R = ρ * l / A - HTWK Leipzig

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1.
Grundgrößen im elektrischen Stromkreis
1.1. Elektrische Ladung
Aufbau des Atoms:
Elektron
Proton
Kern
Neutron
Atomhülle
1.



Zustand der Atombausteine:
Elektron – negativ
Proton – positiv
Neutron – ungeladen
2. Zustand der Ionen:
Formelzeichen:
Q...für zeitlich konstante Ladungen
q...für zeitlich veränderliche Ladungen
Einheit der elektrischen Ladung Q heißt:
1 Coulomb = 1C = 1A + 1s
Kleinste Ladung ist die eines Atombausteins ( Elementarladung e = 0,1602* 10^-18 C )
Eigenschaften von Ladungen:
- Kraftwirkung
( gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an )
-
Bewegung von Ladungsträgern
Freie Elektronen ( Cu, Ag, Al )- Kristallgitterstruktur
1.2. Elektrische Spannung
a) Zustand zwischen getrennten elektrischen Ladungen:
- entweder unterschiedlichen Betrages
- oder unterschiedlicher Polarität
Q2
Q1
U12
++
+
++
+ +
+
U23
--
U13
Q3
-
Pfeilrichtung: von Plus (+) nach Minus (-) bzw.
von positiv zu weniger positiver Zone
1
b) als Ursache für das Zustandekommen eines elektrischen Stroms.
- eine elektrische Spannung kann nur zwischen zwei elektrischen Polen bestehen
- Geräte die die Ladungstrennung verursachen, nennt man Spannungserzeuger oder
Generatoren
Formelzeichen:
U...für zeitlich konstante Spannung
u... für zeitlich veränderliche Spannung
(z.B. Wechselspannung)
Definition: U = W
Q
u = dw
dq
Spannung = Arbeit
Ladung
W (bzw. w) ist die Energie, die zur Trennung der Ladung Q (bzw., q) erforderlich ist.
Spannungsarten ( Richtungssinn):
Gleichspannung DC:
u
t
Akku, Batterien
Wechselspannung AC:
u
t
Mischspannung:
Netze der Energieversorger
u
Netzteile nach Gleichrichter
Periodendauer und Frequenz:
f=1/T
Einheit der Frequenz: 1 Hertz = 1 Hz = 1s^-1
Beispiel: Europa – Frequenz der öffentlichen Netzversorgung:
F = 50 Hz => T = 20 ms
Nennspannung ( DIN IEC 38 )
- UN ist diejenige Spannung, nach der ein Betriebsmittel benannt ist und auf die bestimmte
Betriebseigenschaften bezogen werden.
- Überschreitung bedeutet Überlastungsgefahr durch Übererwärmung sowie
Isolationszerstörung.
- Nach DIN IEC 38 ( Mai 1987 ) werden die Nennspannungsbeträge von 220 / 380 V durch
230 / 400 V ersetzt.
2
Schaltung von Spannungsquellen
Symbol
Generator Batterie
Reihenschaltung
-
....
U1 U2
Parallelschaltung
U2
+
Un
W
U1
-
+
U = U1 + U2 + ... + Un
U = U1 = U2
Messen einer Spannung:
Spannungsmesser ( Voltmeter )
V
1.3. Elektrischer Strom
Elektrischer Strom ist Bewegung elektrischer Ladungsträger.
Ursache für solche Bewegung z.B.:
- Wirkung elektrischer Spannung auf elektrische Ladungen
- rein mechanischer Ladungstransport z.B. in Flüssigkeiten oder Gasen
Formelzeichen:
I für zeitlich konstanten Strom
i für zeitlich veränderlichen Strom
Einheit des elektrischen Stroms:
1 Ampere = 1A
Definition: I = Q
i = dq
t
dt
Die Stromstärke I (i) ist damit die Anzahl der Ladungsträger Q (q) die durch einen
bestimmten Querschnitt im Zeitintervall t (dt) fließen.
Definition Stromdichte S:
S=I
A
I [A] .... Strom im Leiter
A [mm²].... Leiterquerschnitt
Je größer die Stromdichte in einem Leiter ist, desto stärker wird der Leiter erwärmt.
Stromrichtung:
Ist entgegengesetzt der Bewegungsrichtung der Elektronen definiert.
3
Eigenschaften des elektrischen Stroms:
- Thermische Wirkung (z.B. Absicherung, elektrische Öfen )
Die bewegten freien Ladungsträger treten bei der Durchströmung des Materials mit
anderen Ladungen in Wechselwirkung ( Wärme – Joulsche Wärme ).
- Magnetische Wirkung ( z.B. Trafo, Motor, Generator )
Strom und Magnetfeld;
I
I Magnetischer Fluß
-
Chemische Wirkung ( z.B. Akku )
Physiologische Wirkung
50 mA bei 1s Einwirkdauer tödliche Wirkung
Nennstrom ( DIN 40 0003 ):
Der Nennstrom ist derjenige Strom, den eine elektrische Anlage im Dauerbetrieb
aushält.
1.4. Elektrische Leistung und Arbeit
Leistung:
Allgemein; p = dw
dt
mit u = dw => dw = u * dq (2)
dq
und i = dq => dq = i * dt (3)
dt
(3) => (2) => (1)
p=u*i
P=U*I
Einheit der Leistung:
Watt = 1W = 1V * 1A
Arbeit / Energie:
Einheit der Arbeit: 1 Joule = 1J = 1Ws = 1 Nm
W=p*t
W=u*i*t
W=U*I*t
Beispiel:
Eine Batterie kann bei einer Spannung von 1,5V während 100 Stunden einen Strom von 0,1A
abgeben. Die Batterie kostet 0,90 DM.
Was kostet 1 kWh elektrische Energie aus derartigen Batterien?
W = U * I * t = 1,5V * 0,1A * 100h = 15 Wh
Energiepreis pro Wattstunde: = 0,90 DM = 0,06 DM
15 kWh
Wh
4
Energiepreis pro Kilowattstunde: = 0,90 DM = 60 DM
0,015 kWh
kWh
Vergleich: 0,25 DM => 240 x teurer
kWh
1.5. Elektrischer Widerstand und Leitwert
Elektrischer Widerstand kann bedeuten:
- elektrisches Bauelement, symbolisiert mit Buchstabe R
- Verhältnis von Spannung U zu Strom R
Definition des elektrischen Widerstandes R:
- statischer elektrischer Widerstand: R = U
I
- dynamischer (differentieller) Widerstand: r = du
di
Einheit des elektrischen Widerstandes:
1 Ohm = 1Ω = 1V
1A
Reziprokwerte des elektrischen Widerstandes – elektrischen Leitwert G:
G = 1/R = 1/U
Einheit des elektrischen Leitwertes G:
1 Siemens = 1S = 1A / 1V
1.5.1. Dimensionierung des elektrischen Widerstandes
R=ρ*l/A
R ... elektrischer Widerstand [Ω]
ρ ... spezifischer Widerstand [Ω * mm²/m]
l ... Leiterlänge [m]
A ... Leiterquerschnitt [mm²]
γ = 1/ρ ... spezifische Leitwert [m/Ω * mm²]
1.5.2. Temperaturverhalten
Temperaturverhalten von Widerständen:
- ρ und γ werden bei einer Temperatur von 20°C ermittelt
- Maß für Temperaturunabhängigkeit ist der spezifische Temperaturkoeffizient α [1/K]
- Der Temperaturkoeffizient ( auch TK- Wert genannt DIN 5485 ) gibt die prozentuale
Änderung eines Widerstandes je Grad Temperaturänderung an.
- Der Widerstand von Kaltleitern nimmt bei Temperaturerhöhung zu (posit. TK).
- Der Widerstand von Heißleitern nimmt bei Temperaturerhöhung ab (neg. TK).
Widerstand Ro bei Temperatur νo ( Bezugswert: νo = 20°C ).
Widerstand ändert sich bei Δν um ΔR zu Wert Rν,
Rν = Ro + ΔR
ΔR = dR * Δν, also wird
dν
Rν = Ro + dR * Δν = Ro(1 + dR / Ro * Δν)
dν
dν
5
α = dR / Ro
dν
Rν = Ro ( 1 + αΔν )
==============
Beispiel:
Um wieviel % ändert sich ein Widerstand aus Kupferdraht bei einer Temperaturänderung
Δν = 20 K?
αcu = 0,00393 1/K
= α * Δν = 0,00393 1 * 20 K = 0,08 = 8 %
R
K
===
ΔR
1.5.3. Kennwerte und Ausführung elektrischer Widerstände
Werkstoff
ρo in Ω * mm²/m
TK αo in 1/K
Kupfer
Aluminium
CuNi44
(Konstantan)
0,01786
0,02857
0,49
+ 3,93 * 10^-3
+ 3,77 * 10^-3
- 0,04 * 10^-3
Ausführungsformen:
- Lineare Widerstände
Beispiel: Drahtwiderstand
I
-
Nichtlineare Widerstände
Beispiel: Heißleiter
I
-
Einstellbare Widerstände
Beispiel: Potentiometer
Schiebewiderstände
U
b
R1
c
R2
U
Rges = R1 + R2 = Rab
Rac = R2
Rbc = R1
a
1.6. Das Ohmsche Gesetz
Rab = Uab = const.
I
a
I
a
Uab x
c
b
l
b
Rac = Rab * (x/l)
R = ρ * l/A
6
Gültigkeitsbereich des Ohmschen Gesetzes:
- reihe Widerstandsbauelemente, Kabel, Spulen....
- glatter Gleichstrom
 lineare Elektrotechnik
R = 5Ω
Experiment:
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
I
U...
0...10 V
A
VV
Amperemeter
R=5 Ω
R = 10 Ω
R = 20 Ω
0
R
R = 10Ω
R = 20Ω
R
2
4
6
8
10 U/V
R = ∞ Stromkreisunterbrechung
R=U
I=U
I
R
Erkenntnisse:
- unterschiedliche Widerstandswerte bedeuten unterschiedliche Steigungen.
- gerade für R = ∞ ist die U- Achse ( Stromkreisunterbrechung )
- gerade für R = 0 ist die I- Achse ( Kurzschluß )
Verknüpfung mit der Leistung:
Mit R = U wird R = U * I = I² * R = U²
I
R
Beispiel:
Ein aus Widerstandsdraht gewickelten Widerstand R = 5Ω ist für eine Leistung von 20W
gebaut.
Welchen Wert darf der durch den Widerstand fließende Strom höchstens haben?
P = I² * P
I = √P/R = √ 20V * A = √ 4A² = 2A
=
5V/A
==
2. Grundlagen der elektrischen Meßtechnik
2.1. Elektrische Meßgeräte
Mit elektrischen Meßinstrumenten können gemessen werden:
- direkt sämtliche elektrische Größen ( Spannung, Strom, Widerstand, Frequenz,
Leistung,...)
- indirekt die meisten nicht elektrischen Größen ( Weg, Druck, Temperatur, Lichtstärke,...)
=> Umformung in elektrische Spannungen
Arbeitsprinzip: Spannungen lassen in Meßwerken Ströme fließen.
2.2. Technische Daten elektrischer Meßgeräte
Klassengenauigkeit:
Anzeigefehler bezogen auf den Endwert
- Feinmeßgeräte: 0,1; 0,2; 0,5
- Betriebsmeßgeräte: 1; 1,5; 2,5; 5
7
Beispiel: Voltmeter
Zeiger: 22 Skalenteile
Meßgenauigkeit 1%
Ges.: Meßwert
1% von 30V = 0,3V
U = 22V + 0,3V
21,7 < U < 22,3V
============
Innenwiderstand:
Jedes Meßinstrument hat einen Innenwiderstand Ri
- bei Amperemetern kleinstmöglich
- bei Voltmetern größtmöglich
Andernfalls wird die Anzeige verfälscht.
Meßbereichswahl: Meßbereich klein wählen
Richtwert:
Anzeige im letzten Drittel der Skala
Achtung:
Messung immer mit höchstem Meßbereich beginnen, dann Stufenweise
verkleinern!
Umrechnung für Instrumente mit nur einer Skala:
I=M
A S
I = M/S * A = a * A
I... gemessener Strom
S...Skalenwert
A... Anzeige (Skt.)
a = M/S ... Meßbereichsfaktor
M ... Meßbereich
Beispiel:
Geg.: S = s0 Skt.
M = 6 mA
A = 26,7 Skt.
Lösg.: I = M * A = 6 mA * 26,7 Skt.
S
30 Skt.
I = 5,34 mA
========
8
2.3. Meßschaltungen
Strom:
Spannung:
Strom:
Gerät liegt im Stromweg
Spannung: Gerät liegt am Meßobjekt
Leistung: Gerät Liegt gleichzeitig im Stromweg und am Meßobjekt
Leistung:
-
Wattmeter
V und A- Meter: Meßstrom muß von Quellenplus kommend in die Geräte Plusklemme
Fließen.
W- Meter: Klemmen müssen in alphabetischer Reihenfolge durchflossen werden.
K- J: Strompfad
U- V: Spannungspfad
2.4 Das Oszilloskop
 Masse- und damit trägheitslos ist die Anzeige durch Elektronenstrahl auf dem
Leuchtschirm
Meßmöglichkeiten:
- direkt: Spannungen und Zeiten
- indirekt: Ströme, Frequenzen und Kennlinien, nichtelektronische physikalische Vorgänge,
wenn sie sich elektronisch abbilden lassen.
Meßergebnisse:
- vertikal Richtung: Spannung
- horizontal Richtung: Zeit, speziell die Periodendauer
9
Meßbereichsfaktoren:
- Spannung:
- Zeit bzw. Frequenz:
u = au * lu
t = at * lt
Beispiel:
1.) au = 20 V/cm
U=?
U = au* ln = 20 V/cm * 4 cm = 80 V
2.) at = ? ; für 50 Hz
at = t = 20 ms = 2 ms
lt 10 cm
cm
;t=T=1
f
3. Der Elektrische Stromkreis
Von einem geschlossenen Stromkreis spricht man, wenn eine Quelle mit irgendwelchen
Verbrauchern so zusammen geschaltet ist, daß ein elektrischer Strom fließen kann.
Für die Berechnung von Strom und Spannung erfolgt eine zweckmäßige Zusammenfassung
der Komponenten zu Ersatzkomponenten.
 Ersatzschaltbild:
a) Gleichspannungsgenerator, Batterie ;
b) Reihenschaltung von Widerständen Pq
idealer Spannungsquelle Uq
10
Systematik:
- links stehen nur Quellen
- rechts Verbraucher ( Ohmsche Widerstände, Kap., Ind. )
Vereinbarung:
-
Strom von (+) nach (-) – Vereinbarung !
( international einheitlich )
bei einer Quelle sind Spannungs- und Strompfeil gegensinnig
bei einem Verbraucher gleichsinnig
3.1.
Der Gleichstromkreis mit linearen Komponenten
3.1.1. Reihenschaltung
Reihenschaltung von R1 und R2
Ersatzwiderstand:
Rers = R1 + R2
