmoment MSt = c ISt ISt = UN RA ISt MSt ... ... Stillstandstrom Stillstandsmoment Relatives Maximalmoment Unkompensierte Maschinen: Mmax = 1,5 MN Kompensierte Maschinen: Mmax = 2 MN 12.2.2. Drehzahlstellen und Kennlinienfelder Möglichkeiten aus Gleichung: =- - Rq M + U c2 ² c Ankerspannungssteuerung U Feldsteuerung ( IE) Widerstandssteuerung Rq + Rvor Spannungssteuerung Merkmale - Drehrichtung durch Umpolung der Ankerspannung Drehzahl leicht führbar von max bis min Wirtschaftliches Verfahren Gutes dynamisches Verhalten Großer Stellbereich S ( 100 .... 1000 ) S = Nenndrehzahl = 1 : Stelldrehzahl Stelldrehzahl Nenndrehzahl 89 Realisierung - Leonardsatz ( Maschinenumformer ) Steuerbarer Stromrichter Feldstreuung: nur Feldschwächung Merkmale: - Drehrichtungsumkehr durch Änderung der Erregerstromrichtung Feldschwächung – Erhöhung der Leerlauf und Betriebsdrehzahl Felderhöhung über Nennwert nicht sinnvoll ( magnetische Sättigung, keine Feldverstärkung ) Wirtschaftliches Verfahren Stellbereich: E = 0,6 .... 1,0 !! Achtung !! Gefahr bei Feldschwächung für => rem 1. Durchgehen der Maschine für M => 0 = R M + UA c²² c 0 = UA crem rem … remanenter Restfluss 2. Ankerstromerhöhung für M = konst. M = konst. = c I Realisierung - Widerstand im Erregerkreis Steuerbare Stromrichter Widerstandssteuerung Merkmale - Ankerwiderstand RA ruft belastungsabhängigen Drehzahlabfall hervor Durch RV kann Drehzahl bis Null herabgesetzt werden Prinzip des Widerstandsanlassers RV bewirkt beachtliche Strom – Wärme – Verluste 90 Widerstandssteuerung Beispiel: Gleichstrom – Nebenschlussmotor UA = UAN = 220 V Rq = 0,5 n0 = 1500 min-1 ( Leerlaufdrehzahl ) nN = 1410 min-1 Aufgabe: Einstellung unter Nennlast auf; 1. 1000 min-1 über Vorwiderstand Rvor 2. 800 min-1 über Ankerspannung Lösung: = -Rq M + UA ( allg. ) c²² c 1. 2. N = 0N - N N = UAN – ( - Rq M + UAN ) c c²² c N = Rq M c²² RV = Rq + Rvor M c² ² RV = nRV = Rq + Rvor N nN Rq Rvor = Rq ( nRV – 1 ) nN Rvor = 0,5 ( 1500 – 1000 – 1 ) 1500 – 1410 Rvor = 2,28 0N = UAN c 0UA = UA c 0N = n0N = UAN 0UA n0UA UA n0UA = nUA + nN n0UA = 800min-1 + 90min-1 = 890min-1 UA = UAN n0UA = 220 V 890min-1 n0N 1500min-1 UA = 130,5 V 91 12.2.3. Anlauf - Einschaltstrombegrenzung beim Zuschalten notwendig ( außer bei kleinsten Leistungen; bis ca. 1 kW ) Grund: stillstehender Motor induziert noch keine Gegenspannung ( EMK ) UqA Anlaufstrom IAA = UA/Rq - bis zum 20 – fachen des Nennstroms Begrenzung erforderlich Richtwert IAA = 1,5 * IN Anlauf mit Lastwiderstand Rvor - entspricht Drehzahlstellen mittels Widerstandsteuerung IAA = UA / ( Rq + Rvor ) Anlauf mit Spannungssteuerung UA entspricht Drehzahlstellen mittels Ankerspannungsteuerung. 