Meine Analysis III Zusammenfassung ()

Formelsammlung – Analysis III
1
1.2








2
1 x 2
1
(arctan x)' 
1 x 2
1 x 2
2
1
(arcsin x)' 
1
(arccos x)'  
 x
y  2 x  ln y  y x
x
1
1

x x  ln a
(a cx )'  (c  ln a)a cx
1
(tan x)' 
 1  tan 2 x
cos 2 x

A
B
C


( s  1) ( s  1) s  1 s  1 ( s  1) 2
1
A
B
Cs



( s  1)( s 2  1) s  1 s 2  1 s 2  1
1
1
1 1

  2
2
s ( s  1) s  1 s s
2
Ableitungen
(log a x )'  (log a e)
Partialbruchzerlegung
s
Allgemeine Formeln
1.1

1.5
Integrale

einfache Nullstelle
Z
A
B


(1)  (2) (1) (2)
Komp.vgl.: A∙(2)+B∙(1)=Z
doppelte reelle Nullstelle
1
1
dx  ln ax  b
ax  b
a
1
1
x
dx  arctan( )
a
a
a2  x2
1
1
ax
dx 
ln
2a a  x
a2  x2
x sin(2ax)
sin(ax) 2 dx  
2
4a
sin(ax) x  sin(ax)
x  sin(ax)dx 

a
a2
x sin(2ax)
2
cos(ax) dx  
2
4a
cos(ax) x  sin(ax)
x  cos(ax)dx 

a
a2
sin(ax) 2
sin(ax)  cos(ax)dx 
2a
1
tan(ax)dx   ln cos(ax)
a
 ax  1 
x  e ax dx   2   e ax
 a 
1
1

x  ln( x)dx   x 2  ln( x)  
2
2

Z
A
B
C



(1) 2  (2) (1) (1) 2 (2)
doppelte komplexe Nullstelle
Z
A Bs C


( s 2  1)  (2) ( s 2  1) (2)
1.6
Trigonometrie
1
 1  tan 2 a
cos2 a
1
 1  cot 2 a
sin 2 a
sin(a  b)  sin a  cos b  cos a  sin b
cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b
sin(2a )  2  sin a  cos a
π/6
π/4
0
30°
45°
60°
90°
0
1/2
1/√2
√3/2
1
cos(x)
1
√3/2
1/√2
1/2
0
tan(x)
0
1/√3
1
√3
--
 a  1  cos a
sin 2   
2
2
 a  1  cos a
cos2   
2
2








X ' ( x )  (  x )  X ( x ) 
X ( x)  C  e
x  x
ei  cos( )  i sin( )
2
cos n  (1) n
e  in  (1) n
ei 2 n  1 e  i n  1 für n gerade e  i n  1 für n ungerade
(cos x  i sin x) n  cos nx  i sin nx
1
π/2
Grad
cos(2a )  cos2 a  sin 2 a  2  cos2 a  1  1  2  sin 2 a

π/3
sin(x)
 a  1  cos a
tan 2   
 2  1  cos a
sin a
 a  1  cos a
tan  

2
sin
a
1

cos a
 
b
b
ab
ab
b
 cos
Partielle Integration: f ' ( x)  g ( x)dx  f ( x)  g ( x) a  f ( x)  g ' ( x)dx sin a  sin b  2  sin
2
2
a
a

a

b
a
 .b
2
1 
cos a  cos b  2  cos
 cos
e  ax dx 
2
2
2 a
0
ab
a  .b
cos a  cos b  2  sin
 sin


2
2
1 
sin( x 2 )dx  cos(x 2 )dx 
1
2
2
sin a  sin b  (cos(a  b)  cos(a  b))
0
0
2
1.3
Reihenentwicklung
1
cos a  cos b  (cos(a  b)  cos(a  b))
2n

x2 x4 x6
n x
2
cos x  n  0 (1)
 1


 ...
1
(2n)!
2! 4! 6!
sin a  cos b  (sin( a  b)  sin(a  b))
2

x 2 n 1
x3 x5 x7
n
sin x  n  0 (1)
 1


 ...
1 ix
sin x  (e  e  ix )
(2n  1)!
3! 5! 7!
2i
1 3 2 5 17 7
62 5

1
tan x  x  x  x 
x 
x  .... x 
cos x  (eix  e  ix )
3
15
315
2835
2
2
n
2
eix  e  ix