Widerstände sind immer dann in Reihe geschaltet, wenn sie von dem selben Strom
durchflossen werden.
=> I = U = U
Rers R1 + R2
Teilspannungen und Spannungsabfälle:
U = I * (R1 + R2) = I * R1 + I * R2
Man kann dafür schreiben:
U = U1 + U2
Allgemein: 2. Kirschhoffsche Satz – Maschensatz
In einer Masche ist die Summe der Quellenspannungen ( Urspannungen ) gleich der Summe
der Spannungsabfälle.
n
m
∑ Uqν = ∑ Uμ
ν=1
μ=1
11
Spannungsteiler:
Wenn
U1 =
I * Rers und U1 = I * R1
U1 = R1
U2
R2
Dann
Mit
Wird
U = I * Rers und U1 = I * R1
U1 = R1
U Rers
Und damit
U1 = U *
R1
R1 + R2
U2 = I * R2
Wird entsprechend
U2 = U *
Für
R2
R 1 + R2
Zusammenfassung:
Legt man Spannung an eine Reihenschaltung von n Widerständen,
- so teilt sich die Spannung auf die n Widerstände in n Teilspannungen auf,
- dabei verhalten sich die Teilspannungen wie die Widerstände.
3.1.2. Parallelschaltung
Parallelschaltung:
- Widerstände ( Verbraucher ) sind immer dann zueinander parallel geschaltet, wenn sie an
derselben Spannung liegen.
- In einer Parallelschaltung ist die Spannung U an allen Komponenten gleich groß.
Untersuchung des Knotenpunktes bei Parallelschaltung von R1 und R2.
I = I1 + I2
Allgemein: 1. Kirschhoffsche Satz – Knotenpunktsatz:
In einem Stromverzweigungspunkt ( Knotenpunkt ) ist die Summe der zu fließenden
Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.
∑Ihin = ∑Iweg
Werden alle zum Knotenpunkt fließenden Ströme positiv und die abfließenden Ströme
negativ bewertet, gilt:
12
n
∑ Iν = 0
ν=1
Stromteilerregel bei Parallelschaltungen von R1 und R2.
I1 = U ; I2 = U ; I = U
R1
R2
Rers
I1 = U/R1 = R2
I2 U/R2 R1
Es verhalten sich zwei Ströme in zwei zueinander parallel liegenden Verbrauchern umgekehrt
wie deren Widerstände.
Weiterhin gilt: I1 = Rers bzw. I2 = Rers
I R1
I R2
Ersatzwiderstandsberechnung:
I = I1 + I2
/ :U
I = I1 + I2 = 1 + 1 = 1
U U U R1 R2 Rers
I = Gers = G1 + G2
U
Erkenntnis Verallgemeinert:
Bei einer Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtleitwert gleich der Summe der
Einzelleitwerte.
Gers = G1 + G2 +...+ Gn
Drückt man den Leitwert durch die entsprechenden Widerstände aus:
1 = 1 + 1 + ... + 1
Rers R1 R2
Rn
Beispiel:
Geg: R1 // R2
Ges: Rers = ?
1 = 1 + 1 + ... + 1
Rers R1 R2
Rn
1 =
R2 + R1
Rers R1 * R2
R1 * R2
1 = R2 + R1
Rers R1 * R2
13
Rers = R1 * R2
R1 + R2
3.1.3. Gemischte Schaltungen mit einer Spannungsquelle
-
Zerlegung in einzelne Reihen- bzw. Parallelschaltungen
Bildung neuer Ersatzwiderstände
Berechnung
Beispiel:
Geg:R1 = 390 Ω; R2 = 470 Ω; R3 = 220 Ω; Uq = 6 V
Ges: a); b); c)
Lösung:
a) Rers = R1 + ( R2 // R3 )
Rers = R1 + R2 * R3
R2 + R3
Rers = 390 Ω + 470 Ω * 220 Ω = 390 Ω + 103400 Ω
470 Ω + 220 Ω
690 Ω
Rers = 539,9 Ω
b) I1 = U = 6 V
= 11,11 mA
Rers 539,9 Ω
c) U1 = I1 * R1 = 11,11 mA * 390 Ω = 4,33 V
oder
U1 = R1
Uq Rers
; U1 = 6 V *
390 Ω = 4,33 V
539,9 Ω
U2 = Uq – U1 Maschensatz
U2 = 6V – 4,33V = 1,67V
Oder
U2 = (R2 * R3)/(R2 + R3) = 149,9 Ω => U2 = 1,67 V
U
Rers
539,9 Ω
U2 = R2 // R3 = 149,9 Ω => U2 = 1,67 V
U
R1
390 Ω
I2 = U2 = 1,67 V = 3,547 mA
R2 470 Ω
I3 = U2 = 7,577 mA
R3
14
3.1.4. Brückenschaltung
Betrachtung von zwei Spannungsteilern:
Für 1. Spannungsteiler gilt: R1 = U1
R2 U2
Für 2. Spannungsteiler gilt: R3 = U3
R4 U4
Verbinden der Spannungsteiler:
Die Spannung U1 und U3 sowie U2 und U4 sind gleich groß:
U1 = U3 ; U2 = U4
Man kann schreiben: R1 = U1 = U3 = R3
R2 U2 U4 R4
Ergebnis – Brückenschaltung:
Satz: Zwischen Punkten
gleichen Potenzials herrscht keine Spannung,
damit kann kein Strom fließen.
Abgleichbedingung: R1 = R3
R2 R4
Widerstandsmeßbrücke – Wheatstone – Brücke
Sind von einer abgeglichenen Widerstandsbrücke drei Widerstände bekannt, so kann der
vierte ermittelt werden.
Beispiel:
R1 = 34 Ω
R2 = 94 Ω
RN1 = 14 Ω
RN2 = 289 Ω
Ges: RX
Lösung:
RX = ( RN1 + RN2 ) * R2 / R1
RX = ( 1KΩ + 0,289 KΩ ) * 9 KΩ / 3 KΩ
RX = 3,867 KΩ
15
3.1.5. Schaltungen mit mehreren Spannungsquellen
Helmholtzscher – Überlagerungssatz
Wirken im einem linearen physikalischen System mehrere Ursachen, so ergibt sich die
Gesamtwirkung aus der Übertragung der Einzelwirkungen, die von den einzelnen
Teilursachen herrühren.
Nur bei linearen Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung anwendbar, z.B. durch die
Gleichung U = I * R, wenn R = const.
Vorgehensweise:
1.) Ersetzen aller Quellen außer einer ( z.B. Uq1 ) durch Kurzschlüsse, und berechnen des
Stromes ( Izq1 ) im Zweig z, der von dieser einen Quelle ( Uq1 ) herrührt.
2.) Mit allen anderen Quellen Uqν wird genau so verfahren.
Man erhält die Ströme Izq2, Izq3, ..., Izqν im gleichen Zweig z.
3.) Überlagerung aller Teilströme zum Gesamtstrom Iz, wobei die Vorzeichen zu beachten
sind.
Gegeben: Quelle 1 – Generator: Uq1 = 42 V ; Rq1 = 1Ω
Quelle 2 – Akku: Uq2 = 11 V ; Rq2 = 1/6 Ω
Lastwiderstand Rl: Rl = ½ Ω
Gesucht: Teilströme I1, I2, I3
Lösung:
1.) Uq1 = aktiv
Uq2 = 0 ( Kurzschluß )
Dazugehörige Ströme berechnen ( Index 1 )
I11 =
Uq
=
42 V
= 37 1/3 A
Rq1 + ( Rq2 // Rl )
1Ω + ( 1/6 Ω * ½ Ω )
( 1/6 Ω + ½ Ω )
I21 = I11 * Rl
Rq2 + Rl
I21 = 37 1/3 A *
½Ω
1/6 Ω + ½ Ω
I21 = 28 A
I31 = I11 *
Rq2
= 9 1/3 A
Rq2 * Rl
16
2.) Uq1 = 0 ( Kurzschluß )
Uq2 = aktiv
Dazugehörige Ströme berechnen ( Index 2 )
I22 =
Uq2
=
Uq2
Rq2 + ( Rq1 // Rl )
Rq2 + ( Rq1 * Rl )
( Rq1 + Rl )
I22 =
11 V
= 22 A
1/6 Ω + ( 1 Ω * ½ Ω )
(1 Ω + ½ Ω )
I12 = I22 *
Rl
Rq1 + Rl
= 22 A * ½ Ω
1Ω + ½ Ω
I12 = 7,33 A
I32 = I22 * Rq1 = 22 A * 1 Ω = 14 2/3 A
3.) I1 = 37 1/3 A – 7 1/3 A = 30 A
I2 = 28 A – 22 A = 6 A
I3 = 9 1/3 A + 14 2/3 A = 24 A
3.1.6. Der Grundstromkreis
Wobei:
- Quelle = aktiver Zweipol
- Last = passiver Zweipol
Maschengleichung:
Uq = URq + U
Uq ... Quellenspannung
URq ... Spannungsabfall Rq
U ... Klemmenspannung
U = Uq – URq; => U = Uq – I * Rq / Umformen
U = -Rq * I + Uq
U = I * Rl bzw. Rl * I
17
Typ:
y = -mx + b
y=c*x
U
Uq
aktiver Zweipol
½
passiver Zweipol
Arbeitspunkt ( Anpassung )
IK = Uq/Rq
½
I
Diskussion:
Betriebsfall
Leerlauf
Kurzschluß
Anpassung
Rl
∞
0Ω
Rq = Rl
U
Uq
0V
0,5 * Uq
Beispiel: Uq = 12 V
Rq = 1Ω
Rl = 10 Ω
ges: IK = ?
I
U
I
0A
IK = Uq/Rq
0,5 * IK
Lösung:
IK = Uq = 12 V = 12 A
Rq 1Ω
I=
Uq
= 12 V = 1,09 A
Rq + Rl 1Ω + 10 Ω
U = I * Rl = 1,09 A * 10Ω = 10,9 V
Oder
U = Uq *
Rl
= 10,9 V oder: U – Uq – I * Rq = 10,9 V
Rq + Rl
Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols:
U/V
12
10
8
6
4
2
Uq
1,09A 2
passiver Zweipol ( 10 Ω )
AP ( 10,9V ; 1,09A )
AP ( 6V ; 6A ) Anpassung Rl = Rq = 1Ω
aktiver Zweipol
4
6
8
10
12
14
IK = 12 A
18
I/A
P
0W
0W
0,25 * Uq * IK
4.
4.1.
-
Felder
Allgemeines
Felder kennzeichnen einen Raumzustand, im Feld ist Energie gespeichert
Felder haben eine Struktur
Beschreibung durch Linien und Richtungssinn
Feldlinien geben Kraftrichtung an
4.2.
4.2.1.
-
Das elektrische Feld
Grundgrößen
Feldzustand geht von elektrischer Ladung aus und endet wieder auf Ladungen
Repräsentant des elektrischen Feldes ist die elektrische Ladung Q
Polarität
- Plus – und Minus – Klemme oder auch Plus – und Minus – Pol ( entsprechende
Ladungszonen )
Elektrische Felddichte
- Vergleichsgröße als Maß für die Materialausnutzung
- Vektorrielle Größe ( nur Betrag interessiert )
D=Q
A
D ... Feld – oder Verschiebungsdichte
Q ... elektrische Ladung
A ... Fläche quer zum Feld
Feldstärke
Vektorrielle Größe ( nur Betrag interessiert )
E=U
l
E ... Feldstärke
U ... Spannung
l .... Abstand zwischen den Polen
Einheit: 1 V * m-1
Elektrische Feldkonstante ( Materialkonstante ( Material: Dielektrikum ))
 = o  r
o = 8,859 10-12 As/Vm
19
o … absolute elektrische Feldkonstante
r … relative elektrische Feldkonstante
Material
Wert für r
Vakuum
Luft
Wasser
Glimmer
Papier
Bariumtitanat
1,0
1,0006
80
5 ... 10
1,8 ... 2,6
1000 ... 2000
Materialgleichung
Feldkonstante  verknüpft die elektrische Feldstärke E mit der Felddichte D
D=E
Kapazität
Verhältnis von elektrischer Ladung zur elektrischen Spannung wird als Kapazität bezeichnet.
C=Q
U
;
C = dq
du
Die gespeicherte Ladungsmenge ist : Q = C  U
- Kapazität ist demnach ein Maß für das Speichervermögen elektrischer Ladung
- Technisches Bauelement – Kondensator
- Speichervermögen ist vom geometrischen Abmessungen und der Materialbeschaffenheit
abhängig
Beispiel: Plattenkondensator
C = o  r  A
l
Einheit der Kapazität
1 Farad = 1F = 1C  V-1 = 1 As/V
Ladestrom
Definition für den elektrischen Strom allgemein:
i = dq
du
durch Substitution von dq erhält man aus:
C = dq
du
=> C  du = i  dt => i = C  du
dt
20
Merke :
- liegt eine veränderliche Spannung du/dt an einem Kondensator, so fließt ein Ladestrom.
- Ist die Spannungsänderung du/dt = 0, so kann kein Strom fließen.
- Für Gleichstrom wirkt ein Kondensator wie ein unendlich großer Widerstand bzw. wie
eine Stromkreisunterbrechung.
Beispiel: A= 0,1 m²
l = 0,01 mm
r = 2,5 ( ÖL )
Lösung: C = o  r  A/l
C = 8,859  10-12 As/Vm  2,5  10-1 m²
10-5 m
-6
C = 0,22  10 As/V = 0,22 F
i = ? bei: du/dt = 100 V/s
i = C  du/dt = 0,22  10-6 As/V  100V/s
i = 0,022 mA
U
100
t
1s
i/mA
0,022
t
4.2.2.
Der Kondensator
Elektrotechnisches Bauelement, dass eine bestimmte erwünschte Kapazität hat.
Aufbau:
Kondensator besteht aus zwei Platten oder sonstigen leitfähigen Schichten, die durch ein
Isoliermittel voneinander getrennt sind.
Technische Ausführungsformen
- Plattenkondensator, Drehkondensator ( Luft als Dielektrikum )
- Keramikkondensator
- Wickelkondensator ( Al – Folie und Isolierpapier )
- Elektrolytkondensator ( Al und Elektrolyt, nicht für Wechselspannung geeignet, Polung
beachten )
4.2.3.
Schaltung von Kondensatoren
Reihenschaltung:
21
U = U1 + U2 + ... + Un
C=Q
U
Q = Q1 + Q2 + … + Qn
Cers C1 C2
Cn
Analog zum Strom I bei Reihenschaltung ohmscher Widerstand ist Q = Q1 = Q2 = ... = Qn.
1
Cers
= 1 + 1 + ... + 1
C1 C2
Cn
Parallelschaltung:
Q = Q1 + Q2 + .. + Qn
Cers  U = C1  U + C2  U + … + Cn  U
Cers = C1 + C2 + … + Cn
4.2.4.
Energie im elektrischen Feld
Aufgeladener Kondensator speichert Energie, die bei Entladung wieder entnommen wird.
uC = dwC
dq
i = dq
dt
uC ... Spannung am Kondensator
i ... Strom
wC ... Gespeicherte Energie
q ... Ladung
dwC = uC  dq = uC  i  dt
wC =  uC  i  dt mit i = C duC
dt
wC = C  uC  duC  dt
dt
wC = ½ C  U² oder mit C = Q
U
wC = ½ Q  U oder mit U = Q
C
wC = Q²
2C
22
4.2.5. Schaltvorgang am Kondensator
t = 0 ; S schließt
Masche :
U = MR + MC (1)
MR = i  R
(2)
i = C  duC
dt
(3)=>(2)=>(1)
U = R  C  du + MC
dt
Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung
Lösung : uC = U + ke –1/RC  t
Einschalten: t = 0 => U = U0; uC = 0
Damit wird
uC = 0 => U0= + ke-0/RC => U = -U0
uC = U= ( 1 – e –t/RC )
i = C duC = U0  e –t/RC
dt
R
t = 0; UC = 0; i = U0
R
t = : UC = U0; i = 0
RC=
 … Zeitkonstante
U
UC
U0
i
R
U0
0,63U0
1
2
3
4
5
(t-t0)/
23
Entladen:
t = 0 ; Schalter S wird geöffnet
t = 0 => U = 0; UC = U0
Damit wird
UC = U0 = 0 + ke-0/RC => k = U0
UC = U0  e-t/RC
i = C  duC = - U0  e-t/RC
dt
R
t = 0: UC = U0; i = - U0
R
t = : UC = 0; i = 0
Produkt : R  C =  - Zeitkonstante
Maßeinheitenprobe: V  As = s
A V
U
UC
U0
0,37U0
i
t0
1
2
3
4
5
t-t0