12.2.4. Bremsen - Umkehr der Energierichtung GNM arbeitet als Generator Elektrische Leistung ins Netz ( Nutzbremsen ) oder Umsetzung in Wärme ( Widerstandsund Gegenstrombremsen ) Nutzbremsen - Heruntersteuern der Netzspannung Umkehr der Stromrichtung bei gleicher Spannungsrichtung Realisierung - Leonardsteuerung - Thyristorstellglied mit Umkehrstromrichter Widerstandsbremsen 1. Anker vom Netz trennen 2. Ankerstromkreis über einen Widerstand RV schließen 3. Erregerwicklung bleibt am Netz UA = URq + UqA UA = 0 UqA = - URq c E = - IA ( Rq + Rv ) IA = M / ( c E ) = - Rq + Rv M c² E² 92 Gegenstrombremsen 1. 2. 3. 4. Anker vom Netz trennen Umpolen Anker wieder ans Netz Drehzahlrichter schaltet bei 0 Maschine vom Netz Netzspannung und induzierte Spannung haben gleiche Richtung sehr hoher Strom Begrenzung durch Vorwiderstände 12.3. Gleichstrom – Reihenschluss – Maschine ( Kennbuchstabe D ) 12.3.1. Wirkungsweise =f(M) = U - RqA M cE (cE)² (1) Magnetisierungskennlinie linearisiert: E = c I (2) c … linearisierungskonstante M = c E I (3) E = c M / ( c E ) E E² = c/c M E = ((c M ) / c ) (4) = U - RA (4) in (1) (c c M ) c c (3) in (2) Gleichungstyp für U und RqA = konst. = U1 / M - U2 Diskussion M 0 Achtung Durchgehen der GRM – nie vollständig entlasten ( Riementrieb verboten ) I = f ( M ) qualitativ = c I I=M/(c) I = M / ( c c I ) I (1) (2) (1) in (2) I² M 93 12.3.2. Drehzahlsteuerung Prinzip: gleiche Methoden wie bei GNM 1. Spannungssteuerung 2. Widerstandssteuerung 3. Feldsteuerung Achtung: Feldstellwiderstand parallel zur Erregerwicklung, ansonsten Wirkung wie Widerstandssteuerung. 12.3.3. Anlauf und Bremsen Anlauf - Spannungssteuerung Widerstandssteuerung Bremsen - - Nutzbremsen Nicht zweckmäßig, weil für konst. Netzspannung kein = f ( M ) – Kennlinienfeld im 2. Quadranten existiert. Widerstandsbremsen möglich Gegenstrombremsen möglich 13. Die Asynchronmaschine 13.1. Aufbau 13.1.1. Ständer - Ständerblechpacket mit Nuten In Nuten Drehstromwicklung Drehstromwicklung ( prinzipiell ): 3 räumlich um 120° gegeneinander versetzte Spulen Spulenanfänge und – enden ans Klemmbrett geführt Schaltung in oder Y Beispiel: 2 – polige Wicklung in 6 Nuten m = 3 ( 3 Stränge ( Phasen )) z = 6 ( 6 Nuten ) p = 1 ( 1 Polpaar – 2 Pole ) 13.1.2. Das Drehfeld - Ständerwicklung führt zu 3 zeitlich um 120° gegeneinander phasenverschobenen Strömen 3 Ströme bewirken in den 3 Spulen 3 Wechselmagnetflüsse Magnetflüsse überlagern sich zu resultierenden Feldbruchfeld 94 Drehfeld - konstante Amplitude konstante Umlaufgeschwindigkeit im Ständer Periodendauer T – 1 Umlauf 360° t = 20 ms = 1/50 s = 1/3600 min nD = 3000 min-1 ( 2 – polige Wicklung ) Allgemein: nD = f/p nD f p ... ... ... Drehfelddrehzahl Netzfrequenz Polpaar Beispiel: f = 50 Hz p nD in min-1 1 3000 2 1500 3 1000 4 750 13.1.3. Läufer - Läufer besteht aus Blechpaket 2 Ausführungen 1. Kurzschlussläufer ( Käfigläufer ) - Stäbe in Nuten Stäbe an Stirnseite leitend miteinander verbunden ( Kurzschlussring ) Kein Anschluss nach außen 2. Schleifringläufer - trägt wie Ständer eine Drehstromwicklung Spulen werden in Sternschaltung verheftet 3 Leiterumschlüsse werden an 3 Schleifringe angeschlossen über Bürsten nach außen ans Klemmbrett geführt Schleifringe werden in Betrieb kurzgeschlossen 95