(
cx
)
(
cx
)
cx
tan x  ix
e cx  n  0
 1 
 ....
i (e  e  ix )
n!
1!
2!
n
1
 ( 1)
x2 x3 x4
sinh x  (eix  e  ix )
ln(1  x)  n  0
x n 1  x 


 ...
2
n 1
2! 3! 4!
1
1.4
Ansätze
cosh x  (eix  e  ix )
2

X ' ( x)  X ( x)  X ( x)  C  x 
eix  e  ix
tanh x  ix
x
(e  e  ix )
1 2

0
2
2.1
PDGen
5
Seperation der Variablen
Ansatz: u( x, t )  X ( x)  T (t )
Die Wellengleichung
1
Problem:
utt  u xx  0
c2
Allg. Lösung: u ( x, t )  F ( x  ct )  G ( x  ct )
Beispiel:
Allg. Lösung des Anfangswertproblems:
1
 c 2 u tt ( x, t )  u ( x, t )  0


u ( x,0)  f ( x)
1
1
u ( x,0)  g ( x) u ( x, t )   f ( x  ct )  f ( x  ct )  
t
2
2c



Gesucht: Lösungen der Form: u( x, y)  f ( x)  g ( y)
1. f ' ' ( x)
g ' ' ( y)

C
f ( x)
g ( y)
2.1.1

x  ct
x  ct
g ( y ) dy
2.
Beispiel Wellengleichung Prüfung F05
4u tt  u xx  e t

u ( x,0)  0
u ( x,0)  0
 t
3. aus (*) folgt, daß f (0)  f ( L)  0 gilt. Nur die Lösung für C<0
macht Sinn für diese Forderung.
4. Es folgt A = 0 und aus B  sin(  C L)  0 , daß
k   x
f ( x)  B  sin(
)
L
5. da C< 0 ist g ( y)  D  e k   y L  E  e k   y L
6. aus u ( x,0)  0 folgt daß g (0)  0 also D  E
k   y
k   x
)  sinh(
)
3
L
L
K
sinh(4 )
8. aus einsetzen folgt noch daß k  4 und
3
4   x
4   y
9. Die Lösung ist also
u ( x, y) 
 sin(
)  sinh(
)
sinh(4 )
L
L
6
Inhomogene PDGlen

2.2
Wärmeleitungsgleichung
Problem: u    u  0
xx
u ( x,0)  f ( x)
1. Fouriertransformierte:

1 
uˆ (k , t ) 
u( x, t )  e ikx dx
u ( x, t ) 
uˆ ( x, t )  e ikx dk


2


1
2. Ableiten: u t ( x, t ) 
uˆ t ( x, t )  e ikx dk
2 
1 
u xx ( x, t ) 
uˆ ( x, t )   k 2 e ikx dk
22 
 k
3. Einsetzen: uˆ (k , t )    k uˆ(k , t )  0 uˆ(k ,0)  fˆ (k )  uˆ(k , t )  fˆ (k )e



4. Rücktrafo: u ( x, t ) 
1

4 t





u t  au xx  sin x t  0, x  R

u ( x,0)  0 x  R


f ( x' )  e
Wärmeleitungskern Kt: K ( x  x' ) 
t
Lösung: u( x, t ) 
Die allg. Lösung eines inhomogenen Randwertproblems ist die allg.
Lösung des zugehörigen homogenen Problems plus eine partikuläre
Lösung des inhomogenen Problems.
Beispiel:


( x  x ') 2

4t
1
4 t
e
2
t
Vorgehen:
1. u ( x, t )  u H ( x, t )  u P ( x, t )
2. Finde partikuläre Lösung
3. Setze diese in AB ein
4. Löse das homogene Problem
5. Zusammensetzen
dx'
( x  x ') 2