-U0
R
Erkenntnisse:
- Im Einschaltaugenblick verhält sich ein entladener Kondensator wie ein Kurzschluß
- Gefahr des Schalterkontaktverschleißens !
- Schäden am Messinstrument !
- Eventuell Einschaltstrom durch Vorwiderstand begrenzen
Beispiel:
Ges:
wC = ?
wC = ½ C  U² = ½  10  10-6 As/V  24²  V²
wC = 2,88 mWs
auf = ?
auf = ( Ri + R1 )  C
= 2005 V  10-5 As
A
V
auf = 20,05 ms
ab = ?
ab = R2  C = 5ms
24
4.3. Das magnetische Feld
4.3.1. Grundgrößen des magnetischen Feldes
-
Magnetische Feldlinien sind in sich geschlossen ohne Anfang und Ende
Magnetfelder werden von Permanentmagneten oder von stromdurchflossenen Leitern
aufgebaut
N
S
Magnetischer Fluß :
Anzahl aller Feldlinien eines magnetischen Feldes
Einheit: 1 Weber = 1Wb = 1Vs
Regel:
Umschließt man einen stromdurchflossenen Leiter so mit der rechten Hand, dass der
abgespreizte Daumen in Stromflussrichtung zeigt, dann zeigen die gekrümmten Finger
in Feldrichtung.
Spulenfluß:
 = N   N ... Windungszahl
Magnetische Polarität:
- Die Zone, aus der das magnetische Feld austritt heißt Nordpol, die andere Südpol
Magnetische Felddichte: ( magnetische Flussdichte )
Anzahl der magnetischen Feldlinien je Flächeninhalt auch als Induktion bezeichnet.
B=
A
 .. magnetischer Fluß
A ... Fläche quer zum Feld
Einheit der Felddichte: 1 Tielsa = 1T = 1V  s  m-2
Magnetische Durchflutung: ( magnetische Urspannung )
Summe aller Ströme, die ein magnetisches Feld antreiben.
n
 =  I
=1
Spule mit N Windungen:  = I  N
Magnetische Feldstärke:
Allgemein: H = d
ds
Für eine Spule gilt: HSP = /l = I  N / l
25
Einheit der magnetischen Feldstärke: 1 A  m-1
Magnetische Feldkonstante
Die magnetische Feldkonstante  ( auch Permeabilität genannt ) kennzeichnet die Eigenschaft
des Materials hinsichtlich der Ausbildung des magnetischen Feldes.
 = 0  r
0 = absolute magnetische Feldkonstante
0 = 1,256  10-6 Vs/Am
r = relative Feldkonstante ( materialabhängig )
Man unterscheidet:
- diamagnetische Stoffe 0 < r < 1 ; ( z.B. Cu )
- unmagnetische Stoffe
r = 1 ; ( z.B. Luft )
- paramagnetische Stoffe
r > 1 ; ( z.B. Al )
- ferromagnetische Stoffe r >> 1,
Stahl
r ~ 40
Dynamoblech r ~ 500
Speziallegierung r ~ 10000
Magnetische Felddichte B
Allgemein: B = d
dA
Materialgleichung: B =   H
Gilt jedoch nicht für ferromagnetische Materialien ( Fe, Co, Ni ), technisch bedeutsame
Materialien.
Magnetisierungskurve:
B
Brem Remanenz
Sättigung
Neukurve
Koerzitive
Feldstärke HC
H
Hysteresisschleife
Analogie: R = U ; Rm = 
I

26
Ohmsches Gesetz für Magnetismus:
 =  = I  N ( analog : I = U )
Rm Rm
R
Rm =
l
A
 … magnetischer Fluß: in Vs
 ... magnetische Urspannung oder Durchflutung: in A
Rm ... magnetischer Widerstand: in A / Vs
l ... mittlere Feldlinienlänge
4.3.2. Die Spule
-
Spule besteht aus mehreren oder weniger vielen Drahtwindungen
Ohmscher Widerstand im Gleichstromkreis maßgebliche Größe
Bei sich zeitlich veränderlichen Betriebssituationen kommt bei Spulen noch eine andere
Größe, die Induktivität, zum Tragen
Für das Magnetfeld in einer Spule gilt:
 = N   = N   = N  I  N = N²  0  r  A  I
Rm
Rm
l
L = N²  0  r  A ( gilt für schlanke Spulen )
l
=LI
L =  oder L = d
I
di
Die Induktivität L gibt Auskunft darüber, wie groß die Speicherfähigkeit einer
stromdurchflossenen Spule für elektromagnetische Energie ist.
Einheit: 1 Henry = 1 Vs = 1H
1A
-3
1 mH = 10 H
1 H = 10-6 H
4.3.3. Induktionsgesetz ( Michael Faraday 1831 )
Ändert sich die Anzahl der magnetischen Feldlinien, die eine Leiterschleife ( Spule )
durchsetzen, so entsteht eine elektrische Quellenspannung ( Urspannung ).
Die Spannungsrichtung hängt vom Vorzeichen der Flussänderung ab.
u = d = N  d
dt
dt
Lenzsches Gesetz:
Eine durch Induktion hervorgerufene Spannung treibt stets einen so gerichteten
Induktionsstrom an, dass dessen Magnetfeld der Entstehungsursache entgegenwirkt.
Es ist dabei gleichgültig, ob sich der Fluß zeitlich ändert ( Ruheinduktion ) oder ob eine
Längeänderung des elektrischen Leiters in einem stationären Elektromagnetfeld erfolgt
( Bewegungsinduktion ).
27
4.3.4. Gegeninduktion
Wird in einer Leiterschleife (Spule) N1 ein veränderlicher Magnetfluß erzeugt, der eine zweite
magnetisch gekoppelte Leiterschleife (Spule) N2 durchsetzt, so wird in dieser eine Spannung
induziert.
Koppelfluß U:
Er ist der beide Spulen durchsetzende Magnetfluß.
Streufluß :
Er ist der außerhalb der Spule vorhandene, aber von den Spulen erzeugte Magnetfluß.
4.3.5. Selbstinduktion
Fließt Strom einer Spule, baut er ein magnetisches Feld auf.
Ändert sich der Strom, ändert sich das magnetische Feld; Spannung wird in der Spule
induziert.
Man spricht von Selbstinduktion.
In den Windungen der Spule werden Spannungen induziert, die nach den Lenzschen Gesetz
der erzeugenden Ursache entgegenwirken.
u = N  d = N  d = N  di  N
dt Rm dt Rm dt
u = N²  di
Rm dt
Mit L = N²  0 r  A = N²
l Rm
u = L  di
dt
4.3.6. Induktionsvorgänge
Experiment:
Ergebnis:
Instrument zeigt Spannung
Grund:
u = (-) N  d
dt
Generatorprinzip:
In der Spule wird Wechselspannung nach folgender Gleichung induziert.
Uq = c  nD  D
c … Generatorkonstante
28
Experiment:
Spule mit Fe – Kern
u = „N“  d = d
dt
dt
Ergebnis:
Kern erwärmt sich.
Grund:
Durch Induktion entstehen Spannungen im Metall
Anwendung:
- Wirbelstrombremse
- Induktionsherd
Induktionsherd:
Vermeidung von Wrbelstromverlusten
- Wirbelströme bewirken größe Erwärmung ( Trafokerne, magnetische Kreise in Motoren
und Generatoren )
- In der technischen Praxis oft unerwünscht
- Können vermindert werden durch: Blechung und Isolation, durch Papierzwischenlagen,
Lackierungen, Oxidschichten; Verminderung der elektrischen Leitfähigkeit unter
Beibehaltung der magnetischen Eigenschaften.
4.3.7. Schaltung von Spulen
Vorraussetzung für weitere Betrachtungen:
Völlige räumliche Trennung der Felder von den betrachteten Spulen, andernfalls
gelten andere Beziehungen ( siehe Punkt Gegeninduktion )
Reihenschaltung:
L  di = L1  di + L2  di + … + Lv  di
dt
dt
dt
dt
Lers = L1 + L2 + ... + Lv
Parallelschaltung:
i = i1 + i2 + ... + iv
di = di1 + di2 + … + div
dt dt
dt
dt
29
u = u + u + ... + u
L L1 L2
Lv
/:u
1 = 1 + 1 + ... + 1
L L1 L2
Lv
4.3.8. Energie und Kräfte im magnetischen Feld
Für Energie im elektrischen Stromkreis gilt: dW = u  i
dt
Da u = L  di ; gilt dW = L  i  di
Dt
i2
W = Li  di und mit i1 = 0 und i2 = I
i1
W = L  I²
2
Analogie:
WC
= ½  C  U²
Wkin = ½  m  v²
Wkinrot = ½  J  ²
Kräfte zwischen magnetischen Polen mit Eisenkern
Sehr angenähert und für einen kleinen Luftspalt  gilt für Kraftwirkungen zwischen den
beiden magnetischen Polen die Gleichung.
F = A  B²
2  0
A … Eisenquerschnitt
B … Felddichte
0 … absolute magnetische Feldkonstante
Stromkräfte im Magnetfeld
Daumen
I
I
Mittelfinger
X
F
F
Zeigefinger
B
Feldschwächung B Feldverstärkung
Der stromdurchflossene Leiter erfährt im magnetischen Feld eine Kraftwirkung, da sich ein
Magnetfeld mit dem der Umgebung überlagert.
30
Wenn der Strom senkrecht zum Magnetfeld fließt, entsteht eine Kraft F, die senkrecht auf
Strom und Feld steht.
Kraft ist bestimmt durch:
F = B  I  l ( Lorenzkaft )
B … magnetische Felddichte
I ... Strom im Leiter
l ... Leiterlänge im magnetischen Feld
4.3.9. Schaltvorgang einer Induktivität
UR
1
O
O
R
+
O2
U = U0
-
i
L
uL
Masche: t0 ; S2 => 1
U = UR + UL (1)
uR = i  R
(2)
(3) => (2) uL = L  di
(3)
dt
=>(1) U = i  R + L  di
dt
vi
Pumpe
U
L
Turbine mit Trägheitsmoment J
v
Lösung: i = U + ke-(R/Lt)
R
Einsetzen der Anfangswerte:
a) Beim Einschalten ist für t = 0: U = U0 und i = 0
i = 0 = U0 + ke-(R/L0) => k = - U0
R
R
i = U0 ( 1 – e-(R/Lt) )
R
==============
uL = L  di = U0  e-(R/Lt)
dt
===================
31
t = 0: i = 0, uL = U0
t = : i = U0 ; ul = 0
R
Ein
U UL
i
iU0
R
U0
UL
Aus
to
1
2
3
4
5
t-t0