4t
K t ( x  x' )  f ( x' )dx'
Lösungsweg:
1.
sin x
a
f f g f h
Kettenregel: f ( g ( x), h( x)) 


1
0
2. t  0  u ( x,0)  u H ( x,0) 
x g x h x
a sin x
x

r

cos

y

r

sin

f ( x, t )  f (r ( x, y),  ( x, t )) Polarkoordinaten
1

u H ( x,0)  
( f ( x))
f ( x, y)

a sin x
Was ist
in Polarkoordinaten?

x
(u H ) t  a (u H ) xx  0

 r r  
 x y 

sin







cos 
sin   Inverse  x y   cos 
r  4. u H ( x, t )  K t ( x  x' )  f ( x)dx'
 r r   







R


cos  
    
 x y    r  sin  r  cos  

   
 x y   sin 
r 




1
sin x
K t ( x  x' )  f ( x)dx'
5. u ( x, t )  
a R
a
4
Superposition
3
 C L  k   , also
7. u ( x, y)  K  sin(
1
t  1
t  1 et 1 t
u ( x, t )   x     x    
 e  t 1
4
2 4
2 4 4 4
t
 A  e C x  B  e C x (C  0)

f ( x)   A  cos(  C x)  B  sin(  C x) (C  0)
 A  x  B (C  0)

 D  e  C y  E  e  C x (C  0)

g ( y )   D  cos( C y )  E  sin( C y ) (C  0)
 D  y  E (C  0)

t
t  et


u ( x, t )  u h ( x , t )  u p ( x , t )  F  x    G  x   
2
2 4


1
ableiten
u ( x,0)  F ( x)  G ( x)   0 
 u ' ( x,0)  F ' ( x)  G ' ( x)  0
4
1
1
1
u t ( x,0)   F ' ( x)  G ' ( x)   0
2
2
4
x

 F ( x)  4  C
1
F ' ( x) 

x 1
4
G ( x)     C
4 4


u xx  u yy  0

u (0, y )  u ( L, y )  0 (*)

u ( x,0)  0 L  0

u ( x, L)  3  sin 4 x 

L

Koordinatentransformation
0  a  u p ' '  sin x  u p 


Lineare PDG hat die Form Lu=b, wobei L Diffentialoperator und b eine
gegebene Fkt der unabh. Variablen ist. Homogen, wenn b=0.
Sind u1,…,un Lösungen der linearen PDG Lu=0, so ist auch jede
Linearkombination u=c1u1+…..+cnun eine Lösung.
2
7
Fourier-Reihen
7.1
8


f ( x) 
n  
2in
x
L
cn  e
1
cn 
L
mit

L
0
e

2in
x
L
 f ( x)dx
f(x) sei eine zweimal stetig differenzierbare L-periodische Funktion
Beispiel von periodischen Fkten:
2π-periodische Fkten: cos(x), sin(x), eix
L-periodische Fkten:cos(2πx/L), sin(2πx/L), ei 2πx/L
L, L/n periodische Fkten: (2πnx/L), sin(2πnx/L), ei 2πnx/L
Integrationsintervall
Man kann auf beliebigem Intervall der Periodenlänge integrieren:

L

La

a

L

...  ...  ...  ...
0
a
0
2

fˆ (k )   f ( x)  e ikx dx
f ( x)  e  ax
fˆ ( x) 


k2

0
x
cn 

1
2

1
2



1
2


L
f ( x)  e
dx 
1
2


1

e

0


0
1  1 inx
e inx dx  
e
 2 2 ni   in


1
 e in  e in  e 0 

für n ungerade : e in  1  c n 
0


1 inx
e
 in


0
2
 2n2

L/2
L / 2
L/2
L / 2
f ( x)  0

L/2
f ( x)  2 f ( x)
0
2 L2
 2n 
f ( x)  sin
x dx


l
2
L
 L 
 2n 
b sin
x
n 1 n
 L 
4 L2
 2n 
bn 
f ( x)  sin 
x dx n  1
L 0
 L 

a
 2n 
x
Gerade Funktion: f ( x )  0  n 1 a n cos
2
 L 
a
Ungerade Funktion: f ( x)  0 
2




4
an 
L

L 2
0

e
e
ik 

a x

 2a 

 2n 
f ( x)  cos
x dx n  0
 L 


ikx
dx 
2

k2
dx  e 4 a

e
2

ik 
k2
a  x
 
  2a  4a2









dx
k2

e  ay dy  e 4 a 
2



f ( x )  e ikx dx1 ...dxn
en  ax e ikx dx 
2
e
 ( ak 2  bk  c )
e
 x2

1
dk  
1 k 2
n
2  2e 
a
 
 2n 
 2n  
f ( x)  0  n 1  a n cos
x   bn sin
x  
2
L


 L 

2 L2
 2n 
a n   f ( x)  cos
x dx
L l 2
 L 
bn 

n




7.2
Reelle Darstellung
reellwerte Lösungen sind Spezialfälle von komplexen Lösungen
Ein Fkt auf R ist: gerade falls f(-x)=f(x) und ungerade falls f(-x)=-f(x)
Produkt:
gerade mal gerade = gerade
ungerade mal ungerade = gerade
ungerade mal gerade = ungerade
Falls f(x) gerade ist, dann
e
 ax 2

 in
2 2 n 2
2 2 n 2
in 
für n gerade : e
 1  cn  0
Falls f(x) ungerade ist, dann

2
a

f ( x) 

1
2  
n


fˆ (k )  e ikx dk1 ...dk n
Nützliche Rechnungen:

e inx dx 
fˆ ( x)  e ikx dk
Eine Fkt f: R in C nimmt genau dann ihre Werte in R an, wenn


Fouriertransformierte folgende Relation erfüllt: fˆ (k )  fˆ (k )

0


fˆ (k ) 
2

1 1 

2 ni 


In n-dimensionalen Räumen:

x
1    e inx dx

0
0 





0 

x  inx
x
1    e dx  1
1    e inx dx  partielle Integr :
 
 
2 0 
 

0


0
x
 1 inx 
   1  1  e inx dx 
e
1

  in



 

   in






0


0 
x
1 1
 1 inx 

 inx

  in e 1           in  e dx 





 


1
L
 2in
x
L

 e 4a
 2  periodisch

Beispiel:
nützlich : ...  ...
a
1
2
f ( x) 

Beispiel
f ( x)  1 
Fouriertransformation
PDG auf endlichem Intervall → Fourierreihen
Lin. PDG auf unendlichem Intervall → Fouriertransformation
L unendl. groß, L → ∞, Δk=2π/L → 0, Summe → Integral
Komplexe Darstellung
n

a
dk 
e


a
k2
4a
e
ˆ
fˆ ( x)  2  fˆ ( x)
b2
c
4a
dx  
Anleitung: (für inhom. DGl. mit AB)
i) Fourriertrafo der DG mit fn=(ik)nf^
ii) Lösen der DG
iii) Fourriertrafo der AB
iv) AB in DG einsetzen
v) Rücktrafo
8.1
Wärmeleitungsgleichung
AWP: u t ( x, t )  u xx ( x, t )  0
u ( x,0)  f ( x)
i) Fourriertrafo der DG: uˆt (k , t )   (ik ) u(k , t )  0
2
ii) Lösen der DG: uˆ (k , t )  C  e  k
iii) Fourriertrafo der AB: fˆ (k ) 

 t
2


f ( x)  e ikx dx
iv) AB in DG einsetzen: uˆ (k , t )  fˆ ( x)  e
v) Rücktrafo: u ( x, t ) 
1
2



 k 2 t
2
fˆ ( x)  e  k  t  ixk dk

u( x, t )   Kt ( x  x' ) f ( x' )dx'
Lösung:

Mit Wärmeleitungskern: K t ( x  x' ) 