4
5
b) Beim Kurzschließen ist für t = 0
U = 0; i = U0
R
i = U0 = 0 + ke-(R/Lt) => k = U0
R R
R
-(R/Lt)
i = U0  e
R
===========
uL = L  di = - U0e-(R/Lt)
dt
=================
t = 0; i = U0 , uL = - U0
R
Aus
U
U0
R
i
U0
t0
1
2
3
t-t0

-U0
Zeitkonstante:  = L
R
Maßeinheitenprobe: Vs  A = s
AV
Beispiel: u(t) an ideale Spule ( R = 0 )
u
u
i
U0
U0
u = U0
t
u
i
U0
i
t
U = U0 t
T
T
t
32
u = U0 cos t
Allgemein gilt :
u = L  di
dt
i = 1/L u dt
Lösung:
1.
i = 1/L  u0 dt
i = U0/L t + I0 => I0 = 0
i = U0/L  t
2.
i = 1/L  U0/  t  dt
i = U0t² + I0 => I0 = 0
2L
i = U0t²
2L
3.
i = 1/L  U0 cos (t) dt
i = U0 sin t + I0 => I0 = 0
L
i = U0 sin t
L
5.
5.1.
Wechselstromlehre
Einleitung
Entstehung von Wechselspannung:
Wechselspannung kann z.B. durch Rotation einer Rechteckspule im homogenen Magnetfeld
erzeugt werden.
U ... Amplitudenwert T[s]
 ... Winkel
f = 1/T [Hz]
u = U sint
u ... Momentanwert
Benötigt ein Umlauf von 360° bzw. 2 die Zeit T, so ist die Umfangsgeschwindigkeit;
 = 2r / :r
T
2r ... Umfang eines Kreises mit Radius r
 = 2
r
T
33
Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit :
 = 2 = 2f
T
Einheit: 1/s = s-1
5.2.
Mittelwert und Effektivwert
Ein periodischer Strom heißt Wechselstrom, wenn der zeitliche ( arithmetische ) Mittelwert i
der Stromstärke gleich Null ist.
Arithmetischer Mittelwert:
t0+T
i = 1/T  i dt = 0
t0
Beispiel:
T
i = 1/T  i sin t dt für t0 = 0
0
Substitution  = t
2
i = 1/T  i sin  d
0
i … Amplitudenwert ( lies: i – Dach )
2
i = 1/T i (-cos  ) = 1/T i ((-cos 2)-(-cos o))
0
i=0
Effektivwert ( auch quadratischer Mittelwert )
Alle Angaben in der Energietechnik erfolgen in der Regel in Effektivwerten.
Unter Effektivwerten eines Wechselstromes oder einer Wechselspannung versteht man den
Wert, der die gleiche Leistung am gleichen Widerstand R erbringt, wie ein ebenso großer
Gleichstrom oder eine ebenso große Gleichspannung.
Wie ist nun diese Ersatzgröße zu bilden?
Gleichstrom
DC
dW = RI²dt
Integration im Bereich 0 < t < T
Wechselstrom
AC
dW = Ri²dt
T
W = RI²T
W =  Ri²dt
0
Gleichsetzen, beide Energien voraussetzungsgemäß gleich.
T
R  I²  T =  R  i²  dt
0 T
I = Ieff = (1/T  i²  dt)1/2
0
34
Effektivwert eines Sinusstromes
T
I = (1/T  ( i  sin t)² dt )½
0
I= i
2
 0,707 i
oder
i = 2  I = 1,414 I
Beispiel:
U = 230 V ; u = ? ; f = 50 Hz ; T = 20 ms
u = 2  239 V = 325 V
5.3. Darstellungsarten
1. Art: Liniendiagramm
2. Art: Mathematische Beschreibung
i = i  sin t
3. Art: Zeigerdiagramm
-
Liniendiagramme sind nicht einfach zu zeichnen und nicht einfach rechnerisch
auszuwerten.
Man kann ein Liniendiagramm mathematisch durch ein dazu äquivalentes
Zeigerdiagramm ersetzen.
Diese Zeiger denkt man sich um den Ursprung mit der Kreisfrequenz, entgegengesetzt
dem Uhrzeigersinn, drehend.
Bei mehreren Zeigern ist die Gegensinnige Lage der Zeiger zueinander von Bedeutung.
35
Phasenlage:
Von einem beliebigen Bezugszeiger wird ein dazu nacheilender Zeiger rechtssinnig
angetragen, ein dazu voreilender linkssinnig.
Vorteil des Zeigerdiagramms:
Zeigt sich im Rechnen mit Zeigern.
5.4. Rechnen mit Zeigern
Beispiel: 2 Spulen eines Generators in Reihe
5.5. Wechselstromverbraucher
Zählpfeile:
Bei Wechselstromanlagen wechselt im Gegensatz zu Gleichstromanlagen nach jeder halben
Periode der Richtungssinn aller Pfeile.
Vereinbarung:
Stets wird nur ein Bild gezeichnet, und zwar mit Pfeilen für positive Betriebsdaten.
Schreibweisen:
- mit Unterstreichung z.B. U, I => Anwendung
- mit Häkchen z.B. U<, I<
- Fettdruck z.B. U, I
36
Ab jetzt werden Wechselstromzeiger durch große Buchstaben dargestellt und nur noch als
Effektivwerte angegeben ( reine Maßstabsfrage )
Ohmscher Verbraucher ( Wirkwiderstand )
Gültigkeit des ohmschen Gesetzes bleibt bei Wechselstrom erhalten:
R = U = const.
I
Für Stromzeiger gilt : I = î sin t
Spannungsabfall: UR = î R sin t
UR = û R sin t
Wechselstromleitwert: G = 1 = I
R U
Die Wechselspannung u und der Wechselstrom i sind an einem Wirkwiderstand in Phase; d.h.
der Phasenwinkel ist  = 0 – es gibt keine Phasenverschiebung zwischen U und I.
Kapazitiver Widerstand
(kapazitiver Blindwiderstand, Reaktanz)
u = û  sin t
i = C  du = C  d  ( û  sin t )
dt
dt
i = C    û  cos t = î  cos t = î  sin (t + /2 )
Strom eilt Spannung um 90° voraus.
î = C    û 2
î =C û
2
2
I=CU
Kondensatorstrom
(Struktur analog Ohmschen Gesetz)
37
R=U ; I=U ; I=CU ; I=U =U
I
R
1 XC
C
Kapazitiver Blindwiderstand XC (Reaktanz)
XC = 1 = 1
C 2C
Kapazitiver Blindwiderstand BC
BC = 1
XC
Folgerungen:
- An einem Kondensator gilt der Strom der Spannung um /2 (90°) voraus.
- Mit größer werdender Frequenz  wird der kapazitive Blindwiderstand kleiner.
 Kondensator sperrt Gleichstrom (  = 0 Hz )
Beispiel: U = 230 V ; 50 Hz ; C = 7,5 F ; XC = ? ; I = ?
XC = 1 = 1 =
1
= 424,6 
C 2C 250s-17,510-6 As/V
I = U = 230 V = 0,542 A
XC 424,6 V/A
Induktiver Widerstand ( induktiver Blindwiderstand, Reaktanz )
i = î sin t
u = L  di = L  d(î  sin t )
dt
dt
u = L    î  cos t = û  cos t = û  sin (t + /2 )
Spannung eilt Strom um 90° voraus.
û=Lî
Überführung des Amplitudenausdrucks in Effektivwertgestalt.
û =L î
2
2
U=LI
Spulenstrom
38
I= U=U
L XL
(Struktur analog Ohmschen Gesetz)
Induktiver Blindwiderstand XL (Reaktanz)
XL =   L = 2  L
Induktiver Blindleitwert BL
BL = 1
XL
Folgerungen:
An einer Spule (induktiver Widerstand) eilt die Spannung dem Strom um /2 (90°)
voraus.
- Für Wechselstrom steigt der Widerstandswert mit der Frequenz .
 Für Gleichstrom ( = 0 Hz ) hat die ideale Spule den Widerstandswert Null.
-
Beispiel: L = 0,06 H ; U1 = 230 V,  = 50 Hz ; U2 = 230 V,  = 400 Hz ; I1 = ?; I2 = ?
XL1 = 1  L = 18,84  => I1 = U/XL1 = 12,208 A
XL2 = 2  L = 150,72  => I2 = U/XL2 = 1,526 A
Zusammenfassung:
R
XL = L
XL
XC = 1
L
XC

5.6. Stromkreisbrechung in der Wechselstromlehre
2 Lösungswege
Weg 1:
Zeichnen eines nicht maßstäblichen Zeigerdiagramms zur Übersicht und reelle Berechnung
der Größen.
A
A2
α
A1
39
A=  A1² + A2²
tan  = A2/A1
 = arctan A2/A1
Weg2:
Komplexe Berechnung der Größen.
+jXL
A
jAL
R
A1
-jXC
Innerhalb eines Berechnungsverfahrens betrachtet man alle Wechselstromglieder als
komplexe Zahlen, setzt bisherige Gleichungen konsequent ein.
Am Ende werden die Beträge der komplexen Ergebnisse und die Phasenlagen übernommen.
Rechenregeln:
A = A1 + jA2
A1 = Re A
A2 = Im A
Betrag: A = A1² + A2²
tan  = A2 = Im A
A1 Re A
Weiterhin gilt: -j = 1/j ; j  j = j² = -1 ; also j = -1
5.7. Wechselstromverbraucher in Reihenschaltung
Weg 1:
Zeigerdiagramm zeichnen
Vorgehensweise:
1. Zeiger für gemeinsame Größe zeichnen
- Strom für Reihenschaltung
- Spannung für Parallelschaltung
2. Andere Größen antragen

UR
I
 :I
=>
R

UC
U
XC
Z
UC
40
ges :
Zeigerdiagramm
Scheinwiderstand
(Gesamtwiderstand) … Z
Z = U/I (analog R = U/I)
Aber auch:
Z = R²+XC²
XC = 1 =
1
-1
C 250s 6,810-6As/V
XC = 468,1 
Z =  (270² + 468,1²)
Z = 540,4 
I=?
I = U = 230 V = 0,4256 A
Z 540,4
UR = ?
UR = I  R = 0,4256 A  270  = 114,9 V
UC = ?
UC = I  XC = 0,4256 A  486,1  = 199,2 V
 = arctan UC = arctan 199,2 V = 60,02 °
UR
114,9 V
arccos  = R = 270  = 60 °
Z 540,4 
Reihenschaltung von R, L und C ( Serienresonanzkreis )
Kapazitives Leuchtstofflampensystem ( aus Duoschaltung für Blindleistungskompensation ).
U = 220 V;  = 50 Hz; RL = 132,5 ; RV = 26,5 ; LV = 863 mH; C = 5,7 F
Lösungsweg 1:
Z = ?; I = ?; URL = ?; URV = ?; UC = ?; UL =?
Phasenverschiebungswinkel  zwischen UNetz und Strom I
- Leistung der Lampe PL
Beispiel:
41
Z =  R² + (XL-XC)²
XL =   L = 2  50s-1  0,863 Vs/A = 271,1 
XC = 1 =
1
= 558,4 
-1
-6
C 250s 5,710 As/V
Z =  159²²+(271,1-558,4)²² = 328,4 
I = U = 220 V = 0,67 A
Z 328,4 
URL = I  RL = 0,67 A  132,5  = 88,775 V
URV = I  RV = 0,67 A  26,5  = 17,775 V
UR = URL + URV = 106,53 V
UC = I  XC = 0,67 A  558,4  = 374,12 V
UL = I  XL = 0,67 A  271,1  = 181,637 V
UX = UC-UL = 192,49 V
Zu beachten ist, daß der Einzelbetrag einer einzigen Teilspannung durchaus größer sein kann
als die insgesamt angelegte Netzspannung.
UL
I UR