Mit:
 K ( x  x' )dx  1
t

K t ( x  x' )  0
Inhomogen:
part. Lösung mit rechter Seite
u(x,0)=part.+gegeb. Lösung
in AWP dafür homogen (=0)
 neues f(x)
Lösen wie oben
3

1
e
4t
( x  x ') 2
4t
9.1
Beispiele
Beispiel A
Laplacetransformation
9

F ( s) 
 f (t )e
 st
dt
AWP:
0
xt (t )  2 x(t )  t
x ( 0)  a
Linearität
i) Laplacetransformierte von DGl: sX ( s )  x(0)  2 X ( s ) 
1. Ableitungsregel
ii) AB einsetzen:
L  f    g     L f     Lg 


L f n  (t )  s n  F (s)  s n1  f (0)  s n2  f ' (0).... f ( n) (0)
2. Ableitungsregel:
f (t )  t k g (t )  F ( s)  (1) k
1
1
(a  2 )
s2
s
iv) Partialbruchzerlegung: X ( s) 
f (t )  e
dk
G( s)
ds k
g (t )  F (s) G(s  a)


 f (t  a), t  a
L1 e  as F ( s )  H (t  a)  f (t  a )  
 0, t  a
Faltungssatz:
AWP:

f(t)
F(s)
δ(t): Deltafkt.
1
H(t): Heavyside
1
s
e at
k!
s k 1
1
sa
1  e  at
a
s( s  a)
cos(at)
sinh(at)
cosh(at)
1  as
e
s
ρ(t-a) (a>0)
e  as
f’(t)
sF(s)-f(0)
f’’(t)
s2F(s)-sf(0)-f’(0)
 f ( )d
1
 F ( s)
s
f(t-a)
e  as  F (s)
f(at)
1
s
 F( )
a
a
0
e at  f (t )
1
f (t )
t
1
s 1

X ( s) 
v) Inverse Laplacetransformierte:

3
1
1


4s  1 4s  1 2s  12
1
3 t 
x(t )      e t  e t
4
4 2
F(s-a)

 F (s)ds
s
Vorgehen:
i) Laplacetransformierte von DGl
ii) AB einsetzen
iii) X(s)=…
iv) Partialbruchzerlegung
v) Inverse Laplacetransformierte
4
1
s 1
1  1
1
1

 s  1  2


s 1  s 1
 s  1 s  1 s  1
2
iv) Partialbruchzerlegung:
a
s2  a2
s
s2  a2
a
s2  a2
s
s2  a2
H(t-a) (a>0)
t
x t (0)  x(0)  1
iii) X(s)=… X ( s ) 
1, t  a
H (t  a )  
0. t  a
Wichtige Laplacetransformationen:
sin(at)
x tt (t )  x(t )  e t
ii) AB einsetzen: s 2 X ( s )  s  1  X ( s ) 
Heaviside-Funktion:
tk
1
t 1

x(t )   a    e  2t  
4
2 4

2
i) Laplacetrafo von DGl: s X ( s )  s  x' (0)  x(0)  X ( s ) 
t
L  f (t  t ' ) g (t ' )dt '  F ( s)  G( s)
 0

1, t  0
H (t )  
0. t  0
a
1
1
1
 2  
s  a 2s
4s 4( s  2)
v) Inverse Laplacetransformierte:
Beispiel B
2. Verschiebungssatz:
1
s2
iii) X(s)=… X ( s ) 
1. Verschiebungssatz:
 at
sX ( s )  a  2 X ( s ) 
1
s2
10
a( x, t , u )ut  c( x, t , u )  u x  d ( x, t , u )
Laplacegleichung
u  0
10.1
u ( x,0)  f ( x)
Radiales Dirichlet-Problem in der Ebene
u  u rr 
1
1
u r  2 u  0
r
r
Allgemeine Lösung:
u (r ,  )  n   , n  0 ( An r  B n r

n
n
)e
in 
 C 0  D0 log r
Sei a(x,t,u) ≠ 0. Das AWPhat für jede gegebene (diff.bare) Funktion f
eine eindeutige Lösung u(x,t), die im Bereich {(x,t), t < T0(x)} für eine
gewisse Funktion T0(x) definiert ist.
1. Annahmen:
x  x(t )
z (t )  u ( x(t ), t )
2. Zu erfüllen:
z  d ( x, t , z )
 z, x auflösen
x  c( x, t , z )
An, Bn, C0, D0 ergeben sich eindeutig aus den Randbedingungen
10.1.1 Typ I: Kreisscheibe
 u ( r ,  )  0

u (a,  )  f ( )
(*)
Aus Stetigkeit für r=0 schliest man, daß keine negativen Potenzen und 3. x(0)=x0 und z(0)=f(x0)
log(r) nicht auftauchen. Bn=0 und D0=0
Lösung:
4. x(t) = … und z(t) = …
u (r ,  )  n   , n  0 An r e in



n
n
n   , n  0
An a e
in 
5. Lösung: u ( x, t )  z (t )  .....
11.1 Allgemeine quasilineare PDG mit zwei unabh. Variablen
 f ( )
ut  u x  0 t  0
10.1.2 Typ II: Komplement aus Kreisscheibe
u ( x,0)  f ( x)
u (r ,  )  0 r  a


u (a,  )  f ( )

u (r ,  ) ist beschränkt für r  

1. Annahmen x  x(t )
z (t )  u ( x(t ), t )
Lösung:
Kettenregel:
u (r ,  )  n   , n  0 An r



n   , n  0
An a
n
n
dz(t )
dx(t )
 ut ( x(t ), t )  u x ( x(t ), t )
dt
dt
dx(t )
 c( x(t ), t )  1
dt
2. Zu erfüllen:
dz(t )
 d ( x(t ), t )  0
dt
e in
e in  f ( )
10.1.3 Typ III: Kreisring (Annulus)
u (r ,  )  0 R1  r  R2

u ( R1 ,  )  f 1 ( )


u ( R2 ,  )  f 2 ( )

3. x(0) = x0 und z(0) = f(x0) = u(x(0),0)
f 1 ( )  n   , n  0 ( An R1  B n R1 )e in  C 0  D0 log R1

n
n
f 2 ( )  n   , n  0 ( An R 2  B n R 2 )e in  C 0  D0 log R 2

n
n
10.2 Poisson-Formel
Die Lösung des Dirichlet-Problems auf der Kreisscheibe mit Radius a
ist gegeben durch die Poisson-Formel:

2
u (r ,  )  K (r ,  ,  ' ) f ( ' )d '
0
K (r ,  ,  ' ) 
10.3
1
a2  r2
2 a 2  2ra cos(   ' )  r 2
Mittelwertprinzip
Ist Δu=0 auf einem Gebiet D, so ist der Wert von u an der
Stelle x  D gleich dem Mittelwert von u auf der Oberfläche
jeder Kugel in D mit Mittelpunkt x.
1 2
u (0,0) 
f ( )d
f ( ) ist die Fkt auf dem Rand
2 0
10.4 Maximumprinzip
Sei Δu=0 auf einem beschränkten, geschlossenen Gebiet D,
dann wir-d das Maximum von u am Rand angenommen:
max u( x), x  D  max u( x), x  D
Minimumprinzip:
min u( x), x  D  u( x)  max u( x), x  D
11 Methode der Charakteristiken
Ein PDG erster Ordnung für u=u(x,t) heißt quasilinear, falls sie die
Form (*) besitzt mit gegebenen Funktionen a, b, c.
Beispiele:
ut + ux = u + 1
linear
xut + sin(t)ux = cos(x+t)
linear
ut + uux = 0
quasilinear
2ut + u2ux + cos(x)cos(u) = 0 quasilinear
ut + ux2 = 0
nicht quasilinear
4. x(t) = t + x0 und z(t) = z(0) = f(x0)
u(t + x0, t) = f(x0) x0 = x – t
5. Lösung: u(x,t) = z(x,t) = f(x0) = f(x-t)
11.2 Beispiele
ut  x  u x  x t  0
u ( x ,0 )  f ( x ) t  0
2. x(t) = c = x und z(t) = d = x
3. x(0) = x0 und z(0) = f(x0)
4. x(t) = Aet mit x(0) = x0 = A wird x(t) = x0et
z(t) = x(t) = x0et + D mit z(0) = f(x0) = x0 + D wird D = f(x0) - x0
z(t) = x0et + f(x0) - x0
5. mit x0 = xe-t und f(x0) = f(xe-t ) wird u(x,t) = z(x,t) = x(1- e-t ) + f(xe-t )
11.3 Beispiel Vorlesung
x  u x  y  u y  xyu
u (1, y )  y 2
1 y  2
1. Charakteristiken bestimmen
a( x, y, z )  x
1 (t )   1 (t )
 1 (t )  C1e t
b( x, y, z )  y
2 (t )   2 (t )
 2 (t )  C2 e t
c( x, y, z )  x  y  z 3 (t )   1 (t )   2 (t )   3 (t )  3 (t )  C1C2 3  C3e C1C2t
mit  1 (t )   2 (t )  C1e t C 2 e t  C1C 2
2. Nebenbedingungen mit γ schreiben
Aus x = 1→ 1, y = y→ s, z = y2→ s2 wird Γ(s) = (1,s,s2)
3. γs(0) = Γ(s)
C1  1
 C1   1 
   