UC
-
 = arctan UX = arctan UC-UL
UR
URL+URV
 = arctan 374,128 V – 181,637 V
88,775 V + 17,755 V
 = arctan 192,491 V = arctan 1,807
106,530 V
 = 61°
Leistung der Lampe PL
PL = URL  I = 88,775 V  0,67 A = 59,5 W
5.8. Wechselstromverbraucher in Parallelschaltungen R + C
42
I
IC
=> y = I/U
BC
IC
 IR
U
U
IC
CT
U
R = 270  ; C = 6,8 F
ges: Z = ?; I = ?; IR = ?; IC = ?
y =  CT² + BC²
CT = 1 = 1 = 3,704 mS
R 270
BC = 1 = 1
= 2,136 mS
XC 486,1
XC = 1 =
1
-1
C 250s 6,810-6As/V
XC = 486,1 
y =  3,704² + 2,136² mS
y = 4,276 mS
Z=1 = 1
= 233,9 
y 4,276 mS
IR = U = 230 V = 0,8519 A
R
270 
IC = U = 230 V = 0,4913 A
XC 468,1 
I = U = 230 V = 0,9833 A
Z 233,9 
oder alternativ:
I =  IR² + IC² =  0,8519² + 0,4913² A = 0,9834 A
 = arctan IC = arctan 0,4913 A = 29,97°
IR
0,8519 A
5.9. Wirk-, Blind-, Scheinleistung
5.9.1. Graphische Darstellung
-
Phasenverschiebung von Strom und Spannung führt zu einer anderen Form der Leistung.
Analog den Blindwiderständen spricht man hier von Blindleistung Q bzw. q.
Blindleistung – periodischer Auf- und Abbau von elektrischen oder magnetischen Feldern.
Im Fall gemischter Leistung, z.B. ohmsch – induktiv, spricht man von der Scheinleistung
S bzw. s.
-
Wirkleistung – Formelzeichen P
Mittelwert der Leistung bei Blindwiderständen ( Kondensator bzw. Spule ) ist gleich Null.
43
-
Leistungskurven pendeln rhythmisch und symmetrisch zwischen gleich großen positiven
und negativen Maximalwerten hin und her.
- Blindleistung wird ebenfalls vom Strom transportiert
 damit Verluste an ohmschen Widerständen
PV = I²  R
- Blindleistung pendelt rhythmisch ( aber nicht verlustlos ) zwischen Quelle und
Verbraucher hin und her.
Scheinleistung => positiv w =  s dt
5.9.2. Rechnerische Behandlung
Leistungsbeziehungen
Scheinleistung
Wirkleistung
Blindleistung
S=UI
P = U  I  cos 
Q = U  I  sin 
[ 1 VA ]
[1W]
[1 var ]
44
cos  Bezeichnung Leistungsfaktor und Formelzeichen .
 = cos  = P = Pauf = P1
S UI UI
Nicht mit dem Wirkungsgrad  verwechseln:
 = Pab = PN = P2
Pauf Pauf P1
P = Pauf = P1
Elektrisch aufgenommene Wirkleistung
PN = Pab = P2
Abgegebene Wirkleistung, z.B. am Motorwellenende als Nennleistung (z.B. mechanisch ).
Typenschildangaben
-
Angabe auf Typenschild eines Motors – Nennleistung (W)
Angabe auf Typenschild Wechselstromgenerator und Transformator- Scheinleistung (VA)
Dimensionierung von Wechselstromanlagen
Wechselstromanlage muß auf Grund der Anteile von Q und S stärker dimensioniert werden.
cos  = P = P1
S UI
I = P1
= PN/
Ucos Ucos
IN =
PN
UNcosNN
45
Beispiel:
DC – Anlage: 220V; 379A; 185mm²; PN = 75 KW; M = 0,9
Ges: I = ?; A = ?
AC – Anlage: 220V; 440A; PN = 75KW; M = 0,9; cos = 0,86
Ges: I = ?; A = ?
Lösung:
1. Leiterquerschnitt ( zweiadrig )
a) für Gleichspannung DC
Da P und S hier identisch sind gibt es keine Phasenverschiebung zwischen
Strom und Spannung  = 0; cos =  = 1,0.
I=
PN
UNetzcosM
IDC = 75000 V  A = 379 A
220V1,00,9
ADC = 185mm² ( aus DIN VDE 298 Teil 2 )
b) für Wechselspannung AC
IAC = 75000 V  A = 440 A
220V0,860,9
AAC = 240 mm² ( aus DIN VDE 298 Teil 2 )
Vergleich: ADC = 185 mm² = 0,77
AAC 240 mm²
5.10. Blindleistungskompensation
-
-
Induktive Betriebsmittel ( Motoren, Transformatoren, Drosseln ) und kapazitive
Betriebsmittel belasten mit ihrem Blindstrom die Netze, ohne daß nach außen wirksame
Energie umgesetzt wird.
Notwendigkeit zur Verbesserung des Leistungsfaktors.
Bestimmung der Kompensationskapazität
QL = QC
QC = U² =
XC
U²
1
2C
Analog: P = U²
R
C=
QC
2U²
-
Kompensationskapazität C läßt Blindleistung der R – L – Anlage aus dem Netzstrom
verschwinden.
Der Netzstrom INetz ist mit der Wirkstromkomponente des Stroms identisch geworden.
-
Vorteil:
Netzstrom ist jetzt erheblich kleiner als ohne Kondensator ( => kleinerer Leitungsquerschnitt )
46
Graphische Ermittlung der notwendigen Kompensationsleistung.
P
cos
1,0
coskomp. = 0,9
Skomp
0,3 = cosunkomp.
P
Sunkomp
Q
Qkomp
QC
Qunkomp
Rechnerische Ermittlung der Kompensationsleistung Q aus der Scheinleistung S und
Wirkleistung P
S² = P² + Q²
Q =  S² - P² =  (P/cos)² - P²
In der Praxis werden soweit es geht alle Wechselstromanlagen Blindleistungskompensiert
betrieben.
( Praxis: 0,85 < cos < 0,95 )
Nutzen:
-
vorhandenen Querschnitt besser ausnutzen bzw. Netzleitungen kleiner halten.
Verringerung der Verluste
Energieeinsparung
Beispiel.
Elektromotor soll Blindleistungskompensiert werden.
Geg.:
U = 220 V;  = 50 Hz; cos  = 0,86 ;  = 0,9 ; PN = 75 KW
Ges.:
Bestelldaten für Kondensator, der den Leistungsfaktor  = cos  = 1,0; erreichen läßt.
Lösung:
C=
QC
2U²
Q =  S² - P²
P = P1 = PN = 75000 V  A = 83,33 KV

0,9
S = P1 = 83,33 KV  A = 96,90 KVA
cos
0,86
47
Q =  96,90² - 83,33² K var = 49,454 K var
C = 49,454 K var = 3250 F
250s-1220²V²
Der Kondensator wird dem Motor parallelgeschaltet => muß Motorbetriebsspannung
aushalten.
Zeigerdiagramm:
10 KW; 10 K var; 10 KVA = 1cm
S = 9,6cm
QL = 4,9cm
S = 8,3cm
P = 8,3cm
QC = QL = 4,9cm
5.11. Drosselspule
-
Spule mit Eisenkern
Spule an Wechselspannung
R<<XL
=>
U  UL
u = uL = N d
dt
Magnetischer Fluß :  =   sin t
u  uL = N  d(  sin t)
dt
uL = N      cos t = û  cos t
û=N
Effektivwertverknüpfung mit Amplitude :
û = U  2 = N  
mit  = 2  
 Transformatorenhauptgleichung:
U = 1  N      2    N  
2
2
U = 4,44    N  
oder mit B = /A
U = 4,44    N  B  A
Die Transformatorenhauptgleichung verknüpft Elektrik ( U und  ) mit Magnetismus
(  bzw. B ) und Mechanik ( N und A ).
N ... Spulenwindungszahl
48
A ... Spulenquerschnitt
 ... magnetischer Fluß
B ... magnetische Felddichte
 ... Frequenz
6. Der Transformator
6.1. Aufbau und Wirkungsweise
Übertragung elektrischer Energie aus elektrischen Systemen mit bestimmten Strom –
Spannungswerten in elektrische Systeme mit meist anderen Strom – Spannungswerten bei
gleicher Frequenz.
Aufbau:
Geblechter Eisenkern trägt mindestens zwei Spulen ( Primärspule und Sekundärspule ).
Größe der Induktionsspannung:
Uq2 = 4,44    N2  
Selbstinduktionsspannung Uq1 in Primärwicklung:
Uq1 = 4,44    N1  
6.2.
Übersetzung des Transformators
Spannungsübersetzung:
Uq1 = 4,44    N1   = N1
Uq2 4,44    N2   N2
Leerlauf :
Uq1 = U1 = N1
Uq2 U2 N2
Uq1 ... Selbstinduktionsspannung Primärwicklung
U1 ... Primärspannung
Uq2 ... sekundäre Induktionsspannung
U2 ... sekundäre Klemmspannung
N1 = ü
N2
ü ... Übersetzungsverhältnis
Stromübersetzung
Leistungsbilanz der Scheinleistung
S1 = U1  I1 = S2 = U2  I2
U1 = I2
U2 I1
I1 = N2 = 1
49
I2 N1 ü
Widerstandsübersetzung
U1 = N1
U2 N2
(1)
I1 = N2
I2 N1
(2)
Division:
Gleichung (1)
Gleichung (2)
Z1 = U1  I2 = N1  N1 = N1² = ü²
Z2 U2  I1 N2  N2 N2²
Beispiel:
gegeben: S = 5 KVA; U1 = 500 V; U2 = 230 V;  = 50 Hz; AFe = 56 cm²; B = 1,2 Vsm-2;
S = 2,8 Amm-2
gesucht: N1; N2; A1; A2
Lösung:
U2 = 4,44    N2  
 = B  AFe
N2 =
U2
4,44  B  AFe
N2 =
230 V
-1
4,44  50 s  1,2 Vs  m-2  56  10-4 m²
N2 = 154
N1 = U1  N2 = 500 V  154 = 355
U2
230 V
S = U1  I1
I1 = S = 5000 V  A = 10 A
U1
500 V
I1 = N2
I2 N1
I2 = N1  I1 = 355  10 A = 21,8 A
N2
154
S = I/A
A1 = I1 = 10 A
= 3,57 mm²
-2
S 2,8 Amm
A2 = I2 = 21,8 A = 7,79 mm²
S 2,8Amm-2
6.3. Betriebsverhalten
Ersatzschaltung des realen Transformators
50
R1, R2
X1, X2
Xh
N1, N2
... ohmscher Widerstand der Primär- bzw. Sekundärwicklung
... Induzierter Blindwiderstände der Primär- bzw. Sekundärwicklung
(magnetischer Streufluß )
... Hauptreaktanz: Magnetisierungsstrom I
... Windungszahlen der Primär- bzw. Sekundärwicklung
Übersetzungsverhältnis ü, idealen Trafo
Umrechnung der Sekundärseite auf Primärseite
ü = N1/N2; U2´= ü  U2; I2´= 1/ü  I2
R2´= ü²  R2; X2 = ü²  X2; Z2´= ü²  Z2
Leerlaufversuch
Primär:
U1 = U1N
( Nennspannung )
I1 = I10 ( Leerlaufstrom )
51
Sekundär:
Z2 = 
I2 = 0
U2 = U20 = U2q
Vereinfachte Ersatzschaltung
R1 << RFe ; X1 << XH
P10 = PFe ( Eisenverluste = Wirbelstromverluste + Hysteresenverluste )
Gegeben:
Gesucht:
U1M, P10, I10, U20
U, RFe, Xh, cos 0, IFe, I, PFe
Lösung:
ü = U1M ; PFe = ? RFe = U1²M
U20
P10
P = U²
Xh = U1M
R
Q10
cos 0 = P10
S10
S10 = U1M  I10
Q10 =  S²10 – P²10
IFe = I10  cos 0
I = I10  sin 0
PFe = P10
6.3.2. Kurzschluß
Kurzschlußversuch:
52
-
Trafo sekundärseitig Kurzschließen
Primär angelegte Spannung so wählen, dass Transformatorstrom fließt
Vereinfachte Ersatzschaltung
R = R1 + R´2 << RFe
X = X1 + X2 << XH
z = R² + Z²
ü = N1; U´2 = ü  U2; I´2 = 1  I2
N2
ü
R´2 = ü²  R2; X´2 = ü²  X2; Z´2 = ü²  Z2
Gegeben:
Gesucht:
U1K; I1N; PNK
uK ( relative Kurzschlussspannung )
R = ?; X = ?; ZK = ?; cos K = ?; UR = ?; UK = ?; PCu = ?; IKd = ?
( Dauerkurzschlussstrom )
relative Kurzschlussspannung:
uK = U1K ( 100 % )
U1N
R = P1U; X = Q1K; Q1K =  S1K² - P1K²
I1N²
I1N²
P = I²  R
S1K = U1K  I1N
ZK = U1K ; cos K = P1K
I1N
S1K
R = ZK  cos K
UR = I1K  R = U1K  cos K
X = ZK  sin K
UX = I1K  X = U1K  sin K
PCu = P1K ( Kupferverluste )
IKd = U1N = U1N  I1N = I1N
ZK
U1K
UK
Beispiel:
Trafo 230V / 24V; 1° / 9 A muß bei kurzgeschlossener 24 V – Wicklung an 23 V gelegt
werden, damit er 1 A aufnimmt.
Gesucht ist die Kurzschlussspannung UK in V und in %.
53
Lösung:
UK [V] = 23 V
UK [%] = 23 V = 0,1 = 10 %
230 V
6.3.3.
Belastung
Primärkreis: U1 liegt an I1 > I0
Sekundärkreis:
Za < 
I2 > 0
U2  U2q
In Annäherung Trafo als Quelle:
- Spannungsabfall hängt mit Kurzschlussspannung zusammen.
- Beispiel: UK = 10% entspricht bei Belastung mit Nennstrom LN einem Spannungsabfall
von 10%.
Ersatzschaltung:
ohmsche Last
induktive Last
kapazitive Last
54
U´= U20´- U´2  UR  cos 2 + U  sin 2 + UX  sin 2
Wirkungsgrad:
 = P2 = Pab = P2 =
S2  cos 2
P1 Pauf P2 + PV S2  cos 2 + PFe + PCu
PV = PFe + PCu
PFe ~ U²  = const.
P ~ I²
Besondere Transformatoren
Spartransformatoren
-
Spartrafo wesentlich kleiner als Zweiwicklungstrafo gleicher Leistung
Einsparung von Kern- und Wicklungswerkstoff
Es gilt auch: U1 = N1
U2 N2
Vorteile:
-
kleinere Verluste als chemische Spannungsteiler
Ausgangsspannung weniger belastungsabhängig
Nachteil:
-
Eingangswicklung leitend mit Ausgangswicklung verbunden, Lebensgefahr bei Schäden
am Trafo!!!!!!
Anwendung:
-
Anlasstransformator für Drehstrommotoren
Regeltrafo in Hochspannungsnetzen
6.4.2. Messwandler
Arten: Spannungs- und Stromwandler
Aufgabe:
Messung von größeren Spannungen und Strömen ohne Gefährdung ermöglichen.
Funktionsprinzip:
55


Durchsteckwandler
Zangenwandler
6.4.3. Trenntrafo
ü=1:1
Trennung eines Netzes der öffentlichen Energieversorgung ( galvanische Trennung ), damit
erd- und potentialfreie Verhältnisse auf der Ausgangsseite bestehen.
Schutzmaßnahmen gegen Berührungsspannungen nach Erde.
Weitere Einsatzgebiete spezieller Transformatoren
- Regeltransformator
Über Anzapfungen kann die Ausgangspannung verstellt oder geregelt werden.
-
Schweißtransformator
Nennbetriebsfall ist der Kurzschluß
-
Verteilungstransformator
Aus Hochspannungsnetz wird Leistung auf niedrigeres Spannungsniveau
heruntertransformiert.
7. Dreiphasenwechselstrom
7.1. Entstehung
3 Spulen um 120° versetzt
 Verläufe der 3 einzelnen Spannungen auch um 120° versetzt.
Drehstromgenerator mit den drei Wicklungen ( Spulensträngen ), des Scheinwiderstands Z
und den Klemmbezeichnungen.
Früher hießen die Anfänge U, V und W, die Enden X, Y und Z.
Linien- und Zeigerdiagramme zu den drei Phasenspannungen aus Dreiphasen- oder
Drehstrom.
56
7.2. Sternschaltung ( Y – Schaltung )
1 Spannungen:
U12 = U2  sin 60°
2
U12 = U2  3
2
2
U12 = U2  3
2 Spannungssysteme:
1. Sternschaltung ( auch: Strang- oder Phasenspannung )
UY = UL–N => U1, U2, U3
2. Dreieckspannung ( auch: Leiter- oder verkettete Spannung )
U = UL–L => U12, U23, U31
U = 3  UY = UL-L = 3  UL-N
Beispiel:
Spannungen bei Drehstrom
U = UL-L in [V]
UY = UL-N in [V]
230
400
690
133
230
400
57
Ströme:
7.3. Dreieckschaltung (  - Schaltung )
Merke:
Bei Stromangaben auf Leistungsschildern sind die Netzströme angegeben.
-
Spannungen:
Mittelpunkt ( N ) fehlt – nur ein Spannungssystem U12, U23 und U31
-
Ströme:
2 Stromsysteme
Netzströme: I1, I2, I3
Strangströme: I12, I23, I31
INetz = 3  IStrang
58
7.4. Leistungsberechnung im Dreiphasensystem
Typisch für  - Schaltung
Typisch für Y – Schaltung
U = U = 3  UY
IY = IStrang
I = INetz = IY
Leistung je Strang:
SZY = UY  IY
SZY = U  INetz
3
Leistung gesamt:
Sges = 3  SZ
SgesY = 3  U  INetz
3
SgesY = 3  U  INetz
U = U
I = IStrang
I = INetz = 3  I
SZ = U  I
SZ = U  INetz
3
Sges = 3  U  INetz
3
Sges = 3  U  INetz
Leitungsarten
Scheinleistung:
Wirkleistung:
Blindleistung:
S = 3  UI
P = 3  UI  cos 
Q = 3  UI  sin 
[S] = 1 VA
[P] = 1 W
[Q] = 1 var
7.5. Leistungsmessung
L1
L2
L3
W
- Symmetrisch belastetes Drehstromnetz
Pges = 3PStrang
W
- Unsymmetrisch belastetes Drehstromnetz
N
L1
L2
L3
W
mit N - Leitern
W
Pges = PStrang
N
59
L1
W
- Unsymmetrisch belastetes Drehstromnetz
ohne N – Leiter ( Avon – Schaltung oder
Zweiwattmetermethode
Pges = P1 + P2
L2
W
L3
W
… Wattmeter
7.6. Netzstromvergleich zwischen Y – und  - Schaltung
Y – Schaltung
IY = IStrangY = INetzY = UY/Z
Mit U = 3  UY wird INetzY =
U
3  Z
 - Schaltung
INetz = 3  IStrang
IStrang = U/Z
Verhältnis:
U
INetzY = 3Z = 1 = 1
INetz 3U 33 3
Z
INetzY = 1/3  INetz
Beispiel:
Ein DSM  400V/15A wird an 400 – V – Netz versehentlich in Y – Schaltung betrieben und
mit seinem Nennmoment belastet.
a) Strangstrom in  - Schaltung ?
b) Strangstrom in Y – Schaltung ?
=> IStrang = 8,67 A und
IStrangY = 15 A
unzulässig
a) IStrang = INetz = 15 A = 8,67 A
3
3
b) IStrangY = INetz = 15 A
Achtung:
Bei Drehstrom in jedem Fall vorgesehene Schaltung anwenden – ansonsten kann
Stromaufnahme unzulässig hoch werden.
60
7.7. Gleichstrom-, Wechselstrom-, Drehstromleistung
Vergleich von Wechselstromleistung gegenüber Gleichstromleistung:
DC – Leistung
AC – Leistung
S=UI
U – groß; I – niedrig
 kleine Spannungsabfälle
U = I  RLeitg.
 kleine Leistungsverluste
PV = I²  RLeitg.
Vorteil – Transformierbarkeit
Nachteil – pulsierende Leistung
Vergleich von Drehstromleistung gegenüber Wechselstromleistung
Drehstromleistung zu jedem Augenblick konstant
p = 1,5  p = const.
Drehstromleistung:
7.8. Zulässige Schaltungen
Beispiel:
Leistungsschilder auf drei Heizungen
61
Fall A
220V / 380V  / Y
Fall B
380V
Fall C
380V / 660V  / Y

Drei unterschiedliche Netze :
1.: 3 x 220 / 127 V , 50 Hz
2.: 3 x 380 / 220 V , 50 Hz
3.: 3 x 660 / 380 V , 50 Hz
An welchem der drei Netze dürfen die Anlagen zulässig betrieben werden?
Überlegung:
An den Klemmen liegt immer die Dreiecksspannung an.
Beispiel: ( Dimensionierungsproblem )
Eine Heizung entnimmt einem Drehstromnetz U = 400 / 230 V eine Wirkleistung P = 6 KW.
1. Wie groß sind die drei Widerstände, wenn sie in Sternschaltung
angeschlossen werden ?
2. Wie groß sind die drei Widerstände, wenn sie in Dreiecksschaltung
angeschlossen werden ?
3. Wie groß sind im Fall 1 bzw. 2 die Ströme durch die Widerstände ?
Lösung:
PStrang = 1/3 P
1. RY = U²Y = U²Y = 230²V² = 26,45 
PStrang 1/3P 2000W
2. R = U² = U² = 400²V² = 80 
PStrang 1/3P 2000W
3. (1) IY = UY = 230 V = 8,696 A = INetz = IY
RY 26,45
(2) I = U = 400 V = 5A
R 80 
62
INetz = 3  I = 3  5A = 8,660 A
Die Netzströme INetz sind bei gegebener Verbraucherleistung unabhängig von der
Schaltungsart.
Probe mit schaltungsunabhängiger Formel:
P = 3  U = INetz
INetz = P = 6000W = 8,660 A
3U 3  400V
7.9. Blindleistungskompensation bei Drehstromanlagen
P, Q und S zu je einem Drittel in jedem der drei Wicklungsstränge.
C=
QC
2U²
Beispiel :
C/Y = 1
3
QC
2U²/Y
Drehstromanlagen in  - Schaltung
PN = 7,5KW; nN = 1450 min-1; IN = 15 A; cos  = 0,86; U = 400/230 V;  = 50 Hz
1. MN = ?
PN =   M = 2    nN  MN
MN = PN = 7500  60s
2nN 21450
MN = 49,39 Nm
2. S = ?; P = ?; Q = ?
S = 3  U  I
S = 3  400 V  15 A
S= 10,39 KVA
P = S  cos 
P = 10,39 KVA  0,86
P = 8,935 KW
63
Q = S  sin 
Q = 10,39 KVA  0,51
Q = 5,302 Kvar
3.  = Pab = PN
Pzu P
= 7500 KW = 0,8394
8935 KW
4. IStrang = 15 A = 8,67 A = 1  IN
3
3
IStrang = S = 10,39 KVA = 8,658 A
3U 3400V
IStrang = IN = 15A = 8,660 A
3 3
5. C = ?
CY = ?
Q = 3  U² = 3 U²  2C
XC
C =
Q
=
5303 V  A = 35,17 F
3U²2 3400²V²250s-1
UC = 2  U
= 2  400V
UC = 565,7 V
Q = 3  U²Y
XC
= 3  U²Y  2CY
CY =
Q
=
5303 V  A
= 106,4 F
-1
3U²Y2 3230²V²250s
UCY = 2  UY
= 2  230 V
UCY = 325,3 V
Aus Lösung 5 :
C = C = 35,17 F
Über- bzw. Unterkompensation
C = 35,17 F
=> Industrieliste:
C1 = 33 F
C2 = 47 F
64
Kleinere Kapazität als erforderlich bedeutet Unterkompensation!
Unterkompensation
Unkomp.
Überkompensation
Komp. – Kompensiert
tan  = GU = Q
AU P
C = QC = Qunkomp. – Qkomp.
2U²
2    U²
C = P (tan unkomp. – tan komp.)
2    U²
7.10. Spannungsabfall bei Drehstrom
Drehstromleitung ( sprunghafte Belastung )
I1
R
X
L1
^^^^^
I2
R
X
I3
R
^^^^^
X
^^^^^
L2
L3
N
l
Außenleiter: I1; I2; I3
N – Leiter: stromlos
R =   l/A ... Wirkwiderstand
X =   l ... induzierter Blindwiderstand
Ersatzschaltung eines Außenleiters:
- mit Sternspannung U1N ( Anfang )
- mit Sternspannung U2N ( Ende )
- N – Leiter als Widerstandslos ( da stromlos )
65
I
R
X
^^^^^
UX
UR
U1N
U2N
l
Masche :
UR + UX + U2N – U1N = 0
U1N = UR + UX + U2N
Zeigerbild :
U1N