 s (0)   C 2    s   C 2  s
C  s2  C  s2
3
 3  

et

4. Parameterdarstellung


t
Fäche I stellt sich dar als  s (t )   s  e 
 2 st 
5. Beschreibung von I in der Form z=u(x,y)
s e 
x = et, y = se-t, z = s2est, xy = et se-t
z(s,t) = s2est → (xy)2exyt = (xy)2(et)xy = (xy)2xxy
u(x,y) = z(x,y) = (xy)2xxy
5
11.4
Beispiel Prüfung F06
u

u x  x  u y  2  e


u ( x,0)  f ( x)
1. Charakteristiken
x  1 y  x
e
z
z
z0

z  2  e z
x
 xx
dz  2dx   e  z
0
z
z0
y
1 2
x  y0
2
 e  z  e  z 0  2 x  z   ln(e  z 0  2 x)
2. Nebenbedingungen
y0  y 
1 2
x
2
z 0  f ( y0 )
3. Einsetzen
1
 f ( y x2 )
2
u ( x, y )   ln(e
12 Klassifikation
12.1
 2 x)
Lineare PDG 2. Ordnung mit zwei unabh. Variablen
A  u xx  2 B  u x , y  C  u yy  D u x  E u y  F  u  G  0
A(x,y),….,G(x,y) sind gegebene Funktionen von zwei Variablen
AC - B2 > 0 elliptisch
AC - B2 = 0 parabolisch
AC - B2 < 0 hyperbolisch
Beispiele:
Wellengleichung c-2uxx – uyy = 0 ist hyperbolisch (A = c-2, B = 0, C = 1).
Wärmeleitungsgleichung ux – uyy = 0 ist parabolisch (A = B = 0, C = 1).
Laplacegleichung uxx + uyy = 0 und allg. Poissonglg sind elliptisch.
Invarianz unter Koordinatentransformationen:
Eine Transformation der unhabhängigen Variablen x, y führt eine PDG
in eine neue PDG über, die dann genau die gleiche Klassifikation hat
wie die ursprüngliche PDG.
Bemerkungen:
1. nur die Terme mit höchster Ableitung zählen (A,B,C)
2.
3.
12.2
13
 A B

B C 
AC - B2 ist die Determinante der Matrix M M  
Sind Koeffizienten A, B, C nicht konstant, sondern
Funktionen, die nicht trivial von x und y abhängen, so können
PDG verschiedene Charakter an versch. Punkten haben.
Charakteristiken
Variablentransformation
Allgemeiner Ansatz:
   a b   x 
   
    wobei det A  0
   c d   y 
6