UX
U2N
UR
I
UVN
Näherung für Spannungsabfall:
UVN = UR  cos 2 + UX sin 2
UVN = I  R  cos 2 + I  X  sin 2
Für UX << UR
UVN = I  R  cos 2 = I    l/A  cos 2
Beispiel:
Spannungsabfall beim Einschalten eines Drehstrommotors:
P = 11 KW; IN = 22 A; IA = 146 A ( Anlaufstrom ); cos  = 0,5 ( Anlaufleistungsfaktor );
A = 1,5 mm² ( Kabelquerschnitt ); l = 30 m; U = 380 V
Ges:
UVN = U
UY = I    l/A  cos 2
Mit U = 3  UY
U = 3  I    l/A  cos 2
U = ?
U = 3  I  l/(  A)  cos 
= 3  146 A 
30 m
 0,5
-2
56 S  mm  1,5 mm²
U = 45 V
7.11. Der Drehstromtrafo
Schaltungen der Wicklungsstränge und Schaltgruppenbezeichnung
-
Oberspannungswicklung in Stern ( Y ) oder Dreieck (  ) geschalten.
66
-
Unterspannungswicklung in Sternschaltung ( y ) oder Dreieckschaltung ( d ).
Sternpunkt herausgeführt – Oberspannungsseite ( N ), Unterspannungsseite ( n ).
Phasenverschiebungswinkel zwischen Oberspannung und Unterspannung wird durch
Kennzahl ( z.B. 0,5,6,11 ) angegeben VDE 0532.
Übersetzungsformel:
U1 = N1
U2 N2
Nur gültig, wenn Oberspannungswicklung und Unterspannungswicklung in derselben
Weise geschaltet sind.
Beispiel:
Trafo Dyn 5 20000/400V  4% hat auf der Unterspannungsseite 48 Windungen, die
Oberspannungsseite hat Anzapfungen zum Verändern der Spannung um 4%.
Ges:
Windungszahl der Oberspannungsseite:
a) ohne Einstellmöglichkeit  4%
b) mit Einstellmöglichkeit  4%
^^^^^
1U
2U
^^^^^
^^^^^
1V
2V
^^^^^
1W
2W
^^^^^
~
Lösung:
D – Oberspannungsseite in Dreieck
Y – Unterspannungsseite in Stern
n – Sternpunktleiter unterspannungsseitig
5 – Phasenverschiebungswinkel 5 x 30° = 150° ( VDE 0532 )
U1 = N1
U2 3N2
a) N1 = U1  3  N2 = 20000 V  3  48 = 4157
U2
400 V
b) 4157  0,04 = 166
N1 = 4157  166 , also
3991 für höhere Unterspannung
4323 für niedrige Unterspannung
67
8. Schutzmaßnahmen
Gesamtheit der Maßnahmen zum Schutz von Menschen und Nutztieren gegen gefährliche
elektrische Durchströmung.
8.1.
Drehstromnetzformen
TN – Netz
- Niederspannungsnetz mit geerdetem Sternpunkt
- Körper über Schutzleiter mit geerdetem Sternpunkt verbunden
- T – terre, franz. Erde
N – neutre, franz. Neutral
TN – C – Netz ( klassische Nullung )
-
PEN = kombinierter Schutz- und Neutralleiter
TN – Netz, in dem Schutzleiter zugleich Funktion des Neutralleiters übernimmt.
C – combine, franz. Kombiniert
TN – S – Netz ( moderne Nullung )
-
TN – Netz, in dem Schutzleiter nicht zugleich Funktion des Neutralleiters übernimmt.
S – sépare, franz. Separat
TN – C – S – Netz
Kombination zwischen TN – C – und TN – S – Netz
68
TT – Netz
Netz mit früher sogenannter Schutzerdung ( z.B. Landwirtschaft, Baustellenverteiler ).
IT – Netz
-
Netz, in dem kein aktiver Leiter des Netzes unmittelbar geerdet ist, die Körper jedoch
geerdet sind. ( z.B. Bergbau, Operationssäle, Ersatzstromversorgungen )
I – Insulation, engl. Isolierung
8.2. Berührungsschutz in Drehstromnetzen
Direktes Berühren
Jemand berührt ein unmittelbar unter Spannung stehendes Anlagenteil.
Ersatzschaltung:
I
W
~
Rü1
Ri
Rü2
R = Rü1 + Ri + Rü2 = 1000
Rü
...
Übergangswiderstände
Ri
...
innerer Körperwiderstand
Stromstärken bis 50 mA kann der menschliche Körper kurzzeitig ertragen:
U = I  R = 50 mA  1000  = 50 V
Gefährlich: UAC > 50 V
UDC > 120 V
69
Ungefährlich:
UAC < 25 V
UDC < 60 V
Indirektes Berühren
Jemand berührt das Gehäuse eines Gerätes, das normalerweise berührt werden darf, durch
einen Fehler liegt am Gehäuse ( Metallteile ) jedoch lebensgefährliche Spannung an.
Oben: Körperschluss. Der Person passiert jedoch nichts.
Mitte: Das Gerät ist intakt, der Nulleiter ist jedoch unterbrochen: Lebensgefahr!
Unten: genauso, zusätzliche Tragik, das berührte Gerät ist noch nicht einmal eingeschaltet.
70
IF
IB
UB
UF
RB
RSt
...
...
...
...
...
...
Fehlerstrom
Berührungsstrom
Berührungsspannung
Fehlerspannung
Betriebserdungswiderstand
Standortwiderstand
8.3. Schutzmaßnahmen gegen direktes Berühren
-
Isolierung aktiver Teile
Schutzabdeckung oder Umhüllung
Schutzabsperrung
Schutzkleinspannung:
UAC < 50 V
UDC < 120 V
- Sicherheitskleinspannung:
UAC < 25 V
UDC < 60 V
- Fehlerstromschutzeinrichtung; schaltet aus ehe Fehlerstrom IN bestimmten Wert
( IN:= 0,01 A; 0,03 A; 0,3 A; 0,5 A ) überschreitet.
Prinzip des Summenstromwandlers:
1)
2)
1) ordnungsgemäße Anlage:
Ihin = Irück
Ihin = Irück => hin = rück
 = hin - rück = 0
=> Uind = 0
=> Fi löst nicht aus
2) Anlage Fehler
Ihin + Irück => hin = rück
  0
=> Uind  0
=> Fi – löst aus
Magnetische Wirkungen haben sich im Eisenkern auf.
- Direktes Berühren oder fehlerhafte Anlage
Ihin > Izurück
Magnetisches Wechselfeld im Eisenkern
 Spannungsinduktion => Auslösen
71
8.4. Maßnahmen bei indirektem Berühren
8.4.1. Netzformabhängige Schutzmaßnahmen im TN - Netz
TN – Netz:
1. Körperschluss
2. Kurzschluß, weil Körper mit PEN – Leiter verbunden
3. Auslösen der Überstrom – Schutzeinrichtung (Sicherung), damit
Trennung vom Netz.
-
Bedingung:
Ausreichend kleine Impedanz der Fehlerschleife
Zs  Ia  U0
Zs
Ia
U0
...
...
...
Schleifenimpedanz
Abschaltstrom
Nennspannung gegen Erde
Beispiel:
Geg:
16 A – Leitungsschutzschalter ( 80 A – Abschaltstrom ) im 230V – Netz.
Ges:
Schleifenimpedanz?
Lösung:
Zs  Ia  U0
Zs  U0 = 230 V = 2,8 
Ia
80 A
Beispiel:
TN – C – Netz ( „klassische“ Nullung )
Situation 1:
Schluss nach 1/3 Höhe der Heizwendel Gehäuse wird von Peson berührt.
Geg:
UN = 220 V;  = 50 Hz; PN = 2 KW; RP = 1K (Person) ; I = 16 A (Sicherung)
Ges :
RH = ?; UP = ?; IP = ?; I = ?; P = ?
72
Lösung:
RH = UN² = 220²V² = 24
PN 2000VA
 UP = 0V
IP = 0A => Person passiert nichts
I = 220V = 27,5A
8
P = U  I = 220 V  27,5 A = 6,05 KW
 Durchbrennender Heizwechsel, da 16 A Sicherung erst nach 1 h anspricht ( thermischer
Überlastschutz ).
Situation 2:
Heizlüfter intakt, aber Bruch des Nulleiters.
Geg:
Werte wie Situation 1
Ges:
UP = ?; IP = ?; I = ?
UP = 220 V  RP = 220 V  1000  = 215 V
RP+RH
1024 
IP = UP = 215 V = 214,8 mA => tödlich
RP 1000 
I = UP = 220 V = 214,8 mA
RH+RP 1024 
Situation 3:
Unfall infolge Schutzmaßnahme
- wieder Bruch des Leiters
73
-
berührtes Gerät intakt und nicht in Betrieb
aber anderes Gerät der gleichen Anlage in Betrieb
8.4.2. Netzformunabhängige Schutzmaßnahmen
-
Schutzisolierung
Normale Isolierung ( Basisisolierung ) verstärkt, oder zusätzliche Isolierungen
Schutzkleinspannung
Schutztrennung
Sichere galvanische Trennung des ungeerdeten Betriebsstromkreises vom Netz =>
Trenntransformator
8.5. Geräteschutzklassen
Geräteschutzklassen nach DIN VDE 0720
1:
2:
3:
-
ideal aber teuer
gut, isoliertes Gehäuse kann aber zerbrechen
solange sicher, wie Schutzleiter nirgendwo eine Unterbrechung hat
74
9. Komponenten, Schaltpläne elektrischer Anlagen
Überstrom – Schutzeinrichtungen
Sicherungen:
-
Einmaliges Unterbrechen durch Abschmelzen eines definierten Leiterstücks
Sicherungskennlinien – tS = f ( I )
t
60
40
4A
S
1
tS
I
...
...
0
5
10
Schmelzzeit
Effektivstrom
20
50
I
Schutzschalter ( Automaten ):
Selbsttätig abschaltende Geräte
Automaten:
Arbeitsprinzipien: ( einzelne oder kombiniert )
- Bimetallbasis
Thermischer Auslöser, gegen Überlast
-
Spulenbasis
Elektromagnetischer Auslöser, gegen Kurzschluß
Auslöse – Charakteristiken von Schutzschaltern für Leitungsschutz (links) und Geräteschutz (rechts)
Schalter:
Aufgaben:
- Einschalten: einwandfreier widerstandsloser Stromweg.
- Ausschalten: klare strom- und spannungslose Abtrennung einer Anlage.
75
Schalterarten:
-
Schließer:
Kontaktbezeichnung ( 3,4 )
Unbetätigt: offen
-
Öffner:
Kontaktbezeichnung ( 1,2 )
Unbetätigt: geschlossen
-
Wechsler
Kontaktbezeichnung ( 5,6,8 )
Wirkungsweise von Schaltern:
-
mechanische Kontakte
Elektronikausführung
-
Taster


Befehls- und Steuergerät, handbetätigt
Bindeglied zwischen Anlage und Personal
-
Relais:
Elektromagnetisch betätigter Schalter
-
Zeitrelais:


einstellbare Anzugs- und Abfallszeiten der Schalterkontakte
einige ms ( 20ms ) bis viele Stunden ( 30 h )
76
Leistungsschütze:
Schütze:
2 Kontaktebenen
- Hauptkontakte
- Hilfskontakte
-
Energieseite schalten ( Ziffern 1 bis 6 )
( u. U. vor- oder nachteile Kontaktgruppen ) –
Steuerungsaufgaben
Betätigungsspule
Schaltpläne
Komponenten
Komponenten erhalten im Schaltsystem Kennbuchstaben und Nummern.
Kennbuchstabe
C
F
G
H
K
L
M
P
Q
R
S
T
V
X
Y
Art des Betriebsmittels
Kondensator
Schutzeinrichtung
Generatoren, Stromversorgungen
Meldeeinrichtungen
Schütze, Relais
Induktivitäten
Motoren
Meßgeräte
Starkstrom – Schaltgeräte
Widerstände
Steuerschalter
Trafos
Halbleiter
Klemmen, Stecker
Elektrische Bremsen, Kupplungen
Arten von Schaltplänen:
Übersichtsplan:
Vereinfachte, meist einpolige Darstellung
Wirtschaftsplan:
Objekte und Leitungsverlauf, wie sie tatsächlich angeordnet sind ( Kfz – Industrie )
Stromlaufplan:
Übersicht, kreuzungsfreie Darstellung
77
10.
Einführung in die Leistungselektronik
10.1.
Halbleiter
10.1.1. Leitungsmechanismen
Spezifischer elektrischer Widerstand liegt zwischen dem der Leiter ( < 101  mm²/m ) und
Nichtleiter ( > 1011  mm²/m ).
Halbleitermaterialien in der Elektronik:
-
Silizium
Germanium
 bei Raumtemperatur fast keine freien Elektronen
 geringe Eigenleitfähigkeit
Vergrößerung der Leitfähigkeit
1. Energiezufuhr – größere Eigenleitfähigkeit
2. Dotierung ( gezielter Einbau ) von Fremdatomen in das Grundmaterial
Leitungsmechanismus durch Dotierung
Grundmaterial
Dotierungsmaterial
Ergebnis
Silizium ( 4-wertig )
Silizium ( 4-wertig )
Arsen ( 5-wertig )
Indium ( 3-wertig )
n – Material
p – Material
-
n (p) leitende Halbleiter sind Werkstoffe mit frei beweglichen negativen (positiven)
Ladungsträgern – Elektronen ( Löcher ).
Elektrisch neutral
Spannung an n –Material – freie Elektronen zum positiven Pol.
Spannung an p – Material – Löcher zum negativen pol.
Grenzschicht zwischen p- und n- leitendem Material nennt man p- n- Übergang
78
10.1.2. Dioden ( Ventile )
1. Diode in Durchlassrichtung; IF ( Index. Fließ-, fluß u.s.w. ).
2. Diode in Sperrichtung; IS ( Index: Sperr-, auch R = reverse )
USch
DU
IF
US
...
...
...
…
Schleusenspannung
Durchbruchsspannung
Durchflussstrom
Sperrstrom
Gefährdung einer Diode:
- Durchflussrichtung – zu starker Strom ( Joulsche Wärme )
- Sperrichtung – zu hohe Spannung
10.1.3. Transistor ( transient resistor )
Steuerbarer Widerstand, kontaktloser ( elektronischer Schalter )
Zwei Grundprinzipien:
1. Bipolarer- oder Injektions- Transistor
Anschlüsse: C
...
Kollektor
B
...
Basis
E
...
Emitter
IC  30 ... 300
IB
1
, Verstärkung: 30 ... 300
79
2. Unipolar- oder Feldeffekt- Transistor
Anschlüsse: D
...
Drain
G
...
Gate
S
...
Source
10.1.4. Thyristoren
Steuerbares Halbleiterbauelement – Vierschichtenfolge
Anschlüsse: A
...
Anode
K
...
Kathode
G
...
Gate
Thyristor bei Wechselspannung
-
nur positive Halbwellen kann wirksam werden,
negative wird gesperrt – wie Diode
-
aber: wählbarer Zündzeitpunkt für Strom IA innerhalb positiver Halbwelle.
IA wird zu Null, wenn UAK kritischen Wert ( Haltespannung ) überschreitet.
80
Vergleichsobjekt
Ohne Steuerstrom IG bzw. IB
bleibt
Mit Steuerstrom IG bzw. IB ist
Nach dem Abschalten des
Steuerstroms IG bzw. IB
Bei Variation des
Steuerstroms IG bzw. IB
Bei Umkehr der Spannung
zwischen A – K bzw. C – E
Transistor
IC = 0
Thyristor
IA = 0
IC > 0
hört IC auf;
IA > 0
bleibt IA voll erhalten.
ändert sich IC gleichsinnig
mit;
fließt IC auch;
reagiert IA nicht.
fließt IA gar nicht.
Anwendung:
- Strom- und Spannungsverstellung ( Lampenhelligkeit, Drehzahl )
- Kontaktloser Schalter
Triac
Triac kann positive und negative Halbwellen eines Wechselstroms durchflossenen bzw. einen
Zündzeitpunkt zum Fließen bringen.
Stromrichter
Aufgabe:
Umformung eines elektrischen Netzes mit den Parametern f1; m1; U1 in ein anderes
elektrisches Netz mit den Parametern f2; m2; U2 mittels leistungsfähiger
Bauelemente.
f1,2
m1,2
U1,2
...
...
...
Frequenz
Phasenzahl
Spannung
Gleichrichter:
Umformung von Wechselstrom in Gleichstromenergie.
Wechselrichter:
Umformung von Gleichstromenergie in Wechselstrom- / Drehstromenergie.
81
Wechselstromumrichter ( Frequenzumrichter )
Umformung von Wechselstrom einer bestimmten Phasenzahl und Frequenz in Wechselstrom
einer anderen Phasenzahl und Frequenz.
Beispiele:
Ungesteuerte Einphasen – Brücken – Gleichrichter ( Gleichrichter )
Beispiel:
Wechselrichter ( in Transformatortechnik für unterbrechungsfreie Stromversorgung )
Beispiel:
Umrichter
L1
L2
L3
Gleichrichter
Zwischenkreis
C
Wechselrichter
V1
V3
V2
V4
V5
V6
M
Taktgeber
V1 . . . . . . . . V6
11. Elektrische Antriebe
11.1. Grundstruktur
82
Aufbau:
 Netz
 Schutzeinrichtungen
 Stellglied
 Motor
 Getriebe
 Arbeitsmaschine
 Steuer- / Bedieneinrichtung
11.2. Leistungsbeziehung, Kennlinien und Arbeitspunkt
Leistungsbeziehung:
P =   M = 2  n  M
P
n
M
…
…
…
Leistung
Drehzahl
Moment
In den Arbeitskennlinien wird dargestellt, welches Drehmoment aufgebracht werden muß,
damit sich die Maschine dreht.
Stationäre Kennlinien von Arbeitsmaschinen
1
2
3
4
...
...
...
...
Kalander, Heißmangel, Generator ( incl. Wirbelstrombremse )
Hubwerke und andere schwerkraftüberwindende Anlagen, Zahnradpumpen
Pumpen, Lüfter usw., Zentrifugen, Rührer
Wickelmaschinen für Papier, Blech, usw., Schälmaschinen
1
2
...
...
ReihenschlußNebenschluß83
3
4
...
...
AsynchronSynchron – Charakteristik
11.3. Energiebetrachtungen
Elektrische Maschine als Energieumwandler
-
elektrische Energie in mechanische Energie ( Motor )
mechanische Energie in elektrische Energie ( Generator )
4 Betriebsquadranten:
(2.)
n 
Leistung:
- PW
+ PW
Energie:
el. Masch. Arbeitsmaschine
el. Masch.
elektr. Maschine:
Generator, Bremse
Motor
Drehrichtung
rechts
rechts
(1.)
Arbeitsmaschine
M
+ PW
el. Masch.
Motor
links
Arbeitsmaschine
- PW
el. Masch. Arbeitsmaschine
Generator, Bremse
links
(3.)
(4.)
Motorbetrieb ( 1. und 3. Quadranten ):
M und  haben gleiches Vorzeichen
Generator- , Bremsbetrieb ( 2. und 4. Quadrant ):
M und  haben unterschiedliche Vorzeichen
Ein – und Mehrquantenantriebe
Einquantenantriebe:
Kreissäge ( 1. Quadrant )
Zweiquantenantrieb:
-
Triebwagen elektrische Bremsung ( 1. und 2. Quadrant, da Drehrichtung beibehalten
wird )
Kranhubwerk mit Bremsmoment beim Senken in Gegenrichtung ( 1. und 4. Quadrant )
Stationärer Betriebszustand – mechanisches Gleichgewicht
Einstellen der Betriebsdrehzahl nB:
Gleichgewicht für gleichförmige Bewegung (  = 0 )
84
M M = ML
n
Arbeitsmaschine Last
M
( n = nB; MM = ML )
nB
Motor
AP
M
n
12. Die Gleichstrommaschine
12.1. Aufbau und Wirkungsweise
Wobei:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-
Ständer / Joch
Hauptpol mit Erzeugerwicklung
Läufer / Anker mit Läufer- / Ankerwicklung
Kommutator / Stromwendel
Kohlebürste
Kompensationswicklung
Wendepole
Klemmbrett
Fuß
Transportöse
Wirkungsweise: ( motorisch )
85
Kollektor, Kommutator, Stromwender
Aufbau:
 einzelne leitfähige, Lamellen, die gegeneinander isoliert sind
 mit Leitern der Ankerwicklung elektrisch leitend verbunden
Aufgabe:
Umkehr der Stromrichtung in Ankerspule mittels Kohlebürsten
Kohlebürsten
Anordnung in neutraler Zone
Neutrale Zone:
- Zone, in der die Stromwendung stattfindet
- Bürsten schließen Spule der Läuferwicklung, die sich gerade in neutraler Zone befindet
kurzzeitig kurz
- Stromwendung mit hohen Selbstinduktionsspannungen verbunden
Wendepole:
- Magnetfeld erzeugen, das Selbstinduktionsspannungen aufhebt
- Elektrisch in Reihe mit Ankerwicklung
- Wendepole in neutraler Zone
Ankerrückwicklung:
- Magnetfeld in Ankerwicklung – Ankerquerfeld
- Ankerquerfeld steht trotz Rotation still
- Größenänderung proportional zur Ankerstromstärke
- Überlagerung mit Erregerfeld => Ankerrückwicklung
- Verschiebung der neutralen Zone
- Folge – Bürstenfeuer
Kompensationswicklung:
- Motoren mit starken Lastschwankungen
- In Polschuhen der Hauptpole untergebracht
- Elektrisch in Reihe mit Ankerwicklung
- Aufheben des Ankerquerfeldes
12.2. Die Gleichstrom – Nebenschlussmaschine ( GNM )
-
permanent erregter Gleichstrommotor
-
Nebenschlussschaltung ( Kennbuchstabe E )
86
-
Fremderregte Schaltung ( Kennbuchstabe F )
12.2.1. Wirkungsweise GNM
Generator
- Wandlung von mechanischer in elektrische Energie
- Spannungsinduktion nach Gleichung:
Uqa = c1  (  n )  ( Erem + E ( IE ))
Uqa = c1  n  E ( allgemeine Gleichung )
Uqa = c    E mit c = c1 /(2)
c1
n
E

...
...
...
...
Maschinenkonstante
Drehzahl
magnetischer Fluß ( Erregerwicklung )
Winkelgeschwindigkeit
...
...
...
Anzahl der Ankerteile
Polpaarzahl
Anzahl paralleler Ankerzweigpaare
c1 = z  p
a
z
p
a
Motor
Drehmoment M
M = c2  E  IA
z2
E
IA
…
…
…
Maschinenkonstante
Erregerfluß
Ankerstrom
c2 = c1 = c
2
M = c  E  IA
Ersatzschaltbild des Ankerkreises
87
Masche:
UA = URq + Uqa
UA = IA  Rq + c1  n  E
IA = - c1  E  n + UA
Rq
Rq
Gleichungstyp; y = - mx + b
Drehzahl n = f(M) oder  = f(M)
UA = URq + UqA = IA  Rq + c1  n  E
URq
UqA
…
...
(1)
Spannung über Ankerwiderstand Rq
innere Gegenspannung ( früher Gegen- ENK, ENK – elektromotorische Kraft )
IA =
M
(2)
c2  E
UA = M  Rq + c1  n  E
c2  E
n=-
(2) in (1)
Rq
M+
UA
c1  c2  E²
c1  E
mit c1 = c  2 und c2 = c
n= -
Rq
M+
UA
c  2  c  E²
c  2  E
=-
R q  M + UA
c²  E²
c  E
/  2
( Typ: y = -mx +b )
 = -  + O

O
…
...
belastungsabhängiger Drehzahlabfall
Leerlaufdrehzahl bei M = 0
Ankerstrom I = f (M)
M = c2  E  IA = c  E  IA
IA = M = M
c2  E c  E
88
I
I =f (M)
Hreib
M
Stillstandsmoment
MSt = c    ISt
ISt = UN
RA
ISt
MSt
...
...
Stillstandstrom
Stillstandsmoment
Relatives Maximalmoment
Unkompensierte Maschinen:
Mmax = 1,5
MN
Kompensierte Maschinen:
Mmax = 2
MN
12.2.2. Drehzahlstellen und Kennlinienfelder
Möglichkeiten aus Gleichung:
=-
-
Rq  M + U
c2  ²
c
Ankerspannungssteuerung U
Feldsteuerung  ( IE)
Widerstandssteuerung Rq + Rvor
Spannungssteuerung
Merkmale
-
Drehrichtung durch Umpolung der Ankerspannung
Drehzahl leicht führbar von max bis min
Wirtschaftliches Verfahren
Gutes dynamisches Verhalten
Großer Stellbereich S ( 100 .... 1000 )
S = Nenndrehzahl = 1 : Stelldrehzahl
Stelldrehzahl
Nenndrehzahl
89
Realisierung
-
Leonardsatz ( Maschinenumformer )
Steuerbarer Stromrichter
Feldstreuung:
nur Feldschwächung
Merkmale:
-
Drehrichtungsumkehr durch Änderung der Erregerstromrichtung
Feldschwächung – Erhöhung der Leerlauf und Betriebsdrehzahl
Felderhöhung über Nennwert nicht sinnvoll ( magnetische Sättigung, keine
Feldverstärkung )
Wirtschaftliches Verfahren
Stellbereich: E = 0,6 .... 1,0 
!! Achtung !!
Gefahr bei Feldschwächung für  => rem
1. Durchgehen der Maschine für M => 0
 = R  M + UA
c²²
c
0 = UA
crem
rem … remanenter Restfluss
2. Ankerstromerhöhung für M = konst.
M = konst. = c    I
Realisierung
-
Widerstand im Erregerkreis
Steuerbare Stromrichter
Widerstandssteuerung
Merkmale

-
Ankerwiderstand RA ruft belastungsabhängigen Drehzahlabfall hervor
Durch RV kann Drehzahl bis Null herabgesetzt werden
Prinzip des Widerstandsanlassers
RV bewirkt beachtliche Strom – Wärme – Verluste
90
Widerstandssteuerung
Beispiel:
Gleichstrom – Nebenschlussmotor
UA = UAN = 220 V
Rq = 0,5 
n0 = 1500 min-1 ( Leerlaufdrehzahl )
nN = 1410 min-1
Aufgabe:
Einstellung unter Nennlast auf;
1. 1000 min-1 über Vorwiderstand Rvor
2. 800 min-1 über Ankerspannung
Lösung:
 = -Rq  M + UA ( allg. )
c²²
c
1.
2.
N = 0N - N
N = UAN – ( - Rq  M + UAN )
c
c²²
c
N = Rq  M
c²²
RV = Rq + Rvor  M
c²  ²
RV = nRV = Rq + Rvor
N
nN
Rq
Rvor = Rq  ( nRV – 1 )
nN
Rvor = 0,5   ( 1500 – 1000 – 1 )
1500 – 1410
Rvor = 2,28 
0N = UAN
c
0UA = UA
c
0N = n0N = UAN
0UA n0UA UA
n0UA = nUA + nN
n0UA = 800min-1 + 90min-1 = 890min-1
UA = UAN  n0UA = 220 V  890min-1
n0N
1500min-1
UA = 130,5 V
91
12.2.3. Anlauf
-
Einschaltstrombegrenzung beim Zuschalten notwendig ( außer bei kleinsten Leistungen;
bis ca. 1 kW )
Grund: stillstehender Motor induziert noch keine Gegenspannung ( EMK ) UqA
Anlaufstrom IAA = UA/Rq
-
bis zum 20 – fachen des Nennstroms
Begrenzung erforderlich
Richtwert IAA = 1,5 * IN
Anlauf mit Lastwiderstand Rvor
-
entspricht Drehzahlstellen mittels Widerstandsteuerung
IAA = UA / ( Rq + Rvor )
Anlauf mit Spannungssteuerung UA entspricht Drehzahlstellen mittels
Ankerspannungsteuerung.
12.2.4. Bremsen
-
Umkehr der Energierichtung
GNM arbeitet als Generator
Elektrische Leistung ins Netz ( Nutzbremsen ) oder Umsetzung in Wärme ( Widerstandsund Gegenstrombremsen )
Nutzbremsen
-
Heruntersteuern der Netzspannung
Umkehr der Stromrichtung bei gleicher Spannungsrichtung
Realisierung
- Leonardsteuerung
- Thyristorstellglied mit Umkehrstromrichter
Widerstandsbremsen
1. Anker vom Netz trennen
2. Ankerstromkreis über einen Widerstand RV schließen
3. Erregerwicklung bleibt am Netz
UA = URq + UqA
UA = 0
UqA = - URq
c    E = - IA  ( Rq + Rv )  IA = M / ( c  E )
= - Rq + Rv  M
c²  E²
92
Gegenstrombremsen
1.
2.
3.
4.
Anker vom Netz trennen
Umpolen
Anker wieder ans Netz
Drehzahlrichter schaltet bei   0 Maschine vom Netz
Netzspannung und induzierte Spannung haben gleiche Richtung
 sehr hoher Strom
 Begrenzung durch Vorwiderstände
12.3. Gleichstrom – Reihenschluss – Maschine ( Kennbuchstabe D )
12.3.1. Wirkungsweise
=f(M)
 = U - RqA  M
cE (cE)²
(1)
Magnetisierungskennlinie linearisiert:
E = c  I
(2)
c … linearisierungskonstante
M = c  E  I
(3)
E = c  M / ( c  E )
  E
E² = c/c  M
E =  ((c  M ) / c )
(4)
=
U
- RA (4) in (1)
(c  c  M )
c  c
(3) in (2)
Gleichungstyp für U und RqA = konst.
 = U1 /  M - U2
Diskussion
M  0    
Achtung
Durchgehen der GRM – nie vollständig entlasten ( Riementrieb verboten )
I = f ( M ) qualitativ
 = c  I
I=M/(c)
I = M / ( c  c  I )   I
(1)
(2)
(1) in (2)
I²  M
93
12.3.2. Drehzahlsteuerung
Prinzip:
gleiche Methoden wie bei GNM
1. Spannungssteuerung
2. Widerstandssteuerung
3. Feldsteuerung
Achtung:
Feldstellwiderstand parallel zur Erregerwicklung, ansonsten Wirkung wie
Widerstandssteuerung.
12.3.3. Anlauf und Bremsen
Anlauf
-
Spannungssteuerung
Widerstandssteuerung
Bremsen
-
-
Nutzbremsen
Nicht zweckmäßig, weil für konst. Netzspannung kein  = f ( M ) – Kennlinienfeld im
2. Quadranten existiert.
Widerstandsbremsen möglich
Gegenstrombremsen möglich
13. Die Asynchronmaschine
13.1. Aufbau
13.1.1. Ständer
-
Ständerblechpacket mit Nuten
In Nuten Drehstromwicklung
Drehstromwicklung ( prinzipiell ):
3 räumlich um 120° gegeneinander versetzte Spulen
Spulenanfänge und – enden ans Klemmbrett geführt
Schaltung in  oder Y
Beispiel: 2 – polige Wicklung in 6 Nuten
m = 3 ( 3 Stränge ( Phasen ))
z = 6 ( 6 Nuten )
p = 1 ( 1 Polpaar – 2 Pole )
13.1.2. Das Drehfeld
-
Ständerwicklung führt zu 3 zeitlich um 120° gegeneinander phasenverschobenen Strömen
3 Ströme bewirken in den 3 Spulen 3 Wechselmagnetflüsse
Magnetflüsse überlagern sich zu resultierenden Feldbruchfeld
94
Drehfeld
-
konstante Amplitude
konstante Umlaufgeschwindigkeit im Ständer
Periodendauer T – 1 Umlauf 360°
t = 20 ms = 1/50 s = 1/3600 min
 nD = 3000 min-1 ( 2 – polige Wicklung )
Allgemein:
nD = f/p
nD
f
p
...
...
...
Drehfelddrehzahl
Netzfrequenz
Polpaar
Beispiel:
f = 50 Hz
p
nD in min-1
1
3000
2
1500
3
1000
4
750
13.1.3. Läufer
-
Läufer besteht aus Blechpaket
2 Ausführungen
1. Kurzschlussläufer ( Käfigläufer )
-
Stäbe in Nuten
Stäbe an Stirnseite leitend miteinander verbunden ( Kurzschlussring )
Kein Anschluss nach außen
2. Schleifringläufer
-
trägt wie Ständer eine Drehstromwicklung
Spulen werden in Sternschaltung verheftet
3 Leiterumschlüsse werden an 3 Schleifringe angeschlossen
über Bürsten nach außen ans Klemmbrett geführt
Schleifringe werden in Betrieb kurzgeschlossen
95
